湖南省永州市祁阳市浯溪二中2025年中考二轮数学专题训练-有关矩形的最值问题（含详解）

祁阳市浯溪二中2025年中考二轮数学专题训练——有关矩形的最值问题1．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E是AD上一点，AE＝3，P是BC上一动点，连接AP，取AP的中点F，连接EF，则线段EF取得最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．62．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点P是对角线BD上一动点，过点P分别作BC，CD的垂线，垂足分别为点E，F，连接EF，则EF的最小值为（）A．53 B．125 C．1273．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，M为AD的中点，N为BC上一动点，点B′、D′分别是点B、D关于直线MN的对称点，连接B′D′交MN于点E，则CE的最小值为（）A．61313 B．13-2 C．134．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．245 B．3 C．22第1题图第2题图第3题图第4题图5．如图，点F是矩形ABCD内部一个动点，E为AF上一点且AE=14AF，当AD＝4，AB＝AF＝8时，则BE+CFA．10 B．52 C．213 6．如图，P是矩形ABCD的对角线BD上一点，AB＝3，BC＝5，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF，则AP+EF的最小值为（）A．342 B．4 C．34 第5题图第6题图第7题图第8题图7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P是边BC上的动点．作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，若M是EF的中点，则在点P运动过程中，PM的最小值为（）A．125 B．245 C．658．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF的最小值为（）A．5 B．4 C．245 9．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D是边BC上的动点（不与B，C重合），过D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF．则EF的最小值是（）A．4 B．4.8 C．5 D．610．如图，在菱形ABCD中，若AC﹣BD＝2，S菱形ABCD＝24，E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为（）A．2.4 B．4.8 C．3 D．411．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P是对角线BD上的动点（不含端点），连接PC，点E是PC的中点，作PF⊥AB于点F，PG⊥AD于点G，连接FG．对于下列两个结论：①当BP＝2时，点E在∠BDC的平分线上；②线段FG的长的最小值为52下列判断正确的是（）A．①②都对 B．①②都错 C．①错，②对 D．①对，②错第9题图第10题图第11题图第12题图12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（）A．2.5 B．2.4 C．1.2 D．1.313．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A、B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值是（）A．2 B．2.4 C．3 D．414．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．2.4第13题图第14题图第15题图第16题图15．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P在斜边AB上（不与A、B重合），过P作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别是E、F，连接EF．随着P点在边AB上位置的改变，则EF长度的最小值是（）A．2.5 B．5 C．2.4 D．316．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，点D是BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（）A．132 B．13 C．6013 17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，P为边AB上一动点，作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为（）A．22 B．23 C．3218．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．