《圆锥曲线与方程章末复习课》教学设计

1/18《圆锥曲线与方程》章末复习课（名师：杨军君）一、思维导图圆锥曲线圆锥曲线椭圆双曲线抛物线定义标准方程及其中参数的几何意义几何性质直线与圆锥曲线位置关系二次方程判别式范围焦点离心率准线对称性渐近线二、例题讲解例1：已知椭圆及直线.（1）当为何值时,直线与椭圆相切;（2）求直线被椭圆截得最长弦所在直线方程.答案：（1）;（2）.解析：【知识点】直线与椭圆的位置关系【解题过程】联立方程组,消去,整理得,（1）由得,解得.（2）由韦达定理得,弦长当时,取得最大值为,此时直线方程为.点拨：用方程实根个数刻画直线和圆锥曲线的位置关系,是研究直线和圆锥曲线位置关系的通法.例2：过点作抛物线的弦,恰被所平分,（1）求所在直线方程;（2）求的长.答案：（1）;（2）.解析：【知识点】直线与抛物线、焦点弦.【解题过程】（1）法一：设以为中点的弦端点的坐标为,而斜率显然存在,于是①②③④由①-②得,所以所以所求弦所在直线方程为,即.法二：设弦所在直线方程为,由消去,得,由韦达定理得,又,所以所求弦所在直线方程为,即.（2）消去得,设则点拨：因为所求弦通过定点,所以求弦所在的直线方程关键是求出斜率,又由于点是所求弦的中点,所以所求斜率与点坐标有关.注意弦的中点问题灵活利用点差法解题.例3.设椭圆的左、右焦点分别为,离心率,右准线,是上的两个动点,.（1）若,求的值;（2）证明：当取最小值时,与共线.答案：（1）;（2）见解题过程.解析：【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】由条件可得,所以的方程.设,则,由得.①（1）由得②③由①②③三式,消去,并求得,故.（2）,当且仅当或时,取最小值.此时,,故与共线.点拨：此题重点考察椭圆中的基本量的关系,进而求椭圆中的待定系数,考察了向量的综合应用,设而不求的消元思想在圆锥曲线问题中的灵活应用.学生需熟悉椭圆各基本量间的关系,并能数形结合,熟练地进行向量的坐标运算,要求较高.例4．已知定点及椭圆,过点的动直线与椭圆相交于两点.（1）若线段中点的横坐标是,求直线的方程;（2）在轴上是否存在点,使为常数？若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.答案：（1）或;（2）见解题过程.解析：【知识点】直线与椭圆.【解题过程】（1）依题意,直线的斜率存在,设直线的方程为,将代入,消去整理得

设则由线段中点的横坐标是,得,解得,适合.

所以直线的方程为,或.

（2）假设在轴上存在点,使为常数.=1\*GB3①当直线与轴不垂直时,由（Ⅰ）知

所以

将代入,整理得注意到是与无关的常数,从而有,此时

=2\*GB3②当直线与轴垂直时,此时点的坐标分别为,当时,亦有

综上,在轴上存在定点,使为常数.点拨：解决直线和圆锥曲线的相关问题时,韦达定理得应用十分广泛,涉及向量问题时还要注意向量数量积的定义和坐标运算.三、圆锥曲线章末测试一、选择题1．如果表示焦点在轴上的椭圆,那么实数的取值范围是（）A．B．C．D．答案：D解析：【知识点】椭圆的标准方程.【解题过程】焦点在轴上,则点拨：将方程转化为标准形式处理.2．以椭圆的顶点为顶点,离心率为的双曲线方程（）A．B．

C．或D．以上都不对答案：C解析：【知识点】圆锥曲线的几何性质.【解题过程】当顶点为时,;当顶点为时,点拨：求圆锥曲线方程时注意确定焦点的位置.3．与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是（）A．B．C．D．答案：A解析：【知识点】双曲线的标准方程.【解题过程】且焦点在轴上,可设双曲线方程为过点得点拨：注意确定双曲线标准方程的类型.4．以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆的圆心的抛物线的方程（）A．或B．

