预测与决策教程（第2版）课件：季节指数法及时间序列分解法

确定型时间序列预测方法

主要内容：时间序列与时序分析移动平均法指数平滑法季节指数法时间序列分解法在产品的生产和销售活动中，有些产品季节性生产而常年消费，如电风扇、空调、电暖气等；有些产品是季节性生产、季节性消费，如清凉饮料等。这些现象在一年内随着季节的转变而引起周期性变动。这种变动往往具有两种特点：3.4季节指数法（1）统计数据呈现以月、季为周期的循环变动。（2）这种周期性的循环变动，并不是简单的循环重复，而是从多个周期的长时间变化中又呈现出的一种发展趋势。

1.概念

季节指数预测法（又称季节性变动预测法）是指经济变量在一年内以季（月）的循环为周期特征，通过计算销售量（或需求量）的季节指数达到预测目的的一种方法。季节指数预测法的操作过程：首先分析判断时间序列观察数据是否呈季节性波动。通常，可将3-5年的资料按月或按季展开，绘制历史曲线图，以观察其在一年内有无周期性波动来作出判断；然后，再将各种因素结合起来考虑，即考虑它是否还受长期趋势变动的影响，是否受随机变动的影响等。例某商店按季统计的3年12个季度冰箱的销售额资料如下表所示。3.4季节指数法

季度销售额(序列数t)合计季平均1234年份2014265(1)373(2)333(3)266(4)2015251(5)379(6)374(7)309(8)2016272(9)437(10)396(11)348(12)2.不考虑长期趋势的季节指数法2017年第2季度该商店空调的销售额为420万元，试预测第3、4季度的销售额。(1)计算历年同季(月)的平均数假设历年同季平均数为，。3年(n=3)共有12个季度，其时间序列表示为，那么对本例

季度销售额(序列数t)合计季平均1234年份2014265(1)373(2)333(3)266(4)1237309.252015251(5)379(6)374(7)309(8)13043262016272(9)437(10)396(11)348(12)1453363.25季合计788118911039233994

同季平均数262.67396.33367.67307.67

季节指数0.78921.18181.10470.92444.0001

调整后的季节指数0.83681.16421.08830.91074.00

趋势值同季平均数322.71329.46336.21342.96

趋势季节指数0.8140.19391.09360.89713.9986

调整后的趋势季节指数0.81431.19431.09400.89744.00

3.4季节指数法(2)计算各年的季平均值

假设以表示第t年的季(月)平均值，，那么各年季(月)平均值的计算公式为：3.4季节指数法对本例

季度销售额

(序列数t)合计季平均1234年份2014265(1)373(2)333(3)266(4)1237309.252015251(5)379(6)374(7)309(8)13043262016272(9)437(10)396(11)348(12)1453363.25季合计788118011039233994

同季平均数262.67393.33367.67307.67

季节指数0.78921.18181.10470.92444.0603

调整后的季节指数0.83681.16421.08830.91074.00

趋势值同季平均数322.71329.46336.21342.96

趋势季节指数0.8140.19391.09360.89713.9986

调整后的趋势季节指数0.81431.19431.09400.89744.00

3.4季节指数法以历年同季(月)的平均数()与全时期的季(月)平均数()之比为季节指数，即

，而3.4季节指数法(3)计算各季(月)的平均数(

)因此，本例中各季的季节指数为：

季度销售额(序列数t)合计季平均1234年份2014265(1)373(2)333(3)266(4)1237309.252015251(5)379(6)374(7)309(8)13043262016272(9)437(10)396(11)348(12)1453363.25季合计788118011039233994332.83

同季平均数262.67393.33367.67307.67

季节指数0.78921.18181.10470.92444.0603

调整后的季节指数0.83681.16421.08830.91074.00

趋势值同季平均数322.71329.46336.21342.96

趋势季节指数0.8140.19391.09360.89713.9986

调整后的趋势季节指数0.81431.19431.09400.89744.00

3.4

季节指数法

从理论上讲，各季的季节指数之和应为4，但是由于在实际过程中计算存在误差，使各季的季节指数之和大于(或小于4)，故应予以调整。调整后的季节指数，调整系数等于理论季节指数之和4与实际季节指数之和之比。本例调整后的季节指数分别为：0.8368、1.1642、1.0883、0.9107。3.4季节指数法(4)调整各季(月)的季节指数(5)利用季节指数法进行预测假设为第月(份)的预测值，为第月(份)的季节指数，为第月(份)的实际值，为第月(份)的季节指数，则本例中，3.考虑长期趋势的季节指数法

