2025年中考数学考前冲刺函数动点问题压轴练习题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025年中考数学考前冲刺函数动点问题压轴练习题1．已知二次函数经过点，与x轴交于点，点，点D为抛物线的顶点．(1)求此二次函数解析式；(2)连接，求证：是直角三角形；(3)若点P是直线上方抛物线的一动点，当面积取最大值时，求点P的坐标．2．如图1，抛物线与x轴交于，两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点是抛物线的顶点，求的面积；(3)如图2，若是抛物线上位于直线下方的一个动点，设点的横坐标为，当为何值时，的面积最大？最大值是多少？3．抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．(1)若点，求的值；(2)如图，在（1）的条件下，点是抛物线上一点，点为直线下方抛物线上一动点，求四边形的面积为最大值及此时点的坐标；(3)若点是抛物线对称轴上一点，且点的纵坐标为，作直线，将直线向下平移个单位长度得到直线，若直线与抛物线有且仅有一个交点．①直接写出关于的函数关系式；②直接写出当时的取值范围．4．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点．已知抛物线经过两点，且与轴交于另一点．(1)求二次函数的表达式；(2)若是直线上方抛物线上的一个动点（不与点重合），过点作轴于点，交直线于点，设点的横坐标为．①如图2，当为何值时，线段取最大值？②如图3，是抛物线上一点，点的横坐标为，过点作轴于点，是否存在？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，对称轴是直线，顶点为．

(1)求抛物线的表达式；(2)设抛物线的对称轴交线段于点，为第一象限内抛物线上一点，过点作轴的垂线，交线段于点，若四边形为平行四边形，求点的坐标；(3)设点是线段上的一动点，过点作，交于点．点从点出以每秒3个单位长度的速度沿线段向点运动，运动时间为（秒）．当以为边的是等腰直角三角形时，直接写出此时的取值．6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于，两点，与y轴交于点，是抛物线上的一个动点．(1)求该二次函数的解析式．(2)若点M在直线的下方，则当点M运动到什么位置时，的面积最大？并求出的面积的最大值．(3)若N是x轴上的一动点，是否存在点M，使以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．7．已知抛物线与x轴交于点点B两点，与y轴交于点，(1)求此抛物线的函数表达式；(2)点P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作轴，垂足为D，连接；①如图1，若点P在第三象限，且，求点P的横坐标；②如图2，直线交直线于点E，当点E关于直线的对称点落在y轴上时，直接写出点P的坐标．8．如图，抛物线与轴分别交于、两点（点在点的右边），与轴交于点．(1)如图1，点，顶点坐标为．①求二次函数的解析式；②点为抛物线上第四象限内一点，直线与相交于点，当时，求点的坐标；(2)如图2，、两点轴正半轴上，点为抛物线上位于第一象限内的一动点（在的右侧），过点、的直线交轴于点，过点、的直线交轴于点．当、两点的横坐标为时，试探究与之间的数量关系．9．如图，已知直线与x轴、y轴交于B，A两点，抛物线经过点A，B，点P为线段上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交直线于点M，设点P的横坐标为t．(1)求抛物线解析式；(2)当，求t的值；(3)若点N到直线的距离为d，求d的最大值；10．如图，抛物线经过两点，与轴交于点，连接．

(1)求该拋物线的解析式；(2)点是抛物线上一点，若平分，求点的坐标；(3)如图，若点是抛物线上位于第一象限的一动点，连接，直线交轴于点，过点作直线交轴于点，连接，在点的运动过程中，四边形的面积是否会发生改变？若不变，求其值；若改变，求出它的变化范围．11．已知抛物线L：与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），其顶点为C，D是抛物线第一象限上一点．(1)求线段的长；(2)当时，若，求的值；(3)将抛物线L的图象先向右平移a个单位长度，再向下平移个单位长度，得到抛物线．点P是抛物线上一动点，的最小值为4，求a的取值范围．12．