专题三　微专题2　数列求和及其综合应用

数列求和及其综合应用微专题2汇报人：1.数列求和重点考查分组转化、错位相减、裂项相消三种求和方法.2.数列的综合问题，一般以等差数列、等比数列为背景，与函数、不等式相结合，考查最值、范围以及证明不等式等.3.主要以选择题、填空题及解答题的形式出现，难度中等.考情分析数列的综合问题内容索引目录壹数列求和贰专题强化练数列求和第一章

(2024·西安模拟)已知在正项数列{an}中，a3=4，a2a5=32，且lnan，lnan+1，lnan+2成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式；例1考向1分组转化法

(2)若数列{bn}满足bn=an+(-1)nlog2an+1，求数列{bn}的前n项和Tn.

(2024·茂名模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=S4+S3，2a3n-3a2n=1，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；例2考向2裂项相消法

(2024·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知4Sn=3an+4.(1)求{an}的通项公式；例3考向3错位相减法

(2)设bn=(-1)n-1nan，求数列{bn}的前n项和Tn.

规律方法(1)分组转化法求和的关键是将数列通项转化为若干个可求和的数列通项的和或差.(2)裂项相消法的基本思路是将通项拆分，可以产生相互抵消的项.(3)用错位相减法求和时，应注意：①等比数列的公比为负数的情形；②在写出“Sn”和“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确地写出“Sn-qSn”的表达式.

跟踪演练1

(2)(2024·秦皇岛模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且数列{Sn+2}是公比为2的等比数列.①求{an}的通项公式；

数列的综合问题第二章数列与函数、不等式，以及数列新定义的综合问题，是高考命题的一个方向，考查逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养.解决此类问题，一是把数列看成特殊的函数，利用函数的图象、性质求解；二是将新数列问题转化为等差或等比数列，利用特殊数列的概念、公式、性质，结合不等式的相关知识求解.

(1)已知函数f(x)=x5+2x3+3x，数列{an}的首项为1，且满足an+3=an(n∈N*).若f(a2023)+f(a2024+a2025)=0，则数列{an}的前2026项和为A.0 B.1 C.675

D.2023例4√∵函数f(x)=x5+2x3+3x，则f'(x)=5x4+6x2+3>0，∴函数f(x)=x5+2x3+3x是增函数，且是奇函数.∵an+3=an(n∈N*)，∴a1=a2023=1，a2=a2024，a3=a2025，∴f(a1)+f(a2+a3)=f(a2023)+f(a2024+a2025)=0，∴f(a1)=-f(a2+a3)=f(-a2-a3)，∴a1=-a2-a3，即a1+a2+a3=0，∴数列{an}的前2026项和为675×(a1+a2+a3)+a2026=0+a1=1.(2)(2024·襄阳模拟)蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关，如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D(第一段圆弧)，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……依此类推，当得到的“蚊香”(不含△ABC)恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为

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80π

规律方法数列的“新定义问题”，主要是指定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算等，关键是将新数列转化为等差或等比数列，或者找到新数列的递推关系，主要考查的还是数列的基础知识.

(1)(2024·南昌模拟)若数列{an}相邻两项的和依次构成等差数列，则称{an}是“邻和等差数列”.例如，数列1，2，4，5，7，8，10为“邻和等差数列”.已知数列{an}是“邻和等差数列”，Sn是其前n项和，且a1=0，a2=1，a3=4，则S200等于A.39700 B.39800C.39900 D.40000√跟踪演练2

√

专题强化练第三章题号12345678答案DBACACADABD题号9101314答案52-1012012345678910111213答案14对一对

11.12345678910111213答案14

12.12345678910111213答案14

12.12345678910111213答案14

12.12345678910111213答案14一、单项选择题12345678910111213

√素养提升答案1412345678910111213

答案1412345678910111213

√答案14123456789111213

答案1410123456789101112133.(2024·双鸭山模拟)在一个数列中，如果∀n∈N*，都有an·an+1·an+2=8，且a1=1，a2=2，则a1+a2+a3+…+a12等于A.28 B.20 C.24

D.10√答案由题知an·an+1·an+2=8，an+1·an+2·an+3=8，所以an=an+3，故数列{an}是一个周期为3的周期数列，又a1a2a3=8，a1=1，a2=2，所以a3=4，所以a1+a2+a3+…+a12=4(a1+a2+a3)=28.14

12345678910111213√答案1412345678910111213答案

145.(2024·杭州模拟)设数列{an}，{bn}满足a1=b1=1，an+bn+1=2n，an+1+bn=2n.设Sn为数列{an+bn}的前n项和，则S7等于A.110 B.120 C.288

D.30612345678910111213答案√S7=a1+b1+a2+b2+a3+b3+a4+b4+a5+b5+a6+b6+a7+b7=a1+b1+(a2+b3)+(b2+a3)+(a4+b5)+(b4+a5)+(a6+b7)+(b6+a7)=1+1+2×2+22+2×4+24+2×6+26=2+4+4+8+16+12+64=110.1412345678910111213

√答案1412345678910111213

答案1412345678910111213

√答案√14二、多项选择题12345678910111213

答案14

12345678910111213√答案√√14若数列{an}是递减数列，则a1是a1，a2，…，ak中的最大值(k=1，2，…，n，n∈N*)，所以bn=a1，{bn}为常数列，A选项正确；若数列{an}是递增数列，则ak是a1，a2，…，ak中的最大值(k=1，2，…，n，n∈N*)，所以bk=ak，即an=bn，B选项正确；满足{bn}为2，3，3，5，5，则a1=2，a2=3，a3可以取1，2，3，a4=5，a5可以取1，2，3，4，5，12345678910111213答案14

12345678910111213答案14123456789101112139.(2024·沈阳模拟)已知公比q大于1的等比数列{an}满足a1+a3=5，a2=2.设bn=|2log2an-7|，则数列{bn}的前10项和S10=

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答案1452三、填空题12345678910111213

答案1412345678910111213

答案141234567891011121310.设有四个数的数列a1，a2，a3，a4，前三个数构成一个等比数列，其和为k，后三个数构成一个等差数列，其和为15，且公差非零.对于任意固定的实数k，若满足条件的数列只有一个，则k的值为

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答案14

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答案1412345678910111213

答案14四、解答题12345678910111213答案

1412345678910111213

答案

1412345678910111213

答案1412345678910111213答案14

12345678910111213答案

1412345678910111213答案14

12345678910111213答案14

13.(2024·佳木斯模拟)复数z=i+2i2+3i3+…+2024i2024的虚部是

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思维创新12345678910111213答案14-101212345678910111213答案

1412345678910111213答案14.(2024·沈阳