高一数学300题+教师版

1．已知集合A＝{x|x＝3n+2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为()则A∩B＝{8，14}，故集合A∩B中元素的个数为2个，故选：D．2．设常数a∈R，集合A＝{x|（x-1x-a）≥0}，B＝{x|x≥a-1}，若A∪B＝R，则a的取值范围为()若A∪B＝R，则a-1≤1，当a＝1时，易得A＝R，此时A∪B＝R；若A∪B＝R，则a-1≤a，显然成立，故选：B．3．设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为()解：因为集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}，所以a+b的值可能为：1+4＝5、1+5＝6、2+4＝6、2+5＝7、3+4＝7、3+5＝8，所以M中元素只有：5，6，7，8．共4个．故选：B．4．设S是整数集Z的非空子集，如果∀a，b∈S有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V＝Z，且∀a，b，c∈T，有abc∈T；∀x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是()A．T，V中至少有一个关于乘法是封闭的B．T，V中至多有一个关于乘法是封闭的C．T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的D．T，V中每一个关于乘法都是封闭的解：若T为奇数集，V为偶数集，满足题意，此时T与V关于乘法都是封闭的，排除B、C；若T为负整数集，V为非负整数集，也满足题意，此时只有V关于乘法是封闭的，排除D；从而可得T，V中至少有一个关于乘法是封闭的，A正确．故选：A．5．设a，b，c为实数，f（x）＝（x+a）（x2+bx+c），g（x）＝（ax+1）（cx2+bx+1）．记集合S＝{xf|（x）＝0，x∈R}，T＝{x|g（x0，x∈R}．若{S}，{T}分别为集合S，T的元素个数，则下列结论不可能的是()A．{S}＝1且{T}＝0B．{S}＝1且{T}＝1解：∵f（x）＝（x+a）（x2+bx+c），当f（x）＝0时至少有一个根x＝-a，当b2-4c＝0时，f（x0还有一根，只要b≠2a，f（x0就有2个根；当b＝2a，f（x0是一个根；当b2-4c＜0时，f（x）＝0只有一个根；当b2-4c＞0时，f（x）＝0有二个根或三个根．当a＞0，b＝0，c＞0时，{S}＝1且{T故选：D．6．设A（0，0），B（4，0），C（t+4，4），D（t，4）（t∈R）．记N（t）为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N（t）的范围为()解：当t＝0时，。ABCD的四个顶点是A（0，0），B（4，0），C（4，4），D（0，4），符合条件的点有（1，11，21，32，12，22，33，13，23，3），共九个，N（t）＝9，故选项D不正确．当t＝1时，。ABCD的四个顶点是A（0，0），B（4，0），C（5，4），D（1，4），同理知N（t12，故选项A不正确．当t＝2时，。ABCD的四个顶点是A（0，0），B（4，0），C（6，4），D（2，4），同理知N（t11，故选项B不正确．故选：C．7．设集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{4，5，6，7，8}，则满足S≤A且S∩B≠∅的集合S的个数是()A．57则满足S≤A且S∩B≠∅的集合S的个数是64-8＝56．故选：B．8．设非空集合S＝{x|m≤x≤n}满足：当x∈S时，有x2∈S．给出如下三个命题：①若m＝1，则S＝{1}；②若m=-，则≤n≤1；③若n＝，则-≤m≤0．其中正确命题的个数是()解：由定义设非空集合S＝{x|m≤x≤n}满足：当x∈S时，有x2∈S知，符合定义的参数m的值一定大于等于1或小于等于0，惟如此才能保证m∈S时，有m2∈S即m2≥m，符合条件的n的值一定大于等于0，小于等于1，惟如此才能保证n∈S时，有n2∈S即n2≤n，正对各个命题进行判断：＝，所以正确命题有3个．故选：D．9．设集合M＝{1，2，3，4，5，6}，S1、S2、…、Sk都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的Si＝{ai，bi}，），x、y中的较小者）．则k的最大值是()A．10解：根据题意，对于M，含2个元素的子集有15个，但{1，2}、{2，4}、{3，6}只能取一个；{1，3}、{2，6}只能取一个；{2，3}、{4，6}只能取一个，故满足条件的两个元素的集合有11个；故选：B．（min{x，y}表示两个数10．设A＝{x|xk∈NB＝{x|x≤6，x∈Q}，则A∩B等于()所以k＝0时，x＝1；k＝2时，x=;k＝3时，x4；k＝4时，x=;k＝5时，x=;k＝6时，x=;k＝7时，x=√丽＝6，…,则A∩B＝{1，4，6}故选：D．11．若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：数是12．已知集合A＝{x∈R||x+3|+|12．已知集合A＝{x∈R||x+3|+|x-4|≤9}，B=解：集合A＝{x∈R||x+3|+|x-4|≤9}，所以A＝{x|-4≤x≤5}；集合，,当且仅当t＝时取等号，所以B＝{x|x≥-2}，所以A∩B＝{x|-4≤x≤5}∩{x|x≥-故答案为：{x|-2≤x≤5}．解：解法一：），（），（），（），（），），（），（），（），（），（），（），（），（）（解法二：因为集合A＝{（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，所以集合A中有5个元素，即图中圆中的整点，B＝{（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，中有5×5＝25个元素，即图中正方形ABCD中的整点，A田B＝{（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1），（∈B}的元素可看作正方形A1B1C1D1中的整点（除去四个顶点），即7×7-4＝45个．14.已知A={x|x=a+b·2，a，b∈N}．若集合C={x|x=x1-x2，x1、x2∈A}，当x=a+b2∈C（a、b互质）时．必有，则a．b满足的关系式．故答案为：a2-2b2=±1叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是____________解：根据题意，M的长度为，N的长度为，当集合M∩N的长度的最小值时，M与N应分别在区间[0，1]的左右两端，故M∩N的长度的最小值是+-1=,故答案为．16.设全集I={(x，y)|x,y∈R于_____解：根据题意，分析可得集合M可变形为M＝{（x，y）|y＝x-4，x≠2}，即直线y＝x-4中除（2，-2）之外的所有点，N＝{（x，y）|y≠x-4}，为平面直角坐标系中除直线y＝x-4外的所有点；M∪N＝{（x，y）|x≠2，y≠-2）}，即平面直角坐标系中除点（2，-2）之外的所有点；（CUM）∩（CUNCU（M∪N{（2，-2）}；（1）{a1，a3}是E的第个子集；（2）E的第211个子集是．