2024-2025学年七年级下学期期中数学常考点分类（考查范围：7~9章）（拓展培优篇）含答案

专题2024-2025学年七年级下学期期中数学常考点分类专

题（拓展培优篇（考查范围：整式的乘除、实数、平面直角

坐标系）

第一部分【考点目录】

一、选择填空题

【知识点一】相交线与平行线

【考点1】余角、补角、垂直、对顶角综合求解

【考点2】平行线性质与判定综合求解

【考点3】利用垂线段最短求最值

【考点4】平行线的性质与平移综合求解

【考点5】利用相交线与平行线中的折叠求解

【考点6】利用相交线与平行线中的旋转求解

【考点7】相交线与平行线中的动点问题

【知识点二】实数

【考点8】求一个数的平方根、算术平方根、立方根

【考点9】利用算术平方根的非负性求解

【考点10】算术平方根和立方根综合求解

【考点11】实数的混合运算

【考点12］实数运算规律探究

【知识点三】平面直角坐标系

【考点13］平面直角坐标系概念

【考点14］平面直角坐标系几何综合

【考点15】用坐标表示平移3

【考点16］平面直角坐标系中的几何变换

二、解答题

【考点17】实数的混合运算

【考点18］无理数的估算、无理数整数部分综合运算

【考点19］平面直角坐标系与图形综合

试卷第1页，共22页

【考点20】相交线与平行线压轴轴（问题探究、阅读探究、延伸探究）

第二部分【题型梳理与方法展示】

【知识点一】相交线与平行线

【考点1】余角、补角、垂直、对顶角综合求解

（24-25七年级上•河北石家庄•期末）

1.如图，点。在直线上，OC1OD,若NBOD=25°,则//OC的补角的大小为（）

（24-25七年级下•全国・周测）

2.跨物理学科如图，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球

的位置.已知法线。CLMV,反射光线NO与水平线的夹角56。，则平面镜与

水平线8。的夹角/DON的大小为（入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角）

A.24°B.28°C.34°D.56°

（24-25七年级下•天津南开•开学考试）

3.如图，点。为直线48上一点，OCLAB,OW_LON,若/MOC:/4ON=5:13,则/BCW

试卷第2页，共22页

4.已知直线AB,CD相交于点。，OE平分/NOC,射线。尸J.C。于点。，且

ABOF=40°,贝!|NCOE=.

【考点2】平行线性质与判定综合求解

（24-25七年级下•全国•单元测试）

5.如图，已知/8〃C。，E,尸是直线48上方两点，连接4E,CE,AF,CF,已知《尸

平分NB4E,且NECF=；/ECD.若/E=15。，4ECD=15°,求/尸的度数为（）

⑵-22七年级下•四川绵阳•期中）

6.如图，己知直线43〃CD,则/&、、//之间的关系是（）

A.Za+Z^-2Z/=180°B./.fi-Z.a=Z/

C.Na+"+々=360°D.Z/7+Z/-Za=18O°

（2025七年级下•全国•专题练习）

7.如图，在三角形/BC中，点分别在48,8C上，S.DE//AC,Z1=Z2.

（1）N尸与8C的位置关系是；

（2）如果N8=30°,且N2=80。，那么NB/C=.

（24-25七年级上•浙江金华•期末）

8.如图，ACYBC,CDVAB,DELAC,则结论：0Z1=Z2；②N2=NN；

试卷第3页，共22页

©DE//BC；④NB+/DC£=90。中，正确的结论为.（填序号）.

【考点3】利用垂线段最短求最值

（20-21七年级下•湖北武汉•期中）

9.如图，△/2C中，ZACB=9Q°,NC=3,BC=4,48=5,尸为直线48上一动点，连

接PC,则线段PC的最小值是（）

A.3B.2.5C.2.4D.2

（24-25九年级上•江西南昌•期中）

10.如图，在RtA^BC中，N/C8=90。，=30。，点。是边8c上一点，连接AD，将AABD

绕着点N逆时针旋转60。得到△/斯，连接CF,若4B=8cm,则线段CF长度的最小值为

（）

A.8cmB.4cmC.2cmD.1cm

（2025七年级下•全国・专题练习）

11.如图，△NBC中，ZACB=90°,/C=3,BC=4,AB=5,尸为直线上一动点,

连接PC,则线段尸C的最小值是.

