专题11《立体图形的表面积》解析

2022-2023学年六年级奥数举一反三典型题检测专题11立体图形的表面积试卷满分：100分考试时间：100分钟一．选择题（共7小题，满分21分，每小题3分）1．（3分）如图，一个长8厘米、宽6厘米、高10厘米的长方体木块中，挖去一个棱长为3厘米的正方形的孔，木块现在的表面积是（）平方厘米。A．367 B．376 C．412 D．430【思路引导】由题意可知：挖去一个棱长为3厘米的正方形的孔，木块的表面积减少了1个小3×3的面，增加了5个3×3的面，实际相当于只增加了4个面；所以木块现在的表面积为原来长方体的表面积再加上中间的正方体的4个面的面积即可．【完整解答】解：（8×6+8×10+10×6）+3×3×4＝376+36＝412（平方厘米）答：木块现在的表面积是412平方厘米．故选：C。【考察注意点】关键是分析图形是由哪几部分组成，表面积是指哪些面；然后根据相应的公式解答即可．2．（3分）把10个相同的小正方体按如图所示的位置堆放，它的外表含有若干个小正方形，如图将图中标有字母A的一个小正方体搬去，这时外表含有的小正方形个数与搬动前相比（）A．不增不减 B．减少1个 C．减少2个 D．减少3个【思路引导】根据图形，搬动前小正方体A外表含有3个小正方形，搬动后A所在的位置有3个小正方形作为外表露出解答．【完整解答】解：由图可知，搬动前小正方体A外表含有3个小正方形，搬动后A所在的位置有3个小正方形作为外表露出，所以小正方形的个数与搬动前相比不增不减．故选：A。【考察注意点】本题考查了认识立体图形，观察正方体A所在的位置的外表的小正方形的变化情况是解题的关键．3．（3分）把11块相同的长方体砖如图拼成一个大长方体，已知每块砖的体积是288立方厘米，大长方体的表面积是（）平方厘米．A．1944 B．1974 C．2014 D．1368【思路引导】设小长方体的长、宽、高分别为a、b、h，观察图形可知则a＝4h，即h＝a，2a＝3b即b＝a，由每块砖的体积为：a×a×a＝a3．再据a3＝288可得：a＝12（厘米），由此即可解决问题．【完整解答】解：设小长方体的长、宽、高分别为a、b、h，则a＝4h，即h＝a，2a＝3b即b＝a，每块砖的体积为：a×a×a＝a3．再据a3＝288可得：a＝12（厘米），则b＝×12＝8（厘米），h＝×12＝3（厘米），于是可得：大长方体的长是12×2＝24厘米，宽12厘米，高是8+3＝11厘米，大长方体表面积就为：24×12×2+24×11×2+12×11×2，＝288×2+264×2+132×2，＝576+528+264，＝1368（平方厘米）；答：大长方体表面积是1368平方厘米．故选：D。【考察注意点】本题考查立体图形表面积公式，解题的关键是学会设未知数，构建方程组解决问题，本题体现了数形结合的思想，学会把图中信息转化为方程组解决问题．4．（3分）将一个长为5厘米、宽为4厘米、高为3厘米的长方体切成棱长为1厘米的正方体后，表面积增加了_____平方厘米。（）A．94 B．144 C．235 D．266【思路引导】根据切一刀多两面，可知沿长切了4刀、宽切了3刀、高切了2刀，分别多出了8个侧面、6个前面、4个上面。【完整解答】解：3×5×3×2+4×5×2×2+3×4×4×2＝266（平方厘米）。故选：D。【考察注意点】本题主要考查了长方体表面积中一刀多两面这个知识点，一定要清楚，切一刀多的是哪两个面的面积即可。5．（3分）一个长方体，它的高和宽相等，若把长去掉2.5厘米，就成为表面积是150平方厘米的正方体，长方体的长是宽的（）倍．A．1.5 B．2 C．2.5 D．3【思路引导】已知长方体的宽和高相等，把长去掉2.5cm，就成为表面积150平方厘米的正方体，根据正方体的表面积公式：S＝6a2，据此可以求出正方体的一个面的面积，进而求出正方体的棱长（长方体的宽和高），用正方体的棱长加上2.5厘米就是长方体的长，然后根据求一个数是另一个数的几倍用除法解答．【完整解答】解：正方体的一个的面积是：150÷6＝25（平方厘米），正方体的棱长是：因为5的平方是25，所以正方体的棱长是5厘米，长方体的长是：5+2.5＝7.5（厘米），长是宽的：7.5÷5＝1.5倍；故选：A。【考察注意点】此题解答关键是求出正方体的棱长，进而求出长方体的长，再根据求一个数是另一个数的几倍用除法解答．