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点，（点在点左侧），与轴交于点，对称轴直线为．(1)求该抛物线的函数解析式及顶点坐标．(2)设点关于直线的对称点为点，是直线上的一个动点，是否存在点，使有最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由．(3)为抛物线上一点，连接，过点作交直线于点，若，求点的坐标．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点、点，且过点．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作，垂足为．点、是轴上的两个动点（点在点的上方），且，连接，．当线段的长度取得最大值时，求的最大值；(3)如图2，直线上有一点，且点的横坐标为2，连接，．将抛物线关于轴对称得到新抛物线，点为新抛物线上的一个动点，当时，写出所有符合条件的点的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，且，连接．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴，交于点，求的最大值及点的坐标；(3)将抛物线绕点旋转，得到新抛物线，在新抛物线上找一点，使得，直接写出点的坐标．15．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)直线与轴交于点，与轴交于点，与抛物线交于两点（点在点的左侧），连接，，求的面积；(3)在（2）的条件下，为抛物线对称轴右侧上的一动点，过点作交轴于点，过点作于，试问：是否存在点，使以点为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《2025年中考数学考前冲刺函数动点问题压轴练习题》参考答案1．(1)(2)证明见解析(3)【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键：（1）写出两点式，利用待定系数法求出函数解析式即可；（2）求出，利用勾股定理逆定理进行证明即可；（3）求出直线的解析式，过点作轴，交于点，利用，列出二次函数解析式，求最值即可．【详解】（1）解：∵二次函数经过点，与x轴交于点，点，∴，把代入，得：，∴；（2）∵，∴，∵，，∴，，，∴，∴是直角三角形；（3）∵，，∴设直线的解析式为：，把代入，得：，∴，过点作轴，交于点，设，则：，∴，∴，∴当时，面积最大，此时：．2．(1)(2)8(3)当时，的面积最大，最大值是【分析】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的综合、求一次函数的解析式等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．（1）根据点，利用待定系数法求解即可得；（2）先将抛物线的解析式化成顶点式，求出顶点的坐标，再利用三角形的面积公式求解即可得；（3）先利用待定系数法求出直线的解析式，再过点作轴的垂线，交直线于点，求出点的坐标，从而可得的长，然后根据的面积为，利用二次函数的性质求最值即可得．【详解】（1）解：将点代入得：，解得，所以该抛物线的解析式为．（2）解：如图，点是抛物线的顶点，将抛物线化成顶点式为，∴，∴的边上的高为，v∵，∴，∴的面积为．（3）解：对于抛物线，当时，，即，设直线的解析式为，将点代入得：，解得，则直线的解析式为，∵是抛物线上位于直线下方的一个动点，且点的横坐标为，∴点的坐标为，且，如图，过点作轴的垂线，交直线于点，∴点的坐标为，∴，∵，∴的边上的高与的边上的高之和等于，∴的面积为，∵，∴由二次函数的性质可知，在内，当时，的面积取得最大值，最大值为，所以当时，的面积最大，最大值是．3．(1)(2)，(3)①；②【分析】（1）把点坐标代入抛物线方程，求解方程得．（2）先确定各点坐标与直线解析式，将拆分为，用坐标表示面积得二次函数，依其性质求解．（3）①求关于关系式：确定坐标得直线式，平移后联立抛物线，由推导．②求取值范围，将关系式代入不等式，换元求解再回代．【详解】（1）∵抛物线过点∴∴，抛物线解析式为：；（2）由（1）知，，∴，∴，过点作轴交直线于点，设直线的解析式为，∴，解得，∴，设，则，∴，

∴，∴，∴当，

此时；（3）①的对称轴为直线，∴，设直线的解析式为，∴，解得，所以，

