3.1 圆（练习）（解析版）

圆第一节圆精选练习基础篇基础篇一、单选题1．（2019·内蒙古呼伦贝尔市·九年级期末）圆外一点P到圆上最远的距离是7，最近距离是3，则圆的半径是（）A．4 B．5 C．2或5 D．2【答案】C【分析】分两种情况：点在圆外，直径等于两个距离的差；点在圆内，直径等于两个距离的和．【详解】解：∵点P到⊙O的最近距离为3，最远距离为7，则：当点在圆外时，则⊙O的直径为7-3=4，半径是2；当点在圆内时，则⊙O的直径是7+3=10，半径为5，故选：C．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，注意此题的两种情况．从过该点和圆心的直线中，即可找到该点到圆的最小距离和最大距离．2．（2019·江苏镇江市·九年级月考）在数轴上，点A所表示的实数为5，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为3，要使点B在⊙A内，则实数a的取值范围是（）．A． B． C． D．【答案】D【分析】首先确定AB的取值范围，然后根据点A所表示的实数写出a的取值范围，即可得到正确选项．【详解】解：∵⊙A的半径为3，若点B在⊙A内，∴AB＜3，∵点A所表示的实数为5，∴2＜a＜8，故选：D．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．3．（2021·全国九年级课时练习）下列说法错误的是（）A．等弧所对的圆心角相等 B．弧的度数等于该弧所对的圆心角的度数C．长度相等的两段弧是等弧 D．半径相等的两个半圆是等弧【答案】C【分析】根据圆的相关性质，圆心角、弧、弦的关系判定即可．【详解】解：A等弧所对的圆心角相等，故正确；B、弧的度数等于该弧所对的圆心角的度数，故正确；C.等弧的概念是在只能完全重合的两段弧，错误；D、半径相等的两个半圆是等弧，正确，故选：C．【点睛】此题主要考查圆心角、弧、弦的关系，正确的理解题意是解题的关键．4．（2020·浙江九年级期末）已知的半径为，点A在内，则的长度可能是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外．【详解】解：∵点A为⊙O内的一点，且⊙O的半径为5cm，∴线段OA的长度＜5cm．故选：A．【点睛】此题考查了点和圆的位置关系与数量之间的联系：点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内．5．（2021·北京九年级专题练习）的半径为5，点到圆心的距离为4，点与的位置关系是（）A．无法确定 B．点在外 C．点在上 D．点在内【答案】D【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．【详解】的半径为5，点到圆心的距离为4，点到圆心的距离小于圆的半径，点在内．故选：D．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．6．（2021·江苏徐州市·九年级期末）⊙O的半径为3cm，若点P在⊙O内，则OP的长可能是（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【答案】A【分析】根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断．【详解】解⊙O的半径为3cm，点P在⊙O内，∴OP＜3cm．故选：A．【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．7．（2020·江苏苏州市·九年级期中）如图，在中，，，，点E是中点．以B为圆心，为半径画圆，则点E与的位置关系是（）A．点E在内 B．点E在上 C．点E在外 D．无法判断【答案】A【分析】首先利用勾股定理求得直角三角形斜边的长，然后求得点E与点B的距离，从而求得第E与圆B的位置关系．【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，由勾股定理得到：，∵E为AB的中点，∴BE=AB=2.5．∵BC=3，∴BE＜BC，∴点E在⊙B的内部，故选：A．【点睛】本题主要考查了勾股定理，点与圆的位置关系，直角三角形斜边上的中线，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，来判断点和圆的位置关系．8．（2021·北京九年级专题练习）如图，圆的弦中最长的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据直径是圆内最长的弦，由图可知AB最长，【详解】解：由图可知，弦AB经过圆心O，故圆的弦中最长的是．故选：．【点睛】本题主要考查了圆的认识，掌握直径是圆中最长的弦是关键．二、填空题9．（2021·山东青岛市·九年级一模）如图，点P是y轴正半轴上一点，以P为圆心的圆与x轴、y轴分别交于点A、B、C、，已知点A的坐标为，点C的坐标为，则点D的坐标为_____________．

【答案】【分析】首先根据点A，C的坐标得出，然后在中利用勾股定理求出半径，从而可得出OD的长度，进而可得出答案．【详解】如图，连接AP，

∵点A的坐标为，点C的坐标为，．设半径为r，则，，，解得，，，∴点D的坐标为，故答案为：．【点睛】本题主要考查圆与平面直角坐标系，求出半径是解题的关键．10．（2021·全国九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，B(1﹣a，0)，C(1+a，0)（a＞0），点P在以D(4，4)为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最小值是_____．【答案】4【分析】利用点A、B、C的坐标可得到AB=AC=a,则AB=AC=AP=a,连接AD交圆D于P',利用两点间的距离公式计算出DA=5,即可得到P'A=4,于是可判断a的最小值为4．【详解】解：∵点A（1，0），B（1−a，0），C（1＋a，0），∴AB＝AC＝a，∵∠BPC＝90°，∴AB＝AC＝AP＝a，连接AD交⊙D于P′，DA＝＝5，∴P′A＝5−1＝4，即⊙D上点到A的最短距离为4，∴a的最小值为4．故答案为4．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了坐标与图形性质．11．（2020·和平区·天津一中九年级月考）如图，⊙O的半径为4，为圆上一动弦，以为边作正方形，则的最大值为________．【答案】【分析】把AO绕点A顺时针旋转90°得到AO′，易知△AOO′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出OO′，再根据正方形的性质可得AB＝AD，再求出∠BAO＝∠DAO′，然后利用“边角边”证明△ABO和△ADO′全等，根据全等三角形对应边相等可得DO′＝BO，再根据三角形的任意两边之和大于第三边求解即可．【详解】如图，连接AO、BO、把AO绕点A顺时针旋转90°得到AO′，连接DO′∴△AOO′是等腰直角三角形，∵AO＝4，∴OO′＝，在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∵∠BAO＋∠BAO′＝∠DAO′＋∠BAO′＝90°，∴∠BAO＝∠DAO′，在△ABO和△ADO′，，∴△ABO≌△ADO′（SAS），∴DO′＝BO＝4，∴OO′＋O′D≥OD，当O、O′、D三点共线时，取“＝”，此时，OD的最大值为．故答案为：．【点睛】本题考查了圆的基本性质、全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，利用旋转作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．12．（2019·江苏镇江市·九年级月考）已知⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若关于x的方程没有实根，则点P与⊙O的位置关系是____．【答案】点在⊙O外【分析】首先利用根的判别式求出d的取值范围，然后与半径1进行比较即可得出答案．【详解】∵关于x的方程没有实根，，解得，∴点与⊙O的位置关系是点在⊙O外，故答案为：点在⊙O外．【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，掌握一元二次方程无实数根的条件是关键．提升篇提升篇三、解答题13．（2020·河北邢台市·邢台二十五中九年级月考）如图所示，已知矩形的边，，以点为圆心，为半径作，判断点，，与怎样的位置关系．