试卷第4页，共22页

B

P

【考点4］平行线的性质与平移综合求解

（24-25七年级上•上海闵行•阶段练习）

12.如图，△ABC与AMR是两个形状、大小完全相同的直角三角形，B、C、D、厂在同一

条直线上，点C与点。重合，其中8C=3cm,AB=4cm,AC=5cm.将△NBC沿射线B尸

方向平移到△48©的位置，连接EC-若C/=2cm,则△CEG的面积是cm2

（23-24七年级下•辽宁大连•期末）

13.如图，在△NSC中，ZABC=5Q°,将线段/C沿线段C2平移得到线段。E（点。与点

C对应，且不与点及c重合），连接4瓦//£。和N/8C的平分线相交于点尸.若NC=a,

.（用含1的式子表示）

（21-22七年级下•浙江台州•阶段练习）

14.如图，是一块长。米，宽b米的长方形花园，其中1、2、3、4四块三角形区域种着不

同品种花卉，5区域是一条小路，小路的左边线EG向右平移一定的距离就是它的右边线

FC.记1,2,3,4,5五个区域面积分别为H,S2,S3,S4,Ss,已知a6=75,S2=5,

'=3号，则

试卷第5页，共22页

（1）EF与4D的位置关系为

（2）小路面积S5为—m1.

【考点5】利用相交线与平行线中的折叠求解

（24-25七年级下•全国•单元测试）

15.如图，把一张两边分别平行的纸条折叠，跖为折痕，ED交BF于点、G,且

ZEFB=50°.则下列结论：①ZDE尸=50°；②N4EZ）=80。；③48尸C=80°；

④4DG尸=100。.其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

（23-24七年级下•湖南衡阳•阶段练习）

16.如图，在△4BC中，已知3c=7,点£,尸分别在边8c上，将沿直线E尸

折叠，使点8落在点。处，。尸向右平移若干单位长度后恰好能与边/C重合，连接

若,则/C+3/。的值为（）

A.12B.16C.17D.18

（24-25八年级上•浙江温州•阶段练习）

17.如图，己知在Rt^4BC中，ZA=90°,。为N8边上一点，连接CD,将△NBC沿CO

试卷第6页，共22页

向上折叠，若N1=N2,贝|N3=

（23-24七年级下•辽宁铁岭•阶段练习）

18.如图，将长方形纸片沿斯折叠后，点/,8分别落在H,9的位置，再沿

边将折叠到处，已知/1=48。，贝!jNFE7/=

A'

A［E空/\GD

BFC

【考点6】利用相交线与平行线中的旋转求解

（24-25七年级上•江苏扬州•期末）

19.如图，OC是一条射线，将一把直角三角尺（/048=30。,/。氐4=60。）的直角顶点放在。

处，4OC=40。，将OC绕着点。按每秒15。的速度顺时针旋转360。，设旋转时间为/秒，

分别作出N80C、//OC的角平分线。£、OF.在旋转过程中，当OE或O尸中有一条射

线与平行时，t的值为（）.（注：本题中所有的角均是指大于。度且小于或等于180

度的角）

「22-40D.,或。

C.可或行

33

（24-25七年级上•浙江嘉兴•阶段练习）

20.如图，一副三角板的两个直角顶点C（尸）叠放在一起，其中//=30。，

48=60。，/£>=/£=45。，三角板A8C不动，三角板。斯可绕点C旋转，则下列结论:

①NBCE+//CZ）随NNC。的变化而变化；②当Z8CE=3N/CD时，一定垂直于

试卷第7页，共22页

AC.其中正确的结论是（）

A.①正确，②正确B.①错误，②正确C.①正确，②错误D.①错误，②错误

（24-25七年级上•江苏镇江•期末）

21.如图，点。在直线N8上，过。在A8上方作射线OC,ZBOC=120°,直角三角板的

直角顶点与点O重合，边与重合，边OV在直线AB的下方.如果三角板绕点。按

10度/秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，OC1ON.

（24-25七年级上•江苏宿迁•期末）

22.绚丽多彩的舞台离不开灯光的氛围，不同类型的灯，呈现出不同舞台灯光.光速灯发出

的光速是一根明亮的细长的光柱，如图，在舞台上方平行的灯轨。、6上分别安置了可以旋

转的光速灯/和C,光速灯/的光束按每秒6。的速度顺时针旋转180。便立即回转，光

速灯C的光束自CZ）以每秒2。的速度顺时针旋转180。便立即停止，若光速灯C先旋转6秒,

光速灯/才开始旋转，当光速灯/旋转时间为秒时，两束光线平行.

