第5章 分式与分式方程 专项练-利用分式的运算求值(含答案)

阶段专项提分练五利用分式的运算求值化简分式后，直接代入求值【典例1】(2020·黔西南州中考)先化简，再求值：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a＋1)＋\f(a＋2,a2－1)))÷eq\f(a,a－1)，其中a＝eq\r(5)－1.【解析】原式＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2（a－1）,（a－1）（a＋1）)＋\f(a＋2,（a－1）（a＋1）)))·eq\f(a－1,a)＝eq\f(3a,（a－1）（a＋1）)·eq\f(a－1,a)＝eq\f(3,a＋1).当a＝eq\r(5)－1时，原式＝eq\f(3,\r(5)－1＋1)＝eq\f(3\r(5),5).【变式1】先化简，再求值：eq\f(a,a2－2a＋1)÷eq\f(1,a－1)，其中a＝3.【解析】原式＝eq\f(a,（a－1）2)·(a－1)＝eq\f(a,a－1).当a＝3时，原式＝eq\f(3,3－1)＝eq\f(3,2).【变式2】化简求值：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,a－1)))÷eq\f(a－3,a2－2a＋1)，其中a＝－2.【解析】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,a－1)))÷eq\f(a－3,a2－2a＋1)＝eq\f(a－1－2,a－1)·eq\f(（a－1）2,a－3)＝a－1，将a＝－2代入得：原式＝－2－1＝－3.【变式3】先化简，再求值：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x＋1)－1))÷eq\f(x2－x,x＋1)，其中x＝eq\r(2)＋1.【解析】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x＋1)－1))÷eq\f(x2－x,x＋1)＝eq\f(1－（x＋1）,x＋1)·eq\f(x＋1,x（x－1）)＝eq\f(1－x－1,x（x－1）)＝eq\f(－x,x（x－1）)＝eq\f(1,1－x)，当x＝eq\r(2)＋1时，原式＝eq\f(1,1－\r(2)－1)＝－eq\f(\r(2),2).【变式4】求代数式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x－1,x－1)－x－1))÷eq\f(x－2,x2－2x＋1)的值，其中x＝eq\r(2)＋1.【解析】原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x－1,x－1)－\f(x2－1,x－1)))÷eq\f(x－2,（x－1）2)＝eq\f(－x2＋2x,x－1)÷eq\f(x－2,（x－1）2)＝eq\f(－x（x－2）,x－1)·eq\f(（x－1）2,x－2)＝－x(x－1)，当x＝eq\r(2)＋1时，原式＝－(eq\r(2)＋1)(eq\r(2)＋1－1)＝－(eq\r(2)＋1)×eq\r(2)＝－2－eq\r(2).【变式5】先化简，再求值：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1－\f(x2,x＋1)))÷eq\f(x,x2＋2x＋1)，其中x＝3.【解析】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1－\f(x2,x＋1)))÷eq\f(x,x2＋2x＋1)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(（x－1）（x＋1）,x＋1)－\f(x2,x＋1)))·eq\f(（x＋1）2,x)＝eq\f(x2－1－x2,x＋1)·eq\f(（x＋1）2,x)＝－eq\f(x＋1,x).当x＝3时，原式＝－eq\f(3＋1,3)＝－eq\f(4,3).化简分式后，整体代入求值【典例2】先化简，再求值：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2－1,a2－2a＋1)－\f(1,1－a)))÷eq\f(2,a2－a)，其中a满足a2＋2a－15＝0.【解析】原式＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(（a＋1）（a－1）,（a－1）2)＋\f(1,a－1)))÷eq\f(2,a（a－1）)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋1,a－1)＋\f(1,a－1)))·eq\f(a（a－1）,2)＝eq\f(a＋2,a－1)·eq\f(a（a－1）,2)＝eq\f(a（a＋2）,2)＝eq\f(a2＋2a,2).∵a2＋2a－15＝0，∴a2＋2a＝15，则原式＝eq\f(15,2).【变式1】已知y＝eq\f(2,x)，且x≠y，求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x－y)＋\f(1,x＋y)))÷eq\f(x2y,x2－y2)的值．