数图形的轴对称 五大考点综合练习 2024-2025学年北师大版七年级数学下册

第12页（共82页）角平分线的性质（共11小题）知识链接：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE基础+提升+核心毒养练：1．如图，AB∥CD，点O为∠BAC与∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于E，若OE＝3，则AB与CD两平行线之间的距离是（）A．3 B．4 C．6 D．82．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（）①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为点E．若DE＝2，则BD的长为（）A．4 B．23 C．2 D．4．如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，∠AOB＝30°，点D在边OB上，且OD＝DP＝4，则CP的长度为（）A．1 B．2 C．3 D．45．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD＝2，则点P到射线OA的距离是．6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE⊥AB于点E．若CD＝3，AB＝8，则△ABD的面积为．7．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，动点P从点C出发，以每秒2cm的速度按C→A的路径运动，设运动时间为t秒．当t＝时，BP恰好平分∠ABC．8．如图①，将直角三角板DOE的直角顶点O放在直线AB上，以点O为端点作射线OC，使∠BOC＝70°．（1）如图①，若直角三角板DOE的一边OD在直线AB上，则∠COE＝°；（2）如图②，将直角三角板DOE绕点O按逆时针方向转动到某个位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠BOD，∠COD的度数．9．如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM＝PN．10．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝.100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．（1）求证：AE平分∠FAD．（2）求证：DE平分∠ADC．（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，S△ACD＝15，求△ABE的面积．11．如图，已知AB∥CD，∠ABD的平分线交CD于F，∠BDC的平分线交BF于点E．（∠ABD为小于120°的钝角）（1）求证：DE⊥BF；（2）若BE长为2，求：BF的长；（3）若点P为线段BF上一点，∠EDP＝α，∠ABF的角平分线与∠CDP的角平分线交于点G，试用含α的式子表示∠BGD的大小．线段垂直平分线的性质（共7小题）知识链接：（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．基础+提升+核心毒养练：12．如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠DCF＝20°，DE垂直平分AB，交BC于点D，连接AD，FG垂直平分AC，交AD于点F，连接CF，则∠BAC的大小为（）A．60° B．70° C．80° D．90°13．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，AC＝AD，EF为线段BD的垂直平分线，若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为（）A．22 B．20 C．18 D．1614．如图，线段AB，DE的垂直平分线交于点C，且∠ABC＝∠EDC＝72°，∠AEB＝112°，则∠EBD的度数为（）A．168° B．158° C．148° D．138°15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，分别以点B、C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN分别交AB、BC于点D、E；用同样的方法作直线l，l恰巧经过点D，交AC于点F，则图中与△CDE成对称关系的三角形是16．如图，在△ABC中，∠C＝52°，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于12BC的长为半径画弧，两弧相交于点E和F；②作直线EF，分别交AC，BC于点D，③连接BD，以点D为圆心，DM长为半径画弧，交BD于点G，连接GM，则∠GMB的度数为．17．如图，已知在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OB，OC，若△ADE的周长为8cm，△OBC的周长为18cm．（1）求线段BC的长；（2）连接OA，求证：OB＝OC；（3）求线段OA的长．18．【问题发现】我们知道“线段垂直平分线上点到线段两端的距离相等”，那么不在线段垂直平分线上的点到线段两端的距离大小如何判断呢？【自主研究】（1）如图①，直线l是线段AB的垂直平分线，点P在直线l的左侧，经测量，PA＜PB，请证明这个结论；【迁移研究】（2）如图②，直线l是线段AB的垂直平分线，点C在直线l外，且与点A在直线l的同侧，点D是直线l上的任意一点，连结AD，BC，CD，试判断BC和AD+CD之间的大小关系，并说明理由．等腰三角形的性质（共13小题）知识链接：（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．基础+提升+核心毒养练：19．如图，在△ABC中，AB＝BC，DE垂直平分BC，CD平分∠ACB，则∠B的度数为（）A．25° B．30° C．35° D．36°20．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于点E，下述结论正确的有（）①BD平分∠ABC；②△BCD的周长等于AB+BC；③AD＝BD＝BC；④点D是线段AC的三等分点．A．① B．①② C．①②③ D．①②③④21．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB，在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E…按此做法继续下去，则第2021个三角形中以A2021为顶点的内角度数是（）A．（12）2019•75° B．（12）2020•75C．（12）2021•75° D．（12）2022•22．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，P是BC上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，若S△ABC＝3，则PE+PF＝．23．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以点A为圆心，适当长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），交AB于点M，交AC于点N，分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点D，作射线AD交BC于点E，F为边AC上一点，连接EF，若AF＝CF，AE＝BC＝4，则EF的长为24．如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒PB，PD组成，两根棒在P点相连并可绕P转动，C点固定，CP＝OC＝OA，点O，A可在槽中滑动，若∠AOB＝75°，则∠P的度数是．25．五角星是我们中华人民共和国国旗的重要元素，如图是从一个五角星中分离出来的等腰三角形ABC，已知∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则ADAC的值为26．将一副三角尺按图所示方式摆放，它们共用顶点C，CD，CE分别交AB于点F，G．若BF＝CF，∠ACB＝∠E＝90°，∠A＝60°，∠D＝45°，则∠AGE的度数是．27．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，P是BC上任意一点，且PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E．若△ABC面积为32，则PD+PE的值是否为定值？