AB

----------------------------a

【考点7】相交线与平行线中的动点问题

（23-24七年级下•重庆•阶段练习）

23.如图，点£在D4延长线上，CE,交于点尸，且NBCE=NAEF,NB=ND,NEFA

比/FCD的余角小30。，P为线段DC上一动点，。为PD上一点，且满足/尸0P=/。灯,

试卷第8页，共22页

EW■为/EFP的平分线.下列结论：①DE〃BC；@AB//CD；③下0平分ZAFP；④

/B+/E=140。；⑤尸N=15。.其中结论正确的序号是（）

A.①②③B.①②③④C.①②③⑤D.①②③④⑤

（23-24七年级下•河南商丘•期中）

24.如图，AB//CD,连接2D,£是线段8。上一动点，AF,CF分别平分NA4E,

ZDCE,若乙4EC=46。，则乙4尸C的度数为（）

C.30°D.45°

（2025七年级下•全国•专题练习）

25.如图，AB//CD,点、E,尸在直线上（尸在£的左侧），点G在直线CD上,

EH1HG,垂足为〃，尸为线段E"上的一动点，连接GP,GF,NFGH与N8FG的角

平分线交于点0,且点。在直线N2,CD之间的区域，下列结论:

①ZBEH+ZDGH=90°；

②ZCGH+2NFQG=270°；

③若ZPGH=3ZDGH,贝lj3ZBEH+ZEPG=360°；

©若NPGH=nNDGH,贝l|+」一/PG。=90。，其中”为正整数.

n+1

上述说法正确的是（写出所有正确结论的序号）.

（23-24七年级下•江苏苏州•期中）

试卷第9页，共22页

26.如图，已知AM〃BN,ZA=x°.点P是射线4W上一动点（与点A不重合），BC,BD

分别平分ZAB尸和/P8N,交射线于点C,D,当点尸运动到使=//AD时，

/4D2的度数为（用含有x的代数式表示）

【知识点二】实数

【考点8］求一个数的平方根、算术平方根、立方根

（24-25七年级下•全国•课后作业）

27.若加是25的平方根，〃=（有/，则加，”的关系是（）

A.Tn=nB.m=+nC.m=-nD.\m\^n

（24-25八年级上•江苏徐州•期末）

28.下列运算一定正确的是（）

A.正=±7B.(-V7)2=7

C•一J（_7『=7D.(/j=7

（24-25八年级上•湖北武汉•期中）

29.定义一种新运算。众7＞：当42b时,。☆人=2。+6；当。时，a^b=2a-b.若

（X2+2x-7）^（2X2-4X+3）=3,贝|X的值是

【考点9］利用算术平方根的非负性求解

（23-24八年级上•重庆・期末）

30.若-2|+加7=0则帅的立方根为（）

A.4B.2C.-2D.8

（24-25七年级下•山东烟台•开学考试）

31.若y=j3-5x+j5x-3+15,则上的算术平方根为.

X

（2024八年级上•全国•专题练习）

32.在平面直角坐标系中，有一点朋'（x/）,且满足j2x-5+（5y+2『=0,则点M关于x

试卷第10页，共22页

轴对称的点N在第象限.

（24-25七年级上•山东烟台・期末）

33.已知实数。，6满足关系式（"2『+卜+叫+j30-c=0,求c-/的立方根.

【考点10】算术平方根和立方根综合求解

（23-24七年级下•山东滨州•期末）

34.已知4%+11的立方根是3,5加-3〃+2的算术平方根是4,则〃的值为（）

A.5B.3C.2D.9

（20-21七年级上•浙江杭州•期中）

35.已知。的算术平方根是12.3,b的立方根是T5.6,x的平方根是±1.23,V的立方根是456,

贝ijx和V分另IJ是（）

A.x=―-—,y=100/7B.x-1000a,y=--—

1000,1000

C.x=——,y=—1000/＞D.x=——,V=1000/7

100100

（21-22七年级下•四川绵阳•阶段练习）

36.已知。、b、c在数轴上的位置如图，化简：

-\a+b\+y/（c-a+b）2-\b-c\+y/b^=.