点D是AB边上的动点，过点D作边AC，BC的垂线，垂足分别为E，F．连接EF，则EF的最小值为（）A．3 B．2.4 C．4 D．2.5第17题图第18题图第19题图第20题图19．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（）A．1.2 B．1.5 C．2.4 D．2.520．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC＝8，BD＝6，则EF的最小值为（）A．3 B．2 C．125 D．21．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，P是射线BC上一点，E是AP上一点，且∠APB＝∠ABE．（1）AE•AP的值为；（2）连接DE，当DE取最小值时，AE的长为．22．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点M，N分别在边CD，BC上，且BN＝2DM．连接AM，过点N作NP⊥AM，垂足为P，连接DP，则DP的长的最小值为．23．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点P是对角线BD上一动点，过点P分别作BC，CD的垂线，垂足分别为点E，F，连接EF，则EF的最小值为．24．如图，在矩形ABCD中，M为AD边上的动点，过点M作直线l交BC于点N，BN＝3AM，作四边形ABNM关于直线l对称的四边形GHNM，连接CH．若AB＝4，BC＝8，则CH的最小值为．第21题图第22题图第23题图第24题图25．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，M是CD边上任意一点，分别过点A，C，D作射线BM的垂线，垂足分别是E，F，G，若AE+CF+DG＝m，则m的最小值是．26．如图，点F是矩形ABCD内部一个动点，E为AF上一点且AE=13AF，当AD＝4，AB＝AF＝9时，则BE+CF第25题图第26题图第27题图第28题图27．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，动点E从A出发沿射线AD以1cm/s的速度运动，同时动点F从C出发沿射线DC以43cm/s的速度运动，G为EF的中点，连接CG，则CG的最小值为28．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点F是矩形ABCD内部一个动点，E在AF上，且AE=12EF，当AF＝6时，则BE+CF29．如图，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，点D是边BC上的一动点，连接AD，以AD为一边作矩形ADEF，连接BE，若DEAD=12，则线段30．在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝8，点E是BC的中点，连结DE，点F是线段DE上一动点，连结AF，取AF中点G连结CG，则CG的最小值为．第29题图第30题图第31题图第32题图31．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，F为BC中点，P是线段BC上一点，设BP＝m（0＜m≤4），连接AP，过点P在AP右侧作线段PE垂直于AP且PE＝AP，连接DE、EF，则在点P从点B向点C运动的过程中，有下面四个结论：①当m≠2时，∠EFP＝135°；②点E到边BC的距离为m；③直线EF一定经过点D；④CE的最小值为2．其中结论正确的是．（填序号即可）32．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P是对角线BD上一个动点，连接AP，以AP为直角边在AP右侧作等腰直角三角形APE，∠APE＝90°，连接DE．（1）当点E落在BD上时，DE的长为．（2）DE的最小值是．33．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，点E在射线AD上运动，以BE为直角边向右作Rt△BEF，使得∠BEF＝90°，BE＝2EF，连接CF．（1）当点F恰好落在CD边上时，CF＝；（2）CF的最小值＝．34．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC=23，E是边BC上一动点，F是对角线BD上一动点，且BE＝DF，则DE+CF的最小值为第33题图第34题图第35题图第36题图35．如图，矩形ABCD的边AB＝m，BC＝3，E为AB上一点，且AE＝1，F为AD边上的一个动点，连接EF，若以EF为腰向右侧作等腰直角三角形EFG，EF＝EG，连接CG，当CG的最小值为2时，m的取值范围是．36．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD＝3，E，F分别是边BC、AB上任意点，以线段EF为边，在EF上方作等边△EFG，取边EG的中点H，连接HC，则HC的最小值是37．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于点F连结EF，则线段EF的最小值为．38．