贵州省六盘水市纽绅中学2024-2025学年高一下学期第一次月考（4月）数学试题（解析）

第页，共页六盘水市纽绅中学2024~2025学年度高一（下）第一次月考数学试卷考生注意：1.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：人教A版必修第一册第五章，必修第二册第六章6.3.3结束.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据向量加法的坐标运算，即可求解．【详解】因为，所以.故选：B.2.下列各角中，与终边相同的角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据已知角和选项中的角的度数的差是否为的整倍数即可判断.【详解】对于A项，因不是的整倍数，故A项错误；对于B项，因不是的整倍数，故B项错误；对于C项，因，故C项正确；对于D项，因不是的整倍数，故D项错误.故选：C.3.如图，为的边上的中线，且，那么为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由为中点，则，根据平面向量基本定理即可求解.【详解】由，所以，故选：A.4.一个扇形的弧长和面积的数值都是6，则这个扇形圆心角的弧度数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据扇形的面积及弧长公式求解即可.【详解】设圆心角为，则面积，弧长，联立解得.故选：B.5.已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】由不共线的两个非零向量才可以作为基底，结合共线定理对各项逐一判断.【详解】对于A，因为，所以与共线，不能作为基底；对于B，设，则，解得，所以与共线，不能作基底；对于C，设，则，即：，此时无解，所以与不共线，可以作为基底；对于D，设，则，即：，解得，所以与共线，不能作为基底；故选：C.6.对于任意三个向量，下列命题中正确的是（）A.若则B.C.D.若满足，且与反向，则【答案】C【解析】【分析】根据向量共线的定义，向量线性运算的几何意义，逐项判断即可.【详解】对于A，由于零向量与任意向量均共线，则当时，不确定的关系，故A错误；对于B，显然若时，，故B错误；对于C项，根据三角形三边关系及向量加法的三角形法则知，当且仅当两向量共线同向时取得等号，故C正确；对于D项，由向量的定义知，向量不能比大小，故D错误.故选：C.7.已知向量在向量上的投影向量为，且，则的值为（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】借助题目条件可得，再根据向量模长与向量平方的关系计算即可得.【详解】由题意可得，又，故，则.故选：D.8.已知函数，若，则（）A.B.CD.【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式化简，利用当时，，最后根据函数在的单调性即可判断.【详解】易知函数是偶函数，且函数在上单调递减.，，，所以，，又，则，故.故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法错误的是（）A.B.单位向量的方向相同或相反C.零向量没有大小，没有方向D.平面内的单位向量是唯一存在的【答案】BCD【解析】【分析】根据零向量和单位向量以及相反向量的定义即可判断.【详解】对于A：由相反向量的定义有，故A正确；对于B：单位向量是模为1的向量，方向不一定相同，故B错误；对于C：零向量的大小为0，方向任意，故C错误；对于D：由单位向量的定义有大小为1，方向任意，所以平面内单位向量是不唯一，故D错误；故选：BCD.10.下列表达式中，正确的是（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】根据三角函数的公式即可逐项判断.【详解】，故A正确；，故B正确；，故C错误；，故D错误.故选：AB.11.已知函数的部分图象与轴交于点，与轴的一个交点为，如图所示，则下列说法正确的是（）A.B.的最小正周期为6C.的图象关于直线对称D.在上单调递减【答案】BC【解析】【分析】根据函数部分图象与坐标轴交点坐标代入计算可得，即A正确，求出函数解析式可得最小正周期为，B正确；代入检验即可判断C正确，利用整体代入解不等式可知在,上单调递减，可得D错误.【详解】对于A，因为函数的图象与轴交于点，所以，又，所以，A错误；对于B，因为的图象与轴的一个交点为，即，所以.又，解得，所以，所以，求得的最小正周期为，B正确；对于C，，所以是的一条对称轴，C正确；对于D，令，解得，所以函数在，上单调递减，D错误.故选：BC三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则点的坐标是__________.【答案】【解析】【分析】设，由坐标运算有，对应，即可求解.【详解】设，因，解得故点的坐标是.故答案为：.13.如图，某港口某天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此图象可知，这段时间水深（单位：）的最小值为__________.【答案】2【解析】【分析】根据图象，利用正弦型函数的最值求解.【详解】据图象可知，这段时间水深最大值为，所以，故这段时间水深的最小值为.故答案为：2.14.若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积比为__．【答案】【解析】【分析】连接AM，BM，延长AC至D使AD=3AC，延长AM至E使AE=5AM，连接BE，则四边形ABED是平行四边形，利用三角形ABD面积=三角形ABE面积=平行四边形ABED面积一半，即可求得结论．【详解】是所在平面内的一点，连接，

延长至使，延长至使，

如图示：，

连接，则四边形是平行四边形（向量和向量平行且模相等）

由于，所以，所以在平行四边形中，三角形ABD面积=三角形ABE面积=平行四边形ABED面积一半

故与的面积比故答案为【点睛】本题考查向量知识的运用，考查三角形面积的计算，解题的关键是确定三角形的面积，属于中档题．四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤.15.已知向量满足，且的夹角为，（1）求；（2）当向量与垂直时，求实数的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据数量积的定义即可求解；（2）向量与垂直，即，利用数量积运算即可求解.【小问1详解】由已知得.【小问2详解】向量与垂直，，，解得.16.（1）求值：；（2）已知都是锐角，，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由两角和的正切公式计算即可；（2）由同角的三角函数结合两角和的正弦计算即可；【详解】（1）原式.（2）由是锐角，得.因为是锐角，所以.又因为，所以，所以.17.（1）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，求实数的值；（2）若，求的值.【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义即可求解；（2）利用诱导公式和同角三角函数商的关系即可求解.【详解】（1）根据三角函数定义可得.若时，符合题意；若时，则可化简得，解得.综上，或.（2）由，得，所以.18.已知函数(，，)的部分图象如图所示.（1）求解析式和对称中心坐标；（2）将的图象向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数的图象，求函数在上的最值及对应的的值.【答案】（1），对称中心的坐标为，；（2）时，取得最小值；时，取得最大值.【解析】【分析】（1）由图象可求，，，利用周期公式可得，由图象及五点法作图可求，即可得解的函数解析式，令，，解得的对称中心的坐标．（2）由已知的图象变换过程可得，结合的范围，可求，，利用正弦函数的图象和性质即可计算得解．【详解】解：（1）由图象可知，可得：，，又由于，可得：，所以，由图象及五点法作图可知：，所以，所以.令，，得，，所以的对称中心的坐标为，.（2）将的图象向左平移个单位，得到；再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到；将图象向上平移1个单位，得到，即，因为，所以，所以当，即时，取得最小值，当，即时，取得最大值.19.如图，在中，，，与相交于点M，设，，（1）试用，表示向量：（2）在线段上取一点E，在上取一点F，使得过点M，设，，求证：．【答案】（1）；（2）