2025年中考数学二轮复习讲练测第19讲 四边形压轴题（2个考点11个题型）-浙江二轮讲练测（原卷版）

试卷第=page22页，共=sectionpages158158页第19讲四边形压轴题（思维导图+2考点+11种题型）TOC\o"1-1"\n\h\z\u考点一、平行四边形性质与判定的应用题型01、四边形的作图问题题型02、平行四边形性质与判定的综合应用题型03、矩形性质与判定的综合应用题型04、菱形性质与判定的综合应用题型05、正方形性质与判定的综合应用考点二、平行四边形性质与判定的应用题型01、多种四边形的综合问题题型02、平面直角坐标系背景四边形题型03、四边形背景下的最值问题题型04、四边形背景下的旋转变换问题题型05、四边形背景下的折叠变换问题题型06、四边形背景下的折动点、动图问题考点一、平行四边形性质与判定的应用题型01、四边形的作图问题1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图所示，的顶点都在正方形网格格点（图中网格线的交点）上，请借助网格和一把无刻度直尺按要求作图．(1)图①中，在边上找一点，连接，使得面积为面积的；(2)图②中，在边上找一点，连接，使得面积为面积的．2．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都为1．(1)在图1中作一个以A，B，C，D为顶点的平行四边形，使点D落在格点上．(2)在图2中，仅用无刻度的直尺作边上的中线．3．（2024·浙江温州·三模）如图，在的方格纸中，请按要求画格点线段（端点在格点上），且线段的端点均不与点A，B，C，D重合．(1)在图1中画一条格点线段，使G，H分别落在边上，且与互相平分；(2)在图2上画一条格点线段，使M，N分别落在边上，且要求分为两部分．4．（2025·湖北武汉·一模）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．(1)在图1中，先画将线段绕点A逆时针旋转后的线段，再在上画点E，使；(2)在图2中，先画将线段绕点C顺时针旋转后的线段，再画交于点H．5．（22-23九年级下·浙江宁波·阶段练习）定义：由一个三角形的三条中线围成的三角形称为原三角形的中线三角形．问题：设中线三角形的面积为，原三角形的面积为．求的值．特例探索：（1）正三角形的边长为2，则中线长为__________，所以________．（2）如图1，每个小正方形边长均为1，点均在网格点上．①__________的中线三角形．（填“是”或“不是”）②__________，__________，所以__________．一般情形：如图2，的三条中线分别是，将平移至，连接．（3）求证：是的中线三角形；（4）猜想的值，并说明理由．题型02、平行四边形性质与判定的综合应用6．（2025·浙江宁波·一模）已知平行四边形中，点是对角线上的等分点．连结，分别交线段于点，连结．(1)若，则应该满足什么条件？(2)若，四边形的面积为，的面积为，求的值．7．（2024·浙江宁波·模拟预测）【基础巩固】（1）如图（1），在和中，点在上，，求证：．【尝试应用】（2）如图（2），在（1）的条件下，连结．若，求的长．【拓展提高】（3）如图（3），在中，对角线相交于点，，点E是边上一点，，连结交于点，线段与的延长线交于点，若，，求平行四边形的面积．8．（2024·浙江杭州·一模）【背景】如图（1），点E，F分别是正方形的边的中点，与相交于点P，连接．同学们在研究图形时，作交CE于点H，发现：．他们通过作三角形的中位线，构造全等三角形，找到与线段相等的线段，得到了多种方法证明成立．【猜想】（1）若把正方形改成平行四边形，其余条件不变，如图（2），结论是否还成立？请说明理由．【延伸】（2）在图（2）的条件下连接，那么四边形的面积和的面积有什么关系？请说明理由．9．（2023·浙江金华·模拟预测）如图，在菱形中，对角线与相交于点，已知，点在射线上，，点从点出发，以每秒个单位沿方向向终点匀速运动，过点作交射线于点，以、为邻边构造平行四边形，设点的运动时间为．．(1)求的值；(2)求点F落在边上时t的值；(3)连接平行四边形的对角线，设与交于点N，连接，当与的边平行（不重合）或垂直时，求出t的值．题型03、矩形性质与判定的综合应用10．（2025·河北唐山·一模）如图，在矩形中，，．点F在边上，点E在射线上，，设．(1)的长为________，最小时d的值为________；(2)当点E在边上时．①在图中利用尺规作图作出，分别交，于点P和点Q（保留作图痕迹，不写作法），并求的长度（用含d的式子表示）；②若以E，Q，D，F为顶点的四边形是平行四边形，求出的值；(3)当点F关于直线的对称点落在直线上时，直接写出E，F之间的距离．11．（24-25九年级下·广东梅州·期中）如图1，四边形是一张矩形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏．游戏1

