中考数学专项复习资料试卷试题练习分类汇编-二次函数附答案

2014年全国各地中考数学真题分类解析汇编：13二次函数附答

案

一、选择题

1.（2014•广东，第10题3分）二次函数厂办2+公+0（存0）的大致图象如图，关于该二

次函数，下列说法错误的是（）

A.函数有最小值

C.当尤〈2，y随尤的增大而减小D.当-1＜尤＜2时，y＞0

2

2.（2014•广西贺州，第10题3分）已知二次函数广62+匕尤+c（a,b,c是常数，且存0）

的图象如图所示，则一次函数产CX+上与反比例函数产生在同一坐标系内的大致图象是

2ax

3.（2014年四川资阳，第10题3分）二次函数产加+云+。（存0）的图象如图，给出下列四

个结论：

@4ac-Z?2<0；②4a+cV2Z?；③3b+2c<0；@m（am+b）+b<a（-1）,

其中正确结论的个数是（）

4.（2014年天津市，第12题3分）已知二次函数广"2+bx+c（存0）的图象如图，且关于无

的一元二次方程ax+bx+c-m=0没有实数根，有下列结论：

①/-4ac>0；②abc<0；③m>2.

其中，正确结论的个数是（）

5.（2014•新疆，第6题5分）对于二次函数y=（x-1）2+2的图象，下列说法正确的是（）

A.开口向下B.对称轴是x=-lC.顶点坐标是（1,2）D与x轴有两个交点

6.（2014•舟山，第10题3分）当-2勺合1时，二次函数y=-（尤-M,"P+l有最大值4,

则实数机的值为（）

A--B.-V3仁2或一病D2或-75^-上

4

_12

7.（2014•毕节地区，第11题3分）抛物线y=2f,y=-2x2,%,共有的性质是（）

A.开口向下B.对称轴是y轴

C.都有最低点D.y随x的增大而

减小

8.（2014•孝感，第12题3分）抛物线y=a$+Zw+c的顶点为。（-1,2）,与x轴的一个交

点A在点（-3,0）和（-2,0）之间，其部分图象如图，则以下结论：

①/-4ac<0；②a+6+c<0；③c-a=2；④方程af+bx+c-2=0有两个相等的实数根.

其中正确结论的个数为（)

A.1个B.2个C.3个D4个

9.（2014・台湾，第26题3分）己知。、h、左为三数，且二次函数y=a（尤-4+/在坐标平

面上的图形通过（0,5）、（10,8）两点.若。<0,0</i<10,则/i之值可能为下列何者？（）

A.1B.3C.5D.7

10.（2014•浙江金华，第9题4分）如图是二次函数y=-x?+2x+4的图象，使y41成立

的x的取值范围是【】

A.-l<x<3B.x<—1C.x>lD.xW—1或

x>3

11.(2014•浙江宁波，第12题4分)已知点A(a-2b,2-4H)在抛物线产尤2+4x+10上，

则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为()

A.(-3,7)B.(-1,7)C.(-4,10)D.(0,10)

12.（2014•荷泽第8题3分）如图，RdABC中，AC=BC=2,正方形CDEF的顶点。、F分

别在AC、BC边上，C、D两点不重合，设C。的长度为x,△ABC与正方形所重

叠部分的面积为y,则下列图象中能表示y与尤之间的函数关系的是（）

B

E

CDA

13.（2014•济宁，第8题3分）“如果二次函数产云+c的图象与1轴有两个公共点，那

么一元二次方程〃/+"+/（）有两个不相等的实数根.，，请根据你对这句话的理解，解决下面

问题：若m、n（m<n）是关于x的方程1-（x-a）（x-/?）=0的两根，且a〈b,则〃、b、

m、n的大小关系是（）

A.m〈a<b〈nB.a〈m<n<bC.a<m<b<nD.m〈a〈n〈b

14.（2014年山东泰安，第17题3分）已知函数y=（x-m）（x-«）（其中机<〃）的图象

如图所示，则一次函数产加X+"与反比例函数y=w蛆的图象可能是（）

的x与y的部分对应值如下表：

X-1013

y-1353

下列结论：

(1)〃c<0；

（2）当x>l时，y的值随x值的增大而减小.