请说明理由．28．综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知△ABC中AB＝AC，∠B＝30°．将△ABC从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到△ADE（点D，E分别是点B，C的对应点），旋转角为α（0°＜α＜100°，设线段AD与BC相交于点M，线段DE分别交BC，AC于点O，N．特例分析：（1）如图2，当旋转到AD⊥BC时，求旋转角α的度数为；探究规律：（2）如图3，在△ABC绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段AM始终等于线段AN，请你证明这一结论．拓展延伸：（3）①直接写出当△DOM是等腰三角形时旋转角α的度数．②在图3中，作直线BD，CE交于点P，直接写出当△PDE是直角三角形时旋转角α的度数．29．如图1和2，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．（1）如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得DA＝CD，这个性质是（2）问题解决：如图2，求证AD＝CD；（3）问题拓展：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD＝BC．30．如图，P是等腰三角形ABC底边BC上的任一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，BH是等腰三角形AC边上的高．猜想：PE、PF和BH间具有怎样的数量关系？31．在△ABC中，AB＝AC．（1）AD是BC上的高，AD＝AE．①如图1，如果∠BAD＝20°，则∠EDC＝°；②如图2，如果∠BAD＝50°，则∠EDC＝°．（2）思考：通过以上两小题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：．（3）如图3，如果AD不是BC上的高，AD＝AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．四．轴对称的性质（共17小题）知识链接：（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．由轴对称的性质得到一下结论：①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．基础+提升+核心毒养练：32．如图，AD所在直线是△ABC的对称轴，点E，F是AD上的两点，若BD＝3，AD＝5，则图中阴影部分的面积是（）A．15 B．7.5 C．6 D．4.533．如图，在6×6方格中，点A，B，C均在格点上，△ABC的对称轴经过格点（）A．P1 B．P2 C．P3 D．P434．折纸起源于中国，不仅是一种手工技艺，更是承载历史记忆与文化密码的载体．如图，四边形ABCD为一张长方形纸片，点E、F分别为AB、CD边上一点，小南将这张纸片ABCD沿EF折叠，使点B、C分别落在点M、N的位置，BC的对应边MN与CD交于点G，若∠BEF＝α，则∠FGN的度数为（）A．12α B．90°-12α C．12α-35．如图是一张钝角三角形纸片ABC，小明想通过折纸的方式折出如下线段：①AC边上的中线BD；②∠B的平分线BE；③AC边上的高BF．上述三条线段中能通过折纸折出的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③36．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，P是△ABC内一点，点D，E，F分别是点P关于直线AC，AB，BC的对称点，给出下面三个结论：①AE＝AD；②∠DPE＝90°；③∠ADC+∠BFC+∠BEA＝270°．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③37．如图，在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝56°，D为BC上任意一点（不与点B，C重合），将D点分别以AB，AC为对称轴，画出对称点E，F，并连接AE，AF，则∠EAF的度数为．38．如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，∠CBA＝80°，作点B关于△ABC的角平分线CB1的对称点A1，点A1恰好落在AC上，则∠A1B1A＝°；作点B1关于△A1B1A的角平分线A1B2的对称点A2，点A2也恰好落在AC上，……继续作下去，点Bn﹣1恰好与A重合，则n＝．39．折纸是中国传统的民间艺术，已有近千年的历史，是国家级非物质文化遗产之一．小明在用一张长方形纸片ABCD分别沿着EF，EH折叠，恰好使得AE，BE落在EG处，此时F，G，H在同一直线上，则∠FEH等于．40．如图，AD，BE在AB的同侧，AD＝3，BE＝3，AB＝6，点C为AB的中点，若∠DCE＝120°，则DE的最大值是．41．如图，将三角形纸片ABC的∠B折叠，使得点B的对应点B′落在直线AB上，折痕为DE，再将∠C折叠，使得折叠后点C的对应点C′落在直线B′D上，折痕为DF，此时可得∠EDF＝90°，若∠A＝70°，则∠CFD的度数为°．42．如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2＝15，则△PMN的周长为．43．如图，∠ABC＝30°，在∠ABC内有一点P，BP＝6，PP1垂直AB于点M，PP2垂直BC于点N，且PM＝MP1，PN＝NP2，连接P1，P2，则P1P2＝．44．如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），对角线AC，BD相交于点O，点C关于BD的对称点为C′．连接CC′交BD于点E，交AD于F，连接AC′．（1）请写出AC′与OE的关系，并说明理由；（2）若AC′＝CD，BD＝a，求矩形ABCD面积．（用含a的式子表示）．45．如图，在△ABC中，点B与点C关于直线MN对称，直线MN分别与边AC，BC相交于点D，E，连接BD．若△ABD的周长为18，△ABC的周长为32，求CE的长．46．如图，将长方形纸片ABCD沿MN和PQ折叠得到一个轴对称的帽子，折痕角∠AMN＝∠DPQ，点A，D的对应点分别为点G，H，折叠后点B，C的对应点恰好都在点E．（1）若折痕角∠AMN＝105°，求帽子顶角∠NEQ的度数．（2）设∠GMD＝x度，∠NEQ＝y度．①请用含x的代数式表示y，则y＝．②当∠MNE＝2∠GMD时，帽子比较美观，求此时y的值．47．在数学探究活动中，小明找到一张两边平行的纸条，他先在边KL上取一点A，再在MN边上任取一点P，从点A处将纸条左侧折叠，使AK折叠后的对应线段AK'经过点P，此时的折痕记为AB（点B在MN上），如图1所示；再从点A处将纸条右侧折叠，使AL折叠后的对应线段AL'也经过点P，此时的折痕记为AC（点C在MN上），如图2所示．（1）在图1中，若∠APN＝α，求∠ABM的大小（用α表示）；（2）小明发现，在图2中，有BM'∥AK'，CN'∥AL'，进而推理：∵线段AK'和线段AL'都经过点A和点P，∴它们都在同一条直线AP上．（①此处填推理的依据）∵BM'∥AK'，CN'∥AL'，∴BM'∥CN'．（②此处填推理的依据）（3）小亮也用一张纸条做了与小明相同的操作，如图3所示，他意外地发现：虽然纸条的两边KL和MN不平行，但折叠后，在图3中仍有BM'∥CN'．请你帮小亮证明这个结论．48．【知识初探】（1）王芳同学在探究“过直线外一点画已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线．①如图1，在正方形纸上画出一条直线BC，在BC外取一点P．过点P折叠纸片，使得点C的对应点C′落在直线BC上（如图2），记折痕DE与BC的交点为A，将纸片展开铺平；②再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点E'落在直线DP上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．此时王芳说，PF就是BC的平行线．王芳同学只写了部分证明过程就有事离开，请你帮她把证明过程补充完整；证明：由折叠可知：∠PAB＝∠PAC，又∵∠PAB+∠PAC＝180°，∴∠PAC＝90°．…【深入探究】（2）李明同学在王芳同学折纸（图4）中量得∠PFM＝α，请你求出∠ABM的大小（用含α的代数式表示）；【拓展延伸】（3）王伟同学改变直线BC和点P的位置，按照王芳同学的方法折叠得到FK∥BC后（点B，C，K，F分别在线段MN，NQ，QR，RM上），再画出∠PFM和∠ABM的角平分线FH、BI，FH、BI所在的直线交于点G，请求出∠FGB的度数．