3.4季节指数法长期趋势的季节指数法是指在时间序列观察值资料既有季节周期变化，又有长期趋势变化的情况下，首先建立趋势预测模型，再在此基础上求得季节指数，最后建立数学模型进行预测的一种方法。(4)计算出趋势值后，再计算出各年的趋势值的同季平均(计算方法同同季平均)。预测方法及过程：(1)计算各年同季(月)平均数。(2)计算各年的季(月)平均数。(3)建立趋势预测模型，求趋势值。

(7)求预测值。预测的基本依据是预测期的趋势值乘以该期的趋势季节指数。(5)计算趋势季节指数。即“同季平均数”与“趋势值同季平均数”之比。为与第一种情况区别，此处的季节指数我们称为趋势季节指数。(6)对趋势季节指数进行修正。3.5时间序列分解法移动平均法和指数平滑法只是把时间序列中隐含着的基本的、潜在的模式和随机波动区分开来。经过平均、平滑计算后，随机波动显著减小。但它们都没有企图去识别潜在模式的更细小部分。时间序列一般包括四类因素，长期趋势因素

、季节变动因素

、循环变动因素

和不规则变动因素

。乘法模式

（1）

与

有相同的量纲，

为季节指数，为循环指数，两者皆为比例数；

（2）为季节性周期长度。（3）是独立随机变量序列，服从正态分布。四种因素的组合形式一般有以下三类：

3.5时间序列分解法（1）

，，，

，

均有相同的量纲。（2）为季节性周期长度。

（3）是独立随机变量序列，服从正态分布。混合模式

（1）

与，，

均有相同的量纲,是季节指数，为比例常数。（2）。（3）是独立随机变量序列，服从正态分布。加法模式

时间序列分解法试图从时间序列中区分出这四种潜在的因素，特别是长期趋势因素(T)、季节变动因素(S)和循环变动因素(C)。显然，并非每一个预测对象中都存在着T、S、C这三种趋势，可能是其中的一种或两种。一个具体的时间序列究竟由哪几类变动组合，采取哪种组合形式，应根据所掌握的资料、时间序列及研究目的来确定。

以下假设数据为乘法模式：3.5时间序列分解法1、移动平均数

——消除了季节因素和随机因素，可求出趋势－循环因子其中N为季节周期例设有某产品十二年（91年－02年）的季度销售额数据。见下表中的第二列，共有48个数据。

季度序号观察值Ⅹ移动平均值T×CS×I比率/（%）长期趋势T循环变动C/（%）13017.60

—

—2774.81

—23043.54

—

—2775.81

—32094.352741.33476.3392852.7396.1042809.842805.632100.1502891.6997.0253274.802835.569115.4902930.6596.7663163.282840.558111.3612969.6195.6572114.312894.24073.0523008.5796.2083024.542907.411104.0303047.5395.4093327.482989.961111.2883086.4996.87103493.483071.367113.7443123.4598.27113439.933187.92176.8373164.41100.74123490.793277.322106.5143203.37102.31133685.083319.258111.0213242.33102.37143661.233303.883110.8183281.29100.69152378.433296.07372.1593320.2599.27163459.553337.209103.6663359.2199.34173849.633347.198115.013398.1798.5183701.183414.185108.4383437.1399.30192642.383444.67876.7063476.0999.10203585.523501.936102.3873515.0599.63214078.663553.405114.7823554.0199.98223907.063597.425108.6073592.97100.12232818.463723.42175.6953631.93102.52244089.503788.657107.9413670.89103.213.5时间序列分解法3.5时间序列分解法季度序号观察值Ⅹ移动平均值T×CS×I比率/（%）长期趋势T循环变动C/（%）254339.613849.043112.7453709.85103.75264148.603874.540107.1013748.81103.35272976.453872.32575.3153787.77102.23284084.643848.029106.1493826.73100.56294242.423810.274111.3423865.6998.57303997.583801.414105.1603904.6597.36312881.013789.31176.0303943.6196.09324036.233818.788105.6943982.5795.89334360.333909.526111.5314021.5397.21344360.533982.32109.4974060.4998.07353172.184029.20378.7304099.4598.29364223.764111.740102.7244138.4199.36374690.484195.228111.8054177.37100.43384694.484237.770110.7774216.33100.51393342.354326.23777.2584255.29101.67404577.634394.982104.1564294.25102.33414965.464477.872110.8894333.21103.34425026.054509.818111.4474372.17103.15433470.144496.89577.1674411.13101.94444525.944570.21099.0314450.09102.79455258.714611.094114.0454489.05102.72465489.584642.750111.7784528.01102.53473596.764481.66780.2554566.9798.13483881.60—

