吉林大学2015-2016 学年第一学期《高等数学 AI》试卷

（共6（共6页第1页）吉林大学2015~2016学年第一学期《高等数学AI》试卷2015年1月6日一二三四总 分得分一、单项选择题（共6道小题，每小题3分，满分18分）得分y2x3sinxcosx

的水平渐近线是（ B ）（A）y0. （B）y2. （C）y3. （D）y4.设yx2arctan1，则x0为函数的（ A ）x（A）跳跃间断点. （B）可去间断点.（C）无穷间断点. （D）振荡间断点.sin2x,

x0

f(x)a,

x

在点x0处连续，则常数a=（ C ）3x,

x0（A）0. （B）1. （C）2. （D）3.d2ydx2设方程eyxyeyd2ydx2

x0=（ C ）（A）1. （B）1. （C）1e2

. （D）1.e2函数y4(x2的单调增加且为下凸的区间是（ C ）x2（A）(,

（B）(3,

（C）(2,

（D）(0,).f(x)xa的某邻域内连续，且limf(xf(a)1，则f(x)xaxa (xa)2（ D ）（A）不可导. （B）可导且f(a)0.（C）取得极小值. （D）取得极大值.得分二、填空题（共6道小题，每小题3分，满分18分）.得分设limtanxsinx1，则k 3 .x0 xk 2设函数f(x)连续，且limf(x)1，则f(0) 1 .x0 x0 F(x)x2eu2u，则F(x)2xe0

dx.(sinxcos

x)dx834. 2 5 40x1t3

.15 165.曲线yln(2

在对应t1处的切线方程是y2x5.26.2

x2arcsinx1x4 dx 0 .得分三、解答题（共6道小题，每小题8分，满分48分）.得分1．求lim(1 1 ).x0x

ex1=lim

ex1xx

3分x0

x(e1)=limx0

ex1xx2

2分=x0=12

ex12x

212yx2xln(x

x24),求dy .dxx0x24解：dy2xx2xln2 x24

4分dydxdydxx0 2

4分3.设函数f(3.设函数f(x)

1sin x

x0,讨论当满足什么条件时，f(x)在点x0处连续.

x0,xsin10解：1时f(0)lim x limxsin10 x0

x

x0xf(0)0

∴f(0)0

3分x0f(xxsin1xcos11x x x2xsin1x2cos1x x

3分∴当2limf(x0x0

f(0)f(x)在x0连续． 2分xn14.设函数y sin2x，nx1

,y(n)(x).y(n)(x)2nsin(2x

n2

8分x xex5.求

)dx.1x211x21x21x2

dx

xexdx1ex(令t

1exxln(t2d1ex21x2d(121x2

2tt21

dt)

2ln(t21)dt

4分1x222tln(t21)1x22t211x22tln(t21)4t1x21ex11ex1ex11ex1

3分1x21ex1x21ex

4 2ln

C...1分xex2,1 6.设f(x)1 ,1cosx解：令x2t，则42 042 0 1 2(x2)dx f(t)dt dt111cost00sec2xdx12ex2d(x2)12220

x0,1x

求1f(x2)dx.4xex2dx4

320tanx0

1ex2

2分221 2 02tan11e4)2 2

1分得分得分四、按要求解答下列各题（共2道小题，每题8分，满分16分）.1．设函数f(x)的[2,4]上连续，在(2,4)内可导，且满足f(2) 4(xf(x)dx，3证明在(2,4)内至少存在一点，使f)2f)．f(x在[3,4]上连续，在(3,4)内至少存在一点4(x1)2f(x)dx(1)2f()

4分3 1 1F(x)(xf(xF(x的[2,]上连续，在(2,)内可导，1F(2)f(2)F

12分Rolle(2)内至少存在一点F0，即在(2,4)内至少存在一点，使)2ff，即)f)2f

2分2.（1）证明：对于任意正整数n，不等式

ln(11)1

成立；n1 n n（2）x1111lnn

(n，证明lim

存在．n 2 3

nn（1）ftn1tft在[0,xLagrangef'()即有

f(x)f(0)x0由于0x，则有

11

ln(1x)xx1x

ln(1x)x取x1(n1,2,)，则有n1 ln(11)

4分n1 n n（2）先证单调性：n1

1nln(nln

=1n

ln(11)0n故数列{xn}单调减少.再证有界性：x11