2025版高考数学一轮复习单元质检卷九解析几何理北师大版

PAGEPAGE1单元质检卷九解析几何(时间:100分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2024名校联盟二模,4)“a=1”是“直线(2a+1)x+ay+1=0和直线ax-3y+3=0垂直”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.(2025届河北武邑中学调研三,文7)双曲线my2-x2=1的一个顶点在抛物线y=12x2的准线上,则该双曲线的离心率为(A.5 B.25 C.23 D.33.已知直线l:xa+yb=1(a>0,b>0)将圆C:x2+y2-2x-4y+4=0平分,则直线A.8 B.4 C.2 D.14.(2024西藏自治区拉萨中学模拟,11)已知直线x-y+m=0与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,且△OAB为正三角形,则实数m的值为()A.32 B.C.32或-32 D.625.(2024广东佛山七校联考,5)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点AA.x23-y2=B.x2-y23C.x24-D.x2126.已知直线l:mx+y-1=0(m∈R)是圆C:x2+y2-4x+2y+1=0的对称轴,过点A(-2,m)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|的值为()A.4 B.25 C.42 D.37.(2025届湖南、湖北八市十二校一调联考,9)已知点A(0,2),抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,若|FM||MN|A.18 B.1C.2 D.48.已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B为切点,若四边形PACB面积的最小值是2,则k的值是()A.2 B.212C.2 D.229.(2024河北衡水二模,9)已知O是坐标原点,双曲线x2a-y2=1(a>1)与椭圆x2a+2+y2=1(a>1)的一个交点为P,点Q(a+1A.a2 B.aC.1 D.110.(2024河北衡水中学第十七次模拟,10)若抛物线y2=4x的焦点是F,准线是l,点M(4,m)是抛物线上一点,则经过点F,M且与l相切的圆共有()A.0个 B.1个 C.2个 D.4个11.(2024四川成都七中三诊,11)已知双曲线C:x2a2-4y2=1(a>0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于34,抛物线E:y2=2px的焦点与双曲线C的右焦点重合,则抛物线E上的动点M到直线l1:4x-3y+6=0和l2:A.1 B.2 C.3 D.412.(2024青海西宁二模,11)抛物线C1:y2=4x和圆C2:(x-1)2+y2=1,直线l经过C1的焦点F,依次交C1,C2于A,B,C,D四点,则AB·CD的值为(A.34 B.1 C.2 D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知点A(1,0),B(3,0),若直线y=kx+1上存在点P,满意PA⊥PB,则k的取值范围是.

14.(2025届河北衡水联考,14)已知点P(-1,2)及圆(x-3)2+(y-4)2=4,一光线从点P动身,经x轴上一点Q反射后与圆相切于点T,则|PQ|+|QT|的值为.

15.(2024河南南阳联考,15)M是抛物线C:y2=4x上一点,F是抛物线C的焦点,O为坐标原点且|MF|=2,K是抛物线C的准线与x轴的交点,则∠MKO=.