轴对称图形（共6小题）知识链接：（1）轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．（3）常见的轴对称图形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．基础+提升+核心毒养练：49．下列图形不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．50．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（）A． B． C． D．51．如图是由四个小正方形组成的田字格，在田字格没有棋子的交点上再放一颗棋子，这颗棋子要与图上已有的棋子组成轴对称图形，一共有种不同的放法．52．如图，这是由8个边长相等的正六边形组成的图形，该图形轴对称图形（填“是”或“不是”），若在5个白色的正六边形中，选择2个涂黑，使涂黑的2个正六边形和原来3个被涂黑的正六边形恰好组成轴对称图形，则选择的方案最多有种．53．如图，△ABC中，D，E，F三点分别在AB，BC，AC上，且四边形BEFD是以DE所在直线为对称轴的轴对称图形，四边形CFDE是以FE所在直线为对称轴的轴对称图形．若∠C＝40°，则∠DFE的度数为．54．如图，是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在三个网格图中，各补画出一个有阴影的小正方形，使补画后的图形为轴对称图形．作图-轴对称变换（共6小题）几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．④作出的垂线为最短路径．55．下面是四位同学作△ABC关于直线MN的轴对称图形，其中正确的是（）A． B． C． D．56．如图，在小方格中画与△ABC成轴对称的三角形（不与△ABC重合），这样的三角形能画出（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个57．如图，分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，∠BAC＝150°，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有如下结论：①∠EAD＝90°；②∠BOE＝60°；③OA平分∠BOC；④EA=12ED；⑤BP＝A．4个 B．3个 C．2个 D．1个58．如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h1，还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为h2，按上述方法不断操作下去…经过第2018次操作后得到的折痕D2017E2017到BC的距离记为h2018，若h1＝1，则h2018的值为（）A．2-122017 B．122017 C．1-59．如图，∠AOB＝40°，点P为∠AOB内一点，分别作P点关于直线OA，OB的对称点C，D，连接OP，OC，OD，CD，PC，PD．则（1）∠CPD的度数是；（2）∠OCD的度数是．60．如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，在图中可画出个以格点为顶点的三角形与△ABC成轴对称．

参考答案与试题解析一．选择题（共21小题）题号123412131419202132答案CDDBCDCDCBB题号33343536495055565758答案CDDADDBCBA一．角平分线的性质（共11小题）1．如图，AB∥CD，点O为∠BAC与∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于E，若OE＝3，则AB与CD两平行线之间的距离是（）A．3 B．4 C．6 D．8【考点】角平分线的性质；平行线之间的距离．【分析】过点O作OF⊥AB于F，FO的延长线交CD于G，根据平行线的性质得到OG⊥CD，根据角平分线的性质分别求出OF、OG，得到答案．【解答】解：如图，过点O作OF⊥AB于F，FO的延长线交CD于G，∵AB∥CF，∴OG⊥CD，∵AO平分∠BAC，OE⊥AC，OF⊥AB，∴OF＝OE＝3，同理可得：OG＝OE＝3，∴FG＝OF+OG＝3+3＝6，故选：C．【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．2．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（）①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】角平分线的性质．【分析】过点P作PD⊥AC于D，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明Rt△PAM≌Rt△PAD，根据全等三角形的性质得出∠APM＝∠APD，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④．【解答】解：①过点P作PD⊥AC于D，∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，∴PM＝PN，PM＝PD，∴PN＝PD，∵PN⊥BF，PD⊥AC，∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确；②∵PM⊥AB，PN⊥BC，∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，∴∠ABC+∠MPN＝180°，在Rt△PAM和Rt△PAD中，PM=∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），∴∠APM＝∠APD，同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），∴∠CPD＝∠CPN，∴∠MPN＝2∠APC，∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确；③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM=12∠ABC+∠∴∠ACB＝2∠APB，③正确；④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正确，故选：D．【点评】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．3．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为点E．若DE＝2，则BD的长为（）A．4 B．23 C．2 D．【考点】角平分线的性质．【分析】过点D作DF⊥AB，根据角平分线的性质得出DF＝DE＝2，再由等角对等边得出DF＝BF＝2，由勾股定理即可求解．【解答】解：过点D作DF⊥AB，如图所示：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，DE＝2，∴DF＝DE＝2，∵∠B＝45°，∴∠BDF＝∠B＝45°，∴DF＝BF＝2，∴BD=故选：D．【点评】题目主要考查角平分线的性质，等角对等边及勾股定理解三角形，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．4．如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，∠AOB＝30°，点D在边OB上，且OD＝DP＝4，则CP的长度为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】角平分线的性质．【分析】过点P作PE⊥OB于E，证明PD∥OA，得到∠PDE＝∠AOB＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出PE，根据角平分线的性质求出CP．【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵OP是∠AOB的平分线，∴∠AOP＝∠BOP，∵OD＝DP，∴∠OPD＝∠BOP，∴∠AOP＝∠OPD，∴PD∥OA，∴∠PDE＝∠AOB＝30°，∴PE=12PD＝∵OP是∠AOB的平分线，PC⊥OA，PE⊥OB，∴CP＝PE＝2，故选：B．【点评】本题考查的是角平分线的性质、平行线的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．5．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD＝2，则点P到射线OA的距离是2．【考点】角平分线的性质．