解：（1）{a1，a3}＝{a3，a1}化成二进制101（0为不出现，1为出现），这里a3出现，a2不出现，a1出现，所以是101；二进制的101等于十进制5，故第一个空填5；故答案为：5．（2）十进制211等于二进制11010011，即对应集合{a8，a7，a5，a2，a1}，故第二空填{a1，a2，a5，a7，a8}．故答案为：{a1，a2，a5，a7，a8}．18.设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k-1∉A且k+1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”，给定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个．解：依题意可知，没有与之相邻的元素是“孤立元”，因而无“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素因此，符合题意的集合是：{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}共6个．故答案为：6．19.设集合，B＝{（x，y）|y≤-|x|+b}，A∩B≠∅.（2）若（x，y）∈A∩B，且x+2y的最大值为9，则b的值是解：（1）由图象可知b的取值范围是[1，+∞).（2）若（x，y）∈A∩B，令z＝2y+x作直线z＝2y+x，由图知当直线过（0，b）时，z最大所以0+2b＝9，所以b=20.设集合A＝{（x，y）|y≥|x-2|，x≥0}，B＝{（x，y）|y≤-x+b}，A∩B≠∅,b的取值范围是[2，+∞).解：集合A＝{（x，y）|y≥|x-2|，x≥0}表示图中阴影部分，集合B＝{（x，y）|y≤-x+b}表示直线y＝-x+b的下文，∴由图象可知b的取值范围是[2，+∞).21.已知集合设试判断x1，x2，x3与集合A之间的关系；（2）任取x1，x2∈A，试判断x1+x2，x1•x2与A之间的关系．解：（1）∵===--．∴x1∉A．（2）设，m，n∈Z，5ctE，c，d∈Z，则x1+x2＝（m+c）+（n+d），∵（m+c），（n+d）∈Z，∴（x1+x2）∈A．x1x2mc+2nd+（md+cn∵（mc+2ndmd+cn）∈Z，∴x1x2∈A．22.若A={2,4,a3-2a2-a+7}，解：因为A∩B＝{2，5}，所以2，5∈A，则必有a3-2a2-a+7＝5，解得a＝2或a=±1．当a＝1时，a2-2a+2＝1，与元素的互异性矛盾，所以a＝1不成立．当a＝-1时，集合a＝{2，4，5}，B＝{1，0，2，4，5}，此时A∩B＝{2，4，5}，与A∩B＝{2，5}矛盾，所当a＝2时，集合A＝{2，4，5}，B＝{1，3，2，5，25}，满足A∩B＝{2，5}，所以a＝2成立．综上，满足条件的实数a＝2．23.设A={x|x=m2+n2，a，b∈Z}，求证：（2）若，其中p，q是有理数．解：解1）设s＝a2+b2，t＝c2+d2，则sta2+b2c2+d2a2c2+a2d2+b2c2+b2d2ac+bd）2+（ad-bc）2所以st∈A．（2）由（1）得st∈A，所以可设st＝m2+n2，又t≠0，所以,令，，则，p，q为有理数．24.设M=a{a|a=x2-y2，x，y∈Z}．（1）求证：2k+1∈M其中k∈Z（2）求证：4k-2∉M其中k∈Z）（3）属于M的两个整数，其积是否属于M．解1）证明：令x＝k+1，y＝k，k∈Z；（2）假设4k-2∈M，则（x-yx+y）+＝k，则（x-yx+y2k（2k+1又∵（x-yx+y）不可以是一奇一偶的乘积，（3）设a1，a2∈M，则a1a2x12-y12x22-y22）=x12x22+y12y22-（x22y12+x12y22）=（x1x2+y1y2）2-（x2y1+x1y2）2∈M．25.对于自然数N*的每一个非空子集，我们定义“交替和”如下：把子集中的元素从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如{1，2，4，6，9}的交替和是9-6+4-2+1=6；求集合{1，2，3，4，5，6，7}的所有非空子集的交替和的总和解：由题意，S2表示集合N＝{1，2}的所有非空子集的“交替和”的总和，又{1，2}的非空子集有{1}，{2}S3＝1+2+3+（2-1）+（3-1）+（3-2）＝∴根据前4项猜测集合N＝{1，2，3，…,n}的每一个非空子集的“交替和”的总和Sn＝n•2n-1，故答案为：448．26.设a，b是两个实数，A＝{（x，y）|x＝n，y＝na+b，n是整数}，B＝{（x，y）|x＝m，y＝3m2+15，m是整数}，C＝{（x，y）|x2+y2≤144}，是平面XOY内的点集合，讨论是否存在a和b使得（1）A∩B≠φ(φ表示空集），同时成立．解：据题意，知A＝{（x，y）|x＝n，y＝an+b，n∈Z}B＝{（x，y）|x＝m，y＝3m^2+15，m∈Z}假设存在实数a，b，使得A∩B≠Ø成立，则方程组y＝ax+by＝3x2+15有解，且x∈Z．消去y，方程组化为3x2-ax+15-b＝0．①），22＝108．a=±6√3将a=±6，b＝6代入方程①,得解之得x=±,与x∈Z矛盾．∴不存在实数a，b使（12）同时成立．26.设集合A={a1，a2，a3，a4，a5}，B={a12，a22，a32，a42，a52}，其中a1∈Z，1≤i≤5，且满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，a1+a4=10，A∩B={a1，a4}，A∪B中所有元素之和为224，求集合A解：∵a1+a4＝10，A∩B＝{a1，a4}，∴两∵A∪B中所有元素之和为224，而，∵a4＝9＜a5，若a5＝11，则，不可能．若，得，∴a2＝4＞a3矛盾，从而a2＝3，a3＝4，（1）求集合P7中元素的个数；（2）若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并集．解1）对于集合P7，有n＝7．当k＝2时，m＝1，2，3…，7，Pn对应有7个数，当k＝3时，m＝1，2，3…，7，Pn对应有7个数，与k＝1时Pn中的数重复，当k＝5时，m＝1，2，3…，7，Pn对应有7个数，当k＝6时，m＝1，2，3…，7，Pn对应有7个数，由此求得集合P7中元素的个数为7×7-3＝46．（2）先证当n≥15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并集．假设当n≥15时，Pn可以分成两个不相交的稀疏集的并集，设A和B为两个不相交的稀疏集，使A∪B＝Pn⊇In．但1+15＝42，这与A为稀疏集相矛盾．再证P14满足要求．当k＝1时，P14＝{|m∈I14，k∈I14}＝I14，可以分成2个稀疏集的并集．则A1和B1都是稀疏集，且A1∪B1＝I14．当k＝4时，集合{|m∈I14}中，除整数外，剩下的数组成集合{…,}，可以分为下列3个稀疏集的并：可以分为下列3个稀疏集的并：最后，集合C═中的数的分母都是无理数，它与Pn中的任何其他数之和都不是整数，因此，令A＝A1∪A2∪A3∪C，B＝B1∪综上可得，n的最大值为14．29．已知集合Sn＝{X|Xx1，x2，…,xnxiε{0，1}，i＝1，2，…,n}（n≥2）对于AA与B之间的距离为＝（），＝（），）；(Ⅱ)证明：∀A，B，CεSn，有A-BεSn，且d（A-C，B-(Ⅲ)证明：∀A，B，CεSn，d（A，B），d（A，C），d（B，C）三个数中至少有一个是偶数．