折出对角线，将点A沿过点B的直线翻折到上，折痕BE交于点F，交于点E．展开后如图2所示．（1）若E恰好为的中点，证明：，并求与之间的数量关系．游戏2

在游戏1的基础上，将翻折至与重合，折痕为，展开后将点A沿过点E的直线翻折到上的点G处，展开后如图3所示．（2）在（1）的条件下，连接，求的度数．游戏3

在游戏1的基础上，将翻折至与先重合，展开后得到新折痕交于点N，如图4所示，Q是的中点，连接．（3）设，，的面积分别为，若，，求的长．12．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）已知矩形，．点是上一点．(1)【操作判断】如图①，若射线平分交于点，根据题意在图①中画出（不写作法，但保留作图痕迹），图中的度数为___________度；(2)【问题探究】如图②，在（1）的条件下连接交于点，若，，求的长；(3)【拓展延伸】如图③，若，，，将所在的直线，围绕点逆时针旋转，所得射线交于，求的长．13．（2025·山西·模拟预测）在数学课上，张老师提出了一个生活中常见的问题，如何将物品搬过直角过道？下课后，数学兴趣小组的成员们就这个问题展开了一系列探究实践，具体如下：【问题】如何将物品搬过直角过道？【情境】如图是一直角过道示意图，、为直角顶点，过道宽度都是，矩形是某物品经过该过道时的俯视图，宽为．【操作】：步骤动作目标靠边将如图中矩形的一边靠在上推移矩形沿方向推移一定距离，使点在边上转弯如图，将矩形绕点旋转，当线段、线段长度都不大于过道宽度时，可以顺利转弯．推移将矩形沿方向继续推移【探究】：(1)如图，若，，则______．(2)在的条件下，思思同学认为该物品可以顺利转过这条直角过道，你赞同思思同学的结论吗？请通过计算说明．(3)如图，物品转弯时被卡住、分别在墙面与上，若，求的长．(4)请直接写出过道可以通过的物品最大长度，即求的最大值______结果保留根号题型04、菱形性质与判定的综合应用14．（23-24九年级下·江西抚州·阶段练习）定义：在等腰三角形的外部，以一条腰为斜边作直角三角形，那么等腰三角形和直角三角形组成一个四边形，我们就称这个四边形是“等对邻直角四边形”．概念理解如图，在四边形中，若，，则四边形______“等对邻直角四边形”；A．是

B．不是问题探究(1)如图，在“等对邻直角四边形”中，，，是的中点，是的中点．则与的数量关系是；(2)如图，在（）的条件下，平分，，问四边形为何种特殊四边形，并说明理由；拓展探究：(3)在中，，是的中点，是的中点．，，以为直角边作等腰直角，且，求以为顶点的四边形的面积．

15．（2023·湖南娄底·三模）已知四边形是矩形，连接．(1)如图1，的平分线交于，交的延长线于点．的平分线交于点，交的延长线于点，连接．①求证：；②求证：四边形为菱形；(2)在（1）的条件下，如图2，连接交于点，交于点，若，求的值．16．（2023·浙江宁波·一模）【基础巩固】(1)如图1，在中，D为上一点，连结，E为上一点，连结，若，求证：．【尝试应用】(2)如图2，在平行四边形中，对角线交于点O，E为上一点，连结，若，求的长．【拓展提升】(3)如图3，在菱形中，对角线交于点O，E为中点，F为上一点，连结，若，，求菱形的边长．17．（2023·浙江杭州·二模）如图，在平行四边形中，P是线段中点，连接交于点E，连接．

