《数学归纳法》名师课件2

数学归纳法法国数学家费马观察到：都是质数，于是他用归纳推理提出猜想：任何形如的数都是质数（费马猜想）半个世纪之后，善于计算的欧拉发现，第5个费马数

不是质数,从而推翻了费马的猜想有时候，方向比方法重要！1复习引入（1）求出数列前4项,你能得到什么猜想？（2）你认为你的结论一定正确吗？如何证明猜想是正确的？对于数列｛｝，

(2)从n=5开始逐个往下验证的想法价值不大，我们需要寻求一种方法：通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立。1复习引入我们先从多米诺骨牌游戏说起。骨牌全倒下，需要哪些条件呢？2问题探究（1）求出数列前4项,你能得到什么猜想？（2）你认为你的结论一定正确吗？如何证明猜想是正确的？对于数列｛｝，

步骤1:步骤2：若步骤1：第一块骨牌倒下验证猜想步骤2：第k块骨牌倒下，必使得第k+1块骨牌倒下推理证明2问题探究2问题探究2问题探究例1.用数学归纳法证明：

证明：3例题讲解那么当n=k+1时这就是说，当n=k+1时，等式也成立由（1）和（2），可知的等式对任何都成立用上假设递推才真写完结论才算完整怎样用假设?3例题讲解方法归纳用数学归纳法证明与正整数有关的命题时，关键在于先“看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n＝k到n＝k＋1时，等式两边会增加多少项；再“两凑”，将n＝k＋1时的式子转化成与归纳假设的结构相同的形式——凑假设，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论所需的形式——凑结论.用数学归纳法证明等式的方法巩固训练

即当n＝k＋1时，等式成立．故左边＝右边，等式成立．由(1)和(2)知，等式对任何正整数n都成立．3例题讲解

证明：

所以当n＝k＋1时，不等式也成立．综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立．综合法证明如下：

方法归纳巩固训练

所以当n＝k＋1时，不等式也成立．由①②知，对于一切大于1的正整数n，不等式都成立．3例题讲解例3、求证：当n∈N*时，an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除．[证明]

(1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.由归纳假设，上式中的两项均能被a2＋a＋1整除，故当n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)知，对任意n∈N*，命题成立．方法归纳(1)用数学归纳法证明整除问题时，首先从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除，这是用数学归纳法证明整除问题的一大技巧．(2)在推证n＝k＋1时，为了凑出归纳假设，采用了“增减项”技巧，所以证明整除性问题的关键是“凑项”，采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题得证．巩固训练3、用数学归纳法证明f(n)＝3×52n＋1＋23n＋1(n∈N*)能被17整除．(1)当n＝1时，f(1)＝3×53＋24＝391＝17×23，所以f(1)能被17整除．证明：则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝3×52k＋3＋23k＋4＝52×3×52k＋1＋52×23k＋1－52×23k＋1＋23k＋4＝25f(k)－17×23k＋1.(2)假设当n＝k(k∈N*)时，命题成立，即f(k)＝3×52k＋1＋23k＋1能被17整除，由假设知，f(k)能被17整除，且17×23k＋1显然可被17整除，故f(k＋1)能被17整除．由(1)(2)可知，对任意正整数n，f(n)能被17整除．3例题讲解

3例题讲解

则当n＝k＋1时，

当n＝k＋1时结论也成立．方法归纳“归纳—猜想—证明”的一般环节4、将正整数作如下分组：(1)，(2，3)，(4，5，6)，(7，8，9，10)，(11，12，13，14，15)，(16，17，18，19，20，21)，…，分别计算各组包含的正整数的和如下，S1＝1，S2＝2＋3＝5，S3＝4＋5＋6＝15，S4＝7＋8＋9＋10＝34，S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，…试猜想S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1的结果，并用数学归纳法证明．巩固训练巩固训练巩固训练素养提炼(1)验证是基础数学归纳法的原理表明，第一个步骤是要找一个数n0，因此“找准起点，奠基要稳”是我们正确运用数学归纳法第一个要注意的问题．应用数学归纳法证明的三个注意点(2)递推是关键①在证明第二步“当n＝k＋1时命题也成立”时，一定要用上归纳假设“当n＝k时命题成立”．②在证明第二步时，首先要明确目标式，即确定证明方向，并且要搞清从n＝k到n＝k＋1时项的变化．素养提炼用数学归纳法来证明问题需要几个步骤？书写上要注意什么？4归纳小结1.与正整数有关的数学命题可以考虑用数学归纳法证明，要掌握数学归纳法的书写格式，即两个步骤，一个结论。2.数学归纳