河北省沧州市运东五县2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题（含答案）

24-25年度高一期中考试数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a=(1,2)，b=(x,4)，若向量a⊥b，则A.2 B.−2 C.8 D.−82.设复数z满足z⋅i=1−i，则z的虚部为(

)A.1 B.−1 C.i D.−i3.下列选项中的三角形绕直线l旋转一周，能得到如图所示几何体的是(

)

A. B. C. D.4.在高速公路建设中经常遇到开通穿山隧道的工程，如图所示，A，B，C为某山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分别为α=60°，β=45°，γ=30°，现需要沿直线AC开通穿山隧道DE，已知BC=52，AD=463，EB=2A.52+56 B.25.设A，B，C是△ABC的内角，z=(cos A+isin A)÷(cos B+isin B)·(cos C+isin C)A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.形状不能确定6.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=2，A.3

B.4

C.6

D.97.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为(

)A.334 B.2338.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ccosA=(2b−a)cosC.若A=π12，点D在边A.2+33π B.4+3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列有关复数的说法中(其中i为虚数单位)，正确的是(

)A.2+i>1+i

B.复数z=3−2i的虚部为2i

C.复数z为实数的充要条件是z=z

D.已知复数z满足|z|=2，则复数z对应点的集合是以O为圆心，以210.如图，在正方体ABCD−A1B1C1A.D1C //平面A1ABB1 B.A1D1与平面BCD1相交11.如图，已知直线l1/​/l2，点A是l1，l2之间的一个定点，点A到l1，l2的距离分别为1，2.点B是直线l2上一个动点，过点A作AC⊥AB，交直线l1A.AG=13(AB+AC) B.△GAB面积的最小值是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.如图，已知，，垂足为A、B，若∠APB=60∘，则二面角α−l−β的大小是

．

13.设复数z1，z2满足|z1|=|z2|=214.剪纸艺术是一种中国传统的民间工艺，它源远流长，经久不衰，已成为世界艺术宝库中的一种珍藏．某学校为了丰富学生的课外活动，组织了剪纸比赛，小明同学在观看了2022年北京冬奥会的节目《雪花》之后，被舞台上一片片漂亮的“雪花”所吸引，决定用作品“雪花”参加剪纸比赛．小明的参赛作品“雪花”如图1所示，它的平面图可简化为图2的平面图形，该平面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，其中，P为该平面图形上的一个动点(含边界)，六边形ABCDEF为正六边形，DC=4CK=4JK=8，CK⊥JK，▵HIJ为等边三角形，则AB⋅AP的最大值为

．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(13分)设复数z1=1−ai(a∈R)，z2=3−4i．

(1)若z1+z2是实数，求z16.(13分)已知向量a=3,1，(1)求2(2)求2a+b与(3)若a+λb与λa+17.(15分)如图，四棱锥P−ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．

(1)求证：平面AEC⊥平面PDB；

(2)当PD=2AB，且E为PB的中点时，求AE与平面18.(15分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2=ac(1)求证：sin B=(2)求cos B的值．19.(17分)如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P(1)证明：AA1/​/MN(2)设O为△A1B1C1的中心，若AO/​/平面EB

答案和解析1.D

2.B

3.B

4.D

5.C

6.B

7.A

8.B

【解答】

解：根据正弦定理ccosA=(2b−a)cosC，可化为sinCcosA=(2sinB−sinA)cosC，即sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosC，则sin(A+C)=2sinBcosC.

