2024-2025学年人教版八年级数学下册 第十七章 勾股定理与几何辅助线压轴题30道（原卷版）

第十七章勾股定理与几何辅助线压轴题精选30道

【人教版】

一.选择题（共10小题）

1.已知，如图在三角形48c中，AC=4,ZA=30°,ZABC=15°,延长/C到点D,使得DC=/C,

则BD的长为（）

A.5B.3百

2.四边形/3C。的边长如图所示，对角线NC的长度随四边形形状的改变而变化.当△N8C为等腰三角形

时，△48C的面积为（）

A.3V32B.3V7D.15

3.如图，在△N8C中，AB=AC,£是边上一点，连接CE,在8c的左侧作8尸〃NC,且8尸=，£,连

接CF.若NC=26,BC=20,则四边形班FC的面积为（）

A.120B.240

4.如图，△/8C中，ZC=90°,的垂直平分线分别交/8、NC于点。、E,若BC=返，AE-.EC=3：

2,则48的长为（）

A.V41B.V30c.V10D.3

5.如图，在中，斜边48=6,以4C为边向△45C外作等边三角形/CD,以5C为腰作等腰RtA

BCE,连结。£若/C为Q,BC为b,DE为c,则下列关系式成立的是（

A.ab+S=c2B.a2+b2=2c2D.ab+36=c2

6.如图，在△45C和△45。中，AB=AC=AD,ACLAD,于点E,的反向延长线与她交于

点R连结CD,则线段5RDF,CD三者之间的关系为（）

A.BF-DF=CDB.BF+DF=CD

C.BF2+DF2=CD2D.2BF-2DF=CD

7.如图，△45C与△4CQ均为直角三角形,且N4c5=NG4Z)=90°,AD=2BC=12,AB：BC=5：3,

点E是5。的中点，则ZE的长为（）

A.3B.5C.4D.6

8.如图，四边形4BCD中，对角线NCLHD,点F为8上一点，连接/尸交3。于点E,AFLAB,DE

DF,/BAG=/ABC=45°,BC+4G=20VLAE=2EF,则/尸=()

A.12B.8V2C.10。・理

9.如图，在△NBC中，NO_L5C于点D,BF平分NABC交AD与点、E,交/C于点尸，AC=\3,AD=12,

8c=14,则的长等于（）

9

A.-B.5

10.如图，△4BC中，NC=90°,AC=BC=g,将△NBC绕点/顺时针方向旋转60°至！的位置,

连接CB,则CB的长为（）

A.2-V2B.亨

二.填空题（共10小题）

11.如图，在△48C中，AB^AC,点。在边/C上，且4D=AD,过点/作交8。的延长线于

点£,若/E=6,BC=2近0,则3。的长为

A

--------------C

12.如图，在△ABC中，8DLNC,点E是NB的中点，BD于CE交于F点、,MFB=FC,ZC=£C=10时,

则BC的长是.

13.如图，四边形/BCD中，ZABC=ZADC=60°,ZBAD>90°,ACLBC,若N8=2,AD=近,则

BD的长为.

14.如图，在△/BC中，NB=90°，点。在线段2C上，点E在线段4。上，ZBAC=ZDEC=~ZADB,

CD=6,AB=12五,则线段8。的长为.

15.如图，Rt4/BC中，ZACB=90°,AC=BC,BC上有一点。，连接4D,作且/£=/£>,

连接BE交AC于点F,使EF=V26CF,当CD=6时，则CF=.

16.如图，在四边形/BCD中和，AB=BC=6,ZABC=60°,ZADC=9Q°.对角线NC与8。相交于点

E,若BE=3DE,则矶）

17.如图，在△4BC中，AD是/C边上的中线，AE1是△48。中2。边上的中线，若/CAD=60°,ZAEB

=150°,BD=4,则N8=.

18.如图，△N8C中，BC=8,AC-AB=3,。是△48C外一点，且N/CD+N/AD=180°,CD=BD.若

ADLCD,则△BCD的面积是.

19.如图，在等腰△/8C中，4B=/C=10,3c=12,4D为△/8C的中线，FE1垂直平分48交/。于点

20.如图，在△/8C中，AB=AC,BC=12百，CD=20,NADB=30。，^CAD=3^BAD,则8。的长

为.

三.解答题(共10小题)

21.在△A8C和△/£>£中，点。在BC边上，/BAC=NDAE=cc,AD=AE.