【分析】根据角平分线的性质定理解答即可．【解答】解：如图，作PM⊥OA，垂足为M，∵OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PM⊥OA，∴PD＝PM，∵PD＝2，∴PM＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握该知识点是关键．6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE⊥AB于点E．若CD＝3，AB＝8，则△ABD的面积为12．【考点】角平分线的性质．【分析】根据角平分线的性质得到DE＝CD＝3，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：∵∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE⊥AB于点E，CD＝3，AB＝8，∴DE＝CD＝3，∴△ABD的面积=1故答案为：12．【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．7．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，动点P从点C出发，以每秒2cm的速度按C→A的路径运动，设运动时间为t秒．当t＝32时，BP恰好平分∠ABC【考点】角平分线的性质；一元一次方程的应用；角的计算．【分析】根据角平分线的性质，建立关于CP长度的方程，据此求出CP的长度即可解决问题．【解答】解：过点P作AB的垂线，垂足为M，连接BP，∵BP平分∠ABC，∠C＝90°，PM⊥AB，∴PC＝PM．在Rt△ABC中，AC=102∴S△ABC=1∴12解得PC＝3（cm），∴t=32（故答案为：32【点评】本题主要考查了角平分线的性质、一元一次方程的应用及角的计算，能根据题意建立关于CP长度的方程是解题的关键．8．如图①，将直角三角板DOE的直角顶点O放在直线AB上，以点O为端点作射线OC，使∠BOC＝70°．（1）如图①，若直角三角板DOE的一边OD在直线AB上，则∠COE＝20°；（2）如图②，将直角三角板DOE绕点O按逆时针方向转动到某个位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠BOD，∠COD的度数．【考点】角平分线的性质；余角和补角．【分析】（1）利用互余计算出∠COE的度数；（2）先根据角平分线的定义得到∠COE＝∠BOC＝70°，再利用互余计算出∠COD＝20°，然后计算∠BOC﹣∠COD即可．【解答】解：（1）∵∠BOC＝70°，∠DOE＝90°，∴∠COE＝∠DOE﹣∠BOC＝20°；故答案为：20；（2）∵OC恰好平分∠BOE，∴∠COE＝∠BOC＝70°，∴∠COD＝90°﹣∠COE＝20°，∴∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝70°﹣20°＝50°．【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线把角分成相同的两部分．也考查了互余．9．如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM＝PN．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】根据角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB＝∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可．【解答】证明：∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD，在△ABD和△CBD中，AB=∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB＝∠CDB，∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB＝∠CDB是解题的关键．10．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝.100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．（1）求证：AE平分∠FAD．（2）求证：DE平分∠ADC．（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，S△ACD＝15，求△ABE的面积．【考点】角平分线的性质．【分析】（1）由直角三角形的性质求出∠EAF＝40°，由平角定义即可求出∠DAE的度数，再根据角平分线定义即可得证；（2）过E作EM⊥AD于M，EN⊥BC于N，由角平分线的性质推出EF＝EN，FE＝EM，得到EM＝EN，于是推出DE平分∠ADC；（3）由△ACD的面积＝△ADE的面积+△CDE的面积，得到AD•EM+CD•EN＝18，即可求出EM＝3，得到EF＝3，由三角形面积公式即可求出△ABE的面积．【解答】（1）证明：∵EF⊥AB，∴∠AFE＝90°，∵∠AEF＝50°，∴∠EAF＝90°﹣∠AEF＝90°﹣50°＝40°，∵∠BAD＝100°，∴∠DAE＝180°﹣100°﹣40°＝40°＝∠EAF，∴AE平分∠FAD；（2）证明：过E作EM⊥AD于M，EN⊥BC于N，∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，∴EF＝EN，∵AE平分∠DAF，EF⊥AB，∴FE＝EM，∴EM＝EN，∵EM⊥AD，EN⊥CD，∴DE平分∠ADC；（3）解：∵△ACD的面积＝△ADE的面积+△CDE的面积，∴12AD•EM+12CD•EN∴12（AD+CD）•EM＝15∴12×（4+8）×EM＝∴EM=5∴EF=5∴△ABE的面积=12AB•EF=1【点评】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理及其逆定理．11．如图，已知AB∥CD，∠ABD的平分线交CD于F，∠BDC的平分线交BF于点E．（∠ABD为小于120°的钝角）（1）求证：DE⊥BF；（2）若BE长为2，求：BF的长；（3）若点P为线段BF上一点，∠EDP＝α，∠ABF的角平分线与∠CDP的角平分线交于点G，试用含α的式子表示∠BGD的大小．【考点】角平分线的性质；平行线的性质．【分析】（1）根据AB∥CD，BF平分∠ABD得∠ABF＝∠DFB＝∠DBF，则△DBF是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质即可得出结论；（2）根据等腰三角形的性质得BE＝EF＝2，由此可得BF的长；（2）依题意有以下两种情况：①当点P在线段BE上时，过点G作GH∥AB（点H在点G的左侧），设EDG＝β，先分别求出∠CDG＝∠PDG＝α+β，∠ABG＝45°-12α﹣β，再根据AB∥GH∥CD得∠BGH＝∠ABG＝45°-12α﹣β，∠DGH＝∠CDG＝α+β，由此可得∠BGD的大小；①当点P在线段EF上时，过点G作GH∥AB（点H在点G的左侧），设∠CDG＝∠PDG＝θ，则∠CDP＝2θ，再求出∠ABG＝45°﹣θ-12α，再根据AB∥GH∥CD得∠BGH＝∠ABG＝45°﹣θ-12α，∠【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠DFB，∵BF平分∠ABD，∴∠ABF＝∠DBF，∴∠DFB＝∠DBF，∵DF平分∠BDC∴∠FDE＝∠BDE，∴DF＝DB，即△DBF是等腰三角形，又∵DE平分∠BDC，∴DE⊥BF；（2）若BE长为2时，∵△DBF是等腰三角形，DE平分∠BDC，∴BE＝EF＝2，∴BF＝BE+EF＝4；（3）依题意有以下两种情况：①当点P在线段BE上时，过点G作GH∥AB（点H在点G的左侧），如图1所示：设∠EDG＝β，∵∠EDP＝α，∴∠PDG＝∠EDP+EDG＝α+β，∵DG平分∠CDP，∴∠CDG＝∠PDG＝α+β，∴∠CDE＝∠CDG+EDG＝α+β+β＝α+2β，由（1）知：DE⊥BF，在Rt△FDE中，∠BFD＝90°﹣∠CDE＝90°﹣α﹣2β，∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠BFD＝90°﹣α﹣2β，∵BG平分∠ABF，∴∠ABG=12∠ABF＝45°-12∵GH∥AB，∴AB∥GH∥CD，∴∠BGH＝∠ABG＝45°-12α﹣β，∠DGH＝∠CDG＝α+∴∠BGD＝∠BGH+∠DGH＝45°-12α﹣β+α+β＝45°+①当点P在线段EF上时，过点G作GH∥AB（点H在点G的左侧），如图2所示：∵DG平分∠CDP，∴设∠CDG＝∠PDG＝θ，则∠CDP＝2θ，∵∠CDE＝∠CDP+∠EDP＝2θ+α，在Rt△FDE中，∠BFD＝90°﹣∠CDE＝90°﹣2θ﹣α，∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠BFD＝90°﹣α﹣2β，∵BG平分∠ABF，∴∠ABG=12∠ABF＝45°﹣θ-∵GH∥AB，∴AB∥GH∥CD，∴∠BGH＝∠ABG＝45°﹣θ-12α，∠DGH＝∠CDG＝∴∠BGD＝∠BGH+∠DGH＝45°﹣θ-12α+θ＝45°-综上所述：∠BGD的大小45°+12α或45°-【点评】此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．