2024-2025学年广东省某中学高一（上）期中数学试卷+答案解析

2024-2025学年广东省广州中学高一（上）期中数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列各组对象可以构成集合的是（）

A.某中学所有成绩优秀的学生B.边长为2的正方形

C.比较大的数字D.著名的数学家

2.下列各组函数中，表示同一个函数的是（）

2

A.y=\x\^y=B.y=x^y——

C."=1,y=xGD.y=\x\,y=（v^）2

3.已知/Q+l）=«—27+2,则函数的解析式为（）

A.f[x）=力？_6力+3B.以上）=力？一4力+5

C.于（x）=x2—4x—5D.f（N）=/—6/+10

4.已知〃，b为非零实数，且Q〉b,则下列结论正确的是（）

,9,99,9八11—b2a2

A.a（?>b（?B.Q2〉臣C.>-r-D.—<—

abzazbab

5.已知p：1<-2或3〉0,q：x〉Q,且q是P的充分不必要条件，则。的取值范围是（）

A.Qw—2B.QwoC.a>0D.Q20

6.某学生从家中出发去学校，走了一段时间后，由于怕迟到，余下的路程就跑步方式前往学校.在图中纵

轴表示该学生离自己家的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（）

O|to^to|titO|to^to|tot

一，、f(2a—l)x+4：a.x<1

7.已知函数/Q)=4\满足对任意3,电，当时都有‘—"©)>o成立,

1x—ar+5,出》1Xi-X2

则。的取值范围是()

A.(,1]B.2]C.[2,+oo)D.[1,2]

8.定义在R上的奇函数/(乃满足/⑵=0,当0</<2时，/便)<0,当立〉2时，/(，)〉0.不等式

力/(比)〉0的解集为()

A.(2,+oo)B.(―2,0)U(2,+oo)

C.(—00,—2)U(2,+oo)D.(—2,0)U(0,2)

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二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分,

部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是()

A.Va:CR，/+2万+120B.BxEN,2/+1为奇数

C.所有菱形的四条边都相等D.7T是无理数

10.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数

/称为狄利克雷函数，则关于/(4),下列说法正确的是()

0,a：eLRQ

A./(0)=1B./(乃的定义域为7?

C.Va;GR,/(/(①))=1D./(立)为偶函数

11.已知实数a、bER+,且2a+6=l,则下列结论正确的是()

A.仍的最小值为：B.4a2+y的最小值为:

C.1+：的最小值为3+2及D.吐|e(0,2)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知幕函数/(乃=(机2一机一5位*1在区间Q+oo)上单调递减，贝.

13.己知函数/(/)为尺上的偶函数，当工〉0时，/(①)=/+一3,则/<0时，/(，)=.

14.已知当/C［a,a+1］时，函数/(c)=/-2劣+1的最大值为4,则a的值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知集合4={剑—1</<4},B={x\-1<x<a}.

(1)当a=2时，求AnB,AUB；

(2)若AUB=A,求a的取值范围.

16.(本小题15分)

已知命题?：Yx£R,mx1-mx+1>0>命题q：BxER,x2+^mx+1<0.

(1)若命题q为真命题，求实数机的取值范围；

(2)若命题2，q中至少有一个为真命题，求实数用的取值范围.

17.(本小题15分)

已知函数/(工)=工777T^-丁4-T是)定义在［―1,1］上的奇函数，且/⑴=1

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(1)求加，〃的值；

⑵用定义法判定了(/)的单调性；

(3)求使f(a-1)+fg-1)<0成立的实数a的取值范围.

18.(本小题17分)

通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生

的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设/(1)表示

学生注意力随时间力(分钟)的变化规律(/(1)越大，表明学生注意力越集中)经过实验分析得知：

-i2+24t+100,(0<Y10)

240,(10W20)

{-7t+380,(20<力(40)

(1)讲课开始后第5分钟与讲课开始后第25分钟比较，何时学生的注意力更集中？

(2)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？

(3)一道比较难的数学题，需要讲解25分钟，并且要求学生的注意力至少达到180,那么经过适当安排，老

师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？

19.(本小题17分)

对于函数〃下)，若存在/oeR,使/(3)=3成立，则称3为了侬)的不动点.已知函数

f(x)=ax2+(6+l)c+(b—1)((1刈).

