第六章 实数 重难点检测卷（解析版）

第六章实数重难点检测卷注意事项：本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置选择题（10小题，每小题2分，共20分）1．（2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习）下列四个数中，最小的数是（

）A． B． C．0 D．【答案】A【分析】此题考查了实数的大小比较，正确掌握实数大小比较的法则是解题的关键．根据正数大于零，零大于负数，正数大于负数判断即可．【详解】，最小的数是．故选A．2．（2023上·四川达州·八年级校考期末）下列各等式中，正确的是()A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和平方根，根据算术平方根和平方根的定义进行逐一判断即可．【详解】解；A、，原式计算正确，符合题意；B、，原式计算错误，不符合题意；C、，原式计算错误，不符合题意；D、，原式计算错误，不符合题意；故选A．3．（2023上·山东东营·七年级统考期末）实数，，，，，，.中，无理数的个数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．【详解】解：，实数，，，，，，．中，无理数有，，共个．故选：B．4．（2023上·浙江丽水·七年级统考期中）已知，则的值为（）A． B． C．2 D．4【答案】D【分析】本题考查非负性．根据绝对值和算术平方根的非负性，得到，求出的值，即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴；故选D．5．（2023上·河南南阳·八年级统考期中）下列说法不正确的是（

）A．的算术平方根是 B．是的一个平方根C．是的立方根 D．的立方根是【答案】C【分析】本题考查了平方根，算术平方根，立方根的定义，熟记相关定义是解答本题的关键．根据平方根，算术平方根，立方根的定义，分析每一个选项，只有选项符合题意，由此得到答案．【详解】解：根据题意得：、的算术平方根是，说法正确，故本选项不符合题意；、是的一个平方根，说法正确，故本选项不符合题意；、是的立方根，选项说法不正确，故本选项符合题意；、的立方根是，说法正确，故本选项不符合题意，故选：．6．（2023上·浙江金华·七年级校联考期中）已知的小数部分为a，的小数部分为b，则的值为（）A．0 B．1 C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．根据得到的值，即可得到答案．【详解】解：，，，，，.故答案为：B.7．（2023上·河南平顶山·八年级统考期中）一个正数的两个不同的平方根分别是和．如图，在数轴上表示实数的点是（

）A．点 B．点 C．点 D．点【答案】B【分析】本题考查了平方根的概念及无理数的估算；根据一个正数x的两个不同的平方根互为相反数及平方根的定义，可得，，得出表示出的值，再利用夹逼法进行无理数的估算即可．【详解】一个正数x的两个不同的平方根分别是和，，，解得，，，，即，故选：B．8．（2023上·浙江温州·七年级校联考期中）十六世纪，意大利数学家塔尔塔利亚把大正方形分割成个小正方形．若图中所给的三个小正方形的面积分别为，和，则这个大正方形的边长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查算术平方根的应用．利用算术平方根的定义分别求得最中间的小正方形的边长，面积为的正方形的左下角小正方形的边长，继而求得其左边两个小正方形的边长之和，大正方形中左下角和右下角两个正方形的边长，继而求得答案．结合已知条件求得最中间的小正方形的边长，面积为的正方形的左下角小正方形的边长是解题的关键．【详解】解：∵图中所给的三个小正方形的面积分别为，和，∴可得三个正方形的边长分别为，，，∴最中间的小正方形的边长为，∴面积为的正方形左下角小正方形的边长为，∴面积为的正方形的左边两个小正方形的边长之和为，∴大正方形中左下角的正方形的边长为，∴大正方形中右下角的正方形的边长为，∴大正方形的边长为，故选：C．9．（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期中）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为的是（）A．， B．， C．， D．，【答案】D【分析】本题考查求代数式的值，实数的运算．根据选项中，的值，选择对应的代数式，并将x，y的值代入代数式进行求值即可得出结果．理解题意，根据输入的，的值选择对应的代数式是解决问题的关键．【详解】解：A．当，时，由于，则输出的结果为：，故此选项不符合题意；B．当，时，由于，则输出的结果为：，故此选项不符合题意；C．当输入，时，由于，则输出的结果为：，故此选项不符合题意；D．当，时，由于，则输出的结果为：，故此选项符合题意．故选：D．10．（2021下·广东广州·七年级校考期中）设表示最接近x的整数（，为整数），则（