6．（3分）如图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长1厘米的正方体，做成一种玩具，它的表面积是x平方厘米，那么x等于（）A．114 B．120 C．126 D．132【思路引导】这个玩具的表面积是大正方体的面积，加上6个边长为1厘米的小正方体的4个侧面的面积，据此解答即可．【完整解答】解：玩具的表面积：4×4×6+1×1×6×4＝96+24＝120（平方厘米）．答：它的表面积是120平方厘米．故选：B。【考察注意点】此题考查规则立体图形的表面积，解决此题的关键是在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长为1厘米的正方体，增加6个边长为1厘米的小正方体的4个侧面的面积．7．（3分）如图所示，用许多棱长为1厘米的小立方体粘合成一个实心的立体图形，那么该立体图形的体积和表面积分别为（）立方厘米和平方厘米．（注：该立体图形上下对称、左右对称、前后对称）A．162，270 B．189，324 C．189，270 D．162，324【思路引导】（1）根据题干，这个几何体的体积就是这些小正方体的体积之和，棱长1厘米的正方体的体积是1立方厘米，由此只要数出有几个小正方体就能求得这个几何体的体积；（2）这个几何体的表面积就是露出正方体的面的面积之和，从上面看有45个面；从下面看有45个面；从前面看有45个面；从后面看有45个面；从左面看有45个面；从右面看有45个面．由此即可解决问题．【完整解答】解：（1）这个几何体共有小正方体的个数为：3×3×3×7＝189（个），所以这个几何体的体积为：1×1×1×189＝189（立方厘米）．（2）图中几何体露出的面有：45×6＝270（个），所以这个立体图形的表面积是：1×1×270＝270（平方厘米）．答：该立体图形的体积是189立方厘米，表面积是270平方厘米．故选：C。【考察注意点】此题考查了观察几何体的方法的灵活应用；抓住这个几何体的体积等于这些小正方体的体积之和；几何体的表面积是露出的小正方体的面的面积之和是解决此类问题的关键．二．填空题（共13小题，满分26分，每小题2分）8．（2分）如图，将一个棱长为4cm的正方体从中间切开，再拼成一个长方体，那么，表面积增加了16cm2．【思路引导】把正方体切成完全一样的两块长方体后，它的表面积比原来增加了2个正方体的面的面积；再拼成一个长方体，那么，表面积又减少了1个正方体的面的面积；综合上述，实际相当于只增加了1个正方体的面的面积；由此即可解答问题．【完整解答】解：根据分析可得，表面积增加了1个正方体的面的面积：4×4＝16（平方厘米）答：表面积增加了16平方厘米．故答案为：16．【考察注意点】此题要抓住一个正方体切割出2个完全一样的长方体的方法，得出切割后比原来增加了2个正方体的面，是解决此类问题的关键．9．（2分）把一个正方体切成27个相等的小正方体．这些小正方体的表面积之和比大正方体的表面积大432平方厘米．那么，大正方体的体积是216立方厘米．【思路引导】能把一个正方体切成27个相等的小正方体，说明在上下、左右和前后各切2次，共切6次；每切一次就多出2个大正方形1个面的面积，共多出12个大正方形的一个面的面积．由432÷12＝36平方厘米，得其边长是6厘米．再运用正方体的体积公式，即可求出此题．【完整解答】解：432÷12＝36（平方厘米）正方体的棱长：＝6（厘米）6×6×6＝216（立方厘米）故：答正方体的体积是216立方厘米．【考察注意点】此题要充分展开想象，明白能把一个正方体切成27个相等的小正方体，说明在上下、左右和前后各切2次，共切6次；每切一次就多出2个大正方形1个面的面积，共多出12个大正方形的面．10．（2分）将10个棱长为1厘米的立方体如图摆放，那么，这个立体图形的表面积是36平方厘米．【思路引导】分别得到前后左右上下6个方向面的个数，再乘以一个面的面积即可求解．【完整解答】解：从6个方向看都是6个正方形，面积为6，所以几何体的表面积6×6＝36（cm2）故答案为36．【考察注意点】本题考查立体图形的表面积，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题的突破点是从6个方向观察，得出正方形的个数．