＝（）＝（），因为ai，biε{0，1}，所以|ai-bi|ε{0，1}（i＝1，2，n）nn|）εSn由题意知ai，bi，ciε{0，1}（i|ii|所以d（A，Bk，d（A，Cl，d（B，Ch，由(Ⅱ)可知因为|ai-bi|ε{0，1}k，由此可知，k，l，h三个数不可能都是奇数，即d（A，B），d（A，C），d（B，C）三个数中至少有一个是偶数．），S＝{（a，b）|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T＝{（a，b）|a∈A，b∈A，a-b∈A}．其中（a，b）是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n．若对于任意的a∈A，总有-a∉A，则称集合A具有性质P．(Ⅰ)检验集合{0，1，2，3}与{-1，2，3}是否具有性质P并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；(Ⅱ)对任何具有性质P的集合A，证明：；(Ⅲ)判断m和n的大小关系，并证明你的结论．（I）解：集合{0，1，2，3}不具有性质P．集合{-1，2，3}具有性质P，其相应的集合S和T是），（），（（II）证明：首先，由A中元素构成的有序数对（ai，aj）共有k2个．所以当（ai，aj）∈T时aj，ai）∉T（i，j＝1，2，k从而，集合T中元素的个数最多为，（III）解：m＝n，证明如下：（1）对于（a，b）∈S，根据定义，如果（a，b）与（c，d）是S的不同元素，那么a＝c与b＝d中至少有一个不成立，从而a+b＝c+d与b＝d中也至少有一个不成立．故（a+b，b）与（c+d，d）也是T的不同元素．可见，S中元素的个数不多于T中元素的个数，即m≤n，如果（a，b）与（c，d）是T的不同元素，那么a＝c与b＝d中至少有一个不成立，从而a-b＝c-d与b＝d中也至少有一个不成立，故（a-b，b）与（c-d，d）也是S的不同元可见，T中元素的个数不多于S中元素的个数，即n≤m，由（12）可知，m＝n．31．已知函数f（x）的定义域为（-1，0），则函数f（2x+1）的定义域为()），∴则函数f（2x+1）的定义域为．故选：B．32．已知函数f（xx2-2（a+2）x+a2，g（x-x2+2（a-2）x-a2+8．设H1（xmax{f（xg（x）}，H2（x）＝min{f（x），g（x）}，（max{p，q}）表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A-B=()①由2（x-a）2-8＝0，解得x＝a±2，此时f（x）＝g（x）；②由h（x0，解得x＞a+2，或x＜a-2，此时f（xg（x③由h（x0，解得a-2＜x＜a+2，此时f（xg（x综上可知：（1）当x≤a-2时，则H1（x）＝max{f（x），g（x）}＝f（x）＝[x-（a+2）]2-4a-4，H2（x）＝min{f（x），g（x）}＝g（x）＝-[x-（a-2）]2-4a+12，（2）当a-2≤x≤a+2时，H1（x）＝max{f（x），g（x）}＝g（x），H2（x）＝min{f（x），g（x）}＝f（x）；（3）当x≥a+2时，则H1（x）＝max{f（x），g（x）}＝f（x），H2（x）＝min{f（x），g（x）}＝g（x），）＝）＝）＝故选：B．33．已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为()解：根据题意，对于函数，有，当x＝-3或1时y取最小值m＝2∴故选：C．34．设[x]表示不超过x的最大整数（如[2]＝2，[]＝1），对于给定的nεN*，定义，xε[1，+∞),则当xε时，函数的值域是()解：当xε时，，当x→2时，[x]＝1，所以；，，，，故函数C8x的值域是故选：D．35．已知函数f（x）＝，设aεR，若关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是()解：根据题意，函数f（x的图象如图：令g（x）＝|+a|，其图象与x轴相交与点（-2a，0），若不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则函数f（x）的图象在g（x）上的上方或相交，则必有f（0）≥g（0即2≥|a|，解可得-2≤a≤2，故选：A．D．36．已知函数f（xa＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程f|（x）|＝2-x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是()解：y＝loga（x+1）+1在[0，+∞)递减，则0＜a＜1，函数f（x）在R上单调递减，则：;解得，；由图象可知，在[0，+∞)上，f|（x）|＝2-x有且仅有一个解，当3a＞2即a＞时，联立|x2+（4a-则△=（4a-2）2-4（3a-20，解得a＝或1（舍去），当1≤3a≤2时，由图象可知，符合条件，故选：C．37．对a，bεR，记max{a，b}＝，函数f（x）＝max{|x+1|，|x-2|}（xεR）的最小值是()）＝当＜x＜2时，x+1＞2-x；故f（x）=据此求得最小值为．故选：C．38．已知当xε[0，1]时，函数y＝（mx-1）2的图象与y＝+m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是()A0，1]∪[2，+∞)B0，1]∪[3，+∞)C0∪[2，+∞)D0，]∪[3，+∞)解：根据题意，由于m为正数，y＝（mx-1）2为二次函数，在区间（0，）为减函数，（，+∞)为增函函数y＝+m为增函数，分2种情况讨论：①、当0＜m≤1时，有≥1，在区间[0，1]上，y＝（mx-1）2为减函数，且其值域为[（m-1）2，1]，函数y＝+m为增函数，其值域为[m，1+m]，此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；②、当m＞1时，有＜1，y＝（mx-1）2在区间（0，）为减函数，（，1）为增函数，函数y=√及+m为增函数，其值域为[m，1+m]，若两个函数的图象有1个交点，则有（m-1）2≥1+m，解可得m≤0或m≥3，又由m为正数，则m≥3；综合可得：m的取值范围是（0，1]∪[3，+∞);故选：B．39．已知函数f（x）＝lnx+ln（2-x），则()A．f（x）在（0，2）单调递增B．f（x）在（0，2）单调递减C．y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称D．y＝f（x）的图象关于点（1，0）对称解：∵函数f（xlnx+ln（2-x∴f（2-xln（2-x）+lnx，即f（xf（2-x即y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，故选：C40．用min{a，b}表示a，b两数中的最小值．若函数f（xmin{|x|，|x+t|}的图象关于直线x＝-对称，则t的值为()解：如图，在同一个坐标系中做出两个函数y＝|x|与y＝|x+t|的图象，函数f（xmin{|x|，|x+t|}的图象为两个图象中较低的一个，分析可得其图象关于直线x＝-对称，要使函数f（xmin{|x|，|x+t|}的图象关于直线x＝对称，则t的值为t＝1故选：D．