【答案】点在内，点在外，点在上【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC的长，再根据点与圆的位置关系判断即可.【详解】解：连接，∵，，∴，∵的半径为4，，∴点在内，∵，∴点在上，∴点在外．

【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系和勾股定理，熟记概念是解题的关键．14．（2021·北京朝阳区·九年级期末）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，A，B为⊙O外两点，AB＝1.给出如下定义：平移线段AB，使线段AB的一个端点落在⊙O上，其他部分不在⊙O外，点A，B对应点分别为点A´，B´，线段AA´长度的最大值称为线段AB到⊙O的“极大距离”，记为d（AB，⊙O）．（1）若点A（4，0）．①当点B为（3，0），如图所示，平移线段AB，在点P1（2，0），P2（1，0），P3（1，0），P4（，0）中，连接点A与点的线段的长度为d（AB，⊙O）；②当点B为（4，1），求线段AB到⊙O的“极大距离”所对应的点A´的坐标；（2）若点A（4，4），d（AB，⊙O）的取值范围是．

【答案】（1）①；②；（2）【分析】（1）①根据平移到性质及“极大距离”的定义即可得出答案；②根据题意可得当⊥x轴于点M，M为中点时，线段AA´长度为线段AB到⊙O的“极大距离”，根据勾股定理即可得出A´的坐标；（2）根据题意知，点B在以A为圆心，1为半径的圆上，连接OA交⊙A于点B，交⊙O于点B´，此时，AA´最小，过点A作AF⊥x轴，根据勾股定理即可得出OA的长度，继而可得AA´的最小值；连接AO并延长AO交⊙O于点A´，此时，AA´最大，根据勾股定理即可得出OA的长度，继而可得AA´的最大值，从而得出d（AB，⊙O）的取值范围．【详解】（1）①由题意知AB=1，AP3的长度即为d(AB，⊙O)；②如图，⊥x轴于点M，M为中点.

∵=1，∵，∵OA´=2，∴.∴.（2）如图，

∵点A（4，4），∴点B在以A为圆心，1为半径的圆上，连接OA交⊙A于点B，交⊙O于点B´，此时，AA´最小，过点A作AF⊥x轴，∵AF=4，OF=4，∴OA=，∵OA´=OB´-A´B´=1∴AA´=OA+OA´=+1；如图，连接AO并延长AO交⊙O于点A´，此时，AA´最大，

∵AF=4，OF=4，∴OA=，∵OA´=2，∴AA´=OA+OA´=+2，故．【点睛】本题考查了勾股定理，平移变换等知识．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．15．（2021·全国九年级专题练习）如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中∠CAB＝30°，∠DAB＝45°，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E．（1）求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；（2）求证：CD平分∠ACB；（3）过点D作DF∥BC交AB于点F，求证：BO2+OF2＝EF•BF．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析【分析】（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，判断出OA＝OB＝OC＝OD，即可得出结论；（2）先求出∠COD＝150°，利用等腰三角形的性质得出∠ODC＝15°，进而求出∠BDC＝30°，进而求出∠BCD＝45°，即可得出结论；（3）先判断出，得出DF2＝BF•EF，再利用勾股定理得出OD2+OF2＝DF2，即可得出结论．【详解】证明：（1）如图，连接OD，OC，在Rt中，∠ACB＝90°，点O是AB的中点，∴OC＝OA＝OB，在Rt中，∠ADB＝90°，点O是AB的中点，∴OD＝OA＝OB，∴OA＝OB＝OC＝OD，∴A，B，C，D四个点在以点O为圆心，为半径的同一个圆上；（2）连接OC，OD，由（1）知，OA＝OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，在Rt中，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝∠BOC＝60°，在Rt中，∠DAB＝45°，∴∠ABD＝45°＝∠DAB，∴AD＝BD，∵点O是AB的中点，∴OD⊥AB，∴∠BOD＝90°，∠ODB＝∠ADB＝45°，∴∠COD＝150°，∴∠OCD＝∠ODC＝15°，∴∠BDC＝∠ODB﹣∠ODC＝30°，∵∠CBD＝∠ABC+∠ABD＝105°，∴∠BCD＝180°﹣∠CBD﹣∠BDC＝45°，∴∠ACD＝90°﹣∠BCD＝45°＝∠BCD，∴CD平分∠ACB；（3）由（2）知，∠BCD＝45°，∵∠ABC