(1)AB—AC.

z)如图1,当a=90°时，连接EC,猜想并求线段。8,DC,DE之间的数量关系；

ii)如图2,当a=60°时，过点/作的垂线，交8c边于点尸，若8c=8,BD=2,求线段CF的长；

(2)如图3,已知a=90°,过点/作。£的垂线，交BC边于点、F,若力B=4而，AC=2近,当CF=

1时，则线段8。的长为.

22.已知△/BC是等腰直角三角形，ZACB=90°.

(1)如图1,点M在斜边N8上，且NC=1+打，K4=VL则线段儿必=,MC

(2)如图2,点M在△48C外，MA=2,MC=5,ZAMC=45°,求A/&

(3)如图3,点〃在△48C外，M4=3,MB=3近,MC=6,求NC.

M

图3

23.已知△NBC中，/BAC=9Q°,AB=4C.

(1)如图1,当8、C、M、N在同一直线上，且/M4N=45°,BM=\,CN=2时,MN：

(直接写出计算结果)

(2)如图2,当2、C、M、N在同一直线上，且/〃NN=135°时，写出线段8M、CN、MV之间的数

量关系，并加以证明;

(3)如图3,当BML4B于点B,CN_L4C于点C,BM=CN=2®且NM4N=135°时，直接写出线

段的值.

图2图3

24.(1)如图1,在RtZ\48C和RtZXADE1中，/B4C=/D4E=9Q°,AB^AC,AD=AE,且点。在5c

边上滑动(点。不与点8,C重合)，连接EC.求证：B»+CD2=2AD2；

［拓展延伸］

(2)如图2,在四边形/BCD中，/ABC=/ACB=NADC=45°.若BD=17cm,CD=8cm,求40

的长；

(3)如图3,把斜边长都为18c加的一副三角板的斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间

的是巨离48长为cm.

25.如图，等腰△/8C和等腰AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=a.

(1)如图1,a=60°,//OC=30°,40=6,CD=8,求线段2。的长度；

(2)如图2,a=120°,点M、N在线段8c上，ZMAN=60°,BM=MN,求证：MN=CN；

(3)如图3,a=90°,连接BE和CD,若NC=6,ND=4,BE=5,直接写出CD的长

为.

26.学完勾股定理后，小宇碰到了一道题：如图1,在四边形中，ACLBD,垂足为。，若AB=5,

CD=4,BC=6,则4D的长为.

他不会做，去问同桌小轩，小轩通过思考后，耐心地对小宇讲道：“因为NCLBO,垂足为O,那么在

四边形/3CD中有四个直角三角形，利用勾股定理可得/〃2=0/2+002,BC2=OB2+OC2,AB-=

OA2+OB2,CD2^OC2+OD2-"小轩话没讲完，小宇就讲道：“我知道了，原来/£>2+8C2与/32+CD2

之间有某种数量关系.”并对小轩表示感谢.

(1)请你直接写出的长.

(2)如图2,分别在△/2C的边BC和边N8上向外作等腰RtZkBCQ和等腰RtA43P,连接PC,PQ.

①若/C=4,BC=8,连接/Q,交PC于点、D,当N/C8=9(T时，求P。的长；

②如图3,若48=10,BC=8,PC=8百，当/NC3W90°时，求△48C的面积.

27.如图，点。为等边△NBC边NC上一点，点£为射线8c上一点

(1)若点£在边2C上且CE=4D,求证：/BFE=6Q°；

(2)若点E在线段5c的延长线上，连接力£交8。的延长线于点G,当8G=8C时，求证：BD=

AD+CE；

(3)在(2)的条件下，若CD=5,BE=T2,则48=

28.已知△/C2是等腰直角三角形，CA=CB,

(1)如图1,△CDE是等腰直角三角形，点。在AB的延长线上，CD=CE,连接2D,求证：BEL

AB-,

(2)如图2,点/是斜边上动点，点G是N8延长线上动点，总有NPC8=NCGR探究NFGF,

2G的数量关系，并说明理由；

(3)如图3,点〃是/C一点，连接EH,若/HFC=45°,AF=m,BF=n,直接写出△CHF的面积

为(用小，n表示).

29.在等腰△N8C中，AB=AC,。为8c上一点，£为/。上一点，连接BE,CE,NBAC=/CED=2/

BED—2x.

(1)如图1,若x=45°,求证：CE=2AE；