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第6.4节平面图离散数学讲授：李小南配套教材：李小南，易黄建，乔胜宁，离散数学，电子工业出版社，2025欧拉定理及应用定义5.4.1一个图G可以图示在平面上,使得任何两边除了顶点外无公共交点,则称图G是可平面图(planargraph).G的这种图示也称为G的一个平面嵌入(planarembedding).一个平面图(planegraph)是指一个可平面图的一个特定的平面嵌入.平面图将平面分成许多区域,这些由边围成的区域称为面(face).

注欧拉定理最早是以凸多面体形式给出的.虽然我们是在图论部分给出的欧拉定理,但还是要指出欧拉公式实际上反应了一种拓扑性质.而欧拉定理的推广也是拓扑学中非常重要的结论之一.拓扑学和图论有着密切的联系,前面提到的图论起源问题的格尼斯堡七桥问题也被认为是拓扑学的起源.关于欧拉定理的精彩介绍推荐读者参阅:王敬庚,直观拓扑(第三版).北京:北京师范大学出版社,2010.另外对拓扑学感兴趣的同学,推荐:M.A.Armstrong,BasicTopology,Springer,1983(有中译本).该书从欧拉定理开始,对拓扑学有引人入胜的介绍.

利用欧拉定理,我们可以给出平面图边数的一个上界

可平面图的刻画

例5.3.2证明:Peterson图(左图)不是可平面图.

例5.3.2

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