—4605.93

—产品48个季度的销售额如下图：3.5时间序列分解法求数据序列的MA(4)，消除了季节性和随机性，只包含了长期趋势和循环变动两部分()。2、季节性将观察值除以移动平均数得到的比值只包含季节性和随机性。如果某个比率的值>100，意味着实际值X

比移动平均数（）要大，该季度的季节性和随机性高于平均数。反之，如果比率小于100，则表示季节性和随机性低于平均数。

3.5时间序列分解法包含了季节性和随机性的数据图（）：如能将中的随机性部分去掉，就可得到季节性指数。其中上面的横线表示季节平均。

3.5时间序列分解法注意到随机性是偶然的、没有一定模式、围绕中间值0上下波动，因此通过平均就能去掉随机性影响。将“比率”中各年同一季度的数据放在同一列之中，求相同各季度的平均值，得季节指数112.72，109.88，76.28，103.86。含义：例如第二季度的109.13就表示第二季度比全年平均数高出9.13％。402.744003、长期趋势和循环变动

表示一组循环变动—长期趋势数值。多数情况下已能满足要求。利用趋势外推法求出长期趋势T,即为循环变动因子。3.5时间序列分解法若需把循环变动和长期趋势分离开来，确定一种能最好的描述数据长期趋势的类型。利用MA(4)得到的包含了长期趋势和循环变动两部分()的数据图：确定长期趋势3.5时间序列分解法由可求得循环因子。循环因子的值大于100的表明该季度经济活动水平高于所有季度的平均值，而小于100则相反。3.5时间序列分解法循环因子比较复杂，且其变动周期较长，因而在短期预测中可以忽略不计，或将其归入到趋势变化之中（称为趋势—循环因子）。人们更关心的是趋势和季节的识别。

至此我们完成了对原始数据

的分解工作，其步骤总结如下：1）用分析长期趋势和循环变动；

2）用分析季节性和随机性；

3)用分析季节性；4)用趋势外推法中介绍的方法来分析长期趋势；

5）用分析循环变动。

3.5时间序列分解法4、预测用分解法确定了季节指数、趋势值和循环指数之后，就可进行预测。对2003年第一季度（第49季度）进行预测。数据的基本关系式为由于随机性无法直接进行预测，进行预测的关系式为：于是，计算出第49季度的

,,值即可求得第49季度的预测值。

第一季度的季节指数为111.95，即由趋势方程求得循环指数通常要根据判断估算出来，或者用某种方法预测得到。这里我们假定通过判断为：

，于是3.5时间序列分解法案例讨论

采用时间序列分解法来对深圳港集装箱吞吐量的未来进行预测。四种时间序列变化的因素：长期趋势因素（T）

季节变动因素（S）

周期变动因素（C）

不规则变动因素（I）案例讨论年份季度时间（t）原始资料（Yt）19951152265

2263703

3376377

448696119961583001

26129335

37185231

48191591199719207333

210264061

311335366

4123416381998113356364

214426420

315587281

4165817111999117567385

218723258

319757803

4208375682000121814454

222950444

3231145003

424108032920011251030677

2261129123

3271486852

4281429182①一次移动平均②居中移动平均数原始资料（Yt）一次移动平均居中移动平均数MA=T*C52265

6370369826.5

7637777510.573668.58696193918.585714.583001121132107525.25129335147289.5134210.75185231178372.5162831191591212054195213.25207333249587.75230820.875264061287099.5268343.625335366324357.25305728.375341638364947344652.125356364427925.75396436.375426420487944457934.875587281540699.25514321.625581711614908.75577804567385657539.25636224723258721503.5689521.375757803783270.75752387.125837568840067.25811669814454936867.25888467.25950444997557.5967212.37511450031051613.251024585.375108032910962831073948.12510306771181745.251139014.12511291231268958.51225351.8751486852