(1)如果．①求证：平行四边形为菱形；②若，求线段的长．(2)分别以为半径，点A，B为圆心作圆，两圆交于点E，F，点F恰好在射线上，如果，求的值．题型05、正方形性质与判定的综合应用18．（2021·山东济南·一模）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：(1)问题发现：如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接AP，以为边作等边，连接，与的数量关系是；(2)变式探究：如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由；(3)解决问题：如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，Q是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长．19．（2024·广东惠州·一模）数学活动课上，老师提出如下问题：已知正方形，E为对角线上一点．【感知】（1）如图1，连接，．求证：；【探究】（2）如图2，F是延长线上一点，，交于点G．①求证：；②若G为的中点，且，求的长．【应用】（3）如图3，F是延长线上一点，，交于点G，．求证：．20．（2025·辽宁葫芦岛·一模）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；操作二：点为边上一动点，沿折叠，使点落在矩形内部的点处，把纸片展平，连接，．如图1，当点落在上时，连接，求证：为等边三角形；(2)迁移探究小明继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接．①改变点在上的位置（点不与点，重合），如图2，判断与的数量关系，并说明理由；②如图3，当点与点重合时，求证：；(3)拓展应用已知正方形纸片的边长为，在（2）的探究中，再将沿继续折叠，点的对应点为，如图4，当点的位置不同时点的位置也随之改变，若点恰好落在的边上时，求的长．21．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）在中，，，将绕点顺时针旋转至，过点作于点，过点作，交的延长线于点．(1)如图1，求证：；(2)如图2，的平分线交的延长线于点，连接，猜想和的数量关系，并说明理由；(3)如图3，在（2）的条件下，过点作于点，将沿折叠，在变化的过程中，当点恰好与点重合时，连接．①求证：点是的中点；②若，求的面积．考点二、四边形性质的综合问题题型01、多种四边形的综合问题22．（23-24九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在矩形中，，，E为中点，连接，F，G分别为线段，上的点，，连接，．

【探索发现】通过观察和测量，猜想与的数量关系：________；【特例计算】当F为线段的中点时，求与的长；【推理证明】请通过推理验证【探索发现】中的猜想；【拓展运用】点G关于的对称点为点，以，为邻边构造平行四边形．若点H到的距离是的2倍，求的长．23．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）综合与实践【问题情境】如图，在正方形中，点E在线段上，点F在线段上，且始终满足连接，将线段绕点E逆时针旋转一定角度，得到线段（点G是点B旋转后的对应点），并使点G落在线段上，与交于点H．【初步分析】（1）线段与具有怎样的数量关系和位置关系，请说明理由．【深入分析】（2）如图②，再将线段绕点E逆时针旋转，得到线段（点M是点G旋转后的对应点），连接，请判断四边形的形状，并说明理由．（3）如图③，若点G落在BC的延长线上，且当点H恰好为的中点时，设与交于点N，，求的长．