如图，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AB＝6，M为边BC上的一个动点，ME⊥AB，MF⊥AC，则EF的最小值为．第37题图第38题图第39题图第40题图39．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，P为AB上任意一点，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，则EF的最小值是．40．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，D是AB边上的动点（不与点A，B重合），过点D分别作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值为．41．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P是对角线AC上一个动点（点P与点A，C不重合），过点P分别作PE⊥AD于点E，PF⊥CD于点F，连接EF，则EF的最小值为．第41题图第42题图第43题图第44题图42．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，连接EF，P是线段EF的中点，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H为垂足，连接GH．若AB＝12，AD＝9，EF＝6，则GH的最小值是．43．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P在斜边AB上（不与A、B重合），过P作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别是E、F，连接EF．随着P点在边AB上位置的改变，则EF长度的最小值是．44．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥AB．则下列说法中正确的有．①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；③如果∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，则AD的最小值为52④如果AD是∠BAC的平分线，那么四边形AEDF是菱形．45．如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm．点M从点A开始沿AB边向点B以1cm/秒的速度向B点移动，点N从点B开始沿BC边以2cm/秒的速度向点C移动．若M，N分别从A，B点同时出发，设移动时间为t（0＜t＜6），△DMN的面积为S．（1）求S关于t的函数关系式，并求出S的最小值；（2）当△DMN为直角三角形时，求△DMN的面积．46．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝2，E为AB的中点，设点P是∠DAB平分线上的一个动点（不与点A重合）．（1）证明：PD＝PE；（2）连接PC，求PC的最小值．47．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC上一动点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．（1）求证：四边形AEDF是矩形；（2）连接EF，若AB＝3，AC＝4，求EF的最小值．48．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，点E在边AB上，EF⊥BO，EG⊥AO，垂足分别为点F，点G．（1）求证：四边形EFOG是矩形；（2）若点E在边AB上（不与两端点重合）移动，连接FG，已知AC＝8，BD＝6，求FG的最小值．49．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，已知AC＝10，BD＝5．（1）判断四边形OEPF的形状，并说理由；（2）求EF的最小值．50．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB边上一个动点（不与点A、B重合），过点D作DE∥BC，DF∥AC，分别交AC、BC于点E、F，连结EF．（1）求证：四边形ECFD是矩形；（2）若CB＝2，CA＝4，求EF的最小值．51．如图，在菱形ABCD中，AC＝16，BD＝12，E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG．（1）求证：四边形OGEF为矩形．（2）求GF的最小值．参考答案及解析题号1234567891011答案ABAACCCCBA题号1213141516171819202122答案CACDC题号2324252627282930313233答案BBAD题号3435363738394041424344答案DCBACCAB题号4546474849505152535455答案ACCDCAACDCC1．A【解析】过点P作PM∥EF交AD于点M，由条件可知EF是△APM的中位线，∴AM＝2AE＝6，PM＝2EF，当PM取得最小值时，EF最小，当PM⊥AD时，PM最小，此时PM＝AB＝6，∴EF最小=12PM最小2．