∴直线平移后的直线的解析式为：，联立，整理得，∵直线与抛物线有且仅有一个交点，∴，所以；②当时，，当时，，∴．【点睛】本题主要考查二次函数与坐标轴交点的求法、一次函数解析式的确定、图形面积的计算方法以及直线与抛物线交点问题中判别式的运用，熟练掌握二次函数与坐标轴交点的求法、一次函数解析式的确定方法、图形面积的计算方法以及利用判别式判断直线与抛物线交点个数是解题的关键．4．(1)(2)①②存在，或【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合，二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，求线段长度的最值，利用相等线段求坐标等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．（1）利用一次函数的解析式求得，再利用待定系数法即可求得二次函数解析式；（2）①假设，，列出，分析关于的二次函数即可求解；②设，列出，分类进行讨论求解即可．【详解】（1）解：当的函数值为0时，即，解得，∴，将代入得解得所以，二次函数的表达式为；（2）解：①假设点，，根据题意可得，，可以看作关于的二次函数，开口向下，顶点为最高点，顶点横坐标为，在的取值范围之内，∴的最大值为，∴当时，线段取最大值；②存在，理由如下：假设，则，当时，即，当点在轴上方时，，解得，此时，；当点在轴下方时，，解得或（舍去），此时，；综上，当或者时，．5．(1)(2)(3)t的值为或2或【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）先求出，，再根据待定系数法求出直线的表达式为，则可求，进而求出，设，则，，由四边形为平行四边形，，由此建立方程求解即可；（3）分，和讨论，三种情况利用等腰直角三角形的性质进行求解即可．【详解】（1）解∶根据题意，得，解得，∴抛物线的表达式为；（2）解：，当时，，∴顶点，当时，，解得，，∴，设直线的表达式为，则，解得，∴，当时，，∴，∴，设，则，∴，∵四边形为平行四边形，∴，∴，解得（不符题意，舍去），，∴，∴；（3）解：设M点的坐标为如图所示，当时，∵轴，∴轴，N点的纵坐标为∴Q点的坐标为，设直线的解析式为，∴，∴，∴直线的解析式为，把代入，得，解得，∴N点坐标为，∴，，又∵是以为直角边的等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴Q点坐标为，∴，∴，∴；如图所示，当时，由①知：N的坐标为，则，∴，，同理得，∴，∴，∴Q点坐标为，∴，∴，∴；当时，过Q作于P，由①知：N的坐标为，同理得，∴，，∴，∴，∵是以为斜边的等腰直角三角形，∴，∴，解得，∴，∴，∴，∴；综上所述，当以为边的是等腰直角三角形时，t的值为或2或．【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的性格知识．6．(1)(2)当时，有面积最大值，此时点M的坐标为．(3)存在，点M的坐标为或或【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可；（2）过点M作y轴得平行线交直线于点P，连接，再求得直线得解析式为，设，则，进而用表示出的面积，最后运用二次函数的性质即可解答；（3）由题意可得：，设，然后分、、为对角线，分别根据平行四边形对角线相互平分解答即可．【详解】（1）解：将点A，B，C代入二次函数解析式，可得，解得，∴二次函数表达式为；（2）如图，过点M作y轴得平行线交直线于点P，连接，设直线得解析式为，将B，C坐标代入，可得，解得，所以直线得解析式为，设，则，∵，∵，∴当时，有面积最大值，此时点M的坐标为；（3）解：存在，由题意可得：，设以对角线分类，当为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分，由中点坐标公式可得：，即，解得：（舍弃）或，所以点M的坐标为；当为对角线时，同理可得：，即，解得：（舍弃）或，所以点M的坐标为；当为对角线时，同理可得：，即，解得：或，所以点M的坐标为或．综上，点M的坐标为或或．【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的综合、二次函数的性质、平行四边形的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键．7．(1)(2)①；②，【分析】（1）将，两点代入抛物线的解析式，解方程即可；（2）①设直线交x轴于E，可推出为直角三角形，进而求得点坐标，从而求出的解析式，将其与抛物线的解析式联立，化为一元二次方程，从而求得结果；②可推出四边形是菱形，从而得出，分别表示出和，从而列出方程，进一步求得结果．