（3）3是方程czx2+（b-1）x+c=O的一■个根；

（4）当-l<x<3时，<zx2+（Z?-1）x+c>0.

其中正确的个数为（）

A.4个B.3个C.2个D1个

16.（2014•滨州，第9题3分）下列函数中，图象经过原点的是（）

A.y=3xB.y=l-lxC.y=9D.y=x-1

二.填空题

1.（2014•安徽省，第12题5分）某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产

品的研发资金与上月相比增长率都是无，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于

x的函数关系式为产.

2.（2014年云南，第16题3分）抛物线y=$-2x+3的顶点坐标是.

3.（2014•浙江湖州，第16题4分）已知当无i=a,x2=b,匹=。时，二次函数y=L2+mx对应

2

的函数值分别为yi，*，/，若正整数。，b,c恰好是一个三角形的三边长，且当a<b<c

时，都有为<”<为，则实数机的取值范围是.

4.（2014•株洲I,第16题，3分）如果函数产（a-1）x2+3x+-5号的图象经过平面直角坐

标系的四个象限，那么。的取值范围是.

5.（2014年江苏南京，第16题，2分）已知二次函数y=a?+bx+c中，函数y与自变量x

的部分对应值如表:

X...-10123…

105212...

则当y<5时，x的取值范围是.

6.（2014•扬州,第16题，3分）如图，抛物线y=cz%2+bx+c（a>0）的对称轴是过点（1,0）

且平行于y轴的直线，若点尸（4,0）在该抛物线上，则4a-26+c的值为.

（第3题图）

7.（2014•荷泽，第12题3分）如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线yl=x2（x>0）与

2

》2=工（龙川）于8、C两点，过点C作y轴的平行线交yl于点。，直线。E〃AC,交y2

3-

于点E,则塔_______.

AB

8.（2014•珠海，第9题4分）如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1,0）,（3,

0）两点，即它的对称轴为.

三.解答题

1.（2014•安徽省，第22题12分）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这

两个二次函数为“同簇二次函数

（1）请写出两个为“同簇二次函数''的函数；

22

（2）已知关于x的二次函数yi=2d-4mx+2m+l和y2-ax+bx+5,其中yi的图象经过点A

（1,1）,若M+n与以为“同簇二次函数”，求函数刃的表达式，并求出当g运3时，”的

最大值.

2.（2014•福建泉州，第22题9分）如图，已知二次函数y=a（x-h）2+”句的图象经过原

点0（0,0）,A（2,0）.

（1）写出该函数图象的对称轴；

（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60。到。4,试判断点4是否为该函数图象的顶点？

3.（2014•福建泉州，第25题12分）如图，在锐角三角形纸片ABC中，AOBC,点。,

E,尸分别在边AB,BC,CA上.

(1)已知：DE//AC,DF//BC.

①判断

四边形DECF一定是什么形状？

②裁剪

当AC=24C7",BC=20cm,NAC8=45。时，请你探索：如何剪四边形DECF,能使它的面积最

大，并证明你的结论;

（2）折叠

请你只用两次折叠，确定四边形的顶点DE,C,F,使它恰好为菱形，并说明你的折法和

理由.

BECBC

备用图

4.（2014•广东，第25题9分）如图，在△ABC中，AB^AC,于点。，BC=Wcm,

AD=8c机.点尸从点B出发，在线段BC上以每秒3c机的速度向点C匀速运动，与此同时，

垂直于AD的直线机从底边8C出发，以每秒2c机的速度沿D4方向匀速平移，分别交AB、

AC、于E、F、H,当点P到达点C时，点尸与直线机同时停止运动，设运动时间为f

秒

（1）当/=2时，连接。E、DF,求证：四边形尸为菱形；

（2）在整个运动过程中，所形成的的面积存在最大值，当的面积最大时，求

线段BP的长；

（3）是否存在某一时刻3使为直角三角形？若存在，请求出此时刻，的值；若不存

在，请说明理由.