41．若x1满足2x+2x＝5，x2满足2x+2log2（x-15，x1+x2=()2x2+2log2（x2-15@所以，令2x1＝7-2t，代入上式得7-2t＝2log2（2t-22+2∴5-2t＝2log2（t-1）与@式比即x1+x2=故选：C．42．设函数f（x）＝|x+1|+|x-a|的图象关于直线x＝1对称，则a的值为()他们的和f（x|x+1|+|x-a|关于x＝1对称，43．设函数g（x）＝x2-2，f（x）＝，则f（x）的值域是()解：x＜g（x），即x＜x2-2，即x＜-1或x＞2．x≥g（x），即-1≤x≤2．由题意f（x）====所以当xε（-∞,-1）∪（2，+∞)时，由二次函数xε[-1，2]时，由二次函数的性质可得f（x）ε[-，0]，故选：D．44．已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）＝f（b）＝f（c），则abc的取值范围是()A1，10）B5，6）C10，12）D20，24）解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则则abc＝cε（10，12）．故选：C．45．已知函数f（x）＝x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若，则实数a的取值范围是()∵f（x+af（x（1）x＜0时，解得-＜x＜0；（2）0≤x≤时，解得0；（3）x＞时，解得，综上知，a＝-时，A＝（-，），符合题意，排除B、D；取a＝1时，f（xx|x|+x，∵f（x+a）＜f（x），∴（x+1）|x+1|+1＜x|x|，（1）x＜-1时，解得x＞0，矛盾；（2）-1≤x≤0，解得x＜0，矛盾；（3）x＞0时，解得x＜-1，矛盾；综上，a＝1，A=∅,不合题意，排除C，故选：A．46．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（xx2，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是()解排除法）当则得，即(x厄)2>2x2=x2-2,乓x-2⃞0在时恒成立，而x2-2,厄x-2最大值，是当时出现，故x2-2,厄x-2的最大值为0，则f（x+t）≥2f（x）恒成立，排除B项，同理再验证t＝3时，f（x+t）≥2f（x）恒成立，排除C项，t＝-1时，f（x+t）≥2f（x）不成立，故排除D项故选：A．47．设f（x）是连续的偶函数，且当x＞0时f（x）是单调函数，则满足的所有x之和为()解：∵f（x）为偶函数，且当x＞0时f（x）是单调函数∴若时，必有或，整理得x2+3x-3＝0或x2+5x+3＝0，）＝故选：C．48．已知f（x）是定义域为（-∞,+∞)的奇函数，满足f（1-x）＝f（1+x），若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=()解：∵f（x）是奇函数，且f（1-x）＝f（1+x），∴f（1-x）＝f（1+x）＝-f（x-1），f（0）＝0，则f（x+2）＝-f（x），则f（x+4）＝-f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，∵f（12，∴f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（1-2）＝f（-1）＝-f（1）＝-2，f（4f（00，则f（1）+f（2）+f（3）+f（42+0-2+0＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（5012[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50f（1）+f（22+0＝2，故选：C．49．设函数f（xa＜0）的定义域为D，若所有点（s，f（ts，t∈D）构成一个正方形区域，则a的值为()解：由题意可知：所有点（s，f（ts，t∈D）构成一个正方形区域，则对于函数f（x），其定义域的x的长度和值域的长度是相等的，f（x）的定义域为ax2+bx+c≥0的解集，设x1、x2是方程ax2+bx+c＝0的根，且x1＜x2则定义域的长度为|x1-x2|==,而f（x）的值域为[0，]，则有，故选：B．50．已知函数f（x）＝，设aεR，若关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是()解：当x≤1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，由y＝-x2+x-3的对称轴为x1，可得x＝处取得最大值-；由y＝x2-x+3的对称轴为x1，可得x＝处取得最小值，当x＞1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，由y＝x+≥2＝2（当且仅当x＝2＞1）取得最小值2．另解：作出f（x）的图象和折线y＝|+a|当x＞1时，y＝x+的导数为y′＝1-，＝，），切点为（2，3），代入y＝+a，解得a＝2．由图象平移可得，-≤a≤2．故选：A．故答案为：1．51．若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是．解：函数的定义域为R，∴-1≥0在R上恒成立即x2-2ax+a≥0在R上恒成立该不等式等价于△=4a2-4a≤0，解出0≤a≤1．故实数a的取值范围为0≤a≤1故答案为：0≤a≤152．已知函数y＝的图象与函数y＝kx-2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是．解：y==,作出函数y＝与y＝kx-2的图象如图所示：∵函数y＝的图象与函数y＝kx-2的图象恰有两个交点，∴0＜k＜1或1＜k＜4．故答案为0，1）∪（1，453．已知t为常数，函数y＝|x2-2x-t|在区间[0，3]上的最大值为2，则t=.解：记g（x）＝x2-2x-t，xε[0，3]，则y＝f（x）＝|g（x）|，xε[0，3]f（x）图象是把函数g（x）图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，其对称轴为x＝1，则f（x）最大值必定在x＝3或x＝1处取得（1）当在x＝3处取得最大值时f（3|32-2×3-t|＝2，当t＝5时，此时，f（05＞2不符条件，当t＝1时，此时，f（01，f（12，符合条件．（2）当最大值在x＝1处取得时f（1|12-2×1-t|＝2，当t＝-3时，f（03＞2不符条件，当t＝1此时，f（32，f（12，符合条件．解得1≤t≤1，即有t＝1．54．已知函数（a≠1）．（1）若a＞0，则f（x）的定义域是；（2）若f（x）在区间（0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是．解1）当a＞0且a≠1时，由3-ax≥0得，即此时函数f（x）的定义域是（-∞,]．（2）当a-1＞0，即a＞1时，要使f（x）在（0，1]上是减函数，则需3-a×1≥0，此时1＜a≤3．当a-1＜0，即a＜1时，要使f（x）在（0，1]上是减函数，则需-a＞0，此时a＜0．55.已知aεR，函数f（x|x+-a|+a在区间[1，4]上的最大值是5，则a的取值范围是．