(1)当a=l，6=—3时，求函数/(乃的不动点；

⑵若对任意实数6,函数/(乃恒有两个相异的不动点，求。的取值范围；

一d

(3)在(2)的条件下，若/(2)的两个不动点为电，比2,且/(g)+72="p求实数6的取值范围.

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：对于W优秀的学生无法界定，不满足集合元素的确定性，不可以构成集合，故N错误;

对于3,边长为2的正方形，满足集合的定义，故2正确；

对于C,比较大的数字无法界定，不满足集合元素的确定性，不可以构成集合，故C错误；

对于。，著名的数学家无法界定，不满足集合元素的确定性，不可以构成集合，故。错误.

故选：B.

根据已知条件，结合集合的定义，即可求解.

本题主要考查集合的定义，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】解：选项4解析式等价，定义域也相同，所以是同一个函数；

选项3,解析式化简后相同，但定义域不同，因为分母不能取0,所以不是同一个函数；

选项C,解析式化简后都是1,但定义域不同，因为0的0次幕没有意义，所以不是同一个函数；

选项。，解析式不同，定义域也不同，所以不是同一个函数.

故选：A.

利用同一个函数的条件是定义域相同，解析式也要相同，从而来作出判断.

本题考查了判断两函数为同一函数的方法：看定义域和对应关系是否都相同，是基础题.

3.【答案】B

【解析】解：令立+1=±,则/=力一1,代入/(2+1)=/-2工+2得

/⑴=«—球一2(方一1)+2=/-4%+5,

所以f⑺=x2—4：x+5.

故选：B.

由已知利用换元法求解函数得解析式.

本题主要考查函数解析式的求解，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】解：/中，当c=0时，不等式不成立，所以《不正确；

2中，当a=Lb=-2时，显然不成立，所以8不正确；

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C中，因为±―±=力，因为a>6,且就#0,可得二^>0,所以所以C正确；

abzazbazbzazbzabzazb

R2b3_.37.22

。中，匕一n*=1L,因为仍的符号不定，而a〉b,所以川<&3,所以幺与n1的大于关系不定，所

ababab

以。不正确.

故选：C.

由不等式的性质可判断出所给命题的真假.

本题考查不等式的性质的应用，属于基础题.

5.【答案】D

【解析】解：因为〃：2<-2或3；〉0,q：x>a,

令A—(—oo,—2)U(0,+oo),B—(a,+oo),

因为q是0的充分不必要条件，所以

所以a》0.

故选：D.

令A=(-oo,-2)U(0,+oo),B=(«,+cx)),依题意可得3匚4,即可求出参数的取值范围.

本题考查了充分不必要条件的应用，属于基础题.

6.【答案】D

【解析】解：根据题意：走了一段时间后，由于怕迟到，余下的路程就跑步方式前往学校.；

纵轴表示该学生离自己家的距离从0增大到最大值.

横轴表示出发后的时间，

故路程d先慢速增大，再快速增大，

分析可得答案为。.

故选D

本题考查的是分段函数的图象判断问题.在解答时应充分体会实际背景的含义，根据走了一段时间后，由

于怕迟到，余下的路程就跑步，即可获得随时间的推移离学校距离大小的变化快慢，从而即可获得问题的

解答.

本题考查函数的图象，正确理解题意与图象的关系是关键，考查数形结合的思想，属于基础题.

7.【答案】A

【解析】解：根据题意，若/(为满足对任意的，当叫声政时都有"3)一〉o成立,

41-X2

则/(2)在R上为增函数，

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2a-1>0

(2a—l)x+4a,x<1a_

而函数/(2)=2K，则有/I,

x—a6+5,力》1

(2a—1)+4a<1—a+5

解可得：|<a^L即。的取值范围为

故选：A.

根据题意，由函数单调性的定义可得/(2)在R上为增函数，结合函数的解析式可得

2a-1>0

a

21，解可得答案.

{(2a—1)+4a41-a+5

本题考查函数单调性的性质和应用，注意函数单调性的定义，属于中档题.

8.【答案】C

【解析】【分析】

由奇函数的定义可得/(—2)=0,且立<—2时，f(x)<0；-2<x<0时，f(x)>0,再对x讨论，分z>0,

，<0,解不等式可得所求解集.

本题考查函数的奇偶性的定义和运用，考查分类讨论思想和运算能力，属于基础题.