5.（2014•珠海，第22题9分）如图，矩形。ABC的顶点A（2,0）、C（0,2、际）.将矩

形OABC绕点。逆时针旋转30°.得矩形OEFG,线段GE、FO相交于点H,平行于y轴的

直线分别交线段GF、GH、G。和无轴于点M、P、N、D,连结M/.

（1）若抛物线/：y=ox2+6x+c经过G、。、E三点、,则它的解析式为：_y=&?-；

3-3―

（2）如果四边形0HMN为平行四边形，求点。的坐标；

（3）在（1）（2）的条件下，直线与抛物线/交于点R,动点。在抛物线/上且在R、

E两点之间（不含点R、E）运动，设△PQH的面积为s,当亚＜s4Y5时，确定点。的

横坐标的取值范围.

6.2014•广西贺州，第26题12分）二次函数图象的顶点在原点O,经过点A（l,工）；点

4

F（0,1）在y轴上.直线y=-1与y轴交于点”.

（1）求二次函数的解析式；

（2）点尸是（1）中图象上的点，过点尸作x轴的垂线与直线y=-1交于点求证：FM

平分/OEP；

（3）当是等边三角形时，求P点的坐标.

7.（2014•广西玉林市、防城港市，第26题12分）给定直线/：y=kx,抛物线C：y=ax1+bx+l.

（1）当b=l时，/与C相交于A,8两点，其中A为C的顶点，8与A关于原点对称，求a

的值；

（2）若把直线/向上平移后+1个单位长度得到直线广，则无论非零实数及取何值，直线厂

与抛物线C都只有一个交点.

①求此抛物线的解析式；

②若尸是此抛物线上任一点，过P作尸0〃y轴且与直线y=2交于。点，。为原点.求证：

8.（2014年四川资阳，第22题9分）某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，

空调的采购单价yi（元/台）与采购数量尤1（台）满足M=-204+1500（0〈无620,xi为整数）；

冰箱的采购单价经（元/台）与采购数量尤2（台）满足竺=T0尤2+1300（0＜迂20,也为整数）.

（1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的皂,且空调采购单价不低于1200

9

元，问该商家共有几种进货方案？

（2）该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完.在

（1）的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润.

9.（2014年四川资阳，第24题12分）如图，已知抛物线产融2+6尤+c与x轴的一个交点为A

（3,0）,与y轴的交点为8（0,3）,其顶点为C,对称轴为x=l.

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点M为y轴上的一个动点，当为等腰三角形时，求点M的坐标；

（3）将△AOB沿x轴向右平移机个单位长度（0＜根＜3）得到另一个三角形，将所得的三

角形与△A8C重叠部分的面积记为S,用m的代数式表示S.

10.（2014•温州，第21题10分）如图，抛物线y=-d+2x+c与无轴交于A,8两点，它的

对称轴与x轴交于点N,过顶点M作MELy轴于点E,连结BE交MN于点F,已知点A

的坐标为（-1,0）.

（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标.

（2）求与△BNE的面积之比.

11.（2014•舟山，第22题10分）实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内

其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数尸-200X2+400X

刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数产（Q0）刻画（如图所

示）.

（1）根据上述数学模型计算：

①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？

②当x=5时，y=45,求k的值.

（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后

驾驶”，不能驾车上路.参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白

酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由.

45

Ox彻

12.（2014•舟山，第24题12分）如图，在平面直角坐标系中，A是抛物线上的一个动

点，且点A在第一象限内.轴于点E,点8坐标为（0,2）,直线4B交x轴于点C,

点D与点C关于y轴对称，直线DE与AB相交于点F,连结BD.设线段AE的长为m,LBED

的面积为S.

（1）当时，求S的值.

（2）求S关于机（*2）的函数解析式.

（3）①若5=上时，求期的值；

13.（2014年广东汕尾，第25题10分）如图，已知抛物线产居2_&-3与x轴的交点为4

84

在。的右侧），与y轴的交点为C.

