专题12 解直角三角形之新定义模型（解析版）

专题12解直角三角形之新定义模型解直角三角形的新定义模型，是体现选拔功能的试题中对初高中知识衔接的考查。高中数学为这类试题的命制提供了广阔的空间背景，命题者将高中数学的一些概念、定理、法则、公式等初中化（用初中数学知识内容包装、初中试题命制技术设置）处理，命制出具有高中数学背景味道的试题。这类试题往往对学生思维能力和创新能力要求较高，能有效检验学生是否具备进入高中学习的潜能，所以平时教学挖掘这方面解题技能及功效尤为重要。恰当地构建模型可以拓宽解题思路，优化解题过程，丰富解题内涵。【知识储备】模型1、新定义模型此类模型主要包含高中数学中的三角函数和解三角形的相关定理（公式），而这些定理（公式）也可利用初中数学知识证明。若无特殊说明，一般认为△ABC的3个角∠A、∠B、∠C，分别对应边a、b、c；1）正弦定理：如图1，（其中R是三角形外接圆的半径）。图1图22）余弦定理：如图2，．3）正弦面积公式：如图2，.4）同角三角函数的基本关系式:，。5）和（差）、二倍角角公式：;.;..例1．（2023·宁夏·校考三模）阅读下列材料，并解答后面的问题．在学习了直角三角形的边角关系后，小颖和小明两个学习小组继续探究任意锐角三角形的边角关系：在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．（1）小明学习小组发现如下结论：如图1，过A作AD⊥BC于D，则sinB=，sinC=即AD=csinB，AD=bsinC，于是_____=______即，同理有，则有（2）小颖学习小组则利用圆的有关性质也得到了类似的结论：

如图2，△ABC的外接圆半径为R，连结CO并延长交⊙O于点D，连结DB，则∠D=∠A，∵CD为⊙O的直径，∴∠DBC=90°，在Rt△DBC中，∵，∴，同理：，则有请你将这一结论用文字语言描述出来:．小颖学习小组在证明过程中略去了“”的证明过程，请你把“”的证明过程补写出来．（3）直接用前面阅读材料中得出的结论解决问题：规划局为了方便居民，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一座学校，使它到三个住宅小区的距离相等，已知小区C在小区B的正东方向千米处，小区A在小区B的东北方向，且A与C之间相距千米，求学校到三个小区的距离及小区A在小区C的什么方向？【答案】（1）csinB，bsinC；（2）在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径；（3）学校到三个小区的距离为1千米，小区A在小区C的北偏西15°的方向．【分析】（1）由AD=csinB，AD=bsinC可得答案；（2）由结论可总结为：在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径，据此解答即可；（3）根据题意画出图形如图，则∠B=45°，BC=千米，AC=千米，设学校的位置为点O，则OA=OB=OC=R，由阅读材料的结论可得：，由此即可求出∠BAC的度数和R的值，进而可求出∠ACB的度数，即得∠ACN的度数，问题即得解决．【详解】解：（1）由AD=csinB，AD=bsinC得：csinB=bsinC；故答案为：csinB，bsinC；（2）由这一结论用文字语言描述出来是：在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径．故答案为：在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径；（3）如图，由题意得：∠B=45°，BC=千米，AC=千米，设学校的位置为点O，则OA=OB=OC=R，由阅读材料的结论可得：，即，解得：，千米，∴∠BAC=60°，∴∠ACB=180°－45°－60°=75°，∴∠ACN=15°，即小区A在小区C的北偏西15°的方向．答：学校到三个小区的距离为1千米，小区A在小区C的北偏西15°的方向．【点睛】本题以阅读理解题的形式考查了解直角三角形、圆周角定理等知识，正确理解题意、熟练应用阅读材料提供的计算公式是解题的关键．例2．（2023春·山西·九年级专题练习）阅读与思考．请仔细阅读并完成相应的任务．利用我们所学习的三角函数的相关知识可以解决许多关于三角形边长、角度、面积等问题．如图，在锐角中，，，的对边分别是，，过点作于点，则，即，于是．在中，，在中，，，整理得．任务：(1)__________，__________；(2)已知中，，，所对边分别是，，，，，，求．【答案】(1)；(2)【分析】（1）直接根据进行类比即可求解；（2）根据代入数值可得，继而求解即可．【详解】（1）根据进行类比，可得，，故答案为：，；（2），，，，∴，即，解得，（舍去），．例3．（2023·山西·九年级统考期中）阅读下列内容，并解答问题：三角形的一个面积公式小明喜欢通过多渠道学习数学知识，一天，他运用网络搜索学会了一个三角形面积公式，这个公式叙述如下：在中，已知，，，则的面积为.请你完成以下活动：问题探究：（1）如图1，已知是锐角三角形，，，，请证明上述三角形面积公式仍然成立；问题解决：（2）如图2，在中，，，.则的面积是______.