【解答】

解：定义在R上的奇函数/(2)满足/⑵=0,

可得/(—2)=-〃2)=0,

当0<,<2时，/(X)<0,当田〉2时，f(x)>0,

可得/<-2时，f(x)<0；一2<2<0时，f(x)>0,

工/⑺〉0寸伍为1/⑺>o或1<0'

解得立>2或2<一2,

即所求解集为(-oo,-2)U(2,+oo).

故选：C.

9.【答案】AC

【解析】解：对于/,VeR,/+2/+1=(/+1)220恒成立，该命题是全称量词命题，且是真命题，

工争取；

对于8，3xGN，2/+1为奇数，该命题是存在量词命题，不是全称量词命题，8错误；

对于C,所有菱形的四条边都相等，该命题是全称量词命题，且是真命题，C正确；

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对于。，7T是无理数，是存在量词命题，。错误.

故选：AC.

利用全称量词命题的定义，结合真假判断逐项分析即可.

本题考查全称量词、存在量词命题的判断，属于基础题.

10.【答案】BCD

1.xEQ

【解析】解：根据题意，狄利克雷函数//=<C；八，

对于A,由\/2eCRQ，故f(A/2)=0,/错误；

对于3,由函数的解析式，/(2)的定义域为凡2正确；

对于C,对于VieH,/(①)=1或o,则/(MeQ,故/(/⑶)=1,c正确；

对于。，设zeQ,则—/eQ,此时/(-2)=/(2)，

同理：当x为无理数时，也有/(—2)=/(0，

故VceH,都有/(—切=/(乃，〃①)为偶函数，。正确.

故选：BCD.

根据题意，根据新函数定义，结合各项描述判断正误即可.

本题考查分段函数的性质，注意理解“狄利克雷函数”的定义，属于基础题.

11.【答案】BCD

【解析】解：对于/：因为。、b€R+,由2a+b=122\/2ab>则ab(6，

o

当且仅当［:a：?J时，即当6=：,a=：时，等号成立，

［2Q+0=124

所以，仍的最大值为"故/错误；

O

对于8因为2Q+6=1,Q〉0,b>0,

因为1=(2a+6)2=4Q2+b2+2x2axb^4a2+廿+(4a2+62)=2(4a2+b2)，

所以4Q2+庐》］,

当且仅当］1时，即当6=?a=^时，等号成立，

［2a+b=l24

所以，4a2十后的最小值为：，故3正确；

对于C：因为a、beR+,2a+b=l,

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r~r~[、]11,1、2。b当4=3+2鱼，

所以‘一+£=(2Q+b)(-+-)=3+—+-^3+2

ababbaba

_=：[_2-A/2

当且仅当《：1时，即当/a=^r~时，等号成立，故c正确;

2a-\-b=1I

a>0,b>0I6=V2-1

“T,b-l-2a-2(a-1)-2„2

对于D-.由----=-----=—---->-——=一2------

a—1a—1a—1a—1

因为a、bE!?+，2a+b=L则0<Q<],

112

所以一1<Q—1<—三，—2<----<—1,则2V-----<4,

2a—1a—1

2b-1

可得0<—2-----<2,所以Je(0,2),故。正确.

a—1a—1

故选：BCD.

利用基本不等式可判断NBC选项；由已知条件可得出"二=-2-且0<a<1,利用不等式的基

a—1a—12

本性质可判断。选项.

本题主要考查了基本不等式及不等式性质的应用，属于中档题.

12.【答案】-2

【解析】【分析】

本题考查了幕函数的定义，幕函数的单调性问题，是基础题.

根据基函数的定义和单调性即可求出m的值

【解答】

解：•.,幕函数/(力)在(0,+oo)上是减函数，

.fm2—m—5=1

'[m-1<0

/.m=-2f

故答案为-2.

13.【答案】x2—2x—3

【解析】解：根据题意，当时，一出〉0,

则/(—力)=+2(—x)—3=/—2/—3,

又由函数f(叫为R上的偶函数，则f⑺=N—x)=/—23—3.

则x<0时,/(力)=x2—2x—3.

故答案为：x2—2x—3.

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根据题意，当z<0时，-x>0,由函数的解析式求出/(-，)的表达式，结合奇偶性分析可得答案.

本题考查函数奇偶性的判断，涉及函数解析式的计算，属于基础题.

