2025年中考数学总复习《四边形中的相似三角形综合》专项检测卷附带答案

第第页2025年中考数学总复习《四边形中的相似三角形综合》专项检测卷附带答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于点E，交BA的延长线于点F．（1）求证：△APD≌△CPD；（2）求证：△APE∽△FPA；（3）若PE＝2，EF＝6，求PC的长．2．如图，点P是▱ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长DP交边AB于点E，连接BP并延长BP交AD于点F，交CD的延长线于点G，已知．（1）求的值．（2）若四边形ABCD是菱形．①求证：△APB≌△APD；②若DP的长为6，求GF的长．3．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在BC上，且满足AE⊥BD；（1）求证：AB2＝BC•BE；（2）若AO＝3，AE＝4，求AB的长．4．如图，在▱ABCD中，过B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥BD分别与BD、BE交于点G、F，连接GE，已知AB＝BD，CF＝AB．（1）若∠ABE＝30°，AB＝6，求△ABE的面积；（2）求证：GE＝BG．5．如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，EC平分∠DEB，F为CE的中点，连接AF，BF，过点E作EH∥BC分别交AF，CD于G，H两点．（1）求证：DE＝DC；（2）求证：AF⊥BF；（3）当AF•GF＝28时，请直接写出CE的长．6．已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连接AF和CE．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AE＝10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2＝AC•AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．7．如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上的一动点，点F是CD上一点，且CE＝DF，AF、DE相交于点G．（1）求证：△ADF≌△DCE；（2）求∠AGD的度数；（3）若BG＝BC，求的值．8．已知：如图边长为2的正方形ABCD中，∠MAN的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠MAN＝45°①求证：MN＝BM+DN；②若AM、AN交对角线BD于E、F两点．设BF＝y，DE＝x，求y与x的函数关系式．9．如图，四边形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE＝CF，G是CD与EF的交点．（1）求证：△BCF≌△DCE；（2）若∠BFC＝90°，S△CFG：S△DEG＝9：16，求tan∠FBC的值．10．如图，正方形ABCD的边长为3，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形AEFG，FE交线段DC于点Q，FE的延长线交线段BC于点P，连结AP、AQ．（1）求证：△ADQ≌△AEQ；（2）求证：PQ＝DQ+PB；（3）当∠1＝∠2时，求PQ的长．11．如图（1），菱形ABCD对角线AC、BD的交点O是四边形EFGH对角线FH的中点，四个顶点A、B、C、D分别在四边形EFGH的边EF、FG、GH、HE上．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）如图（2）若四边形EFGH是矩形，当AC与FH重合时，已知，且菱形ABCD的面积是20，求矩形EFGH的长与宽．12．如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC＝40cm，AD＝30cm．（1）求证：△AEH∽△ABC；（2）求这个正方形的边长与面积．