第6章 平行四边形（学生版）

第6章平行四边形知识点01：平行四边形的定义平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形ABCD记作“口ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.易错指导：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.知识点02：平行四边形的性质定理平行四边形的对角相等；平行四边形的对边相等；平行四边形的对角线互相平分；易错指导：（1）平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.知识点03：平行四边形的判定定理1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.易错指导：这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个行四边形时，应选择较简单的方法.（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.知识点04：平行线间的距离1.两条平行线间的距离：（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.2．平行线性质定理及其推论夹在两条平行线间的平行线段相等.平行线性质定理的推论：夹在两条平行线间的垂线段相等.知识点05：三角形的中位线三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.易错指导：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.知识点06：多边形内角和、外角和边形的内角和为(－2)·180°(≥3)．易错指导：(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于；多边形的外角和为360°．边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023春•东台市月考）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②S▱ABCD＝AB•AC；③OB＝AB；成立的个数有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个2．（2分）（2022春•福田区期末）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点，且∠BCD＝120°，，连接OE．给出下列4个结论：①△ABE是等边三角形；②∠EAC＝30°；③；④若AB＝3，则，上述结论正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2分）（2022春•鄞州区校级期末）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE．下列结论：①AE＝CE；②S△ABC＝AB•AC；③S△ABE＝2S△ACE；④OE⊥AC，成立的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（2分）（2021春•嵊州市期末）如图，在▱ABCD中，∠ADC＝60°，点F在CD的延长线上，连结BF，G为BF的中点，连结AG．若AB＝2，BC＝6，DF＝3，则AG的长为（）A．3 B． C． D．5．（2分）（2022•宁波模拟）如图，O是▱ABCD对角线AC上一点，过O作EF∥AD交AB于点E，交CD于点F，GH∥AB交AD于点G，交BC于点H，连结GE，GF，HE，HF，若已知下列图形的面积，不能求出▱ABCD面积的是（）A．四边形EHFG B．△AEG和△CHF C．四边形EBHO和四边形GOFD D．△AEO和四边形GOFD6．（2分）（2022春•娄底期中）如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有4005个三角形，则n的值是（）A．1002 B．1001 C．1000 D．9997．（2分）（2021春•青岛期末）平行四边形ABCD中，∠ACB＝45°，AC，BD交于点O，E是BC边上一点，连接AE，过点B作BF⊥AE并延长交AC于点G，交CD于点H，已知AB＝AE，AF＝3，EF＝1，则下列结论：①∠BAE＝2∠CBH；②S△ABE＝2；③BE＝CO；④GH＝CH中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．（2分）（2022春•綦江区期末）如图，在平行四边形ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE和等边△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF、EF，则以下四个结论，正确的是（）①△CDF≌△EBC；②∠CDF＝∠EAF；③CG⊥AE；④△CEF是等边三角形．A．③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④9．（2分）（2023春•沭阳县月考）如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠DBC＝45°，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE、BF相交于点H，直线BF交线段AD的延长线于点G，下列结论：①CE＝BE；②∠A＝∠BHE；③AB＝BH；④∠BHD＝∠BDG；⑤BH2+BG2＝AG2．其中正确的结论有（）个．A．1 B．2 C．3 D．410．（2分）（2023春•瑞安市期中）如图，▱ABCD中，AB＝22cm，BC＝8cm，∠A＝45°，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则EF的长为10cm时点E的运动时间是（）A．6s B．6s或10s C．8s D．8s或12s二．填空题（共11小题，满分22分，每小题2分）11．（2分）（2023春•长春期中）如图，作平行四边形ABCD的高CE，B是AE的中点．如果BE：CE＝1：，BC＝cm，则CD长为cm．12．（2分）（2023•天津二模）如图，△ABC是等边三角形，AB＝10，D为AB上一点，DB＝AB，DE⊥AB与BC的延长线相交于点E，F为DE的中点，H为BC的中点，连接FH．则FH的长为．13．（2分）（2023春•新市区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，BE与CF相交于点G，若AB＝6，BC＝11，则EF的长为．14．（2分）（2023春•泉港区期中）如图，平行四边形ABCD的周长是14cm，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为cm．15．（2分）（2023春•鼓楼区期中）如图，在平面直角坐标系中，A（2，0），点P为y轴上一动点，连接AP并延长至点D，使DP＝AP，取y轴上一点B，以AB，AD为边作▱ABCD，连接OC，则OC长度的取值范围为．16．（2分）（2023•玄武区一模）如图，在▱ABCD中，E是边BC的中点，连接AE，若BC＝4，∠BAE＝30°，则对角线BD的取值范围为．​17．（2分）（2023春•海淀区校级期中）如图，△ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB的中点，G、M、N分别是线段AE、AF、BD上的点，且GM∥BC，GN∥AB，GN与EF交于点K，如果四边形FKGM面积是2，四边形EKND的面积是3，则△GKE的面积是．18．（2分）（2023春•鹿城区校级期中）如图，点E是▱ABCD的AD边上的中点，连结BE，点F为BE中点，若AB＝9，AD＝6，∠BAD＝120°，则DF的长是．19．（2分）（2022春•魏都区校级期中）如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发，沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为秒时，以A，F，C，E为顶点的四边形是平行四边形．20．（2分）（2022春•碑林区校级月考）如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，G为线段AE上一点且满足EG＝BC，AG＝CE，连CG并延长交AB于点F，则∠BFC的度数为．21．（2分）（2022春•温州校级期中）如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AD，BC边的中点，延长CD至点G，使DG＝CD，以DG，DE为边向▱ABCD外构造▱DGME，连结BM交AD于点N，连结FN．若DG＝DE＝1，∠ADC＝60°，则FN的长为．三．解答题（共7小题，满分58分）22．（8分）（2023•绵阳三模）如图，在▱ABCD中，点E在CD上，连接BE，并延长BE至点F，连接CF，DF，BC＝CF，∠ABF＝∠DFB，连接BD交AE于点G，若AG＝DF．（1）求证：△ADE≌△CFD；（2）求证：CG垂直平分线段BF．23．（8分）（2023春•老城区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E为DC延长线上的一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC和BD于点F和G，连接AC交BD于点O，连接OF，求证：AB＝2OF．​24．（8分）（2023春•徐州期中）如图，已知：在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC，EF∥AC，求证：BE＝CF．25．（8分）（2023春•鼓楼区期中）如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点．对“中位线定理”逆向思考，可得以下3则命题：Ⅰ．若D是AB的中点，，则E是AC的中点；Ⅱ．若DE∥BC，，则D，E分别是AB，AC的中点；Ⅲ．若D是AB的中点，DE∥BC，则E是AC的中点．（1）从以上命题中选出一个假命题，并在图2中画出反例（尺规作图，保留作图痕迹）；（2）从以上命题中选出一个真命题，并进行证明．26．（8分）（2023春•鄞州区校级期中）如图1，在平行四边形ABCD中，点E、F分别为AD，BC的中点，点G，H在对角线BD上，且BG＝DH．（1）求证：四边形EHFG是平行四边形．（2）如图2，连结AC交BD于点O，若AC⊥EH，OH＝BH，OH＝2，求AB的长．27．（8分）（2023春•香坊区校级期中）在四边形ABCD中，∠A＝∠B，如果在四边形ABCD内部或边AB上存在一点P，满足∠DPC＝∠A，那么称点P是四边形ABCD的“映角点”．（1）如图①，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，点P在边AB上且是四边形ABCD的“映角点”，若DA∥CP，DP⊥CB，则∠DPC的度数为°；（2）