【详解】（1）解：由题意得，，∴，∴抛物线的函数表达式为；（2）解：①如图1，设直线交x轴于E，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴点，∴直线的解析式为：，由得，∴，（舍去），即点P的横坐标为；②如图2，令，解得，，∴，直线过、两点，直线的解析式为：，设点，分以下两种情况：点P在第三象限时，作轴于F，∵点E与关于对称，∴，，∵轴，∴，∴，∴，∴，∴四边形为平行四边形，∴为菱形，∴，∵，∴，，∴，∴，∵，∴，∴（舍去），，∴；当点P在第二象限时，同理可得：，∴（舍去），，∴；综上所述：点P的坐标为或．【点睛】本题考查了求一次函数和二次函数的解析式，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，轴对称性质等知识，解决问题的关键是正确分类，作辅助线，表示出线段的数量．8．(1)①；②或；(2)，理由见解析【分析】（1）①设抛物线的表达式为：，然后把代入即可求解；②求出点的坐标为：，用待定系数法求出直线的解析式，设点，则，证明得，代入数据求出m的值，从而得出点D的坐标；（2）设抛物线解析式为，则，当时，，即．，用待定系数法求出直线的表达式为，得出点的坐标为：，同理可得，点，求出，，进而可证明．【详解】（1）解：①设抛物线的表达式为：，把代入，得，解得，∴；②令，解得，即点的坐标为：，设直线的解析式为，则，∴，∴，如图，作，交直线与H，设点，则，∴．∵，∴，∴，∴，解得，∴或；（2）解：，理由如下：设抛物线解析式为，则，当时，，即．设点，设直线的表达式为：，则，解得，∴，当时，，∴点的坐标为：，同理可得，点，则，，∴．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式、二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点，相似三角形的判定与性质，二次函数与几何综合等，难度较大，属中考压轴题．9．(1)(2)(3)【分析】本题主要考查了二次函数综合，求一次函数与坐标轴的交点坐标，待定系数法求二次函数解析式等等，通过把求线段的长转换成点P横坐标的二次函数是解题的关键．（1）先根据一次函数解析式求出A、B的坐标，再把A、B坐标代入抛物线解析式中求出抛物线解析式即可；（2）由，得，，分别表示出，，由，建立方程，，解方程即可得到答案；（3）如图所示，连接，设点N到的距离为d，设，同理得到，利用勾股定理求出，根据，最大值为8，得，推出，即d的最大值为【详解】（1）解：直线中，时，；时，．∴点A的坐标为，点B的坐标为．∵抛物线经过点A，B，∴，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）解：∵设点（），则点，，∴，，∵，∴，解得：或4（与点B重合，舍去），∴；（3）解：点N到直线的距离为d，求d的最大值即为求面积的最大值，连接，如下图所示，∵点，∴，由（2）得：，∴，∴面积最大为8，∵，∴，解得，即d的最大值为；10．(1)(2)(3)四边形的面积不会改变，四边形的面积为【分析】（1）设抛物线的解析式为：，再将代入求出的值即可求解；（2）记与轴的交点为点，过点作于点，在中，由勾股定理可得的长，即可求出点的坐标，求出直线的解析式与二次函数解析式联立，即可求出点的坐标；（3）设，求出直线的解析式，可得点的坐标，同理可得直线的解析式，根据，求出直线的解析式，从而可得点的坐标，求出，再根据即可求解．【详解】（1）解：设抛物线的解析式为：，把代入上式得，得，；（2）解：记与轴的交点为点，过点作于点，如图所示：

又平分，，，由（1）得，当时，，，，，，，设，则，，在中，由勾股定理得：，即，解得：，，设直线的解析式为，把代入得，，解得：，，联立，解得：或（舍去），将代入中，得，；（3）解：设点，，设直线的解析式为，，解得：，直线的解析式为，，同理可得：直线的解析式为：，，设直线的解析式为，，，解得：，直线的解析式为，，线段的长度为，，四边形的面积不会改变，四边形的面积为．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数、二次函数解析式，角平分线的性质定理，勾股定理，一次函数与二次函数的交点问题，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．11．(1)4(2)2(3)【分析】（1）在中，当时，，解得：，，求得点A、B的坐标，即可求得答案；（2）当时，利用待定系数法可得直线的解析式为，连接，过点D作轴于点E，由，可得，可得直线的解析式为，联立方程求得，再运用正切函数定义即可求得答案；（3）由平移得新抛物线：，再由的最小值为4，且，可知：点在线段上，即抛物线的对称轴左侧与x轴的交点为P，即求得的取值范围．