）A．132 B．146 C．164 D．176【答案】D【分析】先计算出，，，，，即可得出，，中有2个1，4个2，6个3，8个4，10个5，11个6，从而可得出答案．【详解】解：，即，，则有2个1；，即，，，都是2，则有4个2；，同理，可得出有6个3；，同理，可得出有8个4；，同理，可得出有10个5；则剩余11个数全为6．故．故选：D．【点睛】本题考查了估算无理数的大小，难度较大，注意根据题意找出规律是关键．二、填空题（6小题，每小题2分，共12分）11．（2023上·四川宜宾·八年级校考阶段练习）比较大小：，【答案】【分析】本题主要考查了实数比较大小，熟知被开方数越大，其值越大是解题的关键．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴故答案为：；．12．（2023上·贵州黔东南·八年级校考阶段练习）的平方根是，的算术平方根是.【答案】【分析】本题考查平方根和算术平方根的定义，掌握定义即可解题，解题时注意先化简再解，避免出现失误．【详解】解：，的平方根为，，的算术平方根为，故答案为：，．13．（2023上·四川宜宾·八年级校考阶段练习）已知，，则．【答案】【分析】本题考查了算术平方根的规律，被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍是解题的关键．【详解】∵，∴，故答案为：．14．（2023上·浙江宁波·七年级宁波市第七中学校考期中）已知，则．【答案】8【分析】本题主要考查了实数的性质，代数式求值，根据算术平方根的非负性得出，，进而得到，据此可得答案．【详解】解：，∴，∴，∵，∴，∴只有当时满足题意，∴，故答案为：8．15．（2023上·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）若a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简．【答案】【分析】本题考查了根据数轴判断式子的正负，算术平方根的非负性，化简绝对值．熟练掌握根据数轴判断式子的正负，算术平方根的非负性，化简绝对值是解题的关键．由数轴可知，，则，根据，计算求解即可．【详解】解：由数轴可知，，∴，∴，故答案为：．16．（2022下·安徽合肥·七年级统考期末）如图，将面积为3的正方形放在数轴上，以表示实数1的点为圆心，正方形的边长为半径，作圆交数轴于点、，则点表示的数为.【答案】.【分析】利用正方形的面积公式求出正方形的边长，再求出原点到点A的距离（即点A的绝对值），然后根据数轴上原点左边的数为负数即可求出点A表示的数.【详解】∵正方形的面积为3，∴正方形的边长为，∴A点距离0的距离为∴点A表示的数为.【点睛】本题考查实数与数轴，解决本题时需注意圆的半径即是点A到1的距离，而求A点表示的数时，需求出A点到原点的距离即A点的绝对值，再根据绝对值的性质和数轴上点的特征求解.三、解答题（9小题，共68分）17．（2023上·浙江宁波·七年级统考期中）把下列各数的序号填在相应的大括号里：①②③④⑤⑥⑦⑧（两个“3”之间依次多一个“0”）非负整数集合：{______}；负分数集合：{______}；无理数集合：{______}；【答案】①④；②⑥⑦；③⑤⑧【分析】本题考查实数的分类．根据非负整数：0和正整数；负分数：小于0的分数；无理数：无限不循环小数，作答即可．【详解】解：；非负整数集合：{①④}；负分数集合：{②⑥⑦}；无理数集合：{③⑤⑧}；故答案为：①④；②⑥⑦；③⑤⑧．18．（2023上·河南周口·八年级校联考期中）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查的是实数的混合运算．（1）分别计算算术平方根，立方根，再合并即可；（2）分别计算算术平方根，化简绝对值，再合并即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：．19．（2023上·江苏泰州·八年级校考阶段练习）求下列各式中x的值．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)，【分析】此题考查了平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键；（1）方程变形后，利用平方根定义计算即可得出答案；（2）方程变形后，利用平方根定义开平方即可求出解；（2）方程变形后，利用平方根定义开平方即可求出解．【详解】（1）解得；（2）解得；（3）或解得，．20．（2023下·七年级课时练习）如果是a－3b的算术平方根，是的立方根，求2a－3b的立方根．【答案】【详解】根据题意，得b＋4＝2，a＋2＝3，∴b＝－2，a＝1，∴2a－3b＝8，∴2a－3b的立方根为．21．（2023上·河南新乡·八年级校考阶段练习）先填写表，通过观察后再回答问题：a…110010000……x1y100…(1)表格中_______，________；(2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面问题：已知，则________；(3)试比较与a的大小．