16.(2024云南曲靖一中质检七,16)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为P,直线l:x-2y=0交椭圆于A,B两点,若|AF|+|BF|=2,点P三、解答题(本大题共5小题,共70分)17.(14分)(2025届广东广州测试,20)设O为坐标原点,曲线x2+y2+2x-6y+1=0上有两点P,Q,满意关于直线x+my+4=0对称,又满意OP·OQ=(1)求m的值;(2)求直线PQ的方程.18.(14分)(2025届广东湛江调研,20)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=63,且右焦点为(22,0).斜率为1的直线l与椭圆C交于A,(1)求椭圆C的标准方程;(2)求△PAB的面积.19.(14分)(2025届四川成都棠湖中学模拟,20)如图,已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴上,抛物线上的点A到F的距离为2,且A的横坐标为1.过A点作抛物线C的两条动弦AD,AE,且AD,AE的斜率满意kAD·kAE=2.(1)求抛物线C的方程;(2)直线DE是否过某定点?若过某定点,恳求出该点坐标;若不过某定点,请说明理由.20.(14分)(2024东北师范高校附中五模,20)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为3(1)求椭圆C的方程;(2)过点A(-2,0)作直线AQ交椭圆C于另外一点Q,交y轴于点R,P为椭圆C上一点,且AQ∥OP,求证:|AQ|21.(14分)(2025届江西抚州七校联考,20)已知圆M与直线3x-7y+4=0相切于点(1,7),圆心M在x轴上.(1)求圆M的方程;(2)过点M且不与x轴重合的直线l与圆M相交于A,B两点,O为坐标原点,直线OA,OB分别与直线x=8相交于C,D两点,记△OAB,△OCD的面积分别是S1,S2,求S1S参考答案单元质检卷九解析几何1.A当a=1时,直线(2a+1)x+ay+1=0的斜率为-3,直线ax-3y+3=0的斜率为13,两直线垂直;当a=0时,两直线也垂直,所以“a=1”是“直线(2a+1)x+ay+1=0和直线ax-3y+3=2.A∵抛物线的方程为y=12x2,∴抛物线的准线方程为y=-12.∵双曲线my2-x2=1的一个顶点在抛物线y=12x2的准线上,∴双曲线的顶点坐标为0,-12,∴a=12.又∵b=1,∴c=52,则双曲线的离心率为c3.B圆C:x2+y2-2x-4y+4=0的圆心坐标为(1,2),则1a+2b=1≥22ab,当且仅当a=2,b=4时,等号成立.∴直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S=12ab≥4∴直线l与两坐标轴围成的三角形的面积的最小值是4,故选B.4.D由题意得,圆O:x2+y2=1的圆心坐标为(0,0),半径r=1.因为△OAB为正三角形,则圆心O到直线x-y+m=0的距离为32r=32,即d=|m|2=32,解得5.B双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),可得c=2,ba=3,即b2a2=3,c2-a2a6.A由x2+y2-4x+2y+1=0,得(x-2)2+(y+1)2=4,∴圆心C(2,-1),半径r=2.由题意可得,直线l:mx+y-1=0经过圆C的圆心(2,-1),∴2m-1-1=0,∴m=1,点A(-2,1).∵AC=20,CB=r=2,∴切线的长|AB|=20-4=7.C设Fp2,0,MK是点M到准线的距离,点K是垂足.由抛物线定义可得|MK|=|MF|,因为|FM||MN|=55,所以|MK||MN|=55,那么|KN|∶|KM|=2∶1,即直线8.C∵圆的方程为x2+(y-1)2=1,∴圆心C(0,1),半径r=1.当四边形PACB的面积最小时,圆心C到点P的距离最小,最小值为圆心C到直线kx+y+4=0(k>0)的距离d,此时PA=PB=2.∴d=5=|1+4|1+k∵k>0,∴k=2.故选C.9.D由题意知两曲线有相同的焦点,设左右两个焦点分别为F1,F2,依据双曲线的定义得到|PF1|-|PF2|=2a,依据椭圆的定义得到|PF1|+|PF2|=2a+2联立两个式子得到|PF1|=a+2+a,|PF2|=a+2-a,由椭圆与双曲线的标准方程得|F1F2|=2所以Q与F2重合,由余弦定理得到cos∠F1PF2=2(2a+2)-4(a+1)则S△POQ=12S△PF1F2=12×12(a10.D因为点M(4,m)在抛物线y2=4x上,所以可求得m=±4.由于圆经过焦点F且与准线l相切,所以由抛物线的定义知圆心在抛物线上.