13．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点O在BC上（与B，C不重合），连接AO，F是线段AO上的点（与A，O不重合），∠EAF＝90°，AE＝AF，连结FE，FC，BE，BF．（1）如图1，若AO⊥BC，求证：BE＝BF；（2）如图2，若将△AEF绕点A旋转，使边AF在∠BAC的内部，延长CF交AB于点G，交BE于点K．①求证：△AGC∽△KGB；②当△BEF为等腰直角三角形时，请你直接写出AB：BF的值．14．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2＝AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD＝4，AB＝6，求的值．15．如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，交AC于点O，分别连接AF和CE．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）过E点作AD的垂线EP交AC于点P，求证：2AE2＝AC•AP；（3）若AE＝10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长．16．已知：如图，四边形ABCD是正方形，BD是对角线，BE平分∠DBC交DC于E点，交DF于M，F是BC延长线上一点，且CE＝CF．（1）求证：BM⊥DF；（2）若正方形ABCD的边长为2，求ME•MB．参考答案1.【解答】（1）证明：∵四边形ABCD菱形，∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，在△APD和△CPD中，，∴△APD≌△CPD（SAS）；（2）∵△APD≌△CPD，∴∠DAP＝∠DCP，∵CD∥BF，∴∠DCP＝∠F，∴∠DAP＝∠F，又∵∠APE＝∠FPA，∴△APE∽△FPA，（3）∵△APE∽△FPA∴，∴PA2＝PE•PF，∵△APD≌△CPD，∴PA＝PC，∴PC2＝PE•PF，∵PE＝2，EF＝6，∴PF＝PE+EF＝2+6＝8，∴PC＝4．2．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD＝BC，AD∥BC∵．∴设DF＝x，则AF＝2x∴AD＝3x∴BC＝AD＝3x∵AD∥BC∴（2）①∵四边形ABCD是菱形∴AC平分∠BAD，AB＝AD∴∠DAP＝∠BAP又AP＝AP∴△APB≌△APD（SAS）②解：∵△APB≌△APD∴DP＝BP＝6∵∴FP＝4∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥DC∴∴，∴GF＝53.【解答】证明：如图所示：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC，∠ABC＝90°，∴∠OAB＝∠OBA，又∵AE⊥BD，∴∠AHB＝∠EHB＝90°，又∵∠ABC＝∠ABH+CBH＝90°，∠EBH+∠BEH＝90°，∴∠BEA＝∠ABH，∴∠CAB＝∠AEB，∴△ABE∽△CBA（AA），∴，∴AB2＝BC•BE；（2）设AB＝2x，由BC＝3x，由证明（1）得△ABE∽△CBA，∴，又∵AO＝3，AE＝4，∴∴在Rt△ABC中，由勾股定理得，∴AB2+BC2＝AC2，∴（2x）2+（3x）2＝62解得：x＝，∴AB＝．4.【解答】（1）解：∵BE⊥AD，∠ABE＝30°，∴AE＝AB＝3，BE＝＝＝3，∴S△ABE＝AE•BE＝×3×3＝；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵∠FGB＝∠BED＝90°，∠FBG＝∠DBE∴∠BFC＝∠BDE，∴∠CBG＝∠BFG，∵∠CGB＝∠BGF＝90°，∴∠BCF＝∠DBE，∴∠CBF＝∠BCG+∠CBG＝90°，∵BE⊥AD，AB＝BD，∴AE＝DE，∵AB＝BD，CF＝AB，∴CF＝BD，在△DEB和△FBC中，，∴△DEB≌△FBC（AAS），∴BF＝DE，BE＝BC＝2DE，设DE＝x，则BE＝BC＝AD＝2x，CF＝BD＝AB＝x，S△BCF＝CF•BG＝BF•BC，即：x•BG＝x•2x，∴BG＝x，∴DG＝x﹣x＝x，过G作GH⊥AD于H，如图所示：sin∠EDG＝＝，即：＝，∴GH＝x，cos∠EDG＝＝，即：＝，∴DH＝x，EH＝DE﹣DH＝x﹣x＝x，∴EG＝＝＝，∴＝＝，∴EG＝BG．