B【解析】连接CP，如图，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠DCB＝90°，∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴四边形PECF是矩形，∴CP＝EF，∴要求EF的最小值就是要求CP的最小值，∴当CP⊥BD时，CP取最小值，在Rt△BAD中，∠BAD＝90°，AB＝3，AD＝4，∴BD=A∵S△BCD＝S△ABD=12AB•AD=12∴3×4＝5CP，∴CP=12∴EF的最小值为1253．A【解析】由折叠得∠DEM＝∠D′EM＝∠B′EN＝∠BEN，∴点B、E、D共线，即点E在BD上，∴当CE⊥BD时，CE最小，这时，∵ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∴BD=A又∵S△BCD∴CE=BC×CD所以CE的最小值为6134．A【解析】如图，分别取AE，CD，DE的中点G，H，I，连接BH，BI，IG，PI，PH，HI，∵矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E为AB的中点，∴CD＝AB＝6，BC＝AD＝4，AE=BE=12AB=3，∠A在直角三角形BCE中，由勾股定理得：CE=B∵点H为CD的中点，∴CH=1在直角三角形BCH中，由勾股定理得：BH=B∵点G是AE的中点，点I是DE的中点，∴IG=12AD=2，AG=12∴∠IGE＝∠A＝90°，BG=AB-∴BI∵点H为CD的中点，点I是DE的中点，∴HI=1又∵点I是DE的中点，P为DF的中点，∴PI∥EF，同理可得：PH∥CF，∴点P，H，I在同一条直线上，即当点F在CE上运动时，点P在HI上运动，由垂线段最短可知，当PB⊥HI时，PB的值最小，设PH＝x（x＞0），则PI=HI-由勾股定理得：BH2﹣PH2＝PB2＝BI2﹣PI2，∴52解得x=7∴PH=7∴PB=B即PB的最小值是2455．C【解析】如图，在AB上截取AG＝AE，连接GF，CG，在△ABE和△AFG中，AE=AG∠BAE=∠FAG∴△ABE≌△AFG（SAS），∴BE＝GF，∴BE+CF＝GF+CF≥CG，当且仅当C、F、G三点共线时取等，∵AB＝AF＝8，且AE=1∴AE＝AG＝2，∴BG＝AB﹣AG＝6，∵四边形ABCD是矩形，AD＝4，∴∠ABC＝90°，BC＝AD＝4，在Rt△BCG中，CG=BC2即BE+CF＝GF+CF≥CG＝213，∴BE+CF的最小值为213，6．C【解析】连接CP，∵四边形ABCD是矩形，∴EF＝CP，∴AP+EF的最小值即为AP+CP的最小值，当A，P，C三点共线时，AP+CP的值最小，且为AC的长度，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=A∴AP+EF的最小值为34，故选：C．7．C【解析】如图，连接AP，∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC=A∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四边形AFPE是矩形，∴EF＝AP，∵M是EF的中点，∴PM=12EF=根据垂线段最短可知，当AP⊥BC时，AP最短，则PM也最短，此时，S△ABC=12BC•AP=12∴AP=AB⋅AC即AP最短时，AP=12∴PM的最小值=12AP8．C【解析】连接AP，∵AB＝6，AC＝8，BC＝10，∴AB2+AC2＝62+82＝100，BC2＝102＝100，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠BAC＝90°，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠PEA＝∠PFA＝90°，∴四边形AEPF是矩形，∴AP＝EF，∴当AP⊥BC时，AP有最小值，即EF有最小值，∵△ABC的面积=12BC•AP=12∴BC•AP＝AB•AC，∴10AP＝6×8，∴AP=24∴AP＝EF=24∴EF的最小值为2459．B【解析】连接AD，过点A作AH⊥BC于点H，如图所示：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，由勾股定理得：BC=A根据三角形的面积公式得：S△ABC=12AH•BC=12∴AH=AB⋅AC∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEA＝∠DFA＝∠BAC＝90°，∴四边形AEDF是矩形，∴EF＝AD，∴当AD最小值时，EF的值为最小，∵点D是边BC上的动点（不与B，C重合）∴根据“垂线段最短”得：当AD⊥BC时，AD为最小，∴当点D于点H重合时，AD为最小，最小值是线段AH的长，∴AD的最小值是4.8，∴EF的最小值是4.8．10．A【解析】连接OE，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠GOF＝90°，∵EF⊥OC，EG⊥OD，∴∠EFO＝90°，∠EGO＝90°，∴四边形GEFO为矩形，∴FG＝OE，当OE⊥DC时，OE的值最小，即FG的值最小，∵AC﹣BD＝2，S菱形ABCD＝24，∴12解得AC＝8，BD＝6，∴OD＝3，OC＝4，∴DC=O∴12DC⋅OE=12OC⋅OD∴FG的最小值为2.4，11．