1429182

1、移动平均数案例讨论③年份季度时间（t）原始资料（Yt）一次移动平均居中移动平均数MA=T*CYt/MA=S*I19951152265

226370369826.5

337637777510.573668.51.036766053

448696193918.585714.51.01454246419961583001121132107525.250.771921014

26129335147289.5134210.750.963670943

37185231178372.51628311.137565943

48191591212054195213.250.981444651199719207333249587.75230820.8750.898241981

210264061287099.5268343.6250.984040519

311335366324357.25305728.3751.096941035

412341638364947344652.1250.9912545881998113356364427925.75396436.3750.898918521

214426420487944457934.8750.931180444

315587281540699.25514321.6251.141855546

416581711614908.755778041.0067618091999117567385657539.256362240.891800687

218723258721503.5689521.3751.048927599

319757803783270.75752387.1251.007198256

420837568840067.258116691.0319083272000121814454936867.25888467.250.916695579

222950444997557.5967212.3750.982663192

32311450031051613.251024585.3751.117528151

424108032910962831073948.1251.005941511200112510306771181745.251139014.1250.904885179

22611291231268958.51225351.8750.921468374

3271486852

4281429182

2、季节性案例讨论年份第一季度第二季度第三季度第四季度1995

1.0367660531.01454246419960.7719210140.9636709431.1375659430.98144465119970.8982419810.9840405191.0969410350.99125458819980.8989185210.9311804441.1418555461.00676180919990.8918006871.0489275991.0071982561.03190832720000.9166955790.9826631921.1175281511.00594151120010.9048851790.921468374

④求相同季度平均值年份第一季度第二季度第三季度第四季度1995

1.0367660531.01454246419960.7719210140.9636709431.1375659430.98144465119970.8982419810.9840405191.0969410350.99125458819980.8989185210.9311804441.1418555461.00676180919990.8918006871.0489275991.0071982561.03190832720000.9166955790.9826631921.1175281511.00594151120010.9048851790.921468374

平均值0.8804104930.9719918451.0896424971.005308892年份第一季度第二季度第三季度第四季度1995

1.0367660531.01454246419960.7719210140.9636709431.1375659430.98144465119970.8982419810.9840405191.0969410350.99125458819980.8989185210.9311804441.1418555461.00676180919990.8918006871.0489275991.0071982561.03190832720000.9166955790.9826631921.1175281511.00594151120010.9048851790.921468374

平均值0.8804104930.9719918451.0896424971.005308892案例讨论和为3.947353727⑤修正平均数年份第一季度第二季度第三季度第四季度1995

1.0367660531.01454246419960.7719210140.9636709431.1375659430.98144465119970.8982419810.9840405191.0969410350.99125458819980.8989185210.9311804441.1418555461.00676180919990.8918006871.0489275991.0071982561.03190832720000.9166955790.9826631921.1175281511.00594151120010.9048851790.921468374

平均值0.8804104930.9719918451.0896424971.005308892调整均值0.8921526210.9849554031.1041751741.018716802季节变动St案例讨论3、长期趋势和循环变动原始资料（Yt）5226563703763778696183001129335185231191591207333264061335366341638356364426420587281581711567385723258757803837568814454950444114500310803291030677112912314868521429182St(季节变动调整均值)0.8921526210.9849554031.1041751741.0187168020.8921526210.9849554031.1041751741.0187168020.8921526210.9849554031.1041751741.0187168020.8921526210.9849554031.1041751741.0187168020.8921526210.9849554031.1041751741.0187168020.8921526210.9849554031.1041751741.0187168020.8921526210.9849554031.1041751741.018716802⑥剔除季节变动趋势Dt=Yt/St（剔除季节变动趋势）58583.0257964676.0247469171.0896885363.2725293034.53025131310.5138167755.0848188070.9139232396.3357268094.3719303725.3579335361.1124399442.8662432933.3072531873.034571023.2704635973.0238734305.3279686306.863822179.4302912908.82496496