【解析】原式＝eq\f(2x,（x＋y）（x－y）)÷eq\f(x2y,x2－y2)＝eq\f(2x,x2－y2)×eq\f(x2－y2,x2y)＝eq\f(2,xy).∵y＝eq\f(2,x)，∴原式＝eq\f(2,x·\f(2,x))＝1.解法2：同解法1，得原式＝eq\f(2,xy).∵y＝eq\f(2,x)，∴xy＝2，∴原式＝eq\f(2,2)＝1.【变式2】化简求值：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－1,a)－\f(a－2,a＋1)))÷eq\f(2a2－a,a2＋2a＋1)；其中a2－a－1＝0.【解析】原式＝eq\f(（a＋1）（a－1）－a（a－2）,a（a＋1）)·eq\f(（a＋1）2,a（2a－1）)＝eq\f(2a－1,a（a＋1）)·eq\f(（a＋1）2,a（2a－1）)＝eq\f(a＋1,a2).∵a2－a－1＝0.∴a2＝a＋1，∴原式＝eq\f(a＋1,a＋1)＝1.【变式3】先化简，再求值：m－eq\f(m2－1,m2＋2m＋1)÷eq\f(m－1,m)，其中m满足：m2－m－1＝0.【解析】原式＝m－eq\f(（m＋1）（m－1）,（m＋1）2)·eq\f(m,m－1)＝m－eq\f(m,m＋1)＝eq\f(m2,m＋1).∵m2－m－1＝0，m2＝m＋1，∴原式＝eq\f(m＋1,m＋1)＝1.化简分式后，选择合适的值代入求值【典例3】(2021·广安中考)先化简：eq\f(a2－2a＋1,a2－1)÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2a,a＋1)))，再从－1，0，1，2中选择一个适合的数代入求值．【解析】原式＝eq\f(（a－1）2,（a＋1）（a－1）)÷eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a（a＋1）,a＋1)－\f(2a,a＋1)))＝eq\f(（a－1）2,（a＋1）（a－1）)×eq\f(a＋1,a（a－1）)＝eq\f(1,a).由原式可知，a不能取1，0，－1，∴a＝2时，原式＝eq\f(1,2).【变式1】化简式子eq\f(x2－2x,x2)÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(4x－4,x)))，从0，1，2中取一个合适的数作为x的值代入求值．【解析】原式＝eq\f(x（x－2）,x2)÷eq\f(x2－4x＋4,x)＝eq\f(x（x－2）,x2)·eq\f(x,（x－2）2)＝eq\f(1,x－2).∵x≠0，2，∴当x＝1时，原式＝－1.【变式2】先化简，再求值：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(3－a2,a－3)))÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2－1,a－3)))，自选一个a值代入求值．【解析】原式＝eq\f(a（a－3）＋3－a2,a－3)·eq\f(a－3,（a＋1）（a－1）)＝eq\f(－3（a－1）,a－3)·eq\f(a－3,（a＋1）（a－1）)＝－eq\f(3,a＋1).当a＝0时，原式＝－3.【变式3】先化简，再选一个合适的数代入求值：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1－\f(7x－9,x)))÷eq\f(x2－9,x).【解析】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1－\f(7x－9,x)))÷eq\f(x2－9,x)＝eq\f(x（x＋1）－（7x－9）,x)·eq\f(x,（x＋3）（x－3）)＝eq\f(x2＋x－7x＋9,（x＋3）（x－3）)＝eq\f(（x－3）2,（x＋3）（x－3）)＝eq\f(x－3,x＋3).当x＝2时，原式＝eq\f(2－3,2＋3)＝－eq\f(1,5).【变式4】先化简：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－1,x－2)－\f(x＋2,x)))÷eq\f(4－x,x2－4x＋4)，然后选择一个合适的x值代入求值．【解析】原式＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x（x－1）,x（x－2）)－\f(（x－2）（x＋2）,x（x－2）)))×eq\f(（x－2）2,4－x)＝eq\f(4－x,x（x－2）)·eq\f(（x－2）2,4－x)＝eq\f(x－2,x)，当x＝1时，原式＝－1.(答案不唯一)【变式5】先化简，再求值：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x－1)－\f(1,x＋1)))÷eq\f(x＋2,x2－1)，然后从－1，0，1中选择适当的数代入求值．【解析】原式＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4