【答案】（1）证明见解析；（2）9【分析】（1）过点作于点，解，求出AD，即可；（2）同理求出AD的长度，运用求解即可.【详解】（1）证明：如图，过点作于点，

在中，.∵，∴.（2）在△ABC中，∵，，，∴.【点睛】本题考查了三角形的面积公式，解题的关键是做辅助线，通过解直角三角形表示出三角形对应边上的高.例4．（2023春·广西南宁·八年级校考阶段练习）【再读教材】：我们八年级下册数学课本第页介绍了“海伦－秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．【解决问题】：如图，在中，点E是边上一点，连接，，，，．

任务一：请你用海伦－秦九韶公式求的面积．任务二：求的面积．【答案】见详解；【分析】任务一：根据，，得到，结合即可得到答案；任务二：根据平行线间距离处处相等及平行四边形的对边相等求解即可得到答案；【详解】解：任务一：∵，，，∴，∴，任务二：∵四边形是平行四边形，∴，，∴；【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的管家是根据新定义直接求出的面积．例5．（2023·北京市·九年级校考期末）关于三角函数有如下公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；tan（α+β）＝（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝＝1，利用上述公式计算下列三角函数①sin105°＝，②tan105°＝﹣2﹣，③sin15°＝，④cos90°＝0，其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】直接利用已知公式法分别代入计算得出答案．【详解】①sin105°=sin（60°+45°）=sin60°cos45°+cos60°sin45°==，故此选项正确；②tan105°=tan（60°+45°）====-2-，故此选项正确；③sin15°=sin（60°-45°）=sin60°cos45°-cos60°sin45°==，故此选项正确；④cos90°=cos（45°+45°）=cos45°cos45°-sin45°sin45°==0，故此选项正确；故正确的有4个．故选D．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及公式的应用，正确应用公式是解题关键．例6．（2022春·全国·九年级专题练习）【阅读材料】关于三角函数有如下的公式：①；②；③．利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如．【学以致用】根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：(1)求的值；(2)如图，一架直升机在一建筑物上方的点处测得建筑物顶端点的俯角为，底端点的俯角为，此时直升机与建筑物的水平距离为，求建筑物的高；(3)疫情封控期间，直升机给该建筑物的居民投放物资，试求飞机从点处往正东方向飞多远，居民在点处看飞机的仰角恰好是．【答案】(1)(2)84米(3)飞机再飞168米可使点看飞机的仰角为【分析】（1）根据，可求的值；（2）根据求得AB，再根据ED=求得A、E两点垂直距离ED，最后CD的长即可求得；（3）延长交于点，作交于点，并使，根据可求EF的值，即可求解．【详解】（1）解：；（2）解：如图，延长交于点，∵，米，∴米，∵，米∴、垂直距离为ED=米，∴米．答：建筑物的高为84米．（3）解：延长交于点，作交于点，并使，∴米，由（2）得、垂直距离米，∵，，∴，∴米，∴米．答：飞机再飞168米可使点看飞机的仰角为．【点睛】本题主要考查了特殊的锐角三角函数值，解题关键是将不特殊三角函数转化为特殊三角函数并结合图像解直角三角形．例7．（2023春·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）．如图，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述对角的正对定义，解下列问题：(1)的值为___________A．