____________IIII.

ab0c

（21-22七年级下•甘肃武威•期末）

37.已知实数”的立方根是4,则右的平方根是.

【考点11】实数的混合运算

（24-25七年级上•浙江杭州•期中）

38.计算值？+（-2）2义卜4|的值是（）.

A.8B.10C.12D.16

（24-25八年级上•河北秦皇岛•期中）

39.若"为整数，且"＜旧＜〃+1,则〃=，加是后的小数部分，则

|n-y/V3|-m=.

（23-24八年级上•陕西西安•阶段练习）

试卷第11页，共22页

40.若。是质的整数部分，b是百的小数部分.则a+6-百+1的平方根是

【考点12］实数运算规律探究

（2025七年级下•全国・专题练习）

11111,1

41.已知q为实数，规定运算：出=1-—，=1，%=1-----，〃5=1------

aa

a{。234

%=1--L,按上述方法，当。1=3时,

#22。25的值等于（）

an-X

21

A.-B.—C.-1D.0

32

（23-24七年级下•全国•期中）

42.如图所示为一个按某种规律排列的数阵：

第一行1V2

第二行V32V5V6

第三行百瓜3V10VnV12

第四行屈屈正4后V18V19V20

根据数阵规律，第八行倒数第三个数是()

A.772B.V71C.V70D.769

（24-25七年级下•全国・单元测试）

43.已知按照一定规律排成的一列实数：-1,V2,V3,-2,75,V6,-V7,V8,V9,-A/10,....按此

规律可推得这一列数中的第2025个数是（）

A.72025B.々2025C.寻2025D.-#2025

（24-25七年级上•浙江温州•期中）

44.在草稿纸上计算：①肝，②炉百，@713+23+3\...;观察你计算的结果，用你

发现的规律直接写出下面式子的值：713+23+33+43=—，713+23+33+---+263=

【知识点三】平面直角坐标系

【考点13］平面直角坐标系概念

（24-25八年级上•福建莆田・期中）

试卷第12页，共22页

45.如图，在棋盘中建立直角坐标系xQy,三颗棋子/,O,2的位置分别是（-1,1）,（0,0）

和（1,0）.如果在其他格点位置添加一颗棋子C,使O,B,C四颗棋子成为一个轴对称

图形，请找出不满足条件的棋子C的位置的坐标：（）

A.（-1,2）B.（0,-1）C.(-1,-1)D.(-1,0)

（24-25七年级下•全国•课后作业）

46.下列说法不正确的是（）

A.点/（/+1,-例-1）一定在第四象限

B.点尸（2,6）到x轴的距离为6

C.若尸（x,y）中孙=0,则P点在x轴上

D.若x-y=0,则点P（x,y）一定在第一，第三象限的角平分线上

（23-24七年级下•广东广州•单元测试）

47.如图，己知4（1,0）、4”）、4（-如）、4（*1）、4（2,-1）、…则点4期在第

象限.

y

4

4x

【考点14］平面直角坐标系几何综合

（24-25九年级上•山东青岛•期末）

试卷第13页，共22页

48.如图，在直角坐标系中，矩形O43C的顶点。位于坐标原点，点A、C坐标分别为（-4,0）

和（0,6）.若矩形OAB'C'与矩形OABC关于点。位似,且矩形OA'B'C的面积等于矩形OABC

面积的3，则点8的对应点9的坐标是（）

A.(-1,1.5)B.(1,-1.5)

C.(15-1)或(一1,1.5)D.(TL5)或(1,7.5)

（24-25七年级上•山东泰安•阶段练习）

49.如图，长方形048C的边CM、OC分别在x轴、丁轴上，点B的坐标为（3,2）.点。，£

分别在48,8c边上，BD=BE=1.沿直线将△ADE翻折，点8落在点夕处，则点夕

的坐标为（）

A.（1,1）B.（2,1）C.（1.5,1）D.（1.5,1.5）

（24-25九年级上•吉林•期末）

50.如图，在平直角坐标系中，点工的坐标为（。，2）,点C的坐标为（1,0）.以CM,OC为边

作矩形0/8C,若将矩形绕点。逆时针旋转90。，得到矩形0HB'C',则点3'的坐标

为.