14.【答案】2或一1

【解析】解：根据题意得〃2)=(2—1K，图象是开口向上的抛物线，关于/=1对称，

①当lWa+(即时，[/(叫111ax=/(。+1)=<?=4,解得a=2(a=—2不符合条件，舍去)；

②当l〉a+(即a<：时，[/⑵]max=/(a)=(a—1『=4,解得a=—l(a=3不符合条件，舍去).

综上所述，实数a的值为2或—1.

故答案为：—1或2.

根据二次函数的性质，比较对称轴与区间中点的大小，分类讨论，建立关于。的方程求出答案.

本题主要考查函数的单调性与最值、二次函数的图象与性质等知识，考查了计算能力，属于基础题.

15.【答案】解：⑴Q=2时，B={x\—1<x<2},

则4GB={力|—1<2},AUB={力|—1<4}.

⑵若4UB=4,则以

当6r0时，则{[1，则一l<a<4.

当2=0时，则aW—1;

综上a的取值范围为{a|a{4}.

【解析】(1)代入。值，根据交集和并集含义即可；

(2)分析得分8=0和3多0讨论即可.

本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.

16.【答案】解：(1)已知命题p：V/GR，mx1—mx+1>0»

若m=0,则1〉0恒成立，

(777)f)

若加#0,则《A2“c，则0<m<4,

tA=-4m<0

综上，加的取值范围为[0,4).

命题q：BxER>x2+4：mx+1<0>

则△=16m2一4〉0，则m或m>|,

则7〃的取值范围为(—00,--)U(-,+c»);

(2)若命题p为假命题，则m的取值范围为(-oo,0)U[4,+oo),

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若命题q为假命题，则加的取值范围为

若命题0,q都为假命题，则加的取值范围为［-；,0),

则命题0,q中至少有一个为真命题，则加的取值范围为(-OO,-；)U［0,+oo).

【解析】(1)根据一元二次不等式以及存在量词命题相关知识可解；

(2)根据题意，可计算出若命题q夕都为假命题的根的取值范围，从而利用对立思想可得命题p,g中至少

有一个为真命题时，加的取值范围.

本题考查全称量词、存在量词命题与集合间的关系，属于中档题.

f⑼=n=0

m=2

17.【答案】解:(1)依题意,m+n解得

=1)n=0

2x

则〃，)

x2+1

经检验符合题意,

故m=2,n=0.

⑵/(C)=1T在—1,1上是增函数.

证明如下：设Vg,X2e［-1,1］,且71<72,

2x1

制"、"、—2徵_2x^x1+1)-2x2(xj+1)_2(x2-X!)(X!X2-1)

人」/⑶)—八旬一寻H—赤1-―(犹++--(若+1)(7+1)

「—1Wg<电<1,X2—Xi>0,X1X2—1<0,(螳+1)(越+1)〉0,

fQl)-/(工2)<0,/(X1)<f(x2),

.•./⑶在［—1,1］上是增函数.

⑶/(a-1)+/(1—1)<0台/(a-1)<—/(a2—1),

因为/(2)是定义在［-1,1］上的奇函数，

所以—/(a2—=—/)，

则/(a—1)</(I—浸)，

由(2)知/(c)=在［-1J］上是增函数，

(-1<Q-1<1(04Q<2

所以｛-l^a2-l^l,即｛0a22,解得0Wa<l.

a-1<1-a2-2<a<1

故实数a的取值范围是［0,1).

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【解析】(1)由函数在立=0处有定义得〃0)=0,联立/(1)=1待定系数加，〃，再利用定义证明函数的奇

偶性即可；

(2)按“区间取值一一作差变形一一符号判断”的步骤利用定义法判定即可得；

(3)结合函数的奇偶性与单调性解抽象不等式的方法求解，注意函数的定义域.

本题考查了不等式恒成立问题，也考查了函数的奇偶性与单调性应用问题，属于中档题.

18.【答案】解：⑴因为/(5)=—(5)2+24x5+100=195,/(25)=-7x25+380=205,

所以讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中.............(4分)

(2)当0V力W10时，/⑴=一/+24t+100=—(1一12)2+244是增函数，且/(10)=240.

当20＜力＜40时，/⑴=—7力+380是减函数，且/(20)=240.

所以讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟.............(8分)

(3)当0〈力W10时，令/«)=—#+241+令0=18