（提示：在的前提下分三种况讨论）【答案】(1)，10(2)(3)当时，；当时，；当时，【分析】本题主要考查了算术平方根，明确题意，准确得到规律是解题的关键．（1）根据算术平方根的性质，即可求解；（2）根据题意可得当扩大100倍时，扩大10倍，由，即可求解；（3）分三种情况：当时，当时，当时，即可求解．【详解】（1）解：根据题意得：，，故答案为：，10；（2）根据题意得：当扩大100倍时，扩大10倍，∵，∴，故答案为：；（3）当时，，此时；当时，根据与数位规律得：；当时，根据与数位规律得：；综上所述，当时，；当时，；当时，．22．（2023上·浙江温州·七年级校考期中）如图，是一块体积为立方厘米的立方体铁块．(1)求出这个铁块的棱长．(2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成两个棱长为厘米的小立方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为厘米，求长方形铁块底面正方形的边长．【答案】(1)厘米；(2)厘米．【分析】（）根据正方体的体积公式和立方根的定义进行解答；（）根据题意列出式子再进行计算即可；本题考查立方根、算术平方根，孰练掌握相关的知识点是解题的关键．【详解】（1）根据题意可得：铁块的棱长为（厘米），答：这个铁块的棱长为厘米；（2）由题可知，设长方体铁块底面正方形的边长为厘米，∴，，解得：，答：长方体铁块底面正方形的边长为厘米．23．（2024下·全国·七年级假期作业）七年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：我们知道，当时，也成立．因为是的立方根，是的立方根，所以我们得到这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．(1)试举一个例子来判断猜测的结论是否成立；(2)根据以上结论，若与的值互为相反数，求的值．【答案】(1)成立，见解析(2)【详解】解：（1）如，则，结论成立．（2）由题意，得，，24．（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）据说．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．乘客十分惊讶，忙问计算的奥秘．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试：(1)由，，可以确定是______位数．由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数字是______，如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此可以确定、59319的十位上的数字是______；(2)已知32768，都是整数的立方，按照上述方法，请你分别求它们的立方根．【答案】(1)两，9，3；(2)32，；【分析】（1）按照求立方根三步走，求位数，求个位，求十位推算即可；（2）按照题给方法，依次推算即可；【详解】（1）∵∴是两位数∵的个位上的数是9∴的个位上的数字是9∵划去59319后面的三位319得到数59，∴的十位上的数字是3故答案是：两，9，3；（2）①求32768的立方根∵∴的立方根是两位数∵个位数是8∴的立方根个位数是2∵∴的立方根十位数是3综合可得32768的立方根是32②求立方根∵∴的立方根是两位数∵个位数是5∴的立方根个位数是5∵∴274625的立方根十位数是6∴274625的立方根65∴的立方根是【点睛】本题考查了无理数的估算，掌握一些常用整数的立方值有助于快速判断立方根的整数范围．25．（2023上·山西晋中·八年级校考阶段练习）下面是小敏写的数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务．2023年9月22日天气：晴无理数与线段长．今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实．回顾梳理：要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图1，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点A，，则点A对应的数为，点对应的数为．类似地，我们可以在数轴上找到表示，，…的点．拓展思考：如图2，改变图1中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中O仍在原点，点B，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点B，所表示的无理数！按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！

任务：(1)在图3中画图确定表示的点M．

(2)把5个小正方形按图中位置摆放，并将其进行裁剪