由于A+B+C=π，故sin(A+C)=在△BCD中，由余弦定理得CD2=BC2+BD2−2BC⋅BD⋅cosB=12+(3)2−2×1×3×(−9.CD

【解析】解：对于A，两个复数不是实数时不能比较大小，故A错误；

对于B，复数z=3−2i的虚部为−2，故B错误；

对于C，设z=a+bi(a,b∈R)，则z=a−bi，

由z=z，得b=0，所以复数z为实数，反之也成立，故C正确；

对于D，设z=a+bi(a,b∈R)，|z|=2，则a2+b2=4，

故复数z在复平面内对应点的集合是以O10.AD

解：对于A，因为平面A1ABB1/​/平面D1C1C，而D1C⊂平面D1C1C，

所以D1C/​/平面A1ABB1，所以A正确；

对于B，因为A1D1/​/BC，D1∈平面BCD1，所以A1D1⊂平面BCD1，所以B错误；

对于C11.ABC

解：因为GA+GB+GC=0，所以G为△ABC的重心，可得AG=13(AB+AC)，A正确;

若题图中过A点的直线DE垂直于两条直线，则AE=1，AD=2，

设∠DAB=θ，则AB=2cosθ，AC=1sinθ，

∴△ABC面积为S=12AB⋅AC=2sin2θ，

∵θ∈(0,π2)

∴当且仅当θ=π4时，sin2θ=1达到最大值1，

此时△ABC面积的最小值为2，

因为S△GAB=13S△ABC，所以△GAB面积的最小值是23，B正确;

因为AG=13(AB+AC)，所以AG2=12.120°

解：如图所示，平面PAB与l相交于点O，连接OA，OB，

于点A，OA⊂α，l⊂α，

∴PA⊥l，PA⊥OA，

同理可得PB⊥l，PB⊥OB，

又，PA⊂平面PAOB、PB⊂平面PAOB，

平面PAOB，又OA、OB⊂平面PAOB，

，，

∴∠AOB是二面角α−l−β的平面角，

在四边形PAOB中，∠APB=60°，∠PAO=∠PBO=90°，

故答案为：120°．13.23

解：方法一：设z1=x1+y1i(x1,y1∈R)，z2=x2+y2i(x2,y2∈R)，则由|z1|=|z2|=2，得x12+y12=14.112+16解：AB⋅AP可以是AB与AP在AB上投影向量的数量积，

如图，

把题中图2的平面图形顺时针旋转30​∘，设正六边形ABCDEF连接CH，CJ，连接FI，交HJ于点L，易得O，C在FI上，HJ⊥CI．过I作IM⊥AB，垂足为点M，过C作CN⊥AB，垂足为点N．由题意得CH=CJ=22，∠LCJ=5π12，所以所以IL=32HJ=3+所以MN=CI=2+23.所以AM=AB+BN+NM=14+2所以当P与I重合时，(AB故答案为112+1615.解：(1)由z1=1−ai，z2=3−4i，得z1+z2=4−(4+a)i，而z1+z2是实数，

于是4+a=0，解得a=−4，

所以z1⋅z216.解：(1)由题意可得a=3,1，b=2,−1，所以2a+b=82+12=65;

(2)由(1)得，2a+b=8,1，2a+b=65，b=22+(−1)2

17.(Ⅰ)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，

∵PD⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，

∴PD⊥AC，又PD⋂BD=D，PD，BD⊂平面PDB，

∴AC⊥平面PDB，

且AC⊂平面AEC，

∴平面AEC⊥平面PDB；

(Ⅱ)解：设AC∩BD=O，连接OE，

由(Ⅰ)知AC⊥平面PDB于O，

∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，

∴O，E分别为DB、PB的中点，

∴OE/​/PD，OE=12PD，

又∵PD⊥底面ABCD，

∴OE⊥底面ABCD，AO⊂底面ABCD，OE⊥AO，

在Rt△AOE中，OE=12PD=22AB=AO，

18.解：(1)∵在△ABC中，有sinC=sin(A+B)，

∴sin(B−A)+sin(B+A)=2sinA，

即2sinBcosA=2sinA，

当A=π2时，等式显然不成立，所以A≠π2，

∴sinB=tanA；

(2)因为b2=ac，

由正弦定理得sin2B=sinAsinC，

由(1)得sinBcosA=sinA，

∴sin2B=sinBcosAsinC，19.(1)证明：∵M、N分别为BC，B1C1∴四边形BB∴BB1/​/MN，又∵底面为正三角形，N为B1∴A1N⊥B1C1MN⊂平面∴B1∴平面A(2)连接PN，

∵三棱柱上下底面