D【解析】如图，连接AP，DE，∵AB＝3，BC＝4，∴BD=B∵BP＝2，∴DP＝3，∴DP＝CD＝3，∵点E是PC的中点，∴点E在∠BDC的平分线上；故①正确；∵PF⊥AB，PG⊥AD，∠BAD＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴AP＝FG，∴当AP⊥BD时，AP有最小值，此时∵S△ABD=12AB•AD=12BD•AP，∴3×4＝5×AP12．C【解析】如图，连接AP，∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC=A∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四边形AFPE是矩形，∴EF＝AP，∵M是EF的中点，∴PM=12EF=根据垂线段最短可知，当AP⊥BC时，AP最短，则PM也最短，此时，S△ABC=12BC•AP=12∴AP=AB⋅AC即AP最短时，AP＝2.4，∴PM的最小值=1213．B【解析】连接CM，如图，∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形EMFC是矩形，∴EF＝MC，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB=A当CM⊥AB时，CM取得最小值，即EF取得最小值，∵12∴CM=AC×BC∴EF＝CM＝2.4．即EF的最小值是2.4．14．A【解析】连接AP，如图所示：∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC=3∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AFPE是矩形，∴EF＝AP．∵M是EF的中点，∴PM=12根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即AP⊥BC时，AP最短，同样PM也最短，∴当AP⊥BC时，AP=3×4∴AP最短时，AP＝2.4，∴当PM最短时，PM=12故选：A．15．C【解析】连接PC，过点C作CH⊥AB于点H，如图所示：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得：AB=A∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝∠ACB＝90°，∴四边形PECF是矩形，∴EF＝PC，∴当PC的值最小时，EF的值为最小，∵点P在斜边AB上（不与A、B重合），∴根据“垂线段最短”得：当点P于点H重合时，PC的值为最小，最小值为线段CH的长，∴EF的最小值是线段CH的长，∵S△ABC=12AB•CH=12∴CH=AC⋅BC∴EF长度的最小值为2.4．16．C【解析】∵∠BAC＝90°，且BA＝5，AC＝12，∴BC=B∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四边形DMAN是矩形，∴MN＝AD，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，△ABC的面积=12AB×AC=12∴AD=AB⋅AC∴MN的最小值为601317．A【解析】如图，连接CP，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，∴AB=2AC＝42∵PD⊥BC，PE⊥AC，∴∠PDC＝∠PEC＝90°，∴四边形CDPE是矩形，∴DE＝CP，由垂线段最短可得，当CP⊥AB时，线段DE的值最小，此时，AP＝BP，∴CP=12AB=12×∴DE的最小值为22，18．B【解析】如图，连接CD，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB=A∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠ACB＝90°，∴∠DEC＝∠ACB＝∠DFC＝90°，∴四边形CEDF是矩形，∴CD＝EF，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，线段CD最小，则线段EF的值最小，此时S△ABC=12BC•AC=12AB•CD，即12∴CD＝2.4，∴EF的最小值为2.4，19．A【解析】连接CM，如图所示：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB=A∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形CEMF是矩形，∴EF＝CM，∵点P是EF的中点，∴CP=12当CM⊥AB时，CM最短，此时EF也最小，则CP最小，∵△ABC的面积=12AB×CM=12∴CM=AC×BC∴CP=12EF=20．C【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC=12AC=12×8＝4，OB＝在Rt△AOB中，AB=O如图所示，连接OP，∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，∴四边形OEPF是矩形，∴EF＝OP，当OP⊥AB时，OP的值最小，即EF的值最小，∵S△AOB=12OA•OB=12∴OP=OA⋅OB∴EF的最小值为12521．