（1）直接写出A、D、C三点的坐标；

（2）若点M在抛物线上，使得的面积与△CA。的面积相等，求点M的坐标；

（3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为3,在抛物线上是否存在点P,使得以A、B、C、

P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

14.(2014•毕节地区，第27题16分)如图，抛物线产办2+bx+c(存0)的顶点为A(-1,

-1),与x轴交点0).C为x轴上一点，且/CAO=90。，线段AC的延长线交抛

物线于8点，另有点尸(-1,0).

(1)求抛物线的解析式；

(2)求直线Ac的解析式及B点坐标；

(3)过点2做无轴的垂线，交x轴于。点，交过点。(0,-2)且垂直于y轴的直线于E

点，若尸是ABE尸的边上的任意一点，是否存在BPLEF?若存在，求尸点的坐标，若

15.（2014•武汉2014•武汉，第29题10分）九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出

某种商品在第尤（l<x<90）天的售价与销量的相关信息如下表:

时间X（天）l<x<5050s烂90

售价（元/件）¥+4090

每天销量（件）200-2x

己知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元.

（1）求出y与x的函数关系式；

（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？

（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果.

16.（2014•武汉，第25题12分）如图，已知直线AB：y=fcc+2A+4与抛物线y=2?交于人,

8两点.

（1）直线AB总经过一个定点C,请直接出点C坐标;

1

（2）当仁-攵时，在直线下方的抛物线上求点P,使AABP的面积等于5；

（3）若在抛物线上存在定点D使NAOB=90。，求点D到直线AB的最大距离.

17.(2014•襄阳，第26题12分)如图，在平面直角坐标系中，矩形。CDE的三个顶点分别

是C(3,0),D(3,4),E(0,4).点A在QE上，以A为顶点的抛物线过点C,且对称

轴产1交无轴于点&连接EC,AC.点P,。为动点，设运动时间为f秒.

(1)填空：点A坐标为;抛物线的解析式为

(2)在图1中，若点尸在线段OC上从点。向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点。

在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随

之停止运动.当/为何值时，△PC。为直角三角形？

(3)在图2中，若点尸在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P

做PFLAB,交AC于点R过点/作于点G,交抛物线于点。，连接A。，CQ.当

/为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？

图①图②

18.(10分)(2014•孝感，第22题10分)已知关于x的方程尤2-(2/-3)x+好+1=0有两个

不相等的实数根尤1、X2.

(1)求人的取值范围；

(2)试说明制<0,%2<0；

(3)若抛物线y=£-(2Z-3)尤+9+1与x轴交于A、8两点，点A、点8到原点的距离分

另IJ为04、OB,5.OA+OB=2OA-OB-3,求上的值.

19.（2014•孝感，第25题12分）如图1,矩形ABC。的边AD在y轴上，抛物线-4龙+3

（2）若点P是抛物线上一动点（点尸不与点A、点B重合），过点P作y轴的平行线/与直

线AB交于点G,与直线8。交于点X,如图2.

①当线段PH=2G”时，求点P的坐标；

②当点尸在直线8。下方时，点K在直线8。上，且满足求△KPH面积的

最大值.

20.（2014•邵阳，第26题10分）在平面直角坐标系无Oy中，抛物线yf?-km+n）x+mn<im

〉〃）与龙轴相交于A、B两点（点A位于点8的右侧），与y轴相交于点C.

（1）若根=2,n=l,求A、B两点的坐标；

（2）若A、8两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是（0,-1）,求/ACB的大小；

（3）若加=2,△ABC是等腰三角形，求”的值.

21.(2014•浙江宁波，第23题10分)如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(2,0),

B(0,-1)和C(4,5)三点.

(1)求二次函数的解析式；

(2)设二次函数的图象与x轴的另一个交点为。，求点D的坐标；

(3)在同一坐标系中画出直线y=x+l,并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二

次函数的值.