扑

A—|5

B\-------C

A'OCx

（24-25八年级上•安徽六安•阶段练习）

试卷第14页，共22页

51.定义:在平面直角坐标系xQy中，已知点耳（a,b）,£（c,6），4（Gd）,这三个点中任意两点

间的距离的最小值称为点片，匕4的“最佳间距”.例如：点片（-1,2）第（1,2）,4（1,3）的“最佳间

距”是1.

⑴点e,（-2,1）,a（-5,1）,a（-5,5）的“最佳间距”是；

（2）当点。（0,0）,成2力?,0）,尸（2%-27"+3）的“最佳间距”为1时，点尸的横坐标为.

【考点15］用坐标表示平移

（24-25八年级上•安徽滁州•期中）

52.如图，在平面直角坐标系中，将线段42平移后得到线段CD,点A和点8的对应点分

别是点。和点C.若点4-4,0）,5（-2,-3）,。（2,2）,则点C的坐标为（）

A.（3,-1）B.（-3,1）C.（-4,-2）D.（4,-1）

（24-25八年级上•山东济南•期中）

53.如图，在平面直角坐标系中，A（a,-5）,B（a+3,-5）,且a>0,尸为了轴上一动点.连接

AB,将线段43先向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到线段CZ）,则下列结论：

①CD=3；②AOBA+ZOCD=ZBOC+180°；③若APCD的面积为6,则P点的坐标为（0,1）

或（0，-7）；④若尸点不在直线23、上，△PCZ）面积为X,△上45面积为九四边形/2DC

面积为z,贝！）|x-y|=gz.其中正确的有（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

试卷第15页，共22页

（24-25八年级上•江苏盐城•期末）

54.在平面直角坐标系中,把点尸（。-1,3）向右平移5个单位得到点。（2-26,3），则2a+46+7

的值为.

（24-25八年级上•河北保定•期中）

55.平面直角坐标系中，我们将点尸（0,0）坐标进行坐标变换.第一次将尸向右平移1个单

位得到6（1,0）,第二次将6关于y轴对称得到£（-1,0）,第三次将鸟向上平移1个单位得

到4第四次将吕关于x轴对称得到与（-1,-1）；依次重复上面的4种坐标变换得到

心、皂、B、4……;若点尸的起始位置从（。,0）改为。,0），则&25坐标为.

【考点16］平面直角坐标系中的几何变换

（20-21七年级下•湖北孝感•期中）

56.如图，在三角形48c中，/B4c=90°,AB=3,AC=4,BC=5,将三角形48c沿直

线5c向右平移3个单位得到三角形。斯，连接NZK则下列结论：

©AC//DF,AC=DF；

@ZEDF=90°；

③四边形MKD的周长是18；

④M:EC=3:2；

⑤点A到3c的距离为2.4.

其中正确结论的个数有（）

A.5B.4C.3D.2

（20-21七年级下•河北石家庄•期中）

57.原来是重叠的两个直角三角形，将其中的一个三角形沿着2C方向平移4个单位长度,

就得到如图所示的图形，下列结论：①NCIIDF②进=5③Cr=4④阴影部分面积为三,

正确的有（）

试卷第16页，共22页

A.1个B.2个C.3个D.4个

（20-21七年级下•江苏南通・期末）

58.如图，在A48C中，48=6,将A48C平移4个单位长度得到△JUB/G，M是N8的中

点，则M4/的最小值为.

二、解答题

【考点17］实数的混合运算

（24-25八年级上•北京丰台•期中）

59.计算:

(I-、

/八2024/八3

⑵㈠))X--V-27x-

+(-281忖

（24-25八年级上•四川成都•期中）

60.计算:

(1)yjs1+^71—*\/3j--\[5+12—

⑵-叫+

(3)4X2-9=0

(4)2(X+1)3-54=0.

（24-25八年级上•陕西西安•期中）

试卷第17页，共22页

61.计算:

⑵飞加+"闽一员2通.

【考点18］无理数的估算、无理数整数部分综合运算

（24-25八年级上•广东深圳•期中）

62.大家知道0是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此行的小数部分我们不可能

全部地写出来，于是小欣用血-1来表示行的小数部分，因为血的整数部分是1,将这个

数减去其整数部分，差就是小数部分.请解答：

（1）、项的整数部分是，小数部分是；

⑵如果近的小数部分为。，幅的整数部分为6,求a+6-4的值.