（1）36；（2）65解析：（1）∵四边形是矩形，AB＝6，BC＝4，∴CD＝AB＝6，DA＝BC＝4，∠DAB＝∠ABC＝90°，在△ABE和△APB中，∵∠BAE＝∠PAB，∠APB＝∠ABE，∴△ABE∽△APB，∴AEAB∴AE•AP＝AB2＝62＝36，故答案为：36；（2）设AB的中点为O，以点O圆心，以AB为直径作⊙O，连接OD交⊙O于点H，连接BH，AH，过点H作HK⊥AD于点K，如图所示：∴OH＝OA=12在Rt△OAD中，由勾股定理得：DO=O∴AH＝DO﹣OH＝2，∵△ABE∽△APB，∴∠AEB＝∠ABP＝90°，∴点E在⊙O上，根据点与圆的位置关系得：DH为最小，∴当点E与点H重合时，DE为最小，最小值是2，此时AE的长就是线段AH的长，∵HK⊥AD，∴∠DKH＝∠DAB＝90°，∴HK∥AB，∴△DHK∽△DOA，∴DKDA∴DK4∴DK=85，HK∴AK＝DA﹣DK=4-在Rt△AHK中，由勾股定理得：AH=A22．2．解析：如图所示，延长AB到H，使得BH＝2AD＝12，连接HN，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠ABC＝∠C＝90°，∴∠NBH＝180°﹣∠ABC＝90°＝∠ADM，∵BN＝2DM，BH＝2AD＝12，∴BNDM∴△NBH∽△MDA，∴∠BNH＝∠AMD，∵NP⊥AM，∴∠NPM＝90°，∴∠PMC+∠PNC＝360°﹣∠C﹣∠NPM＝180°，∵∠AMD+∠PMC＝∠PNC+∠PNB＝180°，∴∠AMD+∠PNB＝180°，∴∠BNH+∠PNB＝180°，∴P、N、H三点共线；如图所示，取AH的中点O，连接OP，OD，∵AH＝AB+BH＝16，∴OA=OP=1∵DP≥OD﹣OP，∴当点P在线段OD上时，DP有最小值，最小值为OD﹣OP的值，在Rt△ADO中，OD=A∴DP最小值＝10﹣8＝2，23．125解析：连接CP，如图，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠DCB＝90°，∵PE⊥BC，PF⊥CD∴四边形PECF是矩形，∴CP＝EF，∴要求EF的最小值就是要求CP的最小值，∴当CP⊥BD时，CP取最小值，在Rt△BAD中，∠BAD＝90°，AB＝3，AD＝4，∴BD=AB2+AD2=5，∵S△BCD＝S△ABD=1∴3×4＝5CP，∴CP=125，∴EF的最小值为24．4．解析：∵四边形ABNM与四边形GHNM关于直线l对称，∴延长BA与HG的延长线交于直线l上的点E，在矩形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，∴△AME∽△BNE，∴AEBE∵BN＝3AM，∴BE＝3AE，∴BE＝3（BE﹣AB），∵AB＝4，∴BE＝3（BE﹣4）＝6，由对称得HE＝BE＝6，连接CE，则GH≥CE﹣EH，∵∠B＝90°，BC＝8，∴EC=BC∴CH≥10﹣6，∴CH≥4．故答案为：4．25．45解析：如图，连接BD、AM，∵AB＝1，BC＝AD＝2，∴BD=AB2+AD2=12∴2≤BM≤5由条件可知S△ADM＝S△BDM=12BM•∵2＝S矩形ABCD＝S△ABM+S△BCM+S△ADM，=12BM•AE+12BM•C+12BM•DG=12∴AE+CF+DG=4∴4BM=∵2≤BM≤5∴m随MB的增大而减小，∴BM=5时，m最小，m=故答案为：4526．213．解析：如图，在AB上截取AG＝AE，连接GF，CG，在△ABE和△AFG中，AE=AG∠BAE=∠FAG∴△ABE≌△AFG（SAS），∴BE＝GF，∴BE+CF＝GF+CF≥CG，当且仅当C、F、G三点共线时取等，∵AB＝AF＝9，且AE=13∴AE＝AG＝3，∴BG＝AB﹣AG＝6，∵四边形ABCD是矩形，AD＝4，∴∠ABC＝90°，BC＝AD＝4，在Rt△BCG中，CG=BC2即BE+CF＝GF+CF≥CG＝213，∴BE+CF的最小值为213，27．710解析：如图①，连接BE，BF，AB＝3cm，BC＝4cm，设AE＝tcm，则CF=4∴ABCB又∵∠A＝∠BCF＝90°，∴△ABE∽△CBF，∴∠ABE＝∠CBF，∴∠EBF＝90°，连接BG，DG，BD，∵∠EBF＝∠EDF＝90°，G为EF的中点，∴BG＝DG，∴点G在线段BD的垂直平分线上，如图②，作线段BD的垂直平分线MN交BD于点O，∴当CG⊥MN时CG最短．则△BON∽△BCD∽△CGN，∴BOBN在Rt△BCD中，∵BD=B∴BCBD=4∴BN=BO∴CN=4-又∵CGCN∴CG=7∴CG的最小值为71028．42．解析：如图，在AB上截取AG＝AE，连接GF，CG，在△ABE和△AFG中，AE=AG∠BAE=∠FAG∴△ABE≌△AFG（SAS），∴BE＝GF，∴BE+CF＝GF+CF≥CG，当且仅当C、F、G三点共线时取等，∵AB＝AF＝6，AE=12∴AE＝AG＝2，∴BG＝AB﹣AG＝4，∵四边形ABCD是矩形，AD＝4，∴∠ABC＝90°，BC＝AD＝4，在Rt△BCG中，CG=BC2即BE+CF＝GF+CF≥CG＝42，29．