典型例题：数学归纳法

4/5数学归纳法考点1数学归纳法题型：对数学归纳法的两个步骤的认识[例1]已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k（且为偶数）时命题为真，则还需证明A.n=k+1时命题成立B.n=k+2时命题成立C.n=2k+2时命题成立D.n=2（k+2）时命题成立[解析]因n是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k的下一个偶数是k+2，故选B试一试：1.用数学归纳法证明，在验证n=1时，左边计算所得的式子是A.1B.C.D.[解析]n=1时，左边的最高次数为1，即最后一项为，左边是，故选B2.用数学归纳法证明不等式的过程中，由k推导到k+1时，不等式左边增加的式子是[解析]求即可当n=k时，左边，n=k+1时，左边,故左边增加的式子是，即考点2数学归纳法的应用题型1：用数学归纳法证明数学命题（恒等式、不等式、整除性问题等）[例2]用数学归纳法证明不等式[解析]（1）当n=1时，左=，右=2，不等式成立（2）假设当n=k时等式成立，即则当n=k+1时，不等式也成立综合（1）（2），等式对所有正整数都成立试一试：3.用数学归纳法证明等式：[解析]（1）当n=1时，左==右，等式成立（2）假设当n=k时等式成立，即则当n=k+1时，等式也成立，综合（1）（2），等式对所有正整数都成立4.数列中，，用数学归纳法证明：[解析](1)当n=1时,,不等式成立（2）假设当n=k时等式成立，即，则，当n=k+1时，不等式也成立综合（1）（2），不等式对所有正整数都成立例3．证明:能被6整除.试一试：证明:能被整除.题型2用“归纳——猜想——证明”解决数学问题[例4]是否存在常数a、b、c，使等式对一切正整数n都成立？证明你的结论【解题思路】从特殊入手，探求a、b、c的值，考虑到有3个未知数，先取n=1,2,3,列方程组求得，然后用数学归纳法对一切，等式都成立[解析]把n=1,2,3代入得方程组，解得，猜想：等式对一切都成立下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，由上面的探求可知等式成立（2）假设n=k时等式成立，即则所以当n=k+1时，等式也成立，综合（1）（2），对等式都成立试一试：已知数列,计算,由此推测计算的公式.基础巩固训练1.用数学归纳法证明，从“k到k+1”左端需乘的代数式是（）A.2k+1B.C.D.[解析]左端需乘的代数式是=，选B2.用数学归纳法证明：1+++时，在第二步证明从n=k到n=k+1成立时，左边增加的项数是（）A.B.C.D.[解析]项数为,选A3.凸n边形有f(n)条对角线，则凸n+1边形有对角线数f(n+1)为（）A.f(n)+n+1B.f(n)+nC.f(n)+n-1D.f(n)+n-2。[解析]C4.如果命题对n=k成立，则它对n=k+1也成立，现已知对n=4不成立，则下列结论中正确的是（）A.对成立B.对n>4且成立C.对n<4且成立D.对n4且不成立[解析]D5.设，用数学归纳法证明“”时，第一步要证的等式是[解析]6.若存在正整数，使得能被整除，则=[解析]36.[，猜想：=36]7.求证：[证明](1)当n=