C．或D．或答案：D解析：【知识点】抛物线的定义.【解题过程】圆心为,设;设,故选D.点拨：注意抛物线的开口方向.5．设为过抛物线的焦点的弦,则的最小值为（）A．B．C．D．无法确定答案：C解析：【知识点】抛物线的焦点弦.【解题过程】垂直于对称轴的通径时最短,即当点拨：利用图形的对称性解题.6．过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的弦,是另一焦点,若∠,则双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．【知识点】双曲线的离心率.【解题过程】Δ是等腰直角三角形,.点拨：利用离心率的定义解题.答案：C7.是椭圆的两个焦点,为椭圆上一点,且,则的面积为（）A.7B.C.D.答案：C解析：【知识点】椭圆的焦点三角形.【解题过程】点拨：焦点三角形问题从定义出发尽量求焦半径.8．若抛物线上一点到准线的距离等于它到顶点的距离,则点的坐标为（）A．B．C．D．答案：B解析：【知识点】抛物线的定义.【解题过程】点到准线的距离即点到焦点的距离,得,过点所作的高也是中线,代入到得,点拨：利用抛物线的定义解题.9．椭圆上一点与椭圆的两个焦点、的连线互相垂直,则△的面积为（）A．B．C．D．答案：D解析：【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】,相减得点拨：焦点三角形问题从定义出发尽量求焦半径.10．若点的坐标为,是抛物线的焦点,点在抛物线上移动时,使取得最小值的的坐标为（）A．B．C．D．答案：D解析：【知识点】抛物线的几何性质.【解题过程】可以看做是点到准线的距离,当点运动到和点一样高时,取得最小值,即,代入得点拨：利用抛物线的定义转化为几何方法求最值.11．若直线与双曲线的右支交于不同的两点,那么的取值范围是（）A．（）B．（）C．（）D．（）答案：D解析：【知识点】直线与双曲线的位置关系.【解题过程】有两个不同的正根则得.点拨：联立方程利用韦达定理确定交点位置.12.如图,椭圆的离心率为,过椭圆上异于顶点的任一点作圆的两条切线,切点分别为,若直线与轴分别交于两点,则的值为（）A.B.C.D.答案：B解析：【知识点】直线与圆锥曲线的位置关系.【解题过程】设,则,所以,代入得：,由于,故.点拨：根据条件得到切点弦的方程是关键.二、填空题13．椭圆的离心率为,则的值为_______.答案：.解析：【知识点】椭圆的离心率.【解题过程】当时,;当时,点拨：注意讨论椭圆焦点的位置.14．若直线与抛物线交于、两点,则线段的中点坐标是______.答案：.解析：【知识点】直线与抛物线.【解题过程】设A（x1,y1）,B（x2,y2）,

中点坐标为点拨：利用韦达定理解中点坐标问题.15.双曲线的一条渐近线与直线垂直,则这双曲线的离心率为________.答案：.解析：【知识点】双曲线的几何性质.【解题过程】渐近线为,其中一条与与直线垂直,得点拨：注意离心率与渐近线斜率的关系.16．抛物线上两点、关于直线对称,且,则等于_______.答案：.解析：【知识点】直线与抛物线的位置关系.【解题过程】,得x2+x1=且在直线上,即得点拨：利用韦达定理解题.三、解答题17．已知双曲线与椭圆有相同焦点,且经过点,求双曲线方程.答案：.解析：【知识点】双曲线的方程.【解题过程】椭圆的焦点为.设双曲线方程为因为双曲线过点,则,得,而,,双曲线方程为.点拨：依据焦点的位置通过待定系数法求解方程.18．设是双曲线的两个焦点,点在双曲线上,且,求△的面积.答案：.解析：【知识点】双曲线的几何性质.【解题过程】双曲线的不妨设,则,而得.点拨：利用双曲线的定义以及余弦定理整体处理.19.已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,抛物线与椭圆的交于点,延长交抛物线于点.（1）求抛物线的方程;（2）求的值.【知识点】抛物线的方程与焦点弦.【解题过程】（1）由题意：,,抛物线C的方程为.（2）设,由得,设,由得,,..点拨：抛物线的焦点弦长计算注意转化利用定义处理.答案：（1）;（2）.20.双曲线的焦距为,直线过点和,且点到直线的距离与点到直线的距离之和,求双曲线的离心率的取值范围.答案：解析：【知识点】双曲线的几何性质.【解题过程】∵直线的方程为.由点到直线的距离公式,且,得到点(1,0)到直线的距离.同理得到点到直线的距离.∴得.即,

从而.所以的取值范围是.点拨：利用离心率的定义解题.21.已知点,直线：,为平面上的动点,过点作直线的垂线,垂足为,且．（1）求动点的轨迹的方程;（2）若直线与曲线有两个交点,当线段的中点在直线上时,求的范围．【知识点】直线与椭圆.【解题过程】（1）设,则.由得：,整理得故动点的轨迹的方程为.（2）设联立消去有：,从而有由于的中点在直线上,所以,进而有.,即的中点为又的中点在椭圆内部,,解得或.所以k的取值范围为点拨：解决直线和椭圆的相关问题时,韦达定理得应用十分广泛.答案：（1）;（2）.22.已知椭圆的离心率为,为椭圆的右焦点,且椭圆上的点到距离的最小值为.过作直线交椭圆于两点,点.（1）求椭圆的方程;（2）是否存在这样的直线,使得以为邻边的平行四边形为菱形？若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.答案：（1）;（2）存在,或.解析：【知识点】椭圆的几何性质、直线与椭圆.【解题过程】（1）由