24．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，正方形的顶点，分别在矩形的边，上，与交于点，连接．(1)求的度数．(2)若点是的中点，求证：点是的中点．(3)如图，若正方形的顶点在矩形的边上，顶点在矩形的边的延长线上，点为，的延长线的交点，设，，，求证：．数学课上，老师提出如下问题：如图1，在矩形中，点E，F分别是，的中点，与相交于点G，求的值．经过思考，小明同学和小慧同学分别给出如下解题思路：小明：可以过中点作平行线，过点E作交于点H，如图2所示，或者过点F作交AB于点K，交于点Q，如图3所示…小慧：还可以延长中点所在的线段，如图4，延长交的延长线于点P…（1）请根据上述两位同学的思路，直接写出的值：．【类比分析】（2）老师发现两位同学都利用了转化思想，为了帮助同学们更好地利用转化思想解决问题，老师改变题中的条件，如图5，将图1中的矩形改成菱形，其余条件不变，那么的值是否改变？请说明理由．【学以致用】（3）如图6，已知正方形中心为点O，边长为4，另一边长为的正方形的中心与点B重合，连接，设的中点为M，将正方形绕点B旋转，当A，E，F三点恰好在同一直线上时，请直接写出的长．图4题型02、平面直角坐标系背景四四边形26．（23-24九年级上·广西南宁·开学考试）如图，直线与坐标轴分别交于点A，B，，以为边在y轴的右侧作正方形．(1)求点A，B的坐标；(2)如图，点D是x轴上一动点，点E在的右侧，，．如图1，问点E是否在定直线上，若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由；如图2，点D是线段的中点，另一动点H在直线上，且，请直接写出点H的坐标．27．（2025·黑龙江牡丹江·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的一个顶点在原点处，顶点在轴正半轴上，且点的横，纵坐标是方程的两个实数根（横坐标大于纵坐标），将菱形绕原点逆时针旋转得到菱形，点，，的对应点分别为，，．(1)求点的坐标；(2)动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿折线运动，设运动时间为秒，的面积为，求与的关系式；(3)为直线上一点，在直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．28．（2025·天津·一模）在平面直角坐标系中，为原点，四边形是平行四边形，，，点，矩形的顶点，点，点在第二象限．(1)如图①，点的坐标为____________，点的坐标为____________；(2)将矩形沿轴平移，得到矩形，点的对应点分别为．设，矩形与重叠部分面积为．①如图②，当交于点，分别交于点，且重叠部分是五边形，试用含的式子表示，并直接写出的范围；②当时，求的范围（直接写出结果即可）．29．（24-25九年级上·四川达州·期末）在矩形中，．分别以边所在的直线为轴，轴建立如图所示的平面直角坐标系．(1)如图1，将沿对角线翻折，交于点，点的对应点为，求点的坐标；(2)如图2，已知是上一点，且于点，交于点F，求四边形的面积；(3)如图3，点，点是上一点，且，是直线上的一个动点，在轴上方的平面内是否存在另一个点，使以，为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．题型03、四边形背景下的最值问题30．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）（1）如图1，在三角形中，是中点，连接是上任意一点，过点作别交于点，求证：是中点；（2）如图2，在四边形中，与不平行，，，连接对角线交于点是上的点，过点作交于点于点，求的值；（3）如图3，在菱形中，，，分别取菱形各边的中点，，，并顺次连接得到四边形，连接交于点是上一动点，作交于点，交于点，过点作垂直交于点，连接，求的最小值．31．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）【问题背景】如图1，已知正方形的边长为，点是边上的一点，把沿直线对折后，点落在点处．【问题探究】（1）如图2，当时，正方形的对角线与相交于点，与正方形另一条对角线相交于点，连接并延长，交线段于点．①证明点是的中点；②试探究与有怎样的关系，并说明理由．【拓展延伸】（2）如图3，点是线段上的一点，且，连接、．在点从点运动到点的过程中，求的最小值．32．（24-25九年级下·重庆开州·阶段练习）在中，对角线、相交于点O，于点M，在线段上截取一点N，使得，连接．(1)如图1，若，，，求线段的长度；(2)如图2，若，求证：；(3)如图3，若，，平行四边形的周长为36，在平行四边形内部存在一点Q，线段存在一点P，连接，，，直接写出的最小值．33．（24-25九年级下·广西桂林·阶段练习）已知四边形是矩形，．(1)如图①，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，连接、、，判定的形状，并说明理由；(2)如图②，将矩形绕点顺时针旋转度（）得到矩形，点恰好落在的延长线上，与相交于点，求的面积；(3)如图③，在（2）条件下，连接，取的中点，连接，求线段长度的最大值和最小值．34．（24-25九年级上·福建莆田·期末）已知正方形的边长为4，点E是边上的一动点，点E从点A开始以每秒1个单位长度的速度向点B运动，设运动时间为t秒．连接，把沿直线对折后，点A落在点F处．(1)如图1，若点F刚好落在对角线上，求的长；(2)如图2，正方形的对角线与相交于点O，连接并延长，交线段于点与交于点M．当时，求证：．(3)如图3，点H是线段上的一点，且，连接．在点E从点A运动到点B的过程中，当t为何值时，最小？题型04、四边形背景下的旋转变换问题35．（2023·浙江绍兴·一模）如图，在矩形中，，，对角线，相交于点O，E为的中点，将绕点D顺时针旋转α（）得到.(1)求的面积.(2)旋转过程中，是否存在α使得与的面积相等？若存在，求出α的值，若不存在，请说明理由.(3)旋转过程中，当所在直线经过点B时，求的长.36．（24-25九年级上·浙江杭州·开学考试）综合与实践：开展“矩形的旋转”数学探究活动，同学们用矩形纸片操作实践并探索发现．