（24-25八年级上•江苏南京•期中）

63.阅读下面的文字，解答问题：

大家知道也是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此血的小数部分我们不可能全部

地写出来，于是小明用（应-1）来表示逝的小数部分，你同意小明的表示方法吗？

事实上，小明的表示方法是有道理，因为近的整数部分是1,将这个数减去其整数部分，

差就是小数部分.又例如：•.•”＜近＜次，即2＜行＜3,.••疗的整数部分为2,小数部

分为（近-2）.

请解答：

⑴如果的小数部分为。，国的整数部分为6,求4+的值；

⑵已知：12+右=x+y,其中x是整数，且0＜”1,求无7的值.

（24-25七年级上•浙江宁波•期中）

64.阅读下列材料：

通过探究知道：亚。1.414…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，因此Q的小数部分

我们不可能全部写出来，于是小明用血-1来表示0的小数部分，你同意小明的表示方法

试卷第18页，共22页

吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为逝的整数部分是1,将这个数减去其整数

部分，差就是小数部分，又例如：•.•22＜7＜32,即2＜后＜3,.•.近的整数部分是2,小数

部分是V7-2.

(1)6的整数部分是.

(2)已知8+&=x+y,其中x是一个整数，0＜了＜1,求2x+(y-Gy°”的值.

【考点19］平面直角坐标系与图形综合

(23-24八年级上•甘肃兰州•期中)

65.在平面直角坐标系中(单位长度为1cm),已知点Z(O,m),N(〃,O),且

yJm—4+|n—6|=0,

(2)如图，若点E是第一象限内一点，且EN_Lx轴，过点£作x轴的平行线a,与y轴交于

点4,点尸从点E处出发，以每秒2cm的速度沿直线。向左移动，点0从原点。同时出发,

以每秒1cm的速度沿x轴向右移动.

①经过几秒/尸=。。?

②若某一时刻以n、。、。、尸为顶点的四边形的面积是lien?,求此时点尸的坐标？

(24-25八年级上•江西抚州•期中)

66.如图，在平面直角坐标系中，长方形0/8C的顶点/、C分别在x轴、y轴上，CB//x

轴，8/轴，点8的坐标为®6),且(a-8)2+|6-6|=0.

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八y

备用图

（1）直接写出点/的坐标为，点B的坐标为.

（2）若动点尸从原点。出发，沿了轴以每秒1个长度单位的速度向上运动，在运动过程中形

成的三角形。尸/的面积是长方形043c面积的的;时，点尸停止运动，求点尸的运动时间;

（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点0,使三角形力尸。的面积与长方形O/8C的面

积相等？若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

（24-25八年级上•浙江宁波•期中）

67.在平面直角坐标系xOy中，对于P,。两点给出如下定义：若点尸到无、了轴的距离中

的最大值等于点。到X、7轴的距离中的最大值，则称尸，。两点为“等距点如图中的尸,

0两点即为“等距点”.

备用图

⑴己知点A的坐标为（-4,2）,在点矶4,3）,F（2,-5）,G（4,-4）中，为点A的“等距点”的是

⑵若北（-2,-左一4）,《（4,4"2）两点为“等距点”,求无的值.

（3）在（2）的条件下，在备用图中画出这些“等距点”，并求出所围成的凸多边形的面积.

【考点20】相交线与平行线压轴轴（问题探究、阅读探究、延伸探究）

（24-25七年级下•全国•课后作业）

68.（1）问题发现：如图①，已知点凡G分别在直线/民CD上，且若

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NBFE=40。,NCGE=130。，则/GEF的度数为；

(2)拓展探究：如图①，已知点尸，G分别在直线上，且/3〃C。，则

NGE尸,ZBFE,NCGE之间有怎样的数量关系？写出结论并说明理由.

结论：NGEF=.

理由：如图②，过点、E作EH//AB,

:.NHEF=NBFE(),

VAB//CD,EH//AB,

■.EH//CD(),

.,.//ffiG+NCG£=180。(),

ZHEG=1^0°-ZCGE,

ZGEF=NHEF+ZHEG=.

图①图②

(21-22七年级下•河北衡水•期末)

69.【发现】如图1,CE平分乙4CD,4E平分乙BAC.