二．线段垂直平分线的性质（共7小题）12．如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠DCF＝20°，DE垂直平分AB，交BC于点D，连接AD，FG垂直平分AC，交AD于点F，连接CF，则∠BAC的大小为（）A．60° B．70° C．80° D．90°【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，FA＝FC，则∠DAB＝∠B＝40°，∠FAC＝∠FCA，再利用三角形内角和定理得到∠FCA+∠DCF+∠B+∠FAC+∠DAB＝180°，从而得到∠FAC＝∠FCA＝40°，即可求解．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝40°，∵FG垂直平分AC，∴FA＝FC，∴∠FAC＝∠FCA，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，即∠FCA+∠DCF+∠B+∠FAC+∠DAB＝180°，∴∠FAB+20°+40°+∠FAC+40°＝180°，∴2∠FAC+100°＝180°，∴∠FAC＝40°，∴∠BAC＝∠FAC+∠DAB＝80°，故选：C．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．也考查了三角形内角和定理．13．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，AC＝AD，EF为线段BD的垂直平分线，若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为（）A．22 B．20 C．18 D．16【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】先由线段垂直平分线的性质得ED＝BE，结合AE+BE＝AB＝9，AC＝AD，故AD+DE+AE＝16，即可作答．【解答】解：∵D为BC边上的一点，EF为线段BD的垂直平分线，AB＝9，AC＝7，∴ED＝BE，∴AE+BE＝AE+DE＝9，∵AC＝AD，∴AD＝7，∴△ADE的周长为AD+DE+AE＝7+9＝16，故选：D．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．14．如图，线段AB，DE的垂直平分线交于点C，且∠ABC＝∠EDC＝72°，∠AEB＝112°，则∠EBD的度数为（）A．168° B．158° C．148° D．138°【考点】线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】先由线段垂直平分线的性质得CA＝CB，CD＝CE，得到∠BAC＝∠ABC＝72°，∠DEC＝∠EDC＝72°，再证△BCD≌△ACE（SAS），得∠CBD＝∠CAE＝72°+∠BAE，然后由三角形内角和定理得∠ABE＝88°﹣∠BAE，进而得出答案．【解答】解：连接CE，如图所示：∵线段AB，DE的垂直平分线交于点C，∴CA＝CB，CD＝CE，∴∠BAC＝∠ABC＝72°，∠DEC＝∠EDC＝72°，∴∠ACB＝∠DCE，∴∠ACE＝∠BCD，在△BCD和△ACE中，CB=∴△BCD≌△ACE（SAS），∴∠CBD＝∠CAE＝72°+∠BAE，∵∠AEB＝112°，∴∠ABE＝180°﹣∠AEB﹣∠BAE＝180°﹣112°﹣∠BAE＝68°﹣∠BAE，∴∠EBD＝360°﹣∠CBD﹣∠ABC﹣∠ABE＝360°﹣（72°+∠BAE）﹣72°﹣（68°﹣∠BAE）＝148°，故选：C．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键．15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，分别以点B、C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN分别交AB、BC于点D、E；用同样的方法作直线l，l恰巧经过点D，交AC于点F，则图中与△CDE成对称关系的三角形是△CDF和△BDE【考点】线段垂直平分线的性质；作图—基本作图．【分析】根据线段垂直平分线的性质和轴对称、中心对称的定义即可得到结论．【解答】解：∵直线MN垂直平分BC，∴直线MN是△BDC的对称轴，∴△CDE与△BDE成轴对称关系，同理直线DF垂直平分AC，∴∠CFD＝∠ACB＝∠AED＝90°，∴四边形CEDF是矩形，∴△CDF与△CDE成中心对称，∴图中与△CDE成对称关系的三角形是△CDF和△BDE，故答案为：△CDF和△BDE．【点评】本题考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，轴对称和中心对称的定义，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．16．如图，在△ABC中，∠C＝52°，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于12BC的长为半径画弧，两弧相交于点E和F；②作直线EF，分别交AC，BC于点D，③连接BD，以点D为圆心，DM长为半径画弧，交BD于点G，连接GM，则∠GMB的度数为19°．【考点】线段垂直平分线的性质；作图—基本作图．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB＝DC，EF⊥BC，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．【解答】解：由作图可知：EF是线段BC的垂直平分线，∴DB＝DC，EF⊥BC，∴∠DBC＝∠C＝52°，∴∠BDM＝90°﹣52°＝38°，由作图可知：DG＝DM，∴∠DMG＝∠DGM=12×（180°﹣38∴∠GMB＝90°﹣71°＝19°，故答案为：19°．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、尺规作图，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．17．如图，已知在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OB，OC，若△ADE的周长为8cm，△OBC的周长为18cm．（1）求线段BC的长；（2）连接OA，求证：OB＝OC；（3）求线段OA的长．【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，根据三角形的周长公式计算即可；（2）根据线段垂直平分线的性质即可得出结论；（3）根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式即可求解．【解答】（1）解：∵l1是AB边的垂直平分线，∴DA＝DB，∵l2是AC边的垂直平分线，∴EA＝EC，∵△ADE的周长为8cm，∴BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝8（cm），∴BC＝8cm；（2）证明：连接OA，∵l1是AB边的垂直平分线，∴OA＝OB，∵l2是AC边的垂直平分线，∴OA＝OC，∴OB＝OC；（3）解：∵△OBC的周长为18cm，∴OB+OC+BC＝18cm，∵BC＝8cm，∴OB＝OC＝5（cm），∵OA＝OB，∴OA＝5cm．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质等几何知识．熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．18．【问题发现】我们知道“线段垂直平分线上点到线段两端的距离相等”，那么不在线段垂直平分线上的点到线段两端的距离大小如何判断呢？【自主研究】（1）如图①，直线l是线段AB的垂直平分线，点P在直线l的左侧，经测量，PA＜PB，请证明这个结论；【迁移研究】（2）如图②，直线l是线段AB的垂直平分线，点C在直线l外，且与点A在直线l的同侧，点D是直线l上的任意一点，连结AD，BC，CD，试判断BC和AD+CD之间的大小关系，并说明理由．