预测与决策教程（第2版）课件：马尔可夫预测的应用

主要内容：马尔可夫预测的基本原理马尔可夫预测的应用预测与决策教程马尔可夫预测方法

5.2马尔科夫预测的应用知识点1马尔科夫预测的基本原理—马尔科夫链知识点2马尔科夫预测的基本原理—状态转移矩阵知识点3马尔科夫预测的基本原理—平稳分布知识点4马尔科夫预测方法的应用—市场占有率知识点5马尔科夫预测方法的应用—设备最佳维修策略马尔科夫预测的原理回顾:知识点4：马尔可夫预测的应用—市场占有率对于不可约、非周期的马尔科夫链，其极限分布即平稳分布一定存在。马尔科夫链：离散的、状态有限、状态仅与上期有关的随机过程。状态转移概率矩阵：马尔可夫预测是利用某一系统的现在状况及其发展动向去预测系统未来状况的一种预测方法。马尔可夫预测范围广泛，如在预测企业的发展规模和产品销售份额，分析顾客（消费者）流向，选择销售及服务地点，选择销售维修策略，制定设备更新方案，以及决定最优工作分配等方面均有显著成效。应用马尔可夫分析，对环境保护、生态平衡等复杂大系统未来状况进行预测，对各种环境污染治理策略的选择等，均可取得良好的效果。公司A、B、C是美国中西部地区三家主要灭虫剂生产商。根据历史资料得知，三家公司产品的市场占有率分别为50%，30%，20%。由于C公司实行了改善销售与服务的经营管理决策，使其产品销售额逐期稳定上升，而A公司却在下降。通过市场调查发现三个公司间的顾客流动情况如表所示。其中产品销售周期是季度。案例-市场占有率预测问题：按照目前的趋势发展下去，A公司的产品销售额或客户转移的影响将严重到何种程度？更全面的，三个公司产品的市场占有率将如何变化？公司周期0的顾客数周期1的供应公司ABCA500035005001000B30003002400300C20001001001800周期1的顾客数——390030003100公司ABCA3500/5000=0.7500/5000=0.11000/5000=0.2B300/3000=0.12400/3000=0.8300/3000=0.1C100/2000=0.05100/2000=0.051800/2000=0.95公司周期0的顾客数周期1的供应公司ABCA500035005001000B30003002400300C20001001001800周期1的顾客数——390030003100P中数据表示一个随机挑选的顾客，从一个周期到下一个周期仍购买某一公司产品的概率。如，随机挑选一名A公司的顾客，他在下一周期仍购买A公司产品的概率为0.7，购买B公司产品的概率为0.1，购买C公司产品的概率为0.2。未来各期的市场占有率：C——改善销售与服务的政策。C的市场份额不断增大。是否可以持续下去？稳态市场占有率

P不可约非周期，稳态市场占有率即为平衡状态下的市场占有率，亦即马氏链的平稳分布。解得：A公司的最佳经营策略上述，于A公司不利。甲方案保留策略，拉住老顾客。乙方案争取策略，挖客户。A公司制定两套方案：甲方案保留策略，拉住老顾客。

新的平衡状态下Ａ、Ｂ、Ｃ三公司的市场占有率分别为31.6％，26.3％，42.1％，Ａ公司的市场占有率从17.65％提高到31.6％。乙方案争取策略，挖客户。在新的平衡状态下，Ａ、Ｂ、Ｃ三家公司的市场占有率分别为33.3％，22.2％，44.5％。

考虑费用？

在与经济有关的马尔可夫链中，状态不同，系统获得的报酬(或收益)也往往不同。第n周期正常第n周期失效期望报酬预测知识点5：应用—设备最佳维修策略设有一台机器，它在第n

周期的状态用Xn表示：

进一步假定，机器正常时，每一个周期可带来

v

元的收益，并且在下一周期失效的概率为p

；当机器失效时，需对其进行维修，维修费用为d

，时间为一个周期，下一个周期初维修好开始工作。于是，{Xn}是一个齐次马尔科夫链，其状态空间为S={0,1}，状态转移矩阵为这是一个带报酬(或称收益、费用)的马尔科夫链。一般地,设

{Xn}

是状态空间为S={1，2，...，N}的齐次马尔科夫链，其状态转移矩阵为：

用r

(i)

表示某周期系统处于状态

i

时获得的报酬。r

(i)＞0时称为盈利，报酬，收益等r

(i)＜0时称为亏损，费用等对于这样一个带报酬的马尔可夫链，第n周期时的报酬是一个随机变量。分三种目标函数来讨论。1．有限时段期望总报酬

第n周期的期望报酬记表示初始状态为的条件下，到第

步状态转移前所获得的期望总报酬：

即，若记列向量于是可用上式递推求得则上式可写为对i∈S，定义初始状态为i的无限时段单位时间平均报酬为：2．无限时段单位时间平均报酬

则记若所考虑的马尔可夫链存在平稳分布，由定义，则称为稳态分布。

定义对于概率向量

，如对任意的，均有可以证明，此时，即，无限时段单位时间平均报酬与初始状态无关，均为在现实生活中，今年的一元钱将大于明年的一元钱，即，明年的一元钱折算到现在计算，就不值一元钱了，如为

，这个就称为折扣因子。如将钱存于银行，年息为，则与有如下关系：

3．无限时段期望折扣总报酬实际上，在企业管理中当考虑贷款、折旧等时都必须考虑到钱的增值问题。对有报酬的马氏链，定义从状态

i

出发的无限时段期望折扣总报酬为于是，记则

称为具有报酬的马氏链的三种目标函数。利用其中的任一个目标函数，可以讨论不同策略的优劣。最佳维修策略的选择。研究一化工企业对循环泵进行季度维修的过程。每次检查中，把泵按其外壳及叶轮的腐蚀程度定为五种状态中的一种。这五种状态是：

状态1：优秀状态，无任何故障或缺陷；

状态2：良好状态，稍有腐蚀；

状态3：及格状态，轻度腐蚀；

状态4：可用状态，大面积腐蚀；

状态5：不可运行状态，腐蚀严重。案例该公司可采用的维修策略有以下几种：

单状态策略：泵处于状态5时才进行修理，每次修理费用为500元。

两状态策略：泵处于状态4和5时进行修理，处于状态4时的修理费用每次为250元,处于状态5时的每次修理费用为500元。

三状态策略：泵处于状态3,4,5时进行修理，处于状态3时的每次修理费用为200元,处于状态4和5时的修理费用同前。目前，该公司采用的维修策略为“单状态”策略。假定不管处于何种状态，只要进行修理，泵的状态都将恢复为状态1。已知在不进行任何修理时的状态转移概率，如下表所示。问题：确定哪个策略的费用最低。目标为长期运行单位时间平均报酬。

泵在周期n的状态泵在周期n+1的状态1234510.000.600.200.100.1020.000.300.400.200.1030.000.000.400.400.2040.000.000.000.500.5050.000.000.000.001.00不维修时的状态转移概率矩阵：泵在周期n的状态泵在周期n+1的状态1234510.000.600.200.100.1020.000.300.400.200.1030.000.000.400.400.2