上海市松江区2025届高三下学期二模试题 数学 含答案

松江区2024学年度第二学期模拟考质量监控试卷高三数学（满分150分，完卷时间120分钟）2025.04考生注意： 1.本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。 2.答题前，务必在答题纸上填写座位号和姓名。 3.答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1.已知集合A={−1,0,2.抛物线C:3.若复数z满足1+iz=i4.已知空间向量a=(2,λ,3)5.3x26.根据右表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为y=ax7.有4辆车停放在5个并排车位上，客车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与客车甲相邻停放，则共有____种不同的停放方法。8.在定向越野活动中，测得甲在乙北偏东80∘的方向，甲乙两人间的距离为2km，丙在乙北偏西40∘的方向，甲丙两人间的距离为7km9.已知点P为直线l:x+y+1=0上的点，过点P作圆N10.如图在三棱锥P−ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=3，PB=2，PC=1，设M是底面ABC内一点，定义f(M)=(m,n,11.设向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，记12.设a∈R，若函数f(x)=二、选择题(本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑。13.设a,b,c,d∈R，则“a+c>b+d”是“a14.下列函数中，在区间(0,+∞)上为严格增函数的奇函数的是（）

A.y=ln|x|B.y=|x−1|15.在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=A.四棱锥P−A1ABB1 B.四棱锥P−A1AC16.定义在(0,+∞)上的函数y=f(x)满足f(x+1)=f(x)−x，当0<x≤1A.①是真命题，②是假命题 B.两个都是真命题

C.①是假命题，②是真命题 D.两个都是假命题

三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。已知函数y=Asin(2x+φ)，A>0，0<φ<π，当x=π6时函数取得最大值4，记y=f(x)。

（1）求函数y=f(x)的表达式；

（2）若数列{an}为等差数列，a2=f(0)，a4=f18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。已知梯形PBCD中，PD∥BC，E为PD上的一点且BE⟂PD，PE=BE=1，BC=12ED，将△PBE沿BE翻折使得二面角P−BE−C的平面角为θ，连接PC、PD，F为棱PD19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。某校组织学生在周末时间利用DeepSeek等人工智能平台进行线上学习，但要求学生学习时间不超过4小时。现从该校高三学生某周末的线上学习时间统计数据中，随机抽取100个学生的学习时间进行分析，绘制成如下频率分布直方图。以抽取的100个学生该周末线上学习时间作为样本，估计该校高三年级全体学生周末线上学习时间的情况。

（1）试估计该校高三学生周末线上学习时间的平均数x及中位数x0（注：为了计算均值，可用区间的中点值给区间内的每个数据赋值）

（2）现从全部高三年级学生中随机抽取n人。若其中有4人周末线上学习的时间不小于3小时的可能性最大，求n的值。

20.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分。

已知椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2，上下顶点分别为B1、B2。ΔB1F1F2是面积为3的正三角形，过右焦点的直线交椭圆Γ于P、Q两点（21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分。

已知f(x)=ln(x−1)+2ax−43，a∈R。

（1）若x=4是函数y=f(x)的一个极值点，求曲线y=f(x)在点松江区2024学年度第二学期期末质量监控试卷高三数学答案一、填空题1.{1,2} 2.4 3.2 4.1 5.135 7.12 8.1 9.23 10.1 11.[0,二、选择题：BDDA三、解答题17.解：(1)由题意x=π6时f(x)取得最大值4，∴A=44sin(2×π6+φ)=4，∴f(x)=4sin(2x+π6). (2)∵a2=f(0)=2，a4=f(π6数列{an}为等差数列，∴an=n. 则bn=2an=2所以Tn=2(1−2n)1−2=2n+118.（1）解法一：取PE的中点G，连接BG、FG，因为点F为棱PD的中点，所以FG∥DE且FG=12DE，因为BC∥DE且BC=12所以四边形BCFG为平行四边形，BG∥FC， 因为BG⊂平面PBE，FC不在平面PBE上，所以FC∥平面PBE. 解法二：取ED的中点M，连接CM、FM，因为点F为棱PD的中点，且BC=12ED，所以所以FM∥平面PBE，CM∥平面PBE. 因为FM⊂平面CFM，CM⊂平面CFM，且所以平面CFM∥平面PBE. ⋯⋯⋯因为FC⊂平面CFM，所以FC∥平面PBE. （2）过点F作FH⟂ED于点H，连接因为BE⟂平面PDE，所以BE因为BE⊂平面BCDE，ED⊂平面BCDE，且所以FH⟂平面BCDE. ⋯⋯⋯所以∠FCH就是直线FC和平面BCDE由题意得：二面角P−BE−由（1）解法二，易得∠FMD在Rt△FHM中，由∠FMH=π3，FM=12，得FH在Rt△BEG中，由EG=12，BE=1，得BG=5在Rt△FHC中，由sin∠FCH即得直线FC和平面BCDE所成角为arcsin1510. 19.解：（1）x x0=3+14×12=3.125. （2）解：样本中线上学习时间不少于3小时频率为(45+25)×记X为从n人中抽取的线上学习时间不少于3小时的人数，则P(n,k)=Cnk(由Cnk(35)k(25)n解得3n−25≤k≤3n+35. 由题意3n−25≤4≤3n+3所以，当n=6或n=7时，其中有4人周末线上学习的时间不小于3小时的可能性最大. 20.（1）设椭圆C的焦距为|F1F因为|OB1|=b又因为ΔB1F1F所以椭圆的离心率e=ca=12. （2）设R(由于正三角形F1F2B1得：c=1，b=3，又所以椭圆方程为：x24+y23=1. |当0<m≤33，y=−3m时，|RM|当m>33，y=−3时，|RM|max=m+3（3）设直线PQ为x=ty+1或y=x=ty+1x24+y记四边形B1QPB2面积为S=则x1+x解得−33<t<33， 则S==32[t(−6t3t令43+6由于60<6+43所以S∈(835,32+3]. 21.解： （1）f′(x)=1代入得f′(4)=13−2a42=0，解得a=8将a=83代入y=f得点P处的切线方程为y=ln3. （2）函数y=f(x)令f′(x)=0，可得x2−2ax+2a=0，由△=4a2−8a=0，解得a=2或a=0， ①若0≤a≤2，此时△≤0所以函数y=f(②若a>2，此时△>0x1=a+a所以函数y=f(x)在(a③若a<0，此时△>0x1=a+a2−2a，综上所述：当a≤2时，函数y=当a>2时，函数y=f(在(a−a2−2a,a+a2−2a （3）由题得f(x)=ln(x−1)−43，要证x1<1+kk<x2，即证x1−1<1k即证x1此式等价于1<x2−1x1−1−1lnx2−1x1−1<令t=x2−1由t>1知，lnt>0，故上式等价lnt<t−1<tlnt(t>