陕西省渭南市2025届高三下学期3月二模试题 数学 含解析

2025届高三联考联评模拟试题（三）数学注意事项：1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效，4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收.第I卷（选择题共58分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为，集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由集合的补集、交集运算即可求解.【详解】由，可得：，所以，故选：D2.已知向量，若，则实数（）A B.4 C. D.【答案】B【解析】【分析】由向量平行的坐标表示求解．【详解】由题意，又，所以，解得，故选：B．3.下列双曲线，焦点在轴上且渐近线方程为的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由双曲线的焦点在y轴即可排除AB，再分别求出CD选项的渐近线方程即可得答案.【详解】因为双曲线的焦点在y轴，故AB错误；对于C，双曲线的渐近线方程为，故C错误；对于D，双曲线的渐近线方程为，故D正确.故选：D.4.已知函数为奇函数，则的值是（）A.3 B.1或3 C.2 D.1或2【答案】C【解析】【分析】根据奇函数在原点处有意义则求出的值，再将的值代回原函数检验即可得解.【详解】因为为奇函数，所以，解得或.当时，，，故不合题意，舍去；当时，，，故符合题意.故选：C.5.下列函数中，最小正周期为，且在上单调递增的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据正弦函数、余弦函数、正切函数的周期性与单调性判断．【详解】选项A中，选项B中，选项C中，选项D中，排除AB，时，，递减，则递增，时，，递增，则递减，故选：C．6.在中，，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式可得答案.【详解】，由余弦定理得，解得，舍去，则的面积为.故选：A.7.某同学掷一枚正方体骰子5次，记录每次骰子出现的点数，统计出结果的平均数为2，方差为0.4，可判断这组数据的众数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】设五个点数为，由平均数，方差计算公式可分析出，5个点数不可能全为2，然后通过列举可得答案.【详解】不妨设五个点数为，由题意平均数为2，方差为0.4，知.可知五次的点数中最大点数不可能为4，5，6.五个点也不可能都是2，则五个点数情况可能是3，3，2，1，1，其方差为，不合题意若五个点数情况为3，2，2，2，1，其方差为，符合题意，其众数为2.故选：B.8.已知函数的大致图象如图所示，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定的图象可得是函数的极小值点，求出值，再解不等式.【详解】观察图象知，是函数的极小值点，求导得，则，解得，当时，；当时，，则是函数的极小值点，，，不等式，解得，所以不等式的解集为.故选：B二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知是复数，则下列说法正确的是（）A.若，则是实数B.若为虚数，则是虚数C.对于任意的复数都是实数D.【答案】BCD【解析】【分析】设，，代入进行验证．【详解】设，选项A，若，则，不一定是实数，A错；选项B，是虚数，则，，但，是虚数，B正确；选项C，是实数，C正确；选项D，设，则，D正确；故选：BCD．10.已知直线，圆和抛物线，则（）A.直线过抛物线的焦点B.直线与圆相交C.直线被圆截得的最短弦长为D.圆与抛物线的公共弦长为【答案】B【解析】【分析】对于A将抛物线的焦点代入直线方程即可判断，对于B求出直线的定点代入圆的方程即可判断，对于C圆心到直线的距离公式有即可得弦长即可分析，对于D将圆的方程与抛物线方程联立即可求得交点，由两点间的距离公式即可求解.【详解】对于A：抛物线的焦点为代入直线得，所以直线过抛物线的焦点，当时，直线不过抛物线线的焦点，故A错误；对于B：直线，令得，将代入圆有，所以点在圆的内部，所以直线与圆相交，故B正确；对于C：直线的定点为，圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交弦长为，当时，，故C错误；对于D：由或（舍去）当时，，所以圆与抛物线的公共弦长为，故D错误，故选：B.11.数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一､下列说法正确的是（）A.曲线有4条对称轴B.曲线内有9个整点（横、纵坐标均为整数的点）C.若是曲线上的任意一点，则的最大值为5D.设直线与曲线交于两点，则的最大值为4【答案】ABD【解析】【分析】求出曲线对称轴判断A；求出曲线的范围并求出整点判断B；令，与曲线的方程联立，利用判别式求出最大值判断C；联立直线与曲线方程，利用弦长公式，结合基本不等式求出最大值判断D.【详解】对于A，点是曲线上任意点，显然都满足曲线的方程，因此曲线关于轴、轴、直线、直线都对称，A正确；对于B，由，得，解得，同理，因此曲线在两组平行直线所围成的正方形及内部，而点中，任意一点坐标都使，因此曲线内有9个整点，B正确；对于C，由曲线的对称性知，当位于第二象限时，取得最大值，此时方程为，令，将代入，得，故，解得，因此的最大值为，C错误；对于D，由消去得，解得，则，当且仅当时取等号，D正确.故选：ABD【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：①几何法，若题目条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；②代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．第II卷（非选择题共92分）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则__________.