离散数学 课件6.1-代数系统

第六章代数结构离散数学讲授：李小南配套教材：李小南，易黄建，乔胜宁，离散数学，电子工业出版社，2025目录CONTENTS6.16.26.36.46.5代数系统子群和商群循环群和对称群群同态及应用环和域6.1代数系统

6.1.1

代数运算数、矩阵、函数、向量、多项式等交换律、结合律、分配律等定义6.1.1设X是一个集合，则到X的一个映射“”称为X上的一个代数运算或二元运算.例6.1.1设，定义，则是上的二元运算.定义6.1.2设X是一个集合，则到X的一个映射“”称为X上的一个n元运算.例6.1.3()和()都是代数系统.定义6.1.3设X是一个集合，X及其上的若干个代数运算一起称为一个代数系统.定义6.1.4集合X到自身的映射称为X的一个变换，若此映射是单射（满射或双射），则称此变换是单射变换（满射变换或双射变换）.每个元素与自身对应的变换显然是一个双射变换，称为恒等变换.定义6.1.5有限集X

=

{1,2,…,n}的双射变换称为一个置换.上面的常用符号表示为显然集合X的置换和X的排列是一一对应的，故X共有P(n,n)=n!个置换.例如当n=3时，X={1,2,3}共有6个置换，分别为分别用T(X)和S(X)表示X上的所有变换和置换构成的集合，定义它们上的运算为映射的合成，即，表示两个映射的合成，称为变换的乘法.我们通常省去运算符，仅记为.进而，我们可以称代数系统T(X)和代数系统S(X).两个例子如下：映射的概念使两个集合联系了起来，对于代数系统来说，我们希望映射能够“保持运算”.定义6.1.6设和是两个代数系统，f是X到Y的一个映射.如果，有，则称f是两个代数系统之间的同态映射.同态的双射称为同构映射.如果两个代数系统之间存在同构映射，则称两个代数系统是同构的.定义6.1.7设X是非空集合，和是X上的两个二元运算，如果(1)交换律，.(2)结合律，(3)吸收律,成立，则称是一个格.并运算(最小上界)交运算(最大下界)定义6.1.8，若格满足分配律：则称是分配格.若格中存在，使得则称是有界格.对于有界格，若X上的一元运算′满足则称是有补格，称为x的补.6.1.2

格和群例6.1.4设X={a,b,c,d},X上的两个二元运算和的定义分别如下：可以验证，是一个格.定义偏序关系为：于是有，因此格的Hasse图如下图所示.考虑X上的一元运算，如下表所示：可验证此一元运算是X上的补运算(0=a,1=d).另外，容易验证是分配格.定义6.1.9如果X上的两个二元运算和和一元运算′满足定义6.1.7和定义6.1.8中的所有条件，则称代数系统′为布尔代数(或布尔格).定义6.1.10设f是布尔代数′和′之间的一个双射，如果f保持并、交和补运算，即则称f是布尔代数′和′之间的一个同构映射，称这两个布尔代数是同构的.例6.1.6设Y={1,2},考虑幂集格(参考例1.4.5)，显然例6.1.4中的布尔代数′和布尔格是同构的(参考书第171页图6.1.1).注意若按照代数系统的表示方法，应该记为

，其中分别表示集合的并、交、补运算.定义6.1.11设是一个代数系统，若二元运算满足(1)结合律：(2)单位元：存在，使得(3)逆元：存在，使得对于群X，若|X|=n(n为正整数)，则称X为有限群，且称n为群X的阶；否则称其为无限群.例6.1.7代数系统结合律单位元逆元交换律是否构成群√0−x√交换群√11/x√交换群√1

√不是群√

√不是群则称是一个群.定义中的e称为群的单位元，称为x的逆元.若还满足(4)交换律：则称是一个交换群或Abel群.幺半群半群例6.1.10

(一般线性群)

和分别是全体n×n实可逆矩阵和全体n×n实矩阵构成的集合.代数系统结合律单位元逆元交换律是否构成群√零矩阵√√交换群√单位矩阵

幺半群√零矩阵√√交换群√单位矩阵√

一般线性群注意这里的可换为复数域或有理数域.例6.1.11

(n次单位根群)所谓n次单位根是指方程的n个复数解，所有n次单位根及复数的乘法运算构成一个交换群，称为n次单位根群.例6.1.12

(n元对称群)考虑集合X(|X|=n)的所有置换构成的代数系统.设是X的一个置换，则的逆映射和复合就是恒等变换.因为映射的复合满足结合律，所以集合X上的所有置换构成一个n元对称群，记为.n元对称群的子群称为置换群，我们以为例.X={1,2,3}共有6个置换，分别为以为例，它把2变为3，把3变为2，称其为一个2-轮换.由于1在作用下未变，因此可以用(23)表示这个置换