2.3 确定二次函数的表达式（练习）（解析版）

二次函数第三节确定二次函数的表达式精选练习基础篇基础篇一、单选题1．（2021·浙江杭州市·九年级期末）若二次函数的图象过点，则必在该图象上的点还有（）A． B． C． D．【答案】C【分析】把代入得a的值，然后把各点坐标代入二次函数解析式判断是否在图像上即可得到答案．【详解】解：把代入得，解得：所以二次函数解析式：．A.当时，，故在函数图像上，但因题目中已给出，重复，故不符合题意；B.当时，，故不在函数图像上；C.当时，，故在函数图像上；D.当时，，故不在函数图像上；故选C．【点睛】本题考查二次函数解析式的求法，以及二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．2．（2021·湖北咸宁市·九年级期末）下列各点中，一定不在抛物线上的是（）A．（1，1） B．（2，2） C．（1，2） D．（1，3）【答案】C【分析】分别计算出x=1或x=2时的函数值，从而求得m的值，然后根据二次函数的定义进行判断．【详解】解：当x=1时，，此时解得m=1，∴点（1，1）可以在抛物线上，故选项A不符合题意；当x=2时，，∴点（2，2）在抛物线上，故选项B不符合题意；当x=1时，，此时解得m=0，此时抛物线解析式不成立，∴点（1，2）一定不在抛物线上，故选项C符合题意；当x=1时，，此时解得m=-1，∴点（1，3）可以在抛物线上，故选项D不符合题意；故选：C【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式并且理解二次函数解析式中二次项系数不能为零是解题关键．3．（2021·北京顺义区·九年级期末）二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，由函数图像的对称轴及与x轴的一个交点，则可以知道函数与x轴的另一个交点，再根据待定系数法求解函数解析式即可．【详解】根据题意，二次函数对称轴为，与x轴的一个交点为，则函数与x轴的另一个交点为，故设二次函数的表达式为，函数另外两点坐标，可得方程组，解得方程组得，所以二次函数表达式为．故答案为B．【点睛】本题考查了用待定系数法求函数表达式的方法和二次函数的对称轴的问题，同时考查学生解方程组的知识，是比较常见的题目．4．（2021·江苏无锡市·九年级期末）二次函数的图像经过点，则代数式的值为（）A．0 B． C． D．2【答案】B【分析】把（-1，0）代入y=ax2+bx+2，即可得出代数式a-b的值．【详解】解：把（-1，0）代入y=ax2+bx+2，得a-b+2=0，即a-b=-2，故选B．【点睛】本题考查了二次函数的图象上点的坐标特征，整体思想的利用是解题的关键．5．（2021·山东威海市·九年级期末）已知一个二次函数的图象经过点（2，2），顶点为（，），将该函数图象向右平移，当他再次经过点（2，2）时，所得抛物线表达式为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意，求出平移距离，即可求出平移后抛物线的顶点坐标，设平移后，二次函数的解析式为，将（2，2）代入即可求出结论．【详解】解：由题意可知：平移前，点（2，2）关于抛物线的对称轴直线x=-1的对称点为（-4，2）向右平移后，点（-4，2）平移到（2，2）∴抛物线向右平移了2－（-4）=6个单位长度∴平移后抛物线的顶点坐标为（5，-1）设平移后，二次函数的解析式为将（2，2）代入，得解得：a=∴平移后，二次函数的解析式为故选B．【点睛】此题考查的是抛物线的平移和求抛物线解析式，根据题意求出平移距离是解题关键．6．（2021·江苏无锡市·九年级期末）如图，抛物线交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C、D两点（点C在点D的左边），对称轴为直线，连接BD、AD、BC，若点A关于直线BD的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（）A．B的坐标是（－10，－8） B． C．D点坐标为（6，0） D．【答案】D【分析】由抛物线交轴于点A，可得点A的坐标，然后由抛物线的对称性可得点B的坐标，由点A关于直线BD的对称点恰好落在线段OC上，过点B作BE轴于点E，点A关于BD的对称点F，由勾股定理可得EF的长，则可得点F坐标，然后由对称性可得点D坐标，由对称轴x=，可得抛物线的表达式，根据以上计算或推理，对各选项进行分析即可．