25解析：如图，取BC的中点O，连接AO，OE，AE．∵CA＝CB，CO＝OB，∴AC＝2OC，∵四边形ADEF是矩形，∴∠ADE＝90°，∵tan∠EAD=DEAD=1∴∠EAD＝∠DAC，∴∠EAO＝∠DAC，∵DEAD=OCAC，∠∴△ADE∽△ACO，∴AEAO∴AEAD∴△AOE∽△ACD，∴∠AOE＝∠ACD＝90°，∴点E的运动轨迹是射线OE，当BE⊥OE时，BE的值最小，∵AC＝4，OC＝2，∴AO=AC2∴sin∠OAC=OC∵∠EOB+∠AOC＝90°，∠OAC+∠AOC＝90°，∴∠EOB＝∠OAC，∴sin∠EOB＝sin∠OAC=5∴BE的最小值＝OB•sin∠EOB=230．4041解析：如图，取AD都是中点H，连接GH，BH．CH，过点C作CJ⊥BH于点J．∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥CB，∠BAH＝90°，∵AH＝DH，BE＝CE，∴DH＝BE，∴四边形BEDH是平行四边形，∴BH∥DE，∵AH＝DH，AG＝GF，∴HG∥DF，∴BH，GH共线，∴当点G与点J重合时，CG的值最小，在Rt△ABH中，BH=A∵S△BCH=12•BH•CJ=12•∴CJ=5×831．②③④．解析：如图1，当点P在线段BF上时，过点E作EH⊥BC于H，∵F为BC中点，∴CF＝BF＝2，将AP绕P顺时针旋转90°得到线段PE，∴AP＝PE，∠APE＝90°＝∠ABP＝∠PHE，∴∠BPA+∠EPH＝90°，∠BAP+∠BPA＝90°，∴∠BAP＝∠EPH，在△BAP和△HPE中，∠ABP=∴△BAP≌△HPE（AAS），∴BP＝EH＝m，AB＝PH＝2，∴FH＝PH﹣PF＝2﹣（2﹣m）＝m，∴EH＝FH，∴∠EFH＝45°，∴∠EFP＝135°，CD＝CF＝2，∴∠DFC＝45°，∴点D在直线EF上，当点P在点F右边时，如图2，过点E作EM⊥BC，交BC的延长线于点M，在△BAP和△MPE中，∠ABP=∴△BAP≌△MPE（AAS），∴EM＝BP＝m，PM＝AB＝2，∴FM＝FP+PM＝（m﹣2）+2＝m，∴EM＝FM，∴∠EFM＝45°，∵∠DFC＝45°，∴点D在直线EF上，综上所述：m≠2时，∠EFP＝45°或135°，点E到BC的距离为m，点D在直线EF上，故①错误，②③正确，∵点E在DF上运动，∴当CE⊥DF时，CE有最小值，如图3，∵CD＝CF，∠DCF＝90°，CE⊥DF，∴DF=2CD=22，CE＝DE＝∴CE的最小值为2，故④正确，32．（1）85（2）42解析：（1）当点E落在BD上时，如图1所示：∵△APE是以AP为直角边的等腰直角三角形，∴∠APE＝90°，AP＝PE，∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝8，∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∠DAB＝90°，AB∥CD，在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=A由三角形的面积公式得：S△ABD=12BD•AP=12∴AP=AB⋅AD∴AP＝PE=24在Rt△ABP中，由勾股定理得：BP=A∴DE＝BD﹣BP﹣EP=10-（2）过点P作PF⊥AB于点F，FP的延长线交CD于点H，过点E作ET⊥PH于点T，EK⊥CD于点K，如图2所示：设PF＝x，∵∠PFB＝∠DAB＝90°，∠PBF＝∠DBF，∴△PFB∽△BAD，∴BFAB∴BF=AB⋅PF∴AF＝AB﹣BF=6-∵PF⊥AB，ET⊥PH，∴∠AFB＝∠PTE＝90°，∴∠FAP+∠APF＝90°，∵∠APE＝90°，∴∠APF+∠TPE＝90°，∴∠FAP＝∠TPE，在△FAP和△TPE中，∠AFB=∴△FAP≌△TPE（AAS），∴PF＝ET＝x，PT＝AF=6-∵EK⊥CD，AB∥CD，PF⊥AB，∴四边形BFHC和四边形EKHT均为矩形，∴EK＝TH＝BP﹣PF﹣PT=8-x-(6-3x4)=2-在Rt△DEK中，由勾股定理得：DE2＝EK2+DK2，∴DE2=(2-∴当x=8825时，DE2为最小，最小值为∴DE的最小值为：322533．（1）52；（2）5解析：（1）如图所示，点F落在CD上，∵∠BEF＝90°，∴∠ABE＝∠FED，又∵∠A＝∠D＝90°，∴△BAE∽△EDF，∴ABED=AE∴ED＝2，AE＝3，DF=3∴CF＝AB﹣DF＝4-3故答案为：52（2）如图，过点F作MN∥AB交AD于M，交BC于点N，类比（1）可得△BAE∽△EMF，∴ABEM设MF＝x，则NF＝4﹣x．∴AEx∴AE＝2x，EM＝2，∴CN＝DM＝AD﹣EM﹣AE＝5﹣2﹣2x＝3﹣2x，∴CF2＝FN2+CN2＝（4﹣x）2+（3﹣2x）2＝5（x2﹣4x+5）＝5（x﹣2）2+5，当x＝2时，CF2的最小值为5，故CF长的最小值是5．34．25．解析：延长DA到G，使DG＝DB，连接FG，CG，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，DC＝AB＝23，∠BAD＝∠GDC＝90°．∴∠GDF＝∠DBE．∵DF＝BE，DG＝BD，∴△DGF≌△BDE（SAS）．∴FG＝DE，∴DE+CF＝FG+CF，∴当点G、F、C共线时，FG+CF最小，最小值为CG．∴DE+CF最小值为CG．