【考点】线段垂直平分线的性质；比较线段的长短．【分析】（1）如图①，连接PA，PB，AM，由线段垂直平分线的性质推出AM＝BM，由三角形三边关系定理得到PM+AM＞PA，推出PA＜PB；（2）如图②，当D不在线段BC上时，连接BD，由线段垂直平分线的性质推出AD＝BD，由三角形三边关系定理得到AD+CD＞BC，当D在线段BC上时，AD+CD＝BC，于是AD+CD≥BC．【解答】（1）证明：如图①，连接PA，PB，AM，∵直线l是线段AB的垂直平分线，∴AM＝BM，∴PB＝PM+MB＝PM+AM，∵PM+AM＞PA，∴PA＜PB；（2）解：如图②，AD+CD≥BC，理由如下：当D不在线段BC上时，连接BD，∵直线l是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∵BD+CD＞BC，∴AD+CD＞BC，当D在线段BC上时，AD+CD＝BC，∴AD+CD≥BC，【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，比较线段的长度，关键是掌握线段垂直平分线上的任意一点，到线段两端点的距离相等．三．等腰三角形的性质（共13小题）19．如图，在△ABC中，AB＝BC，DE垂直平分BC，CD平分∠ACB，则∠B的度数为（）A．25° B．30° C．35° D．36°【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质．【分析】根据等腰三角形的性质求出∠A＝∠ACB，根据线段垂直平分线的性质得到BD＝CD，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠BCD，根据三角形内角和定理、角平分线的定义计算即可．【解答】解：∵AB＝BC，∴∠A＝∠ACB，∵DE垂直平分△ABC的边BC，∴BD＝CD，∴∠B＝∠BCD，∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠BCD＝2∠B，∴∠A＝2∠B，∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴∠B＝36°，故选：D．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于点E，下述结论正确的有（）①BD平分∠ABC；②△BCD的周长等于AB+BC；③AD＝BD＝BC；④点D是线段AC的三等分点．A．① B．①② C．①②③ D．①②③④【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质．【分析】①根据AB＝AC，∠A＝36°得∠ABC＝∠C＝72°，再根据线段垂直平分线性质得AD＝BD，进而得∠DBA＝∠A＝36°，则∠DBA＝∠DBC＝36°，据此可对结论①进行判断；②根据AD＝BD得BD+DC＝AC＝AB，进而得△BCD的周长等于BD+DC+BC＝AB+BC，据此可对结论②进行判断；③根据∠DBA＝∠A＝36°得∠BDC＝72°，则∠BDC＝∠C＝72°，进而得BD＝BC，再根据AD＝BD即可对结论③进行判断；④假设点D是线段AC的三等分点得AD＝2CD，进而得BD＝BC＝2CD，但是，根据已知条件无法判定BD＝BC＝2CD，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案．【解答】解：①在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C=12（180°﹣∠A）＝∵AB的垂直平分线DE交AC于点D，∴AD＝BD，∴∠DBA＝∠A＝36°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝36°，∴∠DBA＝∠DBC＝36°，∴BD平分∠ABC，故结论①正确；②∵AD＝BD，∴BD+DC＝AD+DC＝AC，∴BD+DC＝AB，∴△BCD的周长等于BD+DC+BC＝AB+BC，故结论②正确；③∵∠DBA＝∠A＝36°，∴∠BDC＝∠DBA+∠A＝72°，∴∠BDC＝∠C＝72°，∴BD＝BC，又∵AD＝BD，∴AD＝BD＝BC，故结论③正确；④假设点D是线段AC的三等分点，∵CD=13∴AC＝3CD，∴AD+CD＝3CD，∴AD＝2CD，∵AD＝BD＝BC，∴BD＝BC＝2CD，根据已知条件无法判定BD＝BC＝2CD，故结论④正确，综上所述：正确的结论是①②③．故选：C．【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质是解决问题的关键．21．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB，在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E…按此做法继续下去，则第2021个三角形中以A2021为顶点的内角度数是（）A．（12）2019•75° B．（12）2020•75C．（12）2021•75° D．（12）2022•【考点】等腰三角形的性质；规律型：图形的变化类．【分析】根据等腰三角形的性质，由∠B＝30°，A1B＝CB，得∠BA1C＝∠C，30°+∠BA1C+∠C＝180°，那么∠BA1C=12×150°＝75°．由A1A2＝A1D，得∠DA2A1＝∠A1DA2．根据三角形外角的性质，由∠BA1C＝∠DA2A1+∠A2DA1＝2∠DA2A1，得∠DA2A1=12∠BA【解答】解：∵∠B＝30°，A1B＝CB，∴∠BA1C＝∠C，30°+∠BA1C+∠C＝180°．∴2∠BA1C＝150°．∴∠BA1C=12×150∵A1A2＝A1D，∴∠DA2A1＝∠A1DA2．∴∠BA1C＝∠DA2A1+∠A2DA1＝2∠DA2A1．∴∠DA2A1=12∠BA1C=同理可得：∠EA3A2=12∠DA2A1=…以此类推，以An为顶点的内角度数是∠An＝（12）n×150°＝（12）n﹣1×∴以A2021为顶点的内角度数是（12）2020×75故选：B．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质以及特殊到一般的猜想归纳思想是解决本题的关键．22．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，P是BC上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，若S△ABC＝3，则PE+PF＝3．【考点】等腰三角形的性质．【分析】连接AP，则S△ABC＝S△ACP+S△ABP，依据S△ACP=12AC×PF，S△ABP=12AB×PE，代入计算即可得到PE+【解答】解：如图所示，连接AP，则S△ABC＝S△ACP+S△ABP，∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，∴S△ACP=12AC×PF，S△ABP=12又∵S△ABC＝3，AB＝AC＝2，∴3=12AC×PF+12即3=12×2×PF+1∴PE+PF＝3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，解决问题的关键是作辅助线将等腰三角形分割成两个三角形，利用面积法进行计算．23．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以点A为圆心，适当长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），交AB于点M，交AC于点N，分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点D，作射线AD交BC于点E，F为边AC上一点，连接EF，若AF＝CF，AE＝BC＝4，则EF的长为5【考点】等腰三角形的性质．【分析】由作图可知AE是∠BAC的平分线，再根据AB＝AC得BE＝CE=12BC＝2，AE⊥BC，进而得AB＝AC=25，然后根据AF＝CF，BE＝CE得EF是△ABC【解答】解：由作图可知：AE是∠BAC的平分线，∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAE，∴BE＝CE，AE⊥BC，∵AE＝BC＝4，∴BE＝CE=12BC＝在Rt△ACE中，由勾股定理得：AC=A∴AB＝AC=25∵AF＝CF，BE＝CE，∴EF是△ABC的中位线，∴EF=12AB故答案为：5．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，基本作图是解决问题的关键．24．