B．1

C．

D．2(2)对于，的正对值的取值范围是___________．(3)已知，其中α为锐角，试求的值．【答案】(1)B(2)(3)【分析】（1）根据等腰三角形的性质，求出底角的度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对的定义解答；（2）求出0度和度时等腰三角形底和腰的比即可；（3）作出直角，构造等腰三角形，根据正对的定义解答．【详解】（1）解：根据正对定义，当顶角为时，等腰三角形底角为，则三角形为等边三角形，则，故选B；（2）解：当接近时，接近0，当近时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故接近2．于是的取值范围是．故答案为；（3）解：如图，在中，，，在上取点D，使，作，H为垂足，令，，则，又∵在中，，，∴，，则在中，，，于是在中，，，由正对的定义可得：，即．【点睛】本题考查了新定义的运算，解题的关键是理解新定义，再根据新定义直接求解．例8．（2023秋·山东·九年级专题练习）在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在中，，，，求（用含，的式子表示）．聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取的中点O，连接，过点C作于点D，则，然后利用锐角三角函数在中表示出，，在中表示出，则可以求出．

阅读以上内容，回答下列问题：在中，，．(1)如图3，，，若，则______，______；(2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出的表达式（用含，的式子表示）．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据勾股定理求得，再根据三角函数的定义即可求得和，再根据求解即可；（2）取的中点，连接，过点作于点，则，，在中表示出，勾股定理求得，即可求解．【详解】（1）解：由勾股定理可得：，由三角函数的定义可得，，由材料可得：，故答案为：，（2）解：取的中点，连接，过点作于点，如下图：

则，，，，在中，，，，，在中，，，，．【点睛】此题考查了三角函数定义的应用，解题的关键是是熟练掌握三角函数的定义，作辅助线构造直角三角形．例9．（2023春·广东·九年级专题练习）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题．(1)；；．(2)观察上述等式，猜想：在中，，都有；(3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；(4)若，且，求的值．【答案】(1)1，1，1(2)1(3)证明见解析(4)【分析】（1）根据三角函数定义，数形结合，分别得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得到答案；（2）由（1）中运算结果即可得到答案；（3）根据题意，由勾股定理及三角函数定义，得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得证；（4）由上述归纳及证明的结论知，结合，根据完全平方和公式恒等变形，由确定，代值求解即可得到答案．【详解】（1）解：，，，故答案为：1，1，1；（2）解：由（1）中运算结果即可猜想在中，，都有，故答案为：1；（3）证明：在中，，，，的对边分别是，，，由勾股定理即可得到，，；（4）解：，，，，．【点睛】本题考查三角函数计算综合，涉及三角函数定义、同角三角函数关系、勾股定理及三角函数恒等变形求值，数形结合，灵活运用三角函数定义是解决问题的关键．例10．（2023春·湖北·九年级专题练习）在初中，我们学习过锐角的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形，是锐角，那么的对边÷斜边，的邻边÷斜边，的对边÷的邻边．为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴，建立直角坐标系（图2），在角α的终边上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，点P和原点的距离为（r总是正的），然后把角α的三角函数规定为：，，．我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，而与点P在角α的终边位置无关．比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题：(1)若，则角α的三角函数值、、，其中取正值的是；(2)若角α的终边与直线重合，则的值；(3)若角α是钝角，其终边上一点，且，求的值；(4)若，则的取值范围是．【答案】(1)(2)或(3)(4)【分析】（1）由题意可得，，，然后依据定义进行判断即可；（2）设点，则，然后分为和两种情况求解即可；（3）由题意可得，然后依据定理列出关于x的方程，从而求出x的值，然后依据正切的定义求解即可；（4）依据三角形的三边关系可得，然后再得到，再求得的取值范围，即可求得结果．【详解】（1）解：当时，，，，，，，故答案为：．（2）解：∵若角α的终边与直线重合，，，当时，，当时，，的值为或．（3）解：，点，且，，（正值舍去），．（4）解：，，，，，又，，故答案为：．【点睛】本题考查了正比例函数的性质、三角函数的定义及完全平方公式，理解三角函数的定义是解题的关键．课后专项训练1．（2023·湖北武汉·模拟预测）定义一种运算：，例如：当，时，，则的值为()A． B． C． D．【答案】B【分析】根据，可以计算出的值．【详解】解：由题意可得，，故选：B．【点睛】本题考查解直角三角形、二次根式的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．2．（2022·广东东莞·校考一模）关于三角函数有如下的公式：，由该公式可求得的值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据，代入特殊三角函数值计算即可．【详解】解：，故选：B．【点睛】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，灵活运用公式把一般角转化为特殊角的和或者差是解题的关键．3．（2023·山东潍坊·统考二模）一般地，当α、β为任意角时，tan（α+β）与tan（α-β）的值可以用下面的公式求得：tan（α±β）=．例如：tan15°=tan（45°-30°）=====2-．请根据以上材料，求得tan75°的值为．【答案】2+．【分析】根据给定的公式，将，代入中计算化简即可．【详解】解：tan75°=tan（45°+30°）=====2+．故答案为：2+．【点睛】本题考查了三角函数的计算以及用平方差公式进行分母有理化，读懂新定义的含义是关键.4．（2023秋·福建莆田·九年级校考阶段练习）我们给出定义：如果两个锐角的和为，那么称这两个角互为半余角．如图，在中，，互为半余角，且，则的值为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】要求的值，想到构造直角三角形，根据已知可得的补角为，所以过点B作，交的延长线于点D，分别在和中利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【详解】解：过点B作，交的延长线于点D，