11．（2分）如图是棱长10厘米的两个正方体果盒，用一张长4分米，宽3分米的长方形彩色纸包装（接头处忽略不计）．这张彩色纸够吗？够．【思路引导】两个正方体拼成了一个长方体，表面积总和减少了两个正方形的面，即还剩下6×2﹣2＝10个正方形的面，即需要包装的面，然后根据正方形和长方形的面积公式进一步解答即可．【完整解答】解：6×2﹣2＝10（个）10厘米＝1分米1×1×10＝10（平方分米）4×3＝12（平方分米）12＞10所以，这张彩色纸够了．故答案为：够．【考察注意点】解答本题关键是理解两个正方体拼成了一个长方体，减少了几个面．12．（2分）如图，将若干个相同的小正方体叠成一个长方体，这个长方体的底面就是原正方体的底面。如果整个长方体的表面积是2664平方厘米，当从这个长方体的顶部拿去一个正方体后，新长方体的表面积比原来减少144厘米。原来有18个小正方体。【思路引导】拿掉一个正方体，会减少4个面，所以每个面的面积为144÷4＝36（平方厘米）。设原来有x个正方体，则原来的长方体的表面积可以表示为：（4x+2）×36＝2664，解方程即可。【完整解答】解：144÷4＝36（平方厘米），设原来有x个正方体，则可列方程：（4x+2）×36＝2664解得：x＝18；故答案为：18个。【考察注意点】本题的关键在于减少的144平方厘米，恰好是4个正方形的面积，从而求出每个面的面积。13．（2分）一个长为4厘米，宽和高均为2厘米的长方体，从中间切一刀分成两个完全相同的小正方体，那么这两个小正方体的表面积之和与原来的长方体表面积相比增加了8平方厘米．【思路引导】由题意，锯成的正方体的棱长是2厘米，会增加两个面，每个面的面积是2×2平方厘米，所以再乘以2就是增加的面积．【完整解答】解：2×2×2＝8（平方厘米）故答案为：8．【考察注意点】解答此题要明确：增加的面积就是两个切面的面积．14．（2分）一个长方体的长、宽、高分别是7、5、3，在某一个面竖直切一刀，将长方体分成两个小长方体，则这两个小长方体的表面积之和最大是212．【思路引导】由题意得出竖直切一刀，其表面积就在原长方体面积的基础上增加两个面的面积，而表面积最大的切法为沿平行于长为7、宽为5的面的方向切一刀，据此求解可得．【完整解答】解：由于长方体的表面积为（7×5+7×3+3×5）×2＝142，而某一个面竖直切一刀，其表面积就增加两个面的面积，增加的两个面的面积最大情况为沿平行于长为7、宽为5的面的方向切一刀，此时增加的面积最大，为2×7×5＝70，则其表面积最大为142+2×7×5＝212，故答案为：212．【考察注意点】本题主要考查立体图形的表面积，根据题意得出切一刀增加两个面的面积且表面积最大的切法是解题的关键．15．（2分）如图是由9块相同的长方体摆放而成的大长方体，已知大长方体的表面积是360平方厘米，那么一个小长方体的表面积是88平方厘米．【思路引导】可以设小长方体的长为a，宽为b，高为c，根据表面积公式，可以列出关系式，2×（b+c）×（b+b+b）+2×（b+c）×a+2×a×（b+b+b）＝360，又3b＝2a，a＝3c，即可求出a、b、c的值进而可以求得小正方体的表面积．【完整解答】解：根据分析，设小长方体的长为a，宽为b，高为c，如下图所示，则有：3b＝2a，a＝3c故大长方体的表面积＝2×（b+c）×（b+b+b）+2×（b+c）×a+2×a×（b+b+b）＝360⇒3b2+3bc+4ab+ac＝180又3b＝2a，a＝3c，可解得：a＝6，b＝4，c＝2，则一个小长方体的表面积是：2×6×4+2×6×2+2×4×2＝88平方厘米．故答案是：88平方厘米．【考察注意点】本题考查了长方体的表面积，本题突破点是：根据表面积公式及图中所示列出关系式，再求解．16．（2分）如图，在一个棱长40厘米的正方体的上、下两个底面的正中间，各有一个直径为6厘米的圆孔，孔深15厘米，则这个几何体的表面积是10165.2平方厘米，体积是63152.5立方厘米．（π取3.14）【思路引导】表面积比原来正方体的表面积多了两个圆柱的侧面积，体积比原来的正方体少了两个圆柱的体积．