∵∠BAD＝90°，∴BD=A在Rt△GDC中，GD＝BD＝4，∠GDC＝90°，∴GC=GD2∴DE+CF最小值为25．35．1≤m≤4．解析：如图，过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB，∵四边形ABCD是矩形，AB＝m，BC＝3，∴∠B＝90°，CD＝AB＝m，AD＝3，∵AE＝1，∴BE＝m﹣1，∵∠GHE＝∠A＝∠GEF＝90°，∴∠GEH+∠EGH＝90°，∠GEH+∠FEA＝90°，∴∠EGH＝∠FEA，又∵GE＝EF，∴△GEH≌△EFA（AAS），∴GH＝AE＝1，∴点G在平行AB且到AB距离为1的线段MN上运动，当B点与E点重合时，AB的长为1，当BC经过N点时，BE＝3，此时AB＝4，∴1≤m≤4时CG有最小值2．36．32解析：如图，连接FH，BH∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝3，∠ABC＝90°，∵△EFG是等边三角形，点H是GE的中点，∴∠FHE＝90°，∠GEF＝60°，∵∠FHE+∠ABC＝180°，∴点B，点E，点H，点F四点共圆，∴∠FBH＝∠FEH＝60°，∴∠HBE＝30°，∴点H在∠CBH边BH上移动，∴当CH⊥BH时，CH有最小值，∵∠CBH＝30°，CH⊥BH，∴CH=12BC37．6013解析：如图，连接PC，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝∠ACB＝90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF＝PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，∴AB=AC+B当PC⊥AB时，PC最小，此时，S△ABC=12AB•PC=12∴PC的最小值=AC⋅BC∴线段EF的最小值为6013故答案为：601338．33．解析：∵∠BAC＝90°，ME⊥AB，MF⊥AC，∴∠A＝∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四边形AEMF是矩形，∴EF＝AM，要使EF最小，只要AM最小即可，过A作AM⊥BC于M，此时AM最小，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AB＝6，∴AM=32AB＝3即EF＝33．故答案为：33．39．4.8．解析：连接CP，如图所示，∵∠C＝90°，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，∴∠C＝∠PFC＝∠PEC＝90°，∴四边形CEPF是矩形，∴EF＝CP，要使EF最小，只要CP最小即可，当CP⊥AB时，CP最小，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，由勾股定理得：AB＝10，由三角形面积公式得：12×8×6=1∴CP＝4.8，即EF＝4.8，故答案为：4.8．40．3．解析：如图，连接CD，∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠DEC＝∠DFC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴四边形CFDE是矩形，∴EF＝CD，由垂线段最短可知，CD⊥AB时，线段CD的值最小，即线段EF的值最小，∵∠B＝30°∴此时CD=12∴EF的最小值为3，故答案为：3．41．125解析：如图，连接DP．∵∠B＝∠D＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC＝5，∵PF⊥DC于点E，PE∥DC，∠D＝90°，∴四边形DEPF是矩形；∴EF＝DP，由垂线段最短可得DP⊥AC时，线段EF的值最小，此时，S△ADC=12DC•AD=12即12×4×3=1解得DP=12故答案为：12542．12．解析：连接AP，CP，AC，如图所示，由题意可得：BC＝AD＝9，DC＝AB＝12，∠B＝∠D＝∠BCD＝∠DAB＝90°，∴AC=A∵P是线段EF的中点，EF＝6，∴AP=1∵PG⊥BC，PH⊥CD，G，H为垂足，∴∠PHC＝∠PGC＝90°＝∠BCD，∴四边形PGCH是矩形，∴HG＝PC，当A，P，C三点共线时，PC最小，此时，PC＝AC﹣AP＝15﹣3＝12，∴GH的最小值是12，故答案为：12．43．2.4．解析：连接PC，过点C作CH⊥AB于点H，如图所示：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得：AB=A∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝∠ACB＝90°，∴四边形PECF是矩形，∴EF＝PC，∴当PC的值最小时，EF的值为最小，∵点P在斜边AB上（不与A、B重合），∴根据“垂线段最短”得：当点P于点H重合时，PC的值为最小，最小值为线段CH的长，∴EF的最小值是线段CH的长，∵S△ABC=12AB•CH=12∴CH=AC⋅BC∴EF长度的最小值为2.4．故答案为：2.4．44．①②④．解析：①∵DE∥CA，DF∥BA，∴四边形AEDF是平行四边形；故①正确；②若∠BAC＝90