∵，∴设，，，互为半余角，，，在中，，，，，在中，，故选：B．【点睛】本题考查了余角和补角，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．5．（2023·河北石家庄·九年级统考期中）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题．sin230°＋cos230°＝；sin245°＋cos245°＝；sin260°＋cos260°＝；……观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A＋cos2A＝．【答案】1111【详解】sin230°＋cos230°＝=1，sin245°＋cos245°＝=1，sin260°＋cos260°＝=1，即可猜想出：对任意锐角，都有故答案为：1；1；1；16．（2022·湖南湘潭·校考一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，；，．例：．(1)试仿照例题，求出的值；(2)若已知锐角α满足条件，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）把化为直接代入三角函数公式计算即可；（2）把化为直接代入三角函数公式计算即可．【详解】（1）解：∵，∴；（2）解：∵，，α为锐角，解得，∴．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的应用，属于新题型，解答本题的关键是根据题目中所给信息结合特殊角的三角函数值来求解．7．（2023·四川成都·成都外国语学校校考一模）观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过A作AD⊥BC于D（如图（1）），则，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即，同理有：，所以．即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题．（1）如图（2），△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，BC=60，则∠A=；AC=；（2）某次巡逻中，如图（3），我渔政船在C处测得钓鱼岛A在我渔政船的北偏西30°的方向上，随后以40海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在的北偏西75°的方向上，求此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB．【答案】（1）60°,20;(2)10【详解】（1）先利用三角形内角和定理求出∠A，再利用题目总结的正弦定理，将有关数据代入求解即可；（2）在△ABC中，分别求得BC的长和三个内角的度数，利用题目中总结的正弦定理AB的长即可．解析：（1）∵∠B=45°，∠C=75°，∴∠A=180°-∠B-∠C=60°，根据材料有：，∴，即，∴AC=20，故答案为60°，20；（2）如图，依题意：BC=40×0.5=20（海里），∵CD∥BE，∴∠DCB+∠CBE=180°．∵∠DCB=30°，∴∠CBE=150°，∵∠ABE=75°，∴∠ABC=75°，∴∠A=45°，在△ABC中，，即，解之得：AB=10海里，