【完整解答】解：正方体的表面积40×40×6＝9600（平方厘米）一个圆柱的侧面积6×3.14×15＝282.6（平方厘米）这个几何体的表面积9600+282.6×2＝10165.2（平方厘米）正方体的体积40×40×40＝64000（立方厘米）圆柱的半径6÷2＝3（厘米）两个圆柱的体积3.14×3×3×15×2＝847.8（立方厘米）几何体的体积64000﹣847.9＝63152.2（立方厘米）故填10165.2和63152.5【考察注意点】在这个变化过程中表面积增加了，体积减少了，在分析的时候要注意分析增加或减少的部分．17．（2分）一个长方体，棱长都是整数厘米，所有棱长之和是88厘米，问这个长方体总的侧面积最大是242平方厘米．【思路引导】长宽高的和是：88÷4＝22厘米，长方体的总侧面积＝（长+宽）×高×2，因为长+宽+高＝22，为定值，把（长+宽）看成一个整体，当（长+宽）＝高＝11时，此时（长+宽）×高最大，最大为121，所以，此时长方体的侧面积为242，据此解答即可．【完整解答】解：长宽高的和是：88÷4＝22（厘米）把（长+宽）看成一个整体，当（长+宽）＝高＝22÷2＝11时，此时（长+宽）×高最大，11×11×2＝242（平方厘米）答：这个长方体的总侧面积最大是242平方厘米．故答案为：242．【考察注意点】本题关键是明确要使长方体的总侧面积最大，（长+宽）的和与高的长度必须最接近．18．（2分）如图，用6个完全相同的小正方体组成了一个长方体，如果每个小正方体的表面积均为48平方厘米，那么整个长方体的表面积为208平方厘米．【思路引导】每个小正方体的表面积均为48平方厘米，则每个面的面积是48÷6＝8平方厘米；用6个完全相同的小正方体组成了一个长方体，减少了2×5＝10面，所以还剩下6×6﹣10＝26个面，然后再乘每个面的面积即可．【完整解答】解：48÷6＝8（平方厘米）8×（6×6﹣5×2）＝8×26＝208（平方厘米）答：整个长方体的表面积为208平方厘米．故答案为：208．【考察注意点】本题要学会简算，因为每个正方体的棱长不易求出，所以要从原来的总面数和减少的面数入手解答．19．（2分）将表面积分别为150平方分米、54平方分米、96平方分米的三个正方体铁块熔铸成一个大正方体铁块，这个大正方体铁块的表面积是216平方分米．【思路引导】根据正方体的特征，它的12条棱的长度都相等，6个面的面积都相等；正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长；已知三个正方体的表面积分别是54平方分米、96平方分米、150平方分米，先分别求出三个正方体的棱长，把它们熔铸成一个大的正方体铁块，体积不变，由此再求三个正方体的体积之和即可．【完整解答】解：54÷6＝9（平方分米），因为：3×3＝9，所以：棱长是3分米；96÷6＝16（平方分米），因为：4×4＝16，所以：棱长是4分米；150÷6＝25（平方分米），因为：5×5＝25，所以：棱长是5分米；3×3×3+4×4×4+5×5×5＝27+64+125＝216（立方分米）；因为：6×6×6＝216，所以：大正方体的棱长是6分米；6×6×6＝216（平方分米）；故答案为：216．【考察注意点】此题主要考查正方体的特征以及表面积和体积的计算方法，首先分别求出三个小正方体的棱长，再求三个小正方体的体积之和，求出大正方体的棱长，再根据体积公式解答．20．（2分）由27个棱长为1厘米的小正方体拼成了一个3×3×3的大正方体；（1）这个大正方体的表面积是54平方厘米．（2）如果从大正方体某条棱的中间去掉一个小正方体，剩下几何体的表面积是56平方厘米．（3）如果从大正方体某个面的中间去掉一个小正方体，剩下几何体的表面积是58平方厘米．【思路引导】（1）利用正方体的表面积公式，可得结论；（2）如果从大正方体某条棱的中间去掉一个小正方体，表面积增加2个边长为1厘米的小正方形，可得剩下几何体的表面积；（3）如果从大正方体某个面的中间去掉一个小正方体，表面积增加4个边长为1厘米的小正方形，可得剩下几何体的面积，【完整解答】解：（1）这个大正方体的表面积是6×3×3＝54平方厘米．（2）如果从大正方体某条棱的中间去掉一个小正方体，表面积增加2个边长为1厘米的小正方形，剩下几何体的表面积是54+2＝56平方厘米．（3）如果从大正方体某个面的中间去掉一个小正方体，表面积增加4个边长为1厘米的小正方形，剩下几何体的面积是54+4＝58平方厘米．故答案为54，56，58．