新课改瘦专用2025版高考数学一轮复习第七章立体几何第四节直线平面垂直的判定与性质讲义含解析

PAGEPAGE9第四节直线、平面垂直的判定与性质突破点一直线与平面垂直的判定与性质eq\a\vs4\al([基本学问])1．直线和平面垂直的定义直线l与平面α内的随意一条直线都垂直，就说直线l与平面α相互垂直．2．直线与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b⊂α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b3．直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角．(2)线面角θ的范围：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).eq\a\vs4\al([基本实力])一、推断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)直线l与平面α内的多数条直线都垂直，则l⊥α.()(2)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．()(3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.()答案：(1)×(2)√(3)√二、填空题1．过一点有________条直线与已知平面垂直．答案：一2．在三棱锥P­ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O，①若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．②若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．答案：外垂3．如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________________；与AP垂直的直线有________．解析：因为PC⊥平面ABC，所以PC垂直于直线AB，BC，AC.因为AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，所以AB⊥平面PAC，又因为AP⊂平面PAC，所以AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB.答案：AB，BC，ACAB[典例](2024·郑州一测)如图，在三棱锥P­ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB＝6，BC＝2eq\r(3)，AC＝2eq\r(6)，D为线段AB上的点，且AD＝2DB，PD⊥AC.(1)求证：PD⊥平面ABC；(2)若∠PAB＝eq\f(π,4)，求点B到平面PAC的距离．[解](1)证明：连接CD，据题知AD＝4，BD＝2，AC2＋BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴cos∠ABC＝eq\f(2\r(3),6)＝eq\f(\r(3),3)，∴CD2＝22＋(2eq\r(3))2－2×2×2eq\r(3)cos∠ABC＝8，∴CD＝2eq\r(2)，∴CD2＋AD2＝AC2，则CD⊥AB.∵平面PAB⊥平面ABC，∴CD⊥平面PAB，∴CD⊥PD，∵PD⊥AC，AC∩CD＝C，∴PD⊥平面ABC.(2)由(1)得PD⊥AB，∵∠PAB＝eq\f(π,4)，∴PD＝AD＝4，PA＝4eq\r(2)，在Rt△PCD中，PC＝eq\r(PD2＋CD2)＝2eq\r(6)，∴△PAC是等腰三角形，∴可求得S△PAC＝8eq\r(2).设点B到平面PAC的距离为d，由VB­PAC＝VP­ABC，得eq\f(1,3)S△PAC×d＝eq\f(1,3)S△ABC×PD，∴d＝eq\f(S△ABC×PD,S△PAC)＝3.故点B到平面PAC的距离为3.[方法技巧]证明直线与平面垂直的方法(1)定义法：若一条直线垂直于一个平面内的随意一条直线，则这条直线垂直于这个平面(不常用)；(2)判定定理(常用方法)；(3)若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面(客观题常用)；(4)若一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它必垂直于另一个平面(客观题常用)；(5)若两平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面(常用方法);(6)若两相交平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面(客观题常用)．[针对训练](2024·贵州模拟)如图，在直棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，且AB＝AD＝1，AA1＝eq\f(\r(6),2)，∠ABC＝60°.(1)求证：AC⊥BD1；(2)求四面体D1AB1C的体积．解：(1)证明：连接BD，与AC交于点O，因为四边形ABCD为平行四边形，且AB＝AD，所以四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，可知BB1⊥AC，则AC⊥平面BB1D1D，又BD1⊂平面BB1D1D，则AC⊥BD1.(2)VD1AB1C＝VABCD­A1B1C1D1－VB1­ABC－VD1­ACD－VA­A1B1D1－VC­C1B1D1＝VABCD­A1B1C1D1－4VB1­ABC＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(6),2)－4×eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×eq\f(\r(6),2)＝eq\f(\r(2),4).突破点二平面与平面垂直的判定与性质eq\a\vs4\al([基本学问])1．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义：两个平面相交，假如它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面相互垂直．(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊂β,l⊥α))⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l⊂β,α∩β＝a,l⊥a))⇒l⊥α2．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线动身的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：过二面角棱上的任一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．