所以渔政船距钓鱼岛A的距离为10海里．【点睛】本题考查的阅读理解题，涉及到三角函数等知识，弄清材料中知识，并能应用解决相关的问题是关键.8．（2023春·山东济宁·九年级统考期中）某校九年级数学兴趣小组，探究出下面关于三角函数的公式：；；．利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如：．根据上面的知识，选择适当的公式解决下面的实际问题：(1)计算：；(2)如图，直升飞机在一建筑物上方点处测得建筑物顶端点的俯角，底端点的俯角，此时直升飞机与建筑物的水平距离为，求建筑物的高．

【答案】(1)(2)建筑物AB的高为120米【分析】（1）利用求解；（2）利用求出，解直角三角形求出和B，C垂直距离，即可求解．【详解】（1）解：；（2）解：，，，，，，B，C垂直距离为，∴（米）．答：建筑物的高为120米．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是根据提供的公式计算出非特殊角的三角函数值．9．（2023.广东九年级期中）在△ABC中，cosA＝，cosB＝，cosC＝，我们称为余弦定理，请用余弦定理完成下面的问题．请用余弦定理完成下面的问题：（1）如图，已知△DEF，∠E＝60°，DE＝4，DF＝，求EF的长度；（2）通过合理的构造，试求cos105°．解：（1）由余弦定理，可得cosE＝，∵∠E＝60°，DE＝4，DF＝，∴＝，解得EF＝1或3；（2）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，AD⊥BC，AD＝1．∵在RT△ADC中，AD＝1．∴AC＝2，CD＝，∵在RT△ADB中，AD＝1，∴AB＝，BD＝1，∴在△ABC中，AB＝，AC＝2，BC＝+1，∠BAC＝180°﹣30°﹣45°＝105°，利用余弦定理可得cos105°＝＝＝．10．（2023·陕西西安·八年级统考期中）阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦-秦九韶公式”．完成下列问题：如图，在中，，，．

(1)求的面积；(2)过点A作，垂足为D、求线段的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）把，，代入公式进行计算即可；（2）由的面积，再建立方程求解即可．【详解】（1）解：∵，，∴，∴的面积；（2）∵的面积，∴，∴．【点睛】本题考查的是二次根式的应用，化为最简二次根式，熟练的代入计算是解本题的关键．11．（2023·湖南株洲·校考模拟预测）阅读、理解、应用研究间的角的三角函数，在初中我们学习过锐角的正弦余弦正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形是锐角，那么为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立直角坐标系（图2），在角的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，终边可以看作是将射线点O逆时针旋转后所得到的．和原点的距离为（总是正的）然后把角的三角函数规定为：（其中分别是点的横、纵坐标）我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角的大小有关，四个比值的正、负取决于角的终边所在的象限，而与点在角的终边位置无关．比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题，(1)如图3，若，则角的三角函数值，其中取正值的是________．(2)若角的终边与直线重合，则________．(3)若角是锐角，其终边上一点且，则________．(4)若，则的取值范围是________．【答案】(1)(2)或(3)(4)【分析】（1）由点在第四象限，推出，根据，即可判断；（2）分两种情形讨论即可解决问题；（3）如图2中，作轴于E．求出的长，根据三角函数的定义即可解决问题；（4）根据题意可得，根据，可得，再由，可得，从而得到，由此即可解决问题．【详解】（1）解：∵，∴点在第四象限，∴，∵，∴，∴取取正值的是；故答案为：（2）解：如图1中，