【详解】（1）解：在中，当时，，解得：，，∴，，∴；（2）当时，，∴顶点，设直线的解析式为，把，代入，得，解得：，∴直线的解析式为，如图1，连接，过点D作轴于点E，∵，∴，∴设直线的解析式为，把代入，得，解得：，∴直线的解析式为，联立得，解得：（舍去），，∴，∴，∴，，∴；（3）∵将抛物线L的图象先向右平移a个单位长度，再向下平移个单位长度，得到抛物线，∴，令，得，解得：，∵的最小值为4，且，∴点在线段上，即抛物线在对称轴左侧部分与轴的交点为在线段上，∴，∴．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质、两点之间的距离、一次函数的性质、求正切值、二次函数的平移、线段和的最小值问题，解题的关键是熟悉二次函数的性质和平移过程中数形结合思想的应用．12．(1)，(2)存在，最大值(3)的坐标为或或或．【分析】（1）先根据抛物线的对称轴为直线，求出，再根据抛物线经过点，求出，然后代回，，写出抛物线的解析式，化为顶点式求出顶点坐标；（2）先求出，，的坐标，再利用轴对称的性质说明，，然后分“点不与点重合”、“点与点重合”说明最大值为，利用勾股定理求出即可；（3）先求出点的纵坐标，再设，可得出点的横坐标为，然后证明，列出比例式结合三角函数求出，从而可得的横坐标为1，再利用，得到关于的方程求解，求出点的坐标．【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，，，．又此抛物线经过点，，，该抛物线的函数解析式为．由于，顶点坐标是．（2）在直线上存在一点，使有最大值．如图1，连接并延长，交直线于点，在直线上任取一点，连接．对于，令，得或，，；令，得，．点关于直线的对称点为点，，．当点不与点重合时，，当点与点重合时，，此时的值最大，即为的长．，，，的最大值为．（3）如图2，过点作轴，过点作于点，过点作于点，则点的纵坐标为3．设，则点的横坐标为．，．又，，．，，．点在直线（即直线）上，点的横坐标为1，，即，或，解得或或或，点的坐标为或或或．【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质等知识点，解答本题的关键是掌握上述知识点，并能熟练运用求解．13．(1)(2)(3)和，过程见解析【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线表达式即可；（2）先求得点A、C的坐标，进而求得及直线的表达式为，过P作轴交直线于H，则可得，当的长度最大时，的长度最大；设，则，利用二次函数的性质求得最大时点P的坐标，将线段向下平移一个单位，得到，连接，此时，由由三角形的三边关系可得，由两点坐标距离公式求得即可；（3）先求得,进而利用勾股定理及其逆定理得到，设，，则，，利用正切定义得到，，推导出，进而求得；利用关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数得到新抛物线的表达式为，设，分当Q在x轴上方时和当Q在x轴下方时两种情况，分别利用正切定义列方程求解即可．【详解】（1）解：将、代入中，得，解得，∴抛物线的表达式为；（2）解：当时，由得，，∴，，当时，，则，，∴；设直线的表达式为，则，解得，∴直线的表达式为，如图1，过P作轴交直线于H，则，∵，∴，当的长度最大时，的长度最大；设，则，∴，∵，，∴当时，最大，即的长度最大，此时；∵，∴将线段向下平移一个单位，得到，连接，此时，∴，当G在的延长线上时取等号，∵,∴的最大值为；（3）解：∵直线上有一点，且点的横坐标为2，∴当时，，则,∵，，∴，，，∴，∴，设，，则，，∴，，下面推导与、的关系，如图，已知矩形中，，，，设，，，，则，，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故，将抛物线关于轴对称得到新抛物线，则新抛物线的表达式为，设，当Q在x轴上方时，，整理，得，解得，（舍去），此时；当Q在x轴下方时，，整理，得，解得，（舍去），此时，综上，满足条件的Q坐标为和．【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平移性质、解直角三角形、最值问题等知识，理解题意，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键．14．(1)(2)最大值为9，此时，(3)或．【分析】（1）将，，三点坐标代入抛物线解析式，求解即可；（2）过点作轴，先求出直线的函数关系式为，设，则，