如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒PB，PD组成，两根棒在P点相连并可绕P转动，C点固定，CP＝OC＝OA，点O，A可在槽中滑动，若∠AOB＝75°，则∠P的度数是25°．【考点】等腰三角形的性质．【分析】由等腰三角形的性质推出∠P＝∠POC，∠ACO＝∠CAO，由三角形的外角性质得到∠AOB＝3∠P＝75°，即可求出∠P的度数．【解答】解：∵CP＝OC＝OA，∴∠P＝∠POC，∠ACO＝∠CAO，∵∠ACO＝∠P+∠POC＝2∠P，∴∠CAO＝2∠P，∴∠AOB＝∠P+∠CAO＝3∠P＝75°，∴∠P＝25°．故答案为：25°．【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角性质，关键是由以上知识点推出∠AOB＝3∠P．25．五角星是我们中华人民共和国国旗的重要元素，如图是从一个五角星中分离出来的等腰三角形ABC，已知∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则ADAC的值为5-1【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理；角平分线的性质．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠ABC＝∠ACB＝72°，再利用角平分线的性质得到∠A＝∠ABD＝36°，进而可得DA＝DB，然后利用三角形外角性质可得∠BDC＝∠C＝72°，进而得到AD＝BD＝BC，证明△ABC∽△BDC，得到ABBC=BCCD=ACBD，设AD＝BD＝BC＝x【解答】解：由条件可得∠ABC∵BD平分∠ABC，∴∠ABD∴∠A＝∠ABD＝36°，∴DA＝DB，∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，∴∠BDC＝∠BCD＝72°，∴BD＝BC，∴AD＝BD＝BC，由条件可知△ABC∽△BDC，∴ABBC设AD＝BD＝BC＝x，AC＝1，∴x1-解得x1=5∴ADAC故答案为：5-【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．26．将一副三角尺按图所示方式摆放，它们共用顶点C，CD，CE分别交AB于点F，G．若BF＝CF，∠ACB＝∠E＝90°，∠A＝60°，∠D＝45°，则∠AGE的度数是75°．【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．【分析】根据等腰三角形的性质求出∠BCF＝∠B＝30°，根据三角形外角性质求出∠GFC＝60°，根据三角形内角和定理求出∠CGF＝75°，再根据对顶角性质求解即可．【解答】解：∵∠ACB＝∠E＝90°，∠A＝60°，∠D＝45°，∴∠DCE＝45°，∠B＝30°，∵BF＝CF，∴∠BCF＝∠B＝30°，∴∠GFC＝∠B+∠BCF＝60°，∴∠CGF＝180°﹣∠DCE﹣∠GFC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴∠AGE＝∠CGF＝75°，故答案为：75°．【点评】此题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟记等腰三角形的性质、三角形内角和定理是解题的关键．27．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，P是BC上任意一点，且PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E．若△ABC面积为32，则PD+PE的值是否为定值？请说明理由．【考点】等腰三角形的性质．【分析】可连接AP，由图得，S△ABC＝S△ABP+S△ACP，代入数值，解答出即可．【解答】解：PD+PE的值为定值；理由如下：如图，连接AP，由图可得：S△ABC＝S△ABP+S△ACP，∵在△ABC中，AB＝AC＝8，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，△ABC面积为32，∴32=12×8×PD+1∴PD+PE＝8；∴PD+PE的值为8．故PD+PE的值为定值．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握三角形高的定义．28．综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知△ABC中AB＝AC，∠B＝30°．将△ABC从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到△ADE（点D，E分别是点B，C的对应点），旋转角为α（0°＜α＜100°，设线段AD与BC相交于点M，线段DE分别交BC，AC于点O，N．特例分析：（1）如图2，当旋转到AD⊥BC时，求旋转角α的度数为60；探究规律：（2）如图3，在△ABC绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段AM始终等于线段AN，请你证明这一结论．拓展延伸：（3）①直接写出当△DOM是等腰三角形时旋转角α的度数．②在图3中，作直线BD，CE交于点P，直接写出当△PDE是直角三角形时旋转角α的度数．【考点】等腰三角形的性质；规律型：图形的变化类．【分析】（1）根据等腰三角形“三线合一”可得结果；（2）可证明△BAM≌△EAN，从而得出结论；（3）①分成DM＝MO，DM＝OD及OM＝OD，根据∠D＝40°，每种情形可求得另外两个角，进一步求得结果；②根据旋转的性质进行计算即可．【解答】（1）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠C＝∠B＝30°，∠BAD=12∠∴∠BAD=180°-∠B∴α＝60°，故答案为：60°；（2）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠MAN＝∠DAE﹣∠MAN，即：∠BAM＝∠EAN，在△BAM和△EAN中，AB=∴△BAM≌△EAN（ASA），∴AM＝AN；（3）解：①如图1，当DM＝OM时，∠MOD＝∠D＝30°，∵∠B＝∠D，∠AMB＝∠DMO，∴∠BAD＝∠MOD＝30°，∴α＝30°，如图2，当DM＝DO时，∠DMO＝∠DOM=180°-∠D∴α＝∠DOM＝75°，如图3，当OM＝OD时，∠OMD＝∠D＝30°，∴α＝∠DOM＝120°，此时AD和AC重合，这种情形不存在．综上所述：α＝30°或75°．②如图：当∠EDP＝90°时，∵∠ABC＝ADE＝30°，∴∠ADB＝90°﹣30°＝60°，∴∠BAD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∵0°＜α＜100°，∴旋转角α为60°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是画出图形，正确分类．29．如图1和2，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．（1）如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得DA＝CD，这个性质是角平分线上的点到角的两边距离相等（2）问题解决：如图2，求证AD＝CD；（3）问题拓展：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD＝BC．【考点】等腰三角形的性质．【分析】（1）根据角平分线的性质定理解答；（2）作DE⊥BA交BA延长线于E，DF⊥BC于F，证明△DEA≌△DFC，根据全等三角形的性质证明；（3）在BC时截取BK＝BD，连接DK，根据（2）的结论得到AD＝DK，根据等腰三角形的判定定理得到KD＝KC，结合图形证明．【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，∴DA＝DC（角平分线上的点到角的两边距离相等），故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等；（2）如图2，作DE⊥BA交BA延长线于E，DF⊥BC于F，∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，∴DE＝DF，∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°，∴∠EAD＝∠C，在△DEA和△DFC中，∠DEA∴△DEA≌△DFC（AAS），∴DA＝DC；（3）如图，在BC上截取BK＝BD，连接DK，∵AB＝AC，∠A＝100°，∴∠ABC＝∠C＝40°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBK=12∠ABC＝∵BD＝BK，∴∠BKD＝∠BDK＝80°，即∠A+∠BKD＝180°，由（2）的结论得AD＝DK，∵∠BKD＝∠C+∠KDC，∴∠KDC＝∠C＝40°，∴DK＝CK，∴AD＝DK＝CK，∴BD+AD＝BK+CK＝BC．