(1)当乙取。=乙4。£=45。时，AB与CD的位置关系是；

当N£/C=50。，乙4CE=40。时，与CD的位置关系是；

当乙EAC+MCE=90°,请判断与CD的位置关系并说明理由；

(2)【探究】如图2,ABWCD,M是4E上一点，乙l£C=90。保持不变，移动顶点£,使CE

平分ZMCD,血E与ZMCD存在怎样的数量关系？并说明理由，

(3)【拓展】如图3,ABWCD,P为线段NC上一定点，0为直线上一动点，且点0不与

点C重合.直接写出NCPQ+NCQP与乙B/C的数量关系.

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BBB

DC\

图1图2图3

（23-24七年级下•辽宁大连•阶段练习）

70.（1）【阅读探究】

如图1,已知是一个平面镜，光线尸。，在平面镜上经点。反射后，形成反射光线

OQ.我们称尸。为入射光线，。。为反射光线，镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的

夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即4=/2.

利用镜面反射的性质，探究：当两个平面镜OC、夹角为。时，入射光线N8和反射光线

CD平行，探究此时两平面镜的夹角a的度数，并说明理由.

【方法运用】

（2）如图3,放置4块平面镜，其中两块平面镜NZ）〃3C,另一块在两直线/。和8C之间，

四块平面镜构成四边形/BCD,光线从点。以适当的角度射出后，其传播路径为

OfPfQfAf尸-…直接写出/OP。和/。及。的数量关系.

【应用拓展】

（3）如图4,若镜子■与CW的夹角NMON=135。，增加一块平面镜NP,设镜子CW与NP

的夹角/。匹？=尸（90。<£<180。），入射光线43与平面镜0河的夹角43M=a,已知入射

光线从平面镜开始反射，经过3次反射，当反射光线与入射光线平行时，求

〃的度数（用含有。的式子表示）.（友情提示：三角形内角和等于180。）

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1.B

【分析】本题考查了垂线以及余角和补角，熟练掌握余角和补角的性质是解题的关键；

根据垂直定义可得/COD=90。，从而利用角的和差关系可得NC03=65。，然后利用邻补

角的定义，进行计算即可解答；

【详解】解：：。。，。。，

ZCOD=90°,

■：ZBOD=25°,

ZCOB=ZCOD-ZBOD=65°,

//OC的补角的大小为65。；

故选：B

2.B

【分析】本题考查了求一个角的余角与补角、垂直、对顶角相等，熟练掌握求一个角的余角

与补角的方法是解题关键.先求出//。5=124。，再求出N/OC=N8OC=g//O6=62。,

根据垂直的定义可得/CO"=90。，从而可得/BOM=28。，最后根据对顶角相等即可得.

【详解】解：）=56。，

ZAOB-180°一/4OD=124°,

•••入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，

...ZAOC=ZBOC=-ZAOB=62°,

2

•••OC1MN,

ZCOM=90°,

:"BOM=ZCOM-ZBOC=28°,

由对顶角相等得：/DON=NBOM=28°,

故选：B.

3.50°

【分析】本题考查的是垂直的定义，邻补角的含义，角的和差运算，先证明

ZMOC=ZBON,可得N/ON+NCOM=180。，再进一步解答即可.

【详解】解：・点。为直线上一点，OC1AB,OM1ON,

ZMOC+ZCON=90°=ZCON+ZBON,

ZMOC=ZBON,

答案第1页，共50页

ZAON+ZBON=180°,

■.ZAON+ZCOM=ISO°,

ZMOC:ZAON=5:13,

ZMOC=50°,

:.ZBON=50°；

故答案为：50°

4.65°或25°

【分析】本题主要考查了相交线和角平分线有关计算.熟练掌握垂线定义，角平分线定义,

余角补角定义，分类讨论，是解本题的关键.

当点厂和点C在/8同侧时，根据垂直定义得/CO尸=90°,结合48。尸=40。，得4OC=50°,

根据角平分线定义，得NCOE=25。；当点尸和点C在AB异侧时，可得乙8。。=50。，得

ZAOC=130°,得/COE=65。.

【详解】解：当点尸和点C在42同侧时，

于点。，

ACOF=90°,

NBOF=40°,

...ZAOC=180°-(ZCOF+ZBOF)=50°,

•••OE平分1/OC,

.-.ZCOE=~ZAOC=25°；

2

当点尸和点C在/8异侧时，

•••NCOF=90°,

：.NBOC=NCOF-ZBOF=50°,

NAOC=180。一ABOC=130。，

ZCOE=-ZAOC65°.

2

故答案为：65。或25。.

