《空间向量与立体几何》章末提升测评

5/10《空间向量与立体几何》章末提升测评(满分:64分；时间：40分钟）一、选择题（每小题5分，共30分）1.(2017广东清远一中一模，★☆☆)已知向量，，则实数的值等于（）A.B.C.D.2.（2014湖北，7，5，分，★★☆）在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是，给出编号为=1\*GB3①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②3.(2017河南安阳模拟，★★☆)三棱柱的侧棱与底面垂直,,的中点，点在上，且满足直线与平面所成的角取最大值时,的值为（）A.B.C.D.4.(2018湖南株洲醴陵二中、四中第一次联考，★★☆)如图，在正四棱锥中，分别是的中点，动点在线段上运动时，下列四个结论：①；=2\*GB3②；③平面；④其中恒成立的为（）A.=1\*GB3①=3\*GB3③B.=3\*GB3③=4\*GB3④C.=1\*GB3①=2\*GB3②D.=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④5.(2014课标||，11，5分，★★☆)直三棱柱中，，,分别是的中点，,则与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.6.(2017河南信阳期末，★★☆)已知梯形如图（1）所示，其中为线段的中点，四边形为正方形，现沿进行折叠，使得平面平面得到如图(2)所示的几何体。已知当点满足时，平面平面,则的值为（）A.B.C.D.二、填空题（每小题5分，共10分）7.(2018广东佛山一中期中，★☆☆)如图，正方体中，，点分别为的中点,则线段的长度为_______.8.(2016上海，6改编，★★☆)如图，在正四棱柱中，底面的边长为3，与底面所成角的正切值为,则该正四棱柱的高等于_______.三、解答题（共24分）9.（2017江苏，22，10分，★★☆)如图，在平行六面体中，平面,且.(1)求异面直线与所成角的余弦值；(2)求二面角的正弦值.10.(2017北京，16，14分，★★☆)如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，点在线段上，平面,(1)求证:为的中点；(2)求二面角的大小；(3)求直线与平面所成角的正弦值.

参考答案―、选择题1.答案：B解析：且存在实数，使得解得.2.答案：D解析：在空间直角坐标系中构建棱长为2的正方体，设则即为满足条件的四面体，得出正视图和俯视图分别为④和②，故选D.3.答案：A解析：以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则易得平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角满足：又当最大时，最大，所以当时，取得最大值，为，此时直线与平面所成的角取最大值.4.答案：A解析：如图所示，设相交于点,连接对于=1\*GB3①，由是正四棱锥，可得底面，又平面分别是的中点，又平面平面平面平面平面故=1\*GB3①正确。对于=2\*GB3②，当与不重合时，易知与是异面直线，因此=2\*GB3②不正确。对于=3\*GB3③，由=1\*GB3①可知平面平面，平面，因此=3\*GB3③正确。对于=4\*GB3④，由=1\*GB3①同理可得平面，若平面,则与相矛盾，因此当与不重合时，与平面不垂直。即=4\*GB3④不正确。故选A.5.答案：C解析：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设则故选C.6.答案：C解析：由题意，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则,设则设平面的法向量为则取得设平面的法向量为则取得平面平面解得故选C.二、填空题7.答案：解析:以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则故所以8.答案：解析：以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则设正四棱柱的高为则故.易知底面的法向量为由与底面所成角的正切值为可得与底面所成角的正弦值为，所以解得三、解答题9.答案：见解析解析：在平面内，过点作交于点因为平面所以如图，以为正交基底建立空间直角坐标系因为则（1）则因此异面直线与所成角的余弦值为（2）平面的一个法向量为设为平面的法向量，又则即不妨取则所以为平面的一个法向量，从而设二面角的大小为，则因为所以因此二面角的正弦值为10.答案：见解析解析：（1）设交点为连接因为平面平面平面所以因为是正方形，所以为的中点.所以为的中点.（2）取的中点为，连接因为所以又因为平面平面，且平面所以平面因为平面