解：由题可知|x+-a|+a≤5，即|x+-a|≤5-a，所以a≤5，所以2a-5≤x+≤5，又因为1≤x≤4，4≤x+≤5，所以2a-5≤4，解得a≤,56．a为实数，函数f（x）＝|x2-ax|在区间[0，1]上的最大值记为g（a）．当a＝时，g（a）的值最小．解：对函数f（x）＝|x2-ax|＝|（x-）2-|分下面几种情况讨论：①当a≤0时，f（x）＝x2-ax在区间[0，1]上单调递增，∴f（x）max＝g（11-a；∴f（x）max＝g（11-a；③当2-2＜a≤1时，f（x）max＝g（a）=;综上所述，g（a）=,④当1＜a＜2时，g（af()=;⑤当a≥2时，g（af（1a-1；故答案为：．57．函数yx≥0）的最小值为．（当且令当x＝时，等号成立）；故0<≤=,综上所述，函数yx≥0）的最小值为，故答案为：．故答案为：858．函数的最小值为．，．又x∈[4，+∞)时，f（x）单调递增，→f（x）≥f（4）＝+1；而x∈（-∞,0]时，f（x）单调递减，→f（x）≥f（00+4＝4；故最小值159．已知函数f（xx2+mx-1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x0成立，则实数m的取值范围是．解：∵二次函数f（xx2+mx-1的图象开口向上，对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴,60.设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x其中集合D＝{x|x=,n∈N*}，则方程f（x）-lgx＝0的解的个数是．解：∵在区间[0，1）上，f（x）=,第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又f（x）是定义在R上且周期为1的函数，∴在区间[1，2）上，f（x）＝，此时f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；区间[2，3）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；区间[3，4）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；区间[4，5）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；区间[5，6）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；区间[6，7）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；区间[7，8）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；区间[8，9）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；在区间[9，+∞)上，f（x）的图象与y＝lgx无交点；故f（x）的图象与y＝lgx有8个交点，且除了（1，0），其他交点横坐标均为无理数；即方程f（x）-lgx＝0的解的个数是8，61．方程x2+x-1＝0的解可视为函数y＝x+的图象与函数y＝的图象交点的横坐标，若x4+ax-4＝0的各个实根x1，x2，…,xk（k≤4）所对应的点（xii＝1，2，…,k）均在直线y＝x的同侧，则实数a的取值范围是．解析：方程的根显然x≠0，原方程等价于，原方程的实根是曲线y＝x3+a与曲线的交点的横坐标；而曲线y＝x3+a是由曲线y＝x3向上或向下平移|a|个单位而得到的．若交点（xii＝1，2，k）均在直线y＝x的同侧，因直线y＝x与交点为-2，-22，2所以结合图象可得：；62．函数f（x）＝m|3x-1|2-4|3x-1|+1（m＞0）在R上有4个零点，则实数m的取值范围是．解析、根据题意，对于函数f（x）＝m|3x-1|2-4|3x-1|+1，设t＝|3x-1|，则y＝mt2-4t+1，若函数f（x）＝m|3x-1|2-4|3x-1|+1（m＞0）在R上有4个零点，则方程mt2-4t+1＝0在区间（0，1）有2个根，则有解可得：3＜m＜4，即m的取值范围为（3，4故答案为：（3，4）63.已知函数f（x）=x-a，g（x）=a|x|，a∈R．设h（x）=f（x）+g（x），x∈[-2，2]，若对任意x1，x2∈[-2，2]，|h（x1）-h（x2）|≤6恒成立，试求a的取值范围_________解析：h（x）=f（x）+g（x），x∈[-2，2]，对任意x1，x2∈[-2，2]，|h（x1）-h（x2）|≤6恒成立⇔h（x1）max-h（x2）min≤6，分a≤-1、-1＜a＜1、a≥1三类讨论，即可求得a的取值范围．∵h（x）=f（x）+g（x）=x-a+a|x|，x∈[-2，2]，∴当-2≤x＜0时，h（x）=（1-a）x-a；当0≤x≤2时，h（x）=（1+a）x-a；又对任意x1，x2∈[-2，2]，|h（x1）-h（x2）|≤6恒成立，则h（x1）max-h（x2）min≤6，①当a≤-1时，1-a＞0，1+a≤0，h（x）=（1-a）x-a在区间[-2，0）上单调递增；h（x）=（1+a）x-a在区间[0，2]上单调递减（当a=-1时，h（x）=-a∴h（x）max=h（0）=-a，又h（-2）=a-2，h（2）=2+a，∴h（x2）min=h（-2）=a-2，∴-a-（a-2）=2-2a≤6，解得a≥-2，综上，-2≤a≤-1；②当-1＜a＜1时，1-a＞0，1-a＞0，∴h（x）=（1-a）x-a在区间[-2，0）上单调递增，且h（x）=（1+a）x-a在区间[0，2]上也单调递增，∴h（x）max=h（2）=2+a，h（x2）min=h（-2）=a-2，由a+2-（a-2）=4≤6恒成立，即-1＜a＜1适合题意；③当a≥1时，1-a≤0，1+a＞0，h（x）=（1-a）x-a在区间[-2，0）上单调递减（当a=1时，h（x）=-a），h（x）=（1+a）x-a在区间[0，2]上单调递增；∴h（x）min=h（0）=-a；又h（2）=2+a＞a-2=h（-2∴h（x）max=h（2）=2+a，∴2+a-（-a）=2+2a≤6，解得a≤2，又a≥1，∴1≤a≤2；综上所述，-2≤a≤2．64.设a∈R，函数f(x)=xx-a-a，若对任意的x∈[2，3]，f(x)≥0恒成立，则实数a的取值范围是．【解答】1，当a≤2时，f(x)=:f:2(2-a)-a≥0,→a≤ax(x-a)-a，对称轴x=a43 :f(a)=-a≥0→a≤0(舍) 3，当a≥3时，f(x)=x(a-x)-a，抛物线开口向下，f(x)min={f(2),f(3)}min49:a≤或者492x≤0，设函数g(x)=f(-x)-f(x)+k(k∈在R上恰有两个不同的零点，则k的值为．解答：令g(x)=0→f(-x)-f(x)+k=0→k=f(x)-f(-x)x=0,f(x)-f(-x)=0:f(x)-f(-x)=x+1-(x+1)2=-x2-x:f(x)-f(-x)=(x-1)2-(-x+1)=x2-x:f(x)-f（-x)={0,x=0:fl-l-x-x,x<0:k:k4若使不等式f(x)<g(x)成立的整数x恰有1个，则必须满足〔f{lf66．已知函数（a，b为常数）且方程f（x）-x+12＝0有两个实根为x1＝3，x2＝4．