【详解】∵抛物线y=ax2+bx-8交y轴于点A∴A(0,-8)对称轴为直线，AB∥x轴，B(-10，-8)，故A选项不符合题意；如图，过点B作BE⊥x轴于点E，点A关于BD的对称点F则BE=8，OE=AB=10，点A关于直线BD的对称点恰好落在线段OC上，∴BF=AB=10，在Rt△BFE中，由勾股定理得EF=6，OF=OE-EF=10-6=4F(-4，0)，D(m，0)，∵在Rt△ADO中，OA=8，OD=m，由FD=AD则m+4=两边平方得：D（6，0）故D选项不符合题意；由对称轴x=，过点D（6，0），故B选项不符合题意；故D选项符合题意；故选择：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，轴对称性质，及勾股定理，一元一次方程的解法，熟练掌握二次函数的相关性质并结合数形结合的思想是解题关键．7．（2021·山东泰安市·）如图，将二次函数的图像沿轴对折，得到的新的二次函数的表达式是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特点进行解答即可．【详解】解：∵关于x轴对称的点的坐标横坐标不变，纵坐标互为相反数，∴将二次函数的图象沿x轴对折后得到的图象解析式为，即．故选：D．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知关于x轴的对称点的坐标特点是解答此题的关键．8．（2021·河南南阳市·九年级期末）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B且OA＝OB，则c的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】依题知，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B；可得B点坐标，又OB=OA，可得A点坐标，然后将A的坐标代入函数解析式即可；【详解】依题：抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，∴B（0，c），∴OB＝c，∵OA＝OB，∴OA＝c，∴A（c，0），∴﹣c2+2c+c＝0，解得c＝3或c＝0（舍去），故选：D【点睛】本题考查二次函数待定系数法，重点在理解和熟练求解过程的转化．二、填空题9．（2021·陕西宝鸡市·九年级期末）二次函数y=ax2+c的图象与y=3x2的图象形状相同，开口方向相反，且经过点(1，1)，则该二次函数的解析式为________________．【答案】y=-3x2+4【分析】根据二次函数的性质，利用待定系数法求解．【详解】解：由题意可设所求函数为：，∵所求函数经过点(1，1)，∴，∴c=4，∴所求函数为：，故答案为．【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握利用待定系数法求二次函数解析式是解题关键．10．（2021·江苏盐城市·九年级期末）如图，经过原点的抛物线是二次函数的图像，那么的值是_________．【答案】-1【分析】根据图示知，的图象经过（0，0），所以将点（0，0）代入方程，利用待定系数法即可求解．【详解】解：根据图示知，二次函数的图象经过原点（0，0），∴0＝a+1，解得，a＝-1；故答案为：−1．【点睛】本题主要考查了二次函数的待定系数法，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来解答问题．11．（2020·浙江绍兴市·九年级其他模拟）如果抛物线与形状相同，开口方向也相同，那么______．【答案】3【分析】根据抛物线y=ax2与y=3（x+1）2-4形状相同，开口方向也相同，则二次项系数相同，进而求出a的值．【详解】解：∵抛物线y=ax2与y=3（x+1）2-4形状相同，开口方向也相同，∴两抛物线解析式二次项系数相等，∴a=3．故答案为3．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解答本题要掌握抛物线形状以及开口方向由二次项系数决定，此题难度不大．12．（2020·浙江省临海市临海中学九年级期中）如图，已知二次函数的图像与x轴交于点A（3，0）对称轴为直线x＝1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：①当x＜－1时，y＜0；②；③；④；其中正确的结论有_________．