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．30．如图，P是等腰三角形ABC底边BC上的任一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，BH是等腰三角形AC边上的高．猜想：PE、PF和BH间具有怎样的数量关系？【考点】等腰三角形的性质．【分析】连接AP，根据等腰三角形的性质可表示出S△ABC＝S△ABP+S△ACP=12×AC×（PE+PF），同时可表示出S△ABC=12AC×BH，从而可得到PE【解答】解：PE+PF＝BH．理由如下：连接AP．∵AB＝AC，∴S△ABC＝S△ABP+S△ACP=12AB×PE+12AC×PF=12∵S△ABC=12AC×∴PE+PF＝BH．【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形面积的综合运用，此题的关键是利用面积公式将所求联系在一起．31．在△ABC中，AB＝AC．（1）AD是BC上的高，AD＝AE．①如图1，如果∠BAD＝20°，则∠EDC＝10°；②如图2，如果∠BAD＝50°，则∠EDC＝25°．（2）思考：通过以上两小题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：∠EDC=12∠BAD（3）如图3，如果AD不是BC上的高，AD＝AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．【分析】（1）①等腰三角形三线合一，所以∠DAE＝20°，又因为AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED＝80°，所以∠EDC＝10°．②同理，易证∠ADE＝65°，所以∠EDC＝25°．（2）通过①②题的结论可知，∠BAD＝2∠EDC（或∠EDC=12∠（3）由于AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED，根据已知，易证∠BAD+∠B＝2∠EDC+∠C，而B＝∠C，所以∠BAD＝2∠EDC．【解答】解：（1）①在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAD＝20°，∴∠BAD＝∠CAD＝20°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝80°，∵AD是BC上的高，∴∠EDC＝90°﹣∠ADE＝10°．故答案为：10；②∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAD＝50°，∴∠BAD＝∠CAD＝50°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝65°，∴∠EDC＝25°．故答案为：25；（2）∠EDC=12∠故答案为：∠EDC=12∠（3）仍成立，理由如下：∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∴∠BAD+∠B＝∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠AED+∠EDC＝（∠EDC+∠C）+∠EDC＝2∠EDC+∠C，又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠BAD＝2∠EDC，即∠EDC=12∠【点评】本题考查了等腰三角形三线合一这一性质，即等腰三角形底边上中线、高线以及顶角的平分线三线合一．得到角之间的关系是正确解答本题的关键．四．轴对称的性质（共17小题）32．如图，AD所在直线是△ABC的对称轴，点E，F是AD上的两点，若BD＝3，AD＝5，则图中阴影部分的面积是（）A．15 B．7.5 C．6 D．4.5【考点】轴对称的性质．【分析】根据△CEF和△BEF关于直线AD对称，得出S△BEF＝S△CEF，根据图中阴影部分的面积是12S△ABC【解答】解：∵△ABC关于直线AD对称，∴B、C关于直线AD对称，∴△CEF和△BEF关于直线AD对称，∴S△BEF＝S△CEF，∵△ABC的面积是：12×BC×AD=12×6∴图中阴影部分的面积是12S△ABC＝7.5故选：B．【点评】本题考查了轴对称的性质．通过观察可以发现是轴对称图形，且阴影部分的面积为全面积的一半，根据轴对称图形的性质求解．其中看出三角形BEF与三角形CEF关于AD对称，面积相等是解决本题的关键．33．如图，在6×6方格中，点A，B，C均在格点上，△ABC的对称轴经过格点（）A．P1 B．P2 C．P3 D．P4【考点】轴对称的性质．【分析】根据轴对称的性质解答即可．【解答】解：如图所示：由题意可知，△ABC的等腰三角形，它的对称轴是底边AB的中线所在的直线，即△ABC的对称轴经过格点P3．故选：C．【点评】本题考查了轴对称的性质，掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键．34．折纸起源于中国，不仅是一种手工技艺，更是承载历史记忆与文化密码的载体．如图，四边形ABCD为一张长方形纸片，点E、F分别为AB、CD边上一点，小南将这张纸片ABCD沿EF折叠，使点B、C分别落在点M、N的位置，BC的对应边MN与CD交于点G，若∠BEF＝α，则∠FGN的度数为（）A．12α B．90°-12α C．12α-【考点】轴对称的性质；平行线的性质．【分析】根据平行线的性质以及折叠的性质解答即可．【解答】解：延长NM，交AB于点P，如图所示：由题意得，DC∥AB，∠MEF＝α，∠NME＝90°，∴∠PEM＝180°﹣2α，∴∠EPM＝90°﹣∠PEM＝90°﹣（180°﹣2α）＝2α﹣90°，∴∠FGN＝∠EPM＝2α﹣90°，故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质以及轴对称的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．35．如图是一张钝角三角形纸片ABC，小明想通过折纸的方式折出如下线段：①AC边上的中线BD；②∠B的平分线BE；③AC边上的高BF．上述三条线段中能通过折纸折出的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【考点】轴对称的性质．【分析】根据三角形的中线，角平分线以及高的定义作答．【解答】解：①BC边上的中线BD：如图1，使点A、C重合，中点为点D，连接AD，此时BD即为AC边上的中线；②∠ABC的平分线BE：如图2，沿直线BE折叠，使AB与CB重叠，此时BE即为∠ABC的角平分线；③AC边上的高BF：如图3，沿直线BF折叠，使AF与CF重合，此时BF即为AC边上的高．综上所述，所有能够通过折纸折出的有①②③．故选：D．【点评】本题考查的是轴对称的性质，涉及到图形的翻折变换，三角形的角平分线、中线以及高线，掌握三角形的角平分线、中线以及高线的几何意义是解题的关键．36．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，P是△ABC内一点，点D，E，F分别是点P关于直线AC，AB，BC的对称点，给出下面三个结论：①AE＝AD；②∠DPE＝90°；③∠ADC+∠BFC+∠BEA＝270°．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【考点】轴对称的性质．【分析】连接AP，CP，BP，根据轴对称的性质得AC，AB，BC分别为PD，PE，PF的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质得AD＝AP，AE＝AP，CD＝CP，即可判断①③，根据∠BAC＝90°，可得四边形AMPN为矩形，即可判断②．【解答】解：如图，连接AP，CP，BP，∵点D，E，F分别是点P关于直线AC，AB，BC的对称点，∴AC，AB，BC分别为PD，PE，PF的垂直平分线，∴AD＝AP，AE＝AP，∴AE＝AD，故①正确；∵AC，AB分别为PD，PE的垂直平分线，∠BAC＝90°，∴四边形AMPN为矩形，∴∠DPE＝90°，故②正确；∵AC为PD的垂直平分线，∴AD＝AP，CD＝CP，∴∠ADP＝∠APD，∠CDP＝∠CPD，∴∠ADC＝∠APC，同理得∠BFC＝∠BPC，∠BEA＝∠APB，∵∠APC+∠BPC+∠APB＝360°，∴∠ADC+∠BFC+∠BEA＝360°，故③错误；故选：A．【点评】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是关键．3