22.(2014•四川自贡，第24题14分)如图，已知抛物线-x+c与x轴相交于A、B两

点，并与直线y=x-2交于8、C两点，其中点C是直线y=x-2与y轴的交点，连接AC.

（1）求抛物线的解析式；

（2）证明：△ABC为直角三角形；

（3）AABC内部能否截出面积最大的矩形。E/G?（顶点。、E、F、G在△ABC各边上）

23.（2014•浙江湖州，第23题分）如图，己知在平面直角坐标系xOy中，。是坐标原点，

抛物线y=-f+6x+c（c>0）的顶点为。，与y轴的交点为C,过点C作CA〃尤轴交抛物线

于点A,在AC延长线上取点8,使8C=L1C,连接OA,OB,和AD

2

（1）若点A的坐标是（-4,4）

①求6,c的值；

②试判断四边形的形状，并说明理由；

（2）是否存在这样的点A,使得四边形AO8O是矩形？若存在，请直接写

出一个符合条件的点A的坐标；若不存在，请说明理由.

分析：（1）①将抛物线上的点的坐标代入抛物线即可求出6、c的值；

②求证和即可判定四边形为平行四边形；

（2）根据矩形的各角为90。可以求得△ABOS/SOBC即里凶，再根据勾股定理可得

OBAB

OC=&BC,AC=V2OC,可求得横坐标为土加c,纵坐标为c.

24.(2014•湘潭，第25题)△ABC为等边三角形，边长为a,DFLAB,EFLAC,

(1)求证：△BDFs^CEF；

(2)若a=4,设BF=m,四边形ADFE面积为S,求出S与机之间的函数关系，并探究当相

为何值时S取最大值;

(3)已知A、D、F、E四点共圆，已知加〃NEZ)F=强，求此圆直径.

2

(第1题图)

25.(2014•湘潭，第26题)已知二次函数y=-d+云+c的对称轴为尸2,且经过原点，直

线AC解析式为y=kx+4,

(1)求二次函数解析式；

(2)若SAA0B=,求心

^ABOC

(3)若以BC为直径的圆经过原点，求公

（第2题图）

26.（2014•益阳，第20题，10分）如图，直线y=-3x+3与龙轴、y轴分别交于点A、B,

抛物线y=a（x-2）2+4经过点A、B,并与X轴交于另一点C,其顶点为P

（1）求a,k的值；

（2）抛物线的对称轴上有一点°,使△A3。是以AB为底边的等腰三角形，求。点的坐标;

（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N,使以A,C,M,N为顶点的四边形为正方形,

求此正方形的边长.

（第3题图）

27.（2014•益阳，第21题，12分）如图，在直角梯形A8C£）中，AB〃CD,4。_L4B,NB=60。,

AB=1Q,BC=4,点尸沿线段AB从点A向点B运动，设APF.

（1）求的长；

（2）点尸在运动过程中，是否存在以A、P、。为顶点的三角形与以P、C、8为顶点的三

角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；

（3）设尸与△尸C8的外接圆的面积分别为Si、S2，若S=Si+S2，求S的最小值.

（第4题图）

28.（2014•株洲，第24题，10分）已知抛物线y=*-（左+2）x+电2和直线y=（左+1）尤+

（k+1）~.

（1）求证：无论左取何实数值，抛物线总与无轴有两个不同的交点；

（2）抛物线于x轴交于点A、B,直线与x轴交于点C,设A、B、C三点的横坐标分别是

X1、数、%3＞求X1•尤2・X3的最大值；

（3）如果抛物线与X轴的交点A、8在原点的右边，直线与X轴的交点C在原点的左边，

又抛物线、直线分别交y轴于点D、E,直线交直线CE于点G（如图）,且CA・GE=CG・AB,

求抛物线的解析式.

（第5题图）

29.（2014年江苏南京，第24题）已知二次函数-23+/+3（根是常数）.

（1）求证：不论相为何值，该函数的图象与无轴没有公共点；

（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与无轴只

有一个公共点？

30.（2014•泰州，第24题，10分）某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热，并立

即将材料分为A、B两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过尤根沅时，4

2两组材料的温度分别为W℃、y℃,如与x的函数关系式分别为划=依+从JB=—（%

B4

-60）2+机（部分图象如图所示），当x=40时，两组材料的温度相同.