【考察注意点】本题考查立体图形的表面积，考查正方体的表面积公式，解题的关键是正确运用正方体的表面积公式．三．解答题（共7小题，满分53分）21．（7分）如图所示，有一个边长为5厘米的立方体木块，在它的每个角以及每条棱和每个面的中间各挖去一个边长为1厘米的小立方体（即图中画有阴影的那些小立方体），那么余下部分的表面积是多少平方厘米？【思路引导】此题可以先求出大正方体的表面积，再求出一个小正方形的面积，由此可以解决问题．【完整解答】解：大正方体的表面积为5×5×6＝150（平方厘米），一个小正方形的面积为1×1＝1（平方厘米），从角上挖去一个小正方体，表面积不变；从棱上挖去一个小正方体，表面积增加2平方厘米；从面上挖去一个小正方体，表面积增加4平方厘米．则余下部分的表面积为：150+2×12+4×6＝198（平方厘米）答：余下部分的表面积是198平方厘米．【考察注意点】这道题是计算正方体的表面积的应用，在计算时要注意计算正方体缺少的是那个面，从而列式解答即可．22．（7分）如图所示．中心的立方体的棱长为8，在其每个面的中心粘上一个棱长为4的立方体，在所有棱长为4的立方体的露出面中心再粘上一个棱长为2的立方体．求：这个立体图形的表面积．【思路引导】先考察一个棱长为4的立方体带着5个棱长为2的立方体的表面积，每个棱长为2的立方体的一个面可以转移到棱长为4的立方体上，再将其中的4×4＝16的部分转移到中心立方体上，即可求出这个立体图形的表面积．【完整解答】解：我们先不管中心立方体，先考察一个棱长为4的立方体带着5个棱长为2的立方体的表面积，每个棱长为2的立方体的一个面可以转移到棱长为4的立方体上，所以整个图形的表面积为5×42+5×4×22＝80+80＝160，将其中的4×4＝16的部分转移到中心立方体上，所以这个立体图形的表面积是（160﹣16）×6+6×82＝1248．．【考察注意点】本题考查立体图形的表面积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23．（7分）有一个棱长为3.5的正方体，在其中一个面上挖去一个棱长为1.2的正方体，在棱长为1.2的正方体的底面上挖去一个棱长为0.7的正方体，再在棱长为0.7的正方体的底面上挖去一个棱长为0.3的正方体．问此图形的表面积？【思路引导】每向下挖一个正方体，其表面并无损失，反而会增加4个正方形侧面．【完整解答】解：原表面积3.5×3.5×6＝73.5，而后增加1.2×1.2×4+0.7×0.7×4+0.3×0.3×4＝8.08，73.5+8.08＝81.58．答：此图形的表面积是81.58．【考察注意点】考查了规则立体图形的表面积，本题的关键是理解图形的表面积组成部分．24．（8分）已知一个长方体的长、宽、高的比为4：3：2，用平面切割，切割面为六边形（如图所示），已知所有这样的六边形的周长最小为36，求这个长方体的表面积．【思路引导】按题意，长方体的长、宽、高的比为4：3：2，而六边形周长最小，则六边形的六条边在展开图上应构成一条线段，此时可以求出长方体的长、宽、高，表面积也即可求得．【完整解答】解：根据分析，长方体展开图如下图：（AB与CE是同一条棱，P与Q是同一点）所以周长最小时，六边形的六条边在展开图上应构成一条线段，所以长方体表面积为：2×（长×宽+长×高+宽×高）＝2×（2×3+3×4+4×2）×[（）2÷2]＝416，故答案是：416．【考察注意点】本题考查了长方体的表面积，突破点是：将六边形展开，求得最小周长，算出长，宽，高，从而求得表面积．25．（8分）如图所示，图①由1个棱长为1的小正方体堆成，图②由5个棱长为1的小正方体堆成，图③由14个棱长为1的小正方体堆成，按照此规律，求：（1）图⑥由多少个棱长为1的小正方体堆成？（2）图⑩所示的立体图形的表面积．【思路引导】（1）先找到小正方体个数的规律，不难求出图⑥的正方体的个数；（2）先推测出图⑩所示的立体图形的小正方体的个数，再求表面积．【完整解答】解：（1）根据观察，图①中有12小正方体；图②有1+22个小正方体；图③有1+22+32个小正方体；图④有1+22+32+42个小正方体；图⑤有1+22+32+42+52个小正方体；图⑥有1+22+32+42+52+62＝91个小正方体，故答案是：91．（2）堆积体的表面积包括：前后2面、左右2面和上下2面．图⑩中有12+22+32+42+52+6