在矩形纸片中，，．．【数学思考】如图1，圆圆将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，使得点落在边上，点作．求证：；【解决问题】如图2，连结，求线段的长．【拓展研究】从图2开始，圆圆将矩形绕着点逆时针转动一周，若直线恰好经过线段中点时，连结，，直接写出的面积是37．（24-25九年级上·四川成都·开学考试）阅读以下材料：【问题情境】如图1，在正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且．（1）与之间有怎样的数量和位置关系？请说明理由．【类比迁移】（2）如图2，在矩形中是边上一点，将沿翻折得到，延长交延长线于点．线段与具有怎样的数量和位置关系？请证明你的猜想；【拓展提升】（3）如图3，在菱形中，是上一点，绕点顺时针旋转得，绕点顺时针旋转得，当时，求四边形的面积．点逆时针旋转到图（）的位置，为和的交点，①求的值；②当，其中旋转角为，且，连接，求的最大面积．39．（2023·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，，点E是边上一动点（点E不与A，D重合），连接，以为边在直线的右侧作矩形，使得矩形矩形，交直线于点H．(1)在点E的运动过程中，求证：．(2)若，随着E点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当H是线段中点时，求的值．(3)连接，，当是以为腰时等腰三角形时，求的值（用含n的代数式表示）．题型05、四边形背景下的折叠变换问题40．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期中）数学活动课上，张老师出示了一个问题：如图1，在中，，垂足为E，F为的中点，连接，，求证：．①小芳同学由已知条件中点想到了如图2的辅助线．②小琳同学由已知条件中点想到了如图3的方法．（1）请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程；【类别分析】（2）小迪同学受此问题启发，将沿着（F为的中点）所在直线折叠，如图4，点C的对应点为点，连接并延长交于点K，在此基础上，小芮同学想：线段与之间会有怎样的数量关系呢?请你判断，并证明；【学以致用】（3）小怡同学突发奇想，将沿着过点B的直线折叠，如图5，点A的对应点为点使于点H，折痕交于点M，交于点N．小怡提出一个问题：若的面积为20，，，请直接写出的面积与的面积的比．41．（2023·浙江金华·模拟预测）折纸中蕴含着很多数学知识如果想要做一个漂亮的星星收纳盒，必须先折出一个正五边形取一张正方形卡纸，按如下步骤可以近似折出从而制作出五角星．第步：对折正方形，折痕为，如图；第步：将和重合对折，折痕为，将与重合对折，折痕为，交于点，如图；第步：将与重合对折，折痕为，交于点，如图；第步：过点、向后折叠，再将与重合对折，如图，图．最后沿虚线剪开铺平就可以得到五边形．请参考图，回答下列问题：(1)______；(2)若，则______．42．（2024·浙江·一模）【问题背景】如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，分别以点为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线交于点，连接；②将沿翻折，点B的对应点落在点P处，作射线交于点．【问题提出】在矩形中，，求线段的长．【问题解决】（1）经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：方案一：连结，如图2．经过推理、计算可求出线段的长．方案二：延长交的延长线于点R，如图3．经过推理、计算可求出线段的长．请你任选其中一种方案求线段的长．【问题反思】（2）在前面的已知条件及解决方法下继续探究，连接并延长，交于点H，求的长．43．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）（1）【探究发现】如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别交于点E、F．求证：四边形是菱形；（2）【类比应用】如图②，直线分别交矩形的边、于点E、F，将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，求四边形的周长；（3）【拓展延伸】如图③，直线分别交平行四边形的边、于点E、F，将平行四边形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，，求的长．44．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）综合与实践【问题情境】如图1，小华将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线上，点B的对应点记为，折痕与边，分别交于点E，F．【活动猜想】（1）如图2，当点与点D重合时，四边形是哪种特殊的四边形？并给予证明．【问题解决】（2）如图1，当，，时，连接，则的长为______．【深入探究】（3）如图3，请直接写出与满足什么关系时，始终有与对角线平行？题型06、四边形背景下的折动点、动图问题45．（2025·山东青岛·一模）如图，在中，，，．动点N从点C出发，沿方向匀速运动，速度为；动点M同时从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为．过点M作，分别交，于点，，与相交于点．设运动时间为，请解答下列问题：(1)当四边形为菱形时，求t的值；(2)设五边形的面积为，求S与t之间的函数关系式；(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．46．（2025·山东青岛·模拟预测）已知：如图，在菱形中，，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，连接，设运动时间为．(1)延长交于点，若四边形是平行四边形，求的值；(2)当为何值时，点运动到的垂直平分线上？(3)设四边形的