（1）分别求划、如关于尤的函数关系式；

（2）当A组材料的温度降至120℃时，8组材料的温度是多少？

（3）在0＜彳＜40的什么时刻，两组材料温差最大？

（第7题图）

31.（2014•扬州，第27题，12分）某店因为经营不善欠下38400元的无息贷款的债务，想

转行经营服装专卖店又缺少资金.“中国梦想秀”栏目组决定借给该店30000元资金，并约定

利用经营的利润偿还债务（所有债务均不计利息）.已知该店代理的品牌服装的进价为每件

40元，该品牌服装日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的关系可用图中的一条折线（实

线）来表示.该店应支付员工的工资为每人每天82元，每天还应支付其它费用为106元（不

包含债务）.

（1）求日销售量y（件）与销售价无（元/件）之间的函数关系式；

（2）若该店暂不考虑偿还债务，当某天的销售价为48元/件时，当天正好收支平衡（收人=

支出），求该店员工的人数；

（3）若该店只有2名员工，则该店最早需要多少天能还清所有债务，此时每件服装的价格

应定为多少元？

（第8题图）

32.（2014•呼和浩特,第25题12分）如图，已知直线I的解析式为-1,抛物线>=办2+公+2

经过点A（m,0）,B（2,0）,D（1,殳三点.

4

（1）求抛物线的解析式及A点的坐标，并在图示坐标系中画出抛物线的大致图象;

（2）已知点P（x,y）为抛物线在第二象限部分上的一个动点，过点尸作PE垂直无轴于

点、E,延长PE与直线/交于点凡请你将四边形的面积S表示为点尸的横坐标尤的

函数，并求出S的最大值及S最大时点P的坐标；

（3）将（2）中S最大时的点尸与点B相连，求证：直线/上的任意一点关于无轴的对称点

一定在P8所在直线上.

33.（2014•滨州，第23题9分）已知二次函数y=f-4x+3.

（1）用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的

情况；

（2）求函数图象与x轴的交点A,B的坐标，及△ABC的面积.

34.（2014•德州，第24题12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4,0）,

并且OA=OC=4O8,动点尸在过A,B,C三点的抛物线上.

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合

条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）过动点尸作PE垂直于y轴于点E,交直线AC于点。，过点。作y轴的垂线.垂足

为尸，连接所，当线段EP的长度最短时，求出点尸的坐标.

35.（2014•荷泽，第21题10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2-2“武+加2-9.

（1）求证：无论相为何值，该抛物线与无轴总有两个交点；

（2）该抛物线与x轴交于A,8两点，点A在点8的左侧，且。4<。8,与y轴的交点坐

标为（0,-5）,求此抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴与无轴的交点为N,若点M是线段AN上的任意一

点，过点M作直线无轴，交抛物线于点C,记点C关于抛物线对称轴的对称点为£>,

点尸是线段MC上一点，且满足MP=MC,连结CD,PD,作交x轴于点E,问是

否存在这样的点E,使得PE=P。？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

y八

------------------------>

Ox

36.(2014•济宁，第22题11分)如图，抛物线yn-N+bx+c与x轴交于A(5,0)、B(-1,

-4

0)两点，过点A作直线AC_Lx轴，交直线y=2x于点C；

(1)求该抛物线的解析式；

(2)求点A关于直线y=2r的对称点4的坐标，判定点4是否在抛物线上，并说明理由；

(3)点尸是抛物线上一动点，过点尸作y轴的平行线，交线段C4于点是否存在这样

的点P,使四边形抬CM是平行四边形？若存在，求出点尸的坐标；若不存在，请说明理

由.

37.(2014年山东泰安，第29题)二次函数尸以2+bx+c的图象经过点(7,4),且与直线

尸-L+1相交于A、B两点(如图)，A点在y轴上，过点2作轴，垂足为点C(-

2

3,0).