(3)二面角α的范围：eq\a\vs4\al([0，π]).eq\a\vs4\al([基本实力])一、推断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)若α⊥β，a⊥β⇒a∥α.()(2)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的多数条直线，则α⊥β.()(3)假如平面α⊥平面β，那么平面α内全部直线都垂直于平面β.()答案：(1)×(2)×(3)×二、填空题1．m，n为直线，α，β为平面，若m⊥α，m∥n，n∥β，则α与β的位置关系为________．答案：垂直2．设α，β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的____________条件．答案：充分不必要3．已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则肯定相互垂直的平面有________对．解析：由于PD⊥平面ABCD，故平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD,平面PBC⊥平面PDC，共7对．答案：7[典例](2024·开封定位考试)如图，在三棱锥D­ABC中，AB＝2AC＝2，∠BAC＝60°，AD＝eq\r(6)，CD＝3，平面ADC⊥平面ABC.(1)证明：平面BDC⊥平面ADC；(2)求三棱锥D­ABC的体积．[解](1)证明：在△ABC中，由余弦定理可得，BC＝eq\r(AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC)＝eq\r(4＋1－2×2×1×\f(1,2))＝eq\r(3)，∴BC2＋AC2＝AB2，∴BC⊥AC，∵平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，∴BC⊥平面ADC，又BC⊂平面BDC，∴平面BDC⊥平面ADC.(2)由余弦定理可得cos∠ACD＝eq\f(2,3)，∴sin∠ACD＝eq\f(\r(5),3)，∴S△ACD＝eq\f(1,2)·AC·CD·sin∠ACD＝eq\f(\r(5),2)，则VD­ABC＝VB­ADC＝eq\f(1,3)·BC·S△ACD＝eq\f(\r(15),6).[方法技巧]面面垂直判定的两种方法与一个转化两种方法(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)一个转化在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直[针对训练](2024·洛阳一模)如图，在四棱锥E­ABCD中，△EAD为等边三角形，底面ABCD为等腰梯形，满意AB∥CD，AD＝DC＝eq\f(1,2)AB，且AE⊥BD.(1)证明：平面EBD⊥平面EAD；(2)若△EAD的面积为eq\r(3)，求点C到平面EBD的距离．解：(1)证明：如图，取AB的中点M，连接DM，则由题意可知四边形BCDM为平行四边形，∴DM＝CB＝AD＝eq\f(1,2)AB，即点D在以线段AB为直径的圆上，∴BD⊥AD，又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，∴BD⊥平面EAD.∵BD⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面EAD.(2)∵BD⊥平面EAD，且BD⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面EAD.∵等边△EAD的面积为eq\r(3)，∴AD＝AE＝ED＝2，取AD的中点O，连接EO，则EO⊥AD，EO＝eq\r(3)，∵平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD＝AD，∴EO⊥平面ABCD.由(1)知△ABD，△EBD都是直角三角形，∴BD＝eq\r(AB2－AD2)＝2eq\r(3)，S△EBD＝eq\f(1,2)ED·BD＝2eq\r(3)，设点C到平面EBD的距离为h，由VC­EBD＝VE­BCD，得eq\f(1,3)S△EBD·h＝eq\f(1,3)S△BCD·EO，又S△BCD＝eq\f(1,2)BC·CDsin120°＝eq\r(3)，∴h＝eq\f(\r(3),2).∴点C到平面EBD的距离为eq\f(\r(3),2).突破点三平行与垂直的综合问题1．平行关系之间的转化在证明线面、面面平行时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其依次恰好相反，但也要留意，转化的方向是由题目的详细条件而定的，不行过于“模式化”．2．垂直关系之间的转化在证明线面垂直、面面垂直时，肯定要留意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即：在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中找寻平面的垂线，若这样的直线在图中不存在，则可通过作协助线来解决．[典例](2024·北京高考)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；(3)求证：EF∥平面PCD.[证明](1)因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD，所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD，因为PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD，AB∩PA＝A，所以PD⊥平面PAB.因为PD⊂平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.(3)如图，取PC的中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG∥BC，FG＝eq\f(1,2)BC.因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE∥BC，DE＝eq\f(1,2)BC.所以DE∥FG，DE＝FG.所以四边形DEFG为平行四边形．所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD.[方法技巧]平行与垂直的综合问题主要是利用平行关系、垂直关系之间的转化去解决．留意遵循“空间到平面”“低维”到“高维”的转化关系．[针对训练](2024·北京西城区期末)如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF＝3，G，H分别是CE，CF的中点．(1)求证：AC⊥平面BDEF；(2)求证：平面BDGH