答案第2页，共50页

5.C

【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，过E作过歹

忤FN〃AB,由NECF=；NECD,可得ZFCD=50。，由可得

ZMEC=ZECD=15°,ZEAB=ZMEA=60°,由尸N〃AB可得NFAB=NNFA=30。,

/NFC=/FCD=50。,最后根据/4FC=/NFC—/NE4求解即可.

【详解】解：如图，过E作〃/过产作RV〃45,

•:/ECF=L/ECD,/ECD=75。，

3

Z£,CF=-x75°=25°,

3

・•.ZFCD=/ECD-ZECF=50°,

•・•EM//AB,

・•・AMEA=/EAB,

•・•AB//CD,

：,EM//CD,

ZMEC=ZECD=15°,

•・•//EC=15。，

ZEAB=ZMEA=ZMEC-ZAEC=75°-15°=60°,

•・•AF平分NBAE,

/FAB=L/EAB=3。。,

2

,:FN〃AB,

・•.NFAB=NNFA=30。，

答案第3页，共50页

•・•AB//CD,

：.FN//CD,

•••ZNFC=ZFCD=50°,

・•./AFC=/NFC-ZNFA=50°-30°=20°,

故选：C.

6.D

【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，过£作斯〃48,财AB〃CD〃EF,

然后根据平行线的性质和角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】解：如图，过E作EF〃4B,

•••AB〃CD,

・•.AB//CD//EF,

；.NCDE+/DEF=180。,ZA=ZAEF,

•・•/DEF=ADEA-ZAEF,

：.ZDEF=Z/3-Zaf

.・・々+//一/。=180。，

故选：D.

7.AF//BC70。##70度

【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是掌握平行线的判定定理和性质定理.

(1)由。£〃/。可得N2=NC,等量代换得出/1=NC,即可证明4尸〃5C；

(2)由/尸〃5c可得/8+/氏4尸=180。，再根据/1=/2=80。，即可求解.

【详解】解：(1)vDE//AC,

/.N2=NC,

Nl=N2,

Z1=ZC,

AF//BC,

答案第4页，共50页

故答案为：AF//BC；

(2)•••AF//BC,

：.ZB+ZBAF=1^0°,

ZBAF=180°-ZS=180°-30°=150°,

VZ2=80°,Z1=Z2,

Z1=80°,

ABAC=NBAF-Zl=150°-80°=70°,

故答案为：70°.

8.①②③

【分析】本题主要考查了垂直、平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题

关键.根据平行线的判定可得DE〃8C,由此即可判断③正确；根据平行线的性质即可判

断①正确；过点A作/尸_L/C,则/尸〃DE,根据平行线的性质可得NCU尸再

根据垂直的定义可得/8/C+/CM尸=90。，Z2+ZADE=90°,由此即可判断②正确；假设

/B+/DCE=90°,则NB=/A4C,再根据平行线的性质可得=,从而可得

NB4C=NDAF=45。,由此即可判断④错误.

【详解】解：■.■ACLBC,DEYAC,

.■.DE//BC,则结论③正确；

Zl=Z2,则结论①正确；

如图，过点A作/尸，/C,

-.AF//DE,

•••ZDAF=ZADE,

又「力尸"LNC,CDLAB,

ZBAC+ZDAF=90。，Z2+ZADE=90°,

；.N2=NBAC,则结论②正确；

假设NB+/DCE=90。，

答案第5页，共50页

---ACLBC,

.•.N1+NOCE=90°,

•••/B=N1,

由①②可知，Z1=Z2=ABAC,

:.乙B=ABAC,

■■AF//DE,

•••ZB=ZDAF,

ABAC=ZDAF,

X-AF1AC,

ZFAC=90°,

."BAC=ZDAF=45°，但根据已知条件不能得出ABAC=45°,

•,・假设不成立，即结论④错误；

综上，正确的结论为①②③，

故答案为：①②③.

9.C

【分析】当尸C1/8时，PC的值最小，利用面积法求解即可.

【详解】解：在放中，乙4cB=90°,AC=3,BC=4,AB=5,

•••当尸CL42时，PC的值最小，

此时：A48C的面积=

...5PC=3X4,

.♦.PC=2.4,

故选：C.

【点睛】本题主要考查了垂线段最短和三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求

iW].

10.C

【分析】延长£尸过点C作于点G,先证明点N、C、£在同一直线上，根