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设k＞1，解关于x的不等式；．（2）不等式即为，可化为67．设函数f（x）＝|x2-4x-5|．（1）在区间[-2，6]上画出函数f（x）的图象；（2）设集合A＝{xf|（x）≥5}，B＝（-∞,-2]∪[0，4]∪[6，+∞).试判断集合A和B之间的关系（要写（3）当k＞2时，求证：在区间[-1，5]上，y＝kx+3k的图象位于函数f（x）图象的上方．：（（2）方程f（x5的解分别是2-页,0,4∴BCA．）＝g（xk（x+3）-（-x2+4x+5x2+（k-4）x+（3k-5）=,取，g（x）min=.）＞因此，在区间[-1，5]上，y＝k（x+3）的图象位于函数f（x）图象的上方．68．已知定义域为R的函数f（x）满足f（f（x）-x2+xf（x）-x2+x．（I）若f（2）＝3，求f（1）；又若f（0）＝a，求f（a）；(Ⅱ)设有且仅有一个实数x0，使得f（x0x0，求函数f（x）的解析表达式．解I）因为对任意x∈R，有f（f（x）-x2+xf（x）-x2+x所以f（f（2）-22+2f（2）-22+2又由f（23，得f（3-22+23-22+2，即f（11若f（0a，则f（a-02+0a-02+0，即f（aa．（II）因为对任意x∈R，有f（f（x）-x2+xf（x）-x2+x．又因为有且只有一个实数x0，使得f（x0x0所以对任意x∈R，有f（x）-x2+x＝x0在上式中令x＝x0，有f（x0）-x02+x0＝x0又因为f（x0）＝x0，所以x0-x02＝0，故x0＝0或x0＝1若x0＝0，则f（x）-x2+x＝0，即f（xx2-x但方程x2-x＝x有两个不相同实根，与题设条件矛盾．故x0≠0若x0＝1，则有f（x）-x2+x＝1，即f（xx2-x+1，此时f（xx有且仅有一个实数1．综上，所求函数为f（xx2-x+1（x∈R）69．已知函数．(Ⅱ)证明：对于任意不小于3的自然数n，都有f（n）＞．【解答】(Ⅰ)证明：设x1，x2为任意两个实数，且x1＜x2，f（x2）-f（x1）==, 由指数函数性质知00，∴f（x2）-f（x1）＞0，(Ⅱ)要证f（n）＞（n∈N，n≥3），即要证1-，）．现用数学归纳法证明①式．∴左边＞右边，因而当n＝3时①式成立．（2）假设当n＝k（k≥3）时①式成立，即有2k-1＞2k，那么）．这就是说，当n＝k+1时①式成立．根据（12）可知，①式对于任意不小于3的自然数n都成立．由此有f（nn≥3，n∈N70．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(Ⅰ)当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；(Ⅱ)当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）＝x•v（x）可以达到最大，并求出最大值精确到1辆/时解：(Ⅰ)由题意：当0≤x≤20时，v（x60；当20＜x≤200时，设v（xax+b再由已知得，解得故函数v（x）的表达式为．(Ⅱ)依题并由(Ⅰ)可得当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200当20≤x≤200时，当且仅当x＝200-x，即x＝100时，等号成立．所以，当x＝100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．综上所述，当x＝100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．答：(Ⅰ)函数v（x）的表达式(Ⅱ)当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．71．已知函数f（xx2+（x≠0，常数a∈R（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若函数f（x）在[2，+∞)上为增函数，求实数a的取值范围．解1）当a＝0时，f（xx2，）＝（），∴f（x）为偶函数．当a≠0时，f（x）＝x2+（x≠0，常数a∈R），取x=±1，得f（-1）+f（1）＝2≠0，f（-1）-f（1）＝-2a≠0，∴函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数．（2）设2≤x1＜x2，f（x1）-f（x2）＝＝[x1x2（x1+x2）-a]，要使函数f（x）在x∈[2，+∞)上为增函数，必须f（x1）-f（x20恒成立．即a＜x1x2（x1+x2）恒成立．又∵x1+x2＞4，∴x1x2（x1+x216，72．设函数f（x）在（-∞,+∞)上满足f（2-x）＝f（2+x），f（7-x）＝f（7+x），且在闭区间[0，7]上，只有f（1）＝f（3）＝0．(Ⅰ)试判断函数y＝f（x）的奇偶性；(Ⅱ)试求方程f（x）＝0在闭区间[-2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论．解：由→→f（4-x）＝f（14-x）→f（x）＝f（x+10），又f（3）＝0，而f（7）≠0，→f（-3）＝f（7）≠0→f（-3）≠f（3），f（-3）≠-f（3）故函数y＝f（x）是非奇非偶函数；又f（3）＝f（1）＝0→f（11）＝f（13）＝f（-7）＝f（-9）＝0因为在闭区间[0，7]上，只有f（1）＝f（3）＝0，故在[4，7]上无零点，又f（7-x）＝f（7+x），故在[4，10]上无零点，故在[0，10]上仅有两个解故f（x）在[0，10]和[-10，0]上均有有两个解，从而可知函数y＝f（x）在[0，2005]上有402个解，在[-2005.0]上有400个解，所以函数y＝f（x）在[-2005，2005]上有802个解．73．设a为实数，函数f（x）＝x2+|x-a|+1，xεR（1）讨论f（x）的奇偶性；（2）求f（x）的最小值．解1）当a＝0时，函数f（-x-x）2+|-x|+1＝f（x）此时，f（x）为偶函数当a≠0时，f（a）＝a2+1，f（-a）＝a2+2|a|+1，f（a）≠f（-a），f（a）≠-f（-a）此时f（x）既不是奇函数，也不是偶函数（2）①当x≤a时，当，则函数f（x）在（-∞,a]上单调递减，从而函数f（x）在（-∞,a]上的最小值为f（a）＝a2+1．若，则函数f（x）在（-∞,a]上的最小值为，且．②当x≥a时，函数若，则函数f（x）在[a，+∞)上的最小值为；若，则函数f（x）在[a，+∞)上单调递增，从而函数f（x）在[a，+∞)上的最小值为f（a）＝a2+1．综上，当时，函数f（x）的最小值为当时，函数f（x）的最小值为a2+1当时，函数f（x）的最小值为．74．设函数f（x）＝x2+ax+b（a，bεR）．(Ⅰ)当b＝+1时，求函数f（x）在[-1，1]上的最小值g（a）的表达式．(Ⅱ)已知函数f（x）在[-1，1]上存在零点，0≤b-2a≤1，求b的取值范围．f（x）＝（x+）2+1，对称轴为x＝-，当a≤-2时，函数f（x）在[-1，1]上递减，则g（a）＝f（1）＝+a+2；）＝）＝当a＞2时，函数f（x）在[-1，1]上递增，则g（a）＝f（-1）＝-a+2．综上可得，g（a）=;）＝），当0≤t≤1时，≤st≤,由于-2≤<0和-3≤<0，所以-3≤b＜0，75．