5.【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DCE＝∠CEB，∵EC平分∠DEB，∴∠DEC＝∠CEB，∴∠DCE＝∠DEC，∴DE＝DC；（2）如图，连接DF，∵DE＝DC，F为CE的中点，∴DF⊥EC，∴∠DFC＝90°，在矩形ABCD中，AB＝DC，∠ABC＝90°，∴BF＝CF＝EF＝EC，∴∠ABF＝∠CEB，∵∠DCE＝∠CEB，∴∠ABF＝∠DCF，在△ABF和△DCF中，，∴△ABF≌△DCF（SAS），∴∠AFB＝∠DFC＝90°，∴AF⊥BF；（3）CE＝4．理由如下：∵AF⊥BF，∴∠BAF+∠ABF＝90°，∵EH∥BC，∠ABC＝90°，∴∠BEH＝90°，∴∠FEH+∠CEB＝90°，∵∠ABF＝∠CEB，∴∠BAF＝∠FEH，∵∠EFG＝∠AFE，∴△EFG∽△AFE，∴＝，即EF2＝AF•GF，∵AF•GF＝28，∴EF＝2，∴CE＝2EF＝4．6．【解答】（1）证明：由题意可知OA＝OC，EF⊥AO，∵AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO，∴△AOE≌△COF，∴AE＝CF，又AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，由图形折叠的性质可知，AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形；（2）解：∵四边形AECF是菱形，∴AF＝AE＝10cm，设AB＝a，BF＝b，∵△ABF的面积为24cm2，∴a2+b2＝100，ab＝48，∴（a+b）2＝196，∴a+b＝14或a+b＝﹣14（不合题意，舍去），∴△ABF的周长为14+10＝24cm；（3）解：存在，过点E作BC的垂线，交AC于点P，点P就是符合条件的点；证明：∵∠AEP＝∠AOE＝90°，∠EAO＝∠EAO，∴△AOE∽△AEP，∴＝，∴AE2＝AO•AP，∵四边形AECF是菱形，∴AO＝AC，∴AE2＝AC•AP，∴2AE2＝AC•AP．7．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADF＝∠DCE＝90°，∵CE＝DF，∴△ADF≌△DCE（SAS）．（2）解：∵△ADF≌△DCE，∴∠DAF＝∠CDE，∵∠DAF+∠AFD＝90°，∴∠AFD+∠CDE＝90°，∴∠DGF＝90°，∴∠AGD＝90°．（3）解：∵BA＝BG＝BC，∴∠BAG＝∠BGA，∠BGC＝∠BCG，∵∠ABC＝90°，2∠AGB+2∠GBC＝270°，∴∠AGB+∠CGB＝135°，∴∠CGF＝45°，∴∠CGE＝∠FGC＝45°，∵∠ECF+∠EGF＝90°，∴E，C，F，G四点共圆，∴∠CEF＝∠CGF，∠CFE＝∠CGE，∴∠CFE＝∠CEF，∴CE＝CF，∵DF＝EC，∴FC＝DF，∴DF＝CD＝AD，∵tan∠DAG＝＝＝．8．【解答】（1）证明：将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADM′，∵∠M′AN＝∠DAN+∠MAB＝45°，AM′＝AM，BM＝DM′，∵M′AN＝∠MAN＝45°，AN＝AN，∴△AMN≌△AM′N′，∴MN＝NM′，∴M′N＝M′D+DN＝BM+DN，∴MN＝BM+DN．（2）解：∵∠AED＝45°+∠BAE，∠FAB＝45°+∠BAE，∴∠AED＝∠FAB，∵∠ABF＝∠ADE，∴△BFA∽△DAE，∴＝，∴＝，∴y＝．9．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，BC＝CD，∵△ECF是等腰直角三角形，∴∠FCE＝90°，CF＝CE，∴∠BCD﹣∠FCD＝∠ECF﹣∠FCD，即∠BCF＝∠DCE，在△BCF和△DCE中，，∴△BCF≌△DCE（SAS）；（2）由（1）知△BCF≌△DCE，又∵∠BFC＝90°，∴∠DEC＝∠BFC＝90°，∵∠FCE＝90°，∴FC∥DE，∴∠CFG＝∠DEG，∵∠CGF＝∠DGE，∴△CFG∽△DEG，∴＝（）2＝，∴＝，又由（1）知DE＝BF，∴＝，∵∠BFC＝90°，∴tan∠FBC＝＝．