①当点P在第一象限时，作轴于E．设，则，∴．②当点P在第三象限时，作轴于E．设，则，∴．综上所述，或；故答案为：或；（3）解：如图2中，作轴于E．由题意，，∴，∴，∴；（4）解：根据题意得：，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查一次函数综合题、三角函数的定义、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数解决问题，属于中考创新题目．12．（2022秋·山东潍坊·九年级统考期中）【阅读理解】：如图，在中，a，b，c分别是，，的对边，，其外接圆半径为．根据锐角三角函数的定义：，，可得，即（规定）．【探究活动】：如图，在锐角中，a，b，c分别是，，的对边，其外接圆半径为，那么：______________________（用>，=或<连接），并说明理由．【初步应用】：事实上，以上结论适用于任意三角形．在中，a，b，c分别是，，的对边．已知，，，求．【综合应用】：如图，在某次数学实践活动中，小莹同学测量一栋楼的高度，在处用测角仪测得地面点处的俯角为45°，点处的俯角为15°，B，C，D在一条直线上，且C，D两点的距离为100m，求楼的高度．（参考数据：，）【答案】探究活动：，；初步应用：；综合应用：楼高度约为．【分析】探究活动：由锐角三角函数可得，可得解；初步应用：将数值代入可求解；综合应用：由锐角三角函数即可求解．【详解】解：探究活动：如图，过点C作直径，连接，∴，，∴，∴，同理可证：，∴，故答案为：，；初步应用：∵，，，，∴，∴，∴；综合应用：如图，由题意得：，，，，∴，∵，∴，，设楼，则，∵，∴，∴，∴，∴楼高度约为．【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，锐角三角函数等知识，读懂材料，并能熟练运用结论是解题的关键．13．（2023春·陕西铜川·九年级校考阶段练习）对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα=sin（180°﹣α），cos=﹣cos（180°﹣α）．（1）求sin120°，cos150°的值；（2）若一个直角三角形的三个内角比是1：1：4，A，B设这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2﹣mx﹣1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的度数．【答案】（1）sin120°=，cos150°=﹣；（2）m=0，∠A=30°，∠B=120°【分析】（1）仿照已知定义将各式变形，利用特殊角的三角函数值求出值即可；（2）根据内角之比，利用内角和为180°求出各自的度数，根据sinA，cosB是方程4x2﹣mx﹣1=0的两个不相等的实数根，求出m的值，进而确定出∠A和∠B的度数．【详解】解：（1）由题意得：sin120°=sin（180°﹣120°）=sin60°=，cos150°=cos（180°﹣30°）=﹣cos30°=﹣；（2）∵一个直角三角形的三个内角比是1：1：4，∴三个内角分别为30°，30°，120°，①当∠A=30°，∠B=120°时，方程的两根为，﹣，把代入方程得：1﹣m﹣1=0，解得：m=0，经检验﹣是4x2﹣1=0的根，故m=0；②当∠A=120°，∠B=30°时，方程的两根为，，不符合题意；③∠A=30°，∠B=30°时，方程两根为，，把代入得：1﹣m﹣1=0，解得：m=0，经检验不是方程4x2﹣1=0的根，不符合题意，则m=0，∠A=30°，∠B=120°．【点睛】此题考查了解直角三角形，方程的根，以及特殊角的三角函数值，弄清题中的新定义是解本题的关键．14．（2023春·成都市·九年级专题练习）对于钝角β，定义它的三角函数值如下：sinβ=sin（180°﹣β），cosβ=﹣cos（180°﹣β），tanβ=﹣tan（180°﹣β）．（1）求sin120°，cos135°，tan150°的值；（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程ax2﹣bx﹣1=0的两个不相等的实数根，求a、b的值及∠A和∠B的大小．【答案】（1），，-（2）当A=B=30°时，a=﹣，b=﹣2﹣；当A=30°、B=120°时，a=4，b=0【分析】（1）根据给定钝角的三角函数值，代入数据，即可求出结论；（2）根据三角形的内角和定理以及三个角的比例可得出三角形的三个内角，分①A=B=30°；②A=30°、B=120°；③A=120°、B=30°．三种情况考虑，根据特殊角的三角函数值找出sinA、cosB的值，再根据根与系数的关系找出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得出结论．【详解】（1）sin120°=sin（180°﹣120°）=sin60°=；cos135°=﹣cos（180°﹣135°）=﹣cos45°=﹣；tan150°=﹣tan（180°﹣150°）=﹣tan30°=﹣．（2）∵一个三角形的三个内角的比是1：1：4，且三角形的内角和为180°，∴三角形的三个内角为30、30、120．①当A=30°、B=30°时，sinA=，c