已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，bεR），记M（a，b）是f|（x）|在区间[-1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．解：（1）由已知可得f（1）＝1+a+b，f（-1）＝1-a+b，对称轴为x＝-，因为|a|≥2，所以或≥1，所以函数f（x）在[-1，1]上单调，所以M（a，b）＝max{f|（1），f|（-1）|}＝max{|1+a+b|，|1-a+b|}，所以M（a，b）≥（|1+a+b|+|1-a+b|）≥|（1+a+b）-（1-a+b）|≥|（2）当a＝b＝0时，|a|+|b|＝0又|a|+|b|≥0，所以0为最小值，符合题意；又对任意xε[-1，1]．有-2≤x2+ax+b≤2，所以|a|+|b|的最大值为3．76．设f（x）＝3ax2+2bx+c．若a+b+c＝0，f（0）＞0，f（1）＞0，求证：(Ⅱ)方程f（x）＝0在（0，1）内有两个实根．解：证明I）因为f（00，f（10，所以c＞0，3a+2b+c＞0．由条件a+b+c＝0，消去b，得a＞c＞0；由条件a+b+c＝0，消去c，得a+b＜0，2a+b＞0．（II）抛物线f（x）＝3ax2+2bx+c的顶点坐标为，在的两边乘以，得．又因为f（00，f（10，而，所以方程f（x）＝0在区间与内分别有一实根．故方程f（x）＝0在（0，1）内有两个实根．77．设a为实数，函数f（x）＝a++的最大值为g（a）．(Ⅰ)设t=√预+，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数m（t）．(Ⅲ)试求满足g（a）＝g（）的所有实数a．解I）要使有t意义，必须1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1，t的取值范围是[区,2]．∴m（ta+t=（II）由题意知g（a）即为函数的最大值．注意到直线是抛物线的对称轴，分以下几种情况讨论．（1）当a＞0时，函数y＝m（t的图象是开口向上的抛物线的一段，由＜0知m（t）在iz,2．上单调递增，∴g（a）＝m（2）＝a+2（2）当a＝0时，m（tt）＝（3）当a＜0时，函数y＝m（t的图象是开口向下的抛物线的一段，若，即则若，即则若，即则g（a）＝m（2）＝a+2综上有此时，此时，解得，与矛盾．此时所以，情形4：当时此时解得矛盾．情形5：当时此时g（a）＝a+2，由解得矛盾．情形6：当a＞0时此时g（a）＝a+2，综上知，满足的所有实数a为：，或a＝178．设a为实数，函数f（x）＝2x2+（x-a）|x-a|．（1）若f（0）≥1，求a的取值范围；（2）求f（x）的最小值；（3）设函数h（x）＝f（x），xε（a，+∞),求不等式h（x）≥1的解集．解1）若f（0）≥1，则-a|a|≥1，（2）当x≥a时，f（x）＝3x2-2ax+a2，∴如图所示：当x≤a时，f（x）＝x2+2ax-a2，∴综上所述：（3）xε（a，+∞)时，h（x）≥1，）＝当-＜a＜时，△>0，得：进而分2类讨论：当-＜a＜-时，a<,此时不等式组的解集为（a，]∪[，+∞);当-≤x≤时a<;此时不等式组的解集为[，+∞).综上可得，当aε[-，]时，不等式组的解集为[，+∞).79．设f（x）＝3ax2+2bx+c，若a+b+c＝0，f（0）f（1）＞0，求证：）＝(Ⅲ)设x1，x2是方程f（x）＝0的两个实根，则≤|x1-x2|<.f（0）f（1）＝c（3a+2b+c）＝-c2≤0，与已知矛盾，所以a≠0．方程3ax2+2bx+c＝0的判别式△=4（b2-3ac），由条件a+b+c＝0，消去b，得△=4（a2+c2-ac）=故方程f（x）＝0有实根．所以（x1-x2）2x1+x2）2-4x1x2=.所以80．已知f（x）＝|x2-1|+x2+kx．）＝(Ⅱ)若关于x的方程f（x）＝0在（0，2）上有两个解x1，x2，求k的取值范围，并证明．解得，因为，故舍去，所以．@当x2-1＜0时，-1＜x＜1时，方程化为2x+1＝0解得由①@得当k＝2时，方程f（x）＝0的解所以或．（II）解：不妨设0＜x1＜x2＜2，ω的值为4.所以f（x）在（0，1]是单调函数，故f（x）＝0在（0，1]上至多一个解，若1＜x1＜x2＜2，则x1x20，故不符题意，因此0＜x1≤1＜x2＜2．由f（x1）＝0得，所以k≤-1；由f（x2）＝0得，所以；故当时，方程f（x0在（0，2）上有两个解．即，因为x2＜2，所以．81.已知函数的图象关于直线对称，则φ的值是－.解析：由题意得k∈Z，所以 ωx+π、82．设函数y＝sin、3s(0<x<π)，当且仅当时，y取得最大值，则正数ω的值为2.解析：当时又2T>π,所以ω<4，则正数ω=2.83．已知A，B分别是函数3sinωx在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且则该函数的周期为4.解析：由题意知T=ω,则A2ω,B、2ω解析：由题意知T=ω,则A2ω,B、2ω,而OA⊥OB，则2ω·2ω-3＝0，即ω=2，故T=ω=4.84．若函数f(x)＝Asin(ωx+φ)(A＞0，ω>0)的图象与直线y＝m的三个相邻交点的横坐标分别是则实数解析：由题意可知函数f(x)的两条相邻对称轴是所以所以ω=4.85．把函数y＝sin(ωx+φ)ω>0，|φ|<的图象向左平移个单位，所得曲线的一部分如图，则ω,φ的值分别为2，解析：y＝sin(ωx+φ)的图象向左平移个单位，得函数解析式为由题知得ω=2，函数的图象过点得86．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象与x轴的交点A，B，C满足OA+OC＝2OB，则解析：设A(x1,0)，B(x2,0)，C(x3,0)，由OA＋OC＝2OB及AC＝AB，所以x1＋x3＝2x2，x3－x1＝x1－x2，又x3－x1=,所以x3x1所以f＝f(3x1)＝f＝sin+φ=-1，π3287．已知函数f(x)＝Asinωx+π(A＞0，ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π,且经过点3，3.π32(1)求函数f(x)的解析式；若角α满足求角α的值．答案：或解析：(1)由条件，周期T＝2π,即＝2π,所以ω=1，即π2所以π2fα-πα+π23(2)由f(α)＋3＝1，得sinfα-πα+π23α+πα+πα+πsin=1,33-sin=1,33 α+ππ 3-1所以2sin＝1，即sinα=3-12因为α∈(0，π)，所以α=或.EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up6(x),3)(1)将f(x)写成Asin(ωx+φ)＋b的形式，并求其图象对称中心的横坐标；(2)如果△ABC的三边a，b，c满足b2＝ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f(x)的值域．x+答案：(1)f(x)＝x+解析 2x+π、 2x+π、 2x+π、 2x+π、解得k∈Z，所以对称中心的横坐标为π(k∈Z)．(2)由b2＝ac及余弦定理，得cosx==所以v3<f(x)≤1+,函数f(x)的值域为α+v3-α189．