【答案】【解析】【分析】由两角和的余弦公式及正切二倍角公式即可求解；【详解】由，可得：，所以，所以，故答案为：13.已知正三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为__________.【答案】【解析】【分析】取正三棱锥的底面中心为，设外接球的球心为，先由三棱锥的体积求出正三棱锥的高，再由勾股定理求出球的半径，最后求出表面积即可.【详解】设正三棱锥的底面中心为，外接球的球心为，显然球心在直线上.设正三棱锥的高为，外接球的半径为，由，可得正三角形的面积为，所以，解得，球心到底面的距离为，，由，得，得，所以外接球的表面积为.故答案为：.14.如图，有一个触屏感应灯，该灯共有9个灯区，每个灯区都处于“点亮”或“熄灭”状态，触按其中一个灯区，将导致该灯区及相邻（上、下或左、右相邻）的灯区改变状态.假设起初所有灯区均处于“点亮”状态，若从中随机先后按下两个不同灯区，则灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为__________.【答案】##0.25【解析】【分析】根据相邻原则把9个灯区分为三类：第一类灯区，第二类灯区，第三类灯区，然后由题意分别按各类中的两个保持灯区最终仍处于“点亮”状态，由此求得方法数，再求得总的方法数，最后由概率公式计算概率．【详解】从9个灯区中随机先后按下两个灯区，共有种按法，与相邻的灯区为，与相邻的灯区为，将9个灯区分为三类：第一类灯区，第二类灯区，第三类灯区，若要使得灯区最终仍处于“点亮”状态，则需在同类灯区中随机先后按两个不同灯区．①若先后按下的是灯区中的两个，则灯区最终仍处于“点亮”状态，共有种按法；②若先后按下的是灯区中的两个，则灯区最终仍处于“点亮”状态，共有种按法；③若先后按下的是灯区中的两个，则灯区最终仍处于“点亮”状态，共有种按法，所以灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为．故答案为：【点睛】关键点点睛：把9个灯区分成、、三类是求解问题的关键.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）求函数在上的最值.【答案】（1）（2）最小值为，最大值为【解析】【分析】（1）求出导函数后计算，再求得，可得切线方程；（2）由确定增区间，由确定减区间后得极值点，计算出极值与端点处函数值比较后得最值．【小问1详解】，，，所求切线方程为.【小问2详解】由（1）知，令，得或；令，得.当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增.又，函数在上的最小值为，最大值为.16.甲、乙两学校举行羽毛球友谊赛，在决赛阶段，每所学校派出5对双打（两对男双、两对女双、一对混双）进行比赛，出场顺序抽签决定，每场比赛结果互不影响，先胜三场（没有平局）的学校获胜并结束比赛.已知甲学校混双获胜的概率是，其余4对双打获胜的概率均是.（1）若混双比赛抽签排到最后，求甲学校在前3场比赛结束就获胜的概率；（2）求混双比赛在前3场进行的前提下，甲学校前3场比赛结束就获胜的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由独立事件乘法公式即可求解；（2）由条件概率求解即可；【小问1详解】若混双比赛抽签排到最后，则甲学校在前3场比赛中获胜的概率均是.所求概率为.【小问2详解】设事件表示“混双比赛在前3场进行”，事件表示“甲学校前3场比赛结束就获胜”，则，，.17.如图，三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，为的中点，，侧面底面.（1）证明：；（2）当时，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用面面垂直求证平面即可；（2）求证即可建立坐标系，再分别求两个平面的法向量.【小问1详解】证明：等边三角形中，为中点，，侧面底面，侧面底面，又平面平面，又平面.【小问2详解】在中，，，.由（1）知，平面，又平面，两两垂直，以分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则不妨取，则，平面的一个法向量为.设平面的法向量为，则不妨取，则，平面的一个法向量为.记平面与平面的夹角为，则，平面与平面夹角的余弦值为.18.已知椭圆的上顶点为，离心率为是椭圆上不与点重合的两点，且.（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线恒过定点；（3）求面积的最大值.【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）由题意得到的方程组，求解即得；（2）设直线的方程为：，联立椭圆方程，由韦达定理，结合，即可求得的值，从而得解；（3）由弦长公式，结合三角形面积公式及函数单调性即可求解.【小问1详解】依题意有解得，椭圆的方程为.【小问2详解】如图，当直线的倾斜角为时，显然不合题意；设直线的方程为：.联立消去得.，即..，又，，，即，，解得或（舍）.直线的方程为：，即直线过定点.【小问3详解】点到直线的距离，，的面积令，则，，因函数在上单调递减；在上单调递增，所以当时，取得最小值为，即，故，即面积的最大值为.【点睛】关键点点睛：（2）题的关键在于根据，利用向量点乘和韦达定理配合，推理得到，有一定的运算量；（3）题的关键在于利用弦长公式和面积公式求得的表达式后，需要换元，将问题转化成利用对勾函数单调性求解的最值问题.19.若是递增数列，数列满足对任意的，存在，使得，则称是的“分割数列”.（1）设，证明：数列是数列的“分割数列”；（2）设是数列的前项和，，判断数列是否是数列的“分割数列”，并说明理由；（3）设且，数列的前项和为，若数列是的“分割数列”，求实数的取值范围.（附：当时，若，则）【答案】（1）证明见解析（2）不是，理由见解析（3）【解析】【分析】（1）由新定义，可得，求得，即可得证；（2）运用等差数列的求和公式，结合新定义，即可判断；（3）由题意，可得，结合新定义，加以恒成立思想，解不等式即可得到范围．【小问1详解】若是递增数列，且，则，，且，即.，，即，对任意的，存在，使得.是的“分割数列”.【小问2