【答案】①③【分析】由二次函数的对称性可得与x轴的另一个交点坐标为，由图像可得开口向下，则有，，对称轴为直线，即，由此可进行求解问题．【详解】解：由二次函数二次函数的图像与x轴交于点A（3，0）对称轴为直线x＝1，可得抛物线与x的另一个交点坐标为，开口向下，即，当时，y随x的增大而增大，∴当时，y＜0，故正确；∵对称轴为直线，即，，∴，故②错误；设抛物线的解析式为，则，令x=0时，则有y=-3a，∵抛物线与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），∴，解得：，故③正确；∵，，由得，∵，∴，∴，∴，与矛盾，故④错误；所以正确的结论有①③；故答案为①③．【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．提升篇提升篇三、解答题13．（2021·江西赣州市·九年级期末）已知抛物线y＝x2+bx+c经过点（2，﹣3）和（4，5）．（1）求抛物线的函数解析式及顶点坐标；（2）将抛物线沿x轴翻折，得到图象G，直接写出图象G的函数解析式．【答案】（1）y=（x﹣1）2﹣4，抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；（2）y＝﹣x2+2x+3【分析】（1）直接把A、B两点的坐标代入y＝x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线的解析式；利用配方法把解析式变形为顶点式，然后写出顶点坐标．（2）根据关于x轴对称的两点x坐标相同，y坐标互为相反数，即可求得图象G的表达式．【详解】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点（2，﹣3）和（4，5），∴将点（2，﹣3）和（4，5）代入，得，解得，所以抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）．（2）将抛物线沿x轴翻折后，得出﹣y＝x2﹣2x﹣3，则图象G的函数解析式y＝﹣x2+2x+3．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征以及翻折的性质，用待定系数法求出二次函数的解析式是解题的关键．14．（2020·江苏苏州市·九年级期中）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经、两点．（1）求抛物线的函数关系式；（2）当函数值时，则对应的自变量取值范围是__________．（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点，使它到点的距离与到点的距离之和最小，如果存在求出点的坐标，如果不存在请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，M坐标为(-1,-2)，理由见解析．【分析】（1）根据待定系数法解出的值即可得；（2）令（1）所得解析式等于0，解得两个与横坐标的交点值，观察图像则可得；（3）观察图形可得，根据“将军饮马”模型，，根据B、C点的坐标可得BC的直线解析式，代入即可解得M的坐标．【详解】解：（1）由对称轴为x=-1得：代入、得：，解得所以有（2）令解得，由图像可知时有故答案为；（3）存在；由（2）抛物线与坐标轴交于C(-3,0)、A(1,0)点，如图，对称轴在AC的中垂线上，所以,为所求，故，观察图像可知B、M、C在同一直线上即BC上时取得最小值，设解析式为：，代入B(0,-3)、C(-3,0)两点有，，解得：，，故，由题知，则有故M坐标为(-1,-2)．【点睛】本题（1）考查了用待定系数法解二次函数的解析式；（2）解一元二次方程，根据图像的判断图像位于x轴下方的函数自变量取值范围；（3）“将军饮马”模型，求图像交点坐标．解决这类问题的关键在于要结合好题干中的条件，熟练的运用待定系数法计算解析式，要有数形结合的思想，多总结常见的模型．15．（2020·苏州市平江中学校九年级期中）已知二次函数自变量的值和它对应的函数值如表所示：…01234……30－10…（1）请写出该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和的值；（2）设该二次函数图象与轴的左交点为，它的顶点为，该图象上点的横坐标为4，求的面积．【答案】（1）抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，m的值为3；（2）3【分析】（1）先根据待定系数法求出二次函数的解析式，再求当x=4时对应函数值即得结果；（2）根据二次函数图象的对称性及已知表格可求得点B、A、C的坐标，再过B作BD⊥x轴，过C作CD⊥BD，垂足为D，过A作AE⊥BD，垂足为E，如图，则D、E的坐标可求，然后根据求解即可．【详解】解：（1）根据二次函数图象的对称性，设该二次函数的解析式