已知sin、6＋cosα=-α+v3-α1 α+πα+6-α3-=cos 2=解析：由展开化简可得sinα+=-,所以cos6-α3-=cos 2=、、+30°)cos30°-cos(θ+30°)sin30°=×-×=. ＝－、4+、4+ +cos= +cos=2=×=-.=×=-.-55所以94．已知sinα=3sinα+αα+=2·\－4.α+α+所以95．已知向量m＝(\cosx1)，n＝(sinx，cos2x)．答案：，－6\=2x--16\=2x--12332362x-所以cos62x-所以cos 3 ,所以-≤2x-≤,+2x-+则cos2则cos2x＝cosπ2 解法1(1)由m⊥n得，2cosα-sinα=0，sinα=2cosα,代入cos2α+sin2α=1,5cos2α=1，且α∈2，\、则cosα=,sinα=,则cos2α=2cos2α-1＝2×l5J2－1.\、2\3\\\\2\3\\\\解法2(1)由m⊥n得，2cosα-sinα=0，tanα=2，故cos2α=cos2α-sin2α===222297．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝60°,b＝解析：由正弦定理可得结合b<c，可得B＝45°,则A＝180°-B－C＝75°.98．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB＝acosC＋ccosA，则解析：由正弦定理可得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA＝sinB，在△ABC中，sinB≠0，可得在△ABC中，可得99．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为则解析：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.△ABC的面积为100．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3则解析：因为0＜A<π,所以又S△所以bc＝24，解方程组得b＝6，c＝4，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝62＋42－2×6×4×-=64，所以a＝8.101．在△ABC中，B＝120°,AB＝的平分线AD＝V3，则A解析：如图所示， 即由于AD是∠BAC的平分线，故∠BAC＝2∠BAD＝.在△ABC中，∠B＝120°,∠BAC=30°,易得∠ACB＝30°.在△ABC中，由正弦定理得即所以AC＝.102.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°,∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为9.解析：由题意得acsin120°=asin60°+csin60°,即ac＝a＋c，得1，得4a＋c＝(4即c＝2a时，取等号．103．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.设向量m＝(a，c)，n＝(cosC，cosA)．(1)若m∥n，c＝v3a，求角A；(2)若m·n＝3bsinB，cosA求cosC的值．解析：(1)∵m∥n，∴acosA＝ccosC.由正弦定理，得sinAcosA＝sinCcosC.化简得sin2A＝sin2C.∵A，C∈(0，π)，∴2A＝2C或2A＋2C=π,从而A＝C(舍去)或A＋C=,∴B＝.在Rt△ABC中，tanAA＝.(2)∵m·n＝3bsinB，∴acosC＋ccosA＝3bsinB.由正弦定理，得sinAcosC＋sinCcosA＝3sin2B，从而sin(A＋C)=3sin2B.∵A＋B＋C=π,∵sinA＞sinB，∴a＞b，从而A＞B，B为锐角，cosB＝.∴cosCcos(A＋B)cosAcosB＋sinAsinB=-×+×=.104.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosAtan(B－A)＝.(1)求tanB的值；答案：(1)3；(2)78.解析在△ABC中，由得A为锐角，所以所以所以tanB＝tan[(B－A)＋A](2)在三角形ABC中，由tanB＝3，所以由sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB=,由正弦定理得所以△ABC的面积S＝bcsinA=×15×13×=78.105．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝7，c＝3且∠A＝.则△ABC的面积是6·.解析：在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，可得49＝b2＋9－2b×3×,解得b＝8，所以△ABC的面积为S△106．在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连结CD，则△BDC的面积解法1取BC中点E，DC中点F，由题意得：AE⊥BC，BF⊥CD，在△ABE中，由余弦定理可得，所以所以S△107.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b>c，a＝6，b＝5，△ABC的面积为9.则sinB的值解析：因为△ABC的面积S＝absinC，所以×6×5sinC＝9，因为b>c，所以cosC＝.在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝13，所以c＝v13.又因为b＝5，sinC所以在△ABC中，由正弦定理得313108．如图，在△ABC中，已知AC＝7，∠B＝45°,D是边AB上的一点，AD＝3，∠ADC＝120°.则△ABC的面积解析：在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos∠ADC,72＝32＋CD2－2×3×CD×cos120°,解在△BCD中，由正弦定理得解得所以S△ABC＝S△ACD＋S△BCD＝AD·CDsin∠ADC＋CD·BDsin∠BDC=×3×5sin120°+109.我国南宋时期数学家秦九韶的著作《数书九章》中记载了求三角形面积的“三斜求积”方法，相当于如下公式：现已知△ABC的周长为42，面积为84，且则边AC的长为15.解析：由得由S△得ac＝182，又a＋b＋c＝42，所以a＋c＝42－b，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac－2accosB＝(42－b)2－504，解得b＝15.110．如图，等腰△ABC腰上的中线BD为定长3，当顶角α变化时，则△ABC面积的最大值为6.解析：在△ABD中，设AB＝AC＝x，由余弦定理有·\－9x4＋360x2－16×81=111．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B＝60°,c＝8.(1)若点M是线段BC的中点求b的值；答案：(1)8；(2)24v2＋8v3.解析：(1)因为点M是线段BC的中点设BM＝x，则又B＝60°,c＝8，在△ABM中，由余弦定理得3x2＝64＋x2－2×8xcos60°,解得x＝4(负值舍去)，则BM＝4，BC＝8.所以△ABC中为正三角形