(1)求二次函数的表达式；

(2)点N是二次函数图象上一点(点N在AB上方)，过N作NPL尤轴，垂足为点P,

交于点求MN的最大值；

(3)在(2)的条件下，点N在何位置时，与NC相互垂直平分？并求出所有满足

条件的N点的坐标.

分析：(1)首先求得A、8的坐标，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；

(2)设M的横坐标是x,则根据M和N所在函数的解析式，即可利用x表示出M、N

的坐标，利用x表示出的长，利用二次函数的性质求解；

(3)与NC互相垂直平分，即四边形2cA/N是菱形，则BC=A/C,据此即可列方程,

求得尤的值，从而得到N的坐标.

答案

一、选择题

1.（2014•广东，第10题3分）二次函数yuc^+w+c（行0）的大致图象如图，关于该二

次函数，下列说法错误的是（

A.函数有最小值

C当尤〈工，y随尤的增大而减小D.当-1＜尤＜2时，y＞0

2

考点：二次函数的性质.

分析：根据抛物线的开口方向，利用二次函数的性质判断A；

根据图形直接判断3

根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，进而判断C；

根据图象，当-l<x<2时，抛物线落在x轴的下方，则y<0,从而判断。.

解答：解：A、由抛物线的开口向下，可知。<0,函数有最小值，正确，故本选项不符合题

思；

B、由图象可知，对称轴为广工，正确，故本选项不符合题意；

2

C、因为。>0,所以，当尤〈工时，y随x的增大而减小，正确，故本选项不符合题意;

2-

D、由图象可知，当-1VXV2时，y<0,错误，故本选项符合题意.

故选D.

点评：本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想解题.

2.（2014•广西贺州，第10题3分）已知二次函数尸办2+bx+c（a,b,c是常数，且存0）

考点：二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象.

分析：先根据二次函数的图象得到。>0,b<Q,c<Q,再根据一次函数图象与系数的关系和

反比例函数图象与系数的关系判断它们的位置.

解答：解：•••抛物线开口向上，

:抛物线的对称轴为直线X=-上>0,

2a

：.b<Q,

:抛物线与y轴的交点在x轴下方，

...一次函数尸CX+上的图象过第二、三、四象限，反比例函数〉=生分布在第二、四

2ax

象限.

故选艮

点评：本题考查了二次函数的图象：二次函数产办2+fcv+C（服b、C为常数，存0）的图象

为抛物线，当a>0,抛物线开口向上；当。<0,抛物线开口向下.对称轴为直线a

A；与y轴的交点坐标为（0,c）.也考查了一次函数图象和反比例函数的图象.

2a

3.（2014年四川资阳，第10题3分）二次函数产依2+法+0（存0）的图象如图，给出下列四

个结论：

①4ac-/<0；②4a+c<26；③36+2c<0；®m（am+b）+b<a（-1）,

其中正确结论的个数是（）

考点：二次函数图象与系数的关系.

分析：利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断.

解答：解：二•抛物线和x轴有两个交点，

b1-4ac>0,

.'.4ac-i>2<0,...①正确；

:对称轴是直线x-1,和x轴的一个交点在点（0,0）和点（1,0）之间，

...抛物线和无轴的另一个交点在（-3,0）和（-2,0）之间，

...把（-2,0）代入抛物线得:y=4a-2b+c>0,

；.4a+c>26,...②错误；

,把（1,0）代入抛物线得:y=a+b+c<0,

2〃+28+2c<0,

b=2a,

：.3b,2c<0,・••③正确;

・・,抛物线的对称轴是直线-1,

••y=a-b+c的值最大，

即把(m,0)(m^O)代入得：y=am2-^bm-^c<a-b+c,

am+bm-^b<a,

即m（am+b）+b<a,・••④正确；

即正确的有3个，

故选B.

点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其

图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程办2+bx+c=0的

解的方法.同时注意特殊点的运用.