又圆经过抛物线上的点M,所以圆心在线段FM的垂直平分线上,故圆心是线段FM的垂直平分线与抛物线的交点.结合图形知对于点M(4,4)和(4,-4),线段FM的垂直平分线与抛物线都各有两个交点.所以满意条件的圆有4个.故选D.11.B由双曲线方程x2a2-4y2=1(a>0)可得,双曲线的右顶点为(a,0),渐近线方程为y=±12ax,即x±2ay=0.∵双曲线的右顶点到渐近线的距离等于34,∴a1+4a2=34,解得a2=34,∴双曲线的方程为4x23-4y2=1,∴双曲线的焦点为(1,0).又抛物线E:y2=2px的焦点与双曲线C的右焦点重合,∴设点M到直线l1的距离为|MA|,到直线l2的距离为|MB|,则|MB|=|MF|,∴|MA|+|MB|=|MA|+|MF|.结合图形可得当A,M,F三点共线时,|MA|+|MB|=|MA|+|MF|最小,且最小值为点F到直线l1的距离d=|4×1+6|4212.B抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),易知直线l存在斜率且不为0,设方程为y=k(x-1),联立y=k(x-1),y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,解得A1+2k2-2k2+1k2,联立y=k(x-1),(x-1)2+y2=1,得(k2+1)(x-1)2=1,解得B则AB=-1k2+1-2k2+2k2+1k2,-kk2+1-2k+2k2+1k,CD=2k2+13.-43,0以AB为直径圆的方程为(x-1)(x-3)+y2=0,把y=kx+1代入上述方程可得(1+k2)x2+(2k-4)x+∵直线y=kx+1上存在点P,满意PA⊥PB,∴Δ=(2k-4)2-16(1+k2)≥0,化为3k2+4k≤0.解得-43≤k≤0,则k的取值范围是-14.43点P关于x轴的对称点为P'(-1,-2),由反射的对称性可知,直线P'Q与圆相切,|PQ|+|QT|=|P'T|,∵圆(x-3)2+(y-4)2=4的圆心坐标为A(3,4),半径r=2,∴|AP'|2=(-1-3)2+(-2-4)2=52,|AT|=r=2,∴|PQ|+|QT|=|P'T|=|AP'|2-|AT15.45°由抛物线的对称性不妨设M(x1,y1)(y1>0),则x1+1=2,得M(1,2),因为K(-1,0),O(0,0),所以KM=(2,2),KO=(1,0),可得KM·KO=2,|KM|=22,|KO|=1.cos∠MKO=cos<KM,KO>=KM·KO|KM|·|KO|16.0,32设椭圆的左焦点为F',连接AF',BF'(图略),因为点A、B关于原点对称,所以|AF'|+|BF'|=|BF|+|AF|=2,则|AF'|+|AF|+|BF'|+|BF|=4,即2a=2,a=1,设P(0,b),因为点P到直线l的距离不小于55,所以|2b|5≥55,即b≥12,即c=1-b2≤317.解(1)x2+y2+2x-6y+1=0⇔(x+1)2+(y-3)2=9,所以曲线为以(-1,3)为圆心,3为半径的圆,由已知,得直线过圆心,所以-1+3m+4=0,解之,得m=-1.(2)设直线PQ的方程为y=-x+b,联立方程组x得2x2+2(4-b)x+b2-6b+1=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则有x1+x2=b-4,x1x2=b2又OP·OQ=0,所以x1x2+y1y2=0,即2x1x2-b(x1+x2)+b2=0,将x1+x2=b-4,x1x2=b2-6b+12代入上式得b2所以b=1,所以直线PQ的方程为y=-x+1.18.解(1)由已知得c=22,ca=63,解得a=2b2=a2-c2=4,∴椭圆C的标准方程为x212+y2(2)设直线l的方程为y=x+m,代入椭圆方程得4x2+6mx+3m2-12=0,①设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点为E(x0,y0),则x0=x1+x22=-3m4,因为AB是等腰三角形PAB的底边,所以PE⊥AB.所以PE的斜率为k=2-m4-此时方程①为4x2+12x=0.解得x1=-3,x2=0,所以y1=-1,y2=2,所以|AB|=32,此时,点P(-3,2)到直线AB:x-y+2=0的距离d=|-3-2+2所以△PAB的面积S=12|AB|·d=919.解(1)设抛物线方程为C:y2=2px(p>0),由其定义知|AF|=1+p2,又|AF|=所以p=2,y2=4x.(2)易知A(1,2),设D(x1,y1),E(x2,y2),DE方程为x=my+n(m≠0).把DE方程代入抛物线C,并整理得y2-4my-4n=0,Δ=16(m2+n)>0,y1+y2=4m,y1y2=-4n.由kAD·kAE=y1-2x1-