10．【解答】（1）证明：∵ABCD是正方形，∴∠D＝∠AEF＝90°，AD＝AE，∵在Rt△ADQ和Rt△AEQ中，∴△ADQ≌△AEQ（HL）；（2）证明：与证△ADQ≌△AEQ类似，可证得：△AEP≌△ABP，∴PB＝PE，QD＝QE，∴PQ＝QE+PE＝DQ+PB；（3）解：当∠1＝∠2时，∵∠D＝∠C＝90°，∴Rt△ADQ∽Rt△PCQ，∴∠AQD＝∠PQC，∵△ADQ≌△AEQ∴∠AQD＝∠AQE，∴∠AQD＝∠PQC＝∠AQE，且∠AQD+∠AQE+∠PQC＝180°，∴∠AQD＝60°，∴∠1＝30°∴Rt△ADQ中，AD＝3，DQ＝，∴QC＝3﹣，∵∠C＝90°，∠PQC＝60°，∴∠2＝30°，∴PQ＝2QC＝6﹣2．11．【解答】（1）证明：∵点O是菱形ABCD对角线AC、BD的交点，∴OA＝OC，OD＝OB，∵点O是线段FH的中点，∴OF＝OH．在△AOF和△COH中，有，∴△AOF≌△COH（SAS），∴∠AFO＝∠CHO，∴AF∥CH．同理可得：DH∥BF．∴四边形EFGH是平行四边形．（2）（方法一）设BD＝m，则AC＝2m，∴S菱形ABCD＝AC•BD＝m2＝20，∴m＝2，即BD＝2，AC＝4．∵四边形ABCD为菱形，∴OB＝BD＝，OA＝AC＝2，∴AB＝＝5．∵四边形EFGH为矩形，∴∠G＝∠AOB＝90°，∴△AOB∽△AGC，∴，∴CG＝4，AG＝8．∴矩形EFGH的长为8，宽为4．（方法二）设BD＝m，则AC＝2m，∴S菱形ABCD＝AC•BD＝m2＝20，∴m＝2，即BD＝2，AC＝4．∵四边形ABCD为菱形，∴OB＝BD＝，OA＝AC＝2，∴AB＝＝5，∴HG＝＝4．在Rt△BHG中，BH＝5，HG＝4，∠G＝90°，∴BG＝3，∴FG＝AB+BG＝8．∴矩形EFGH的长为8，宽为4．12．【解答】（1）证明：∵四边形EFGH是正方形，∴EH∥BC，∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C，∴△AEH∽△ABC．（2）解：如图设AD与EH交于点M．∵∠EFD＝∠FEM＝∠FDM＝90°，∴四边形EFDM是矩形，∴EF＝DM，设正方形EFGH的边长为x，∵△AEH∽△ABC，∴＝，∴＝，∴x＝，∴正方形EFGH的边长为cm，面积为cm2．13．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AO⊥BC，∴∠OAC＝∠OAB＝45°，∴∠EAB＝∠EAF﹣∠BAF＝45°，∴∠EAB＝∠BAF，在△EAB和△FAB中，，∴△EAB≌△FAB（SAS），∴BE＝BF；（2）①证明：∵∠BAC＝90°，∠EAF＝90°，∴∠EAB+∠BAF＝∠BAF+∠FAC＝90°，∴∠EAB＝∠FAC，在△AEB和△AFC中，，∴△AEB≌△AFC（SAS），∴∠EBA＝∠FCA，又∵∠KGB＝∠AGC，∴△AGC∽△KGB；②当∠EBF＝90°时，∵BE＝BF，∴∠BFE＝45°，∵∠EAF＝90°，AE＝AF，∴∠AFE＝45°，∴∠AFB＝90°，此时，点F和点O重合（不符合题意），当∠EFB＝90°时，AB：BF＝：2．当∠BEF＝90°时，AB：BF＝：2．14．【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC＝AC：AB，∴AC2＝AB•AD；（2）证明：∵E为AB的中点，∴CE＝AB＝AE，∴∠EAC＝∠ECA，∵∠DAC＝∠CAB，∴∠DAC＝∠ECA，∴CE∥AD；（3）解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE＝AF：CF，∵CE＝AB，∴CE＝×6＝3，∵AD＝4，∴，∴．15．【解答】（1）证明：当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，∴OA＝OC，∠AOE