4.（2014年天津市，第12题3分）已知二次函数产办2+6X+C（存0）的图象如图，且关于x

的一元二次方程cuC+bx+c-m=Q没有实数根，有下列结论：

①层-4ac>0；②abc<0；®m>2.

其中，正确结论的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

考点：二次函数图象与系数的关系.

分析：由图象可知二次函数>=依2+6尤+。与尤轴有两个交点，进而判断①；

先根据抛物线的开口向下可知。<0,由抛物线与y轴的交点判断c与。的关系，根据对称

轴在y轴右侧得出方与0的关系，然后根据有理数乘法法则判断②；

一元二次方程以2+法+（?-“7=0没有实数根，则可转化为。尤2+云+。=m，即可以理解为

丫=渥+历：+。和y=7W没有交点，即可求出"7的取值范围，判断③即可.

解答：解：①：二次函数严办2+法+。与X轴有两个交点，

,'.b2-4ac>0,故①正确；

②,•抛物线的开口向下，

.•.QVO,

•.•抛物线与y轴交于正半轴，

.•.c>0,

:对称轴x=-上>0,

2a

ab<0,

V«<0,

abc<0,故②正确;

③.一元二次方程ax+bx+c-m=0没有实数根，

.,.y=aX1+bx+c和y=m没有交点，

由图可得，加>2,故③正确.

故选D

点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与6的

关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用.

5.（2014•新疆，第6题5分）对于二次函数y=（x-1）2+2的图象，下列说法正确的是（）

A.开口向下B.对称轴是x=-lC.顶点坐标是（1,2）D与x轴有两个交点

考点：二次函数的性质.

专题：常规题型.

分析：根据抛物线的性质由。=1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1,2）,

对称轴为直线x=l,从而可判断抛物线与x轴没有公共点.

解答：解：二次函数尸（x-1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1,2）,对称轴为直线

X=\,抛物线与X轴没有公共点.

故选C.

点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数尸储+6x+c（存0）的顶点式为尸z（x-A）

2a

22

2+4aC-b\的顶点坐标是（-至，,al匕）,对称轴直线下当a>0时,

4a2a4a

抛物线y=ar2+6x+c（存0）的开口向上，当时，抛物线尸办2+匕尤+。（存0）的开

口向下.

6.（2014•舟山，第10题3分）当-2/1时，二次函数尸-（尤-加），川+1有最大值4,

则实数%的值为（）

儿-B.7^-V3仁2或一右D.2^4-^3^--

4

考点：二次函数的最值

专题：分类讨论.

分析：根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可.

解答：解：二次函数的对称轴为直线广出

①相<-2时，x=-2时二次函数有最大值，

止匕时-（-2-机）2+m2+l=4,

解得m=-,与m<-2矛盾，故m值不存在；

②当-2夕区1时，加时，二次函数有最大值，

此时，m2+l=4,

解得m=-A/3，m=V3（舍去）；

③当m>l时，x=l时，二次函数有最大值，

此时，-（1-加）2+m2+l=4,

解得m=2,

综上所述，m的值为2或-眄.

故选C.

点评：本题考查了二次函数的最值问题，难点在于分情况讨论.

7.（2014•毕节地区，第11题3分）抛物线y=2x2,>=-2x2,尸可、共有的性质是（）

A.开口向下B.对称轴是y轴

C.都有最低点D.y随龙的增大而

减小

考点:二次函数的性质

分析：根据二次函数的性质解题.

解答：解：（1）开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点；

（2）y=-2x2开口向下，对称轴为>轴，有最高点，顶点为原点；

（3）y=42开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点.

2

故选B.

点评：考查二次函数顶点式y=a（x-/z）2+k的性质.二次函数y=ax+bx+c

（存0）的图象具有如下性质：

①当a>Q时，抛物线y=ax+bx+c（存0）的开口向上，x<-也时，

2a

y随x的增大而减小；尤>-上时，y随x的增大而增大;产-上时，

2a2a

y取得最小值4ac：b2,即顶点是抛物线的最低点.

②当a<0时，抛物线y=a^+bx+c（d0）的开口向下，x<-也时，