2024-2025学年人教版八年级数学下册同步训练：菱形（2个知识点+4类热点题型+习题巩固）解析版

第04讲菱形

'学习目标

课程标准学习目标

1,熟悉菱形的定义，掌握菱形的性质，并能够熟练的应用性质。

①菱形的定义与性质

2,掌握菱形的判定方法，能够熟练的选择合适的判定方法判定菱

②菱形的判定

形。

思维导图

知识点《除的判定

菱形利用菱形求不

\/利用菱形的性质求♦的度数

题型(利用菱形的性质求点的坐标

菱形的一定与性质综合

Lb

知识清单

知识点01菱形的定义与性质

1.菱形的概念：

有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

2.菱形的性质：

①菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形所有的性质。

特殊性：

②边的特殊性：四条边都相等。

即：AB=BC=CD=AD

③对角线的特殊性：对角线相互垂直且平分每一组对角。

即：/C±BD,且/£UC=ABAC=ADCA=ZBCA,

NADB=/CDB=NABD=/CBD。

④面积计算：等于对角线乘积的一半。即S菱形

⑤对称性：既是中心对称图形，也是轴对称图形。

【即学即练1】

I.下列关系中，是菱形的性质但不是平行四边形的性质的是（）

A.对角线垂直B.两组对边分别平行

C.对角线互相平分D.两组对角分别相等

【分析】根据平行四边形的性质和菱形的性质对各选项进行判断.

【解答】解：/、菱形的对角线互相垂直平分、平行四边形的对角线互相平分，符合题意；

8、菱形、平行四边形的对边平行且相等，不符合题意；

C、菱形、平行四边形的对角线互相平分，不符合题意；

。、菱形、平行四边形的两组对角分别相等，不符合题意；

故选：A.

【即学即练2】

2.如图，在菱形N8CD中，AB=5,对角线NC=6.若过点/作NE_L8C,垂足为E,则NE的长为（）

A.4B.2.4C.4.8D.5

1

【分析】连接3D,根据菱形的性质可得/CL2D,AO=~AC,然后根据勾股定理计算出80长，再算

1

出菱形的面积，然后再根据面积公式BC'AE=-AC-BD可得答案.

【解答】解：连接AD,交/C于。点，

.四边形/8CD是菱形，

:・AB=BC=CD=AD=5,

1

：.ACLBD,AO=-ACfBD=2BO,

/.ZAOB=90°,

U：AC=6,

：.AO=3,

A5O=V52-32=4,

・・・Q5=8,

11

・•・菱形ABCD的面积是5xAC・DB=]X6X8=24,

:・BC・AE=24,

•:BC=AB=5,

24

•\AE=—=4.8,

【即学即练3】

3.如图，菱形48CD,/B=60°,E,尸分别是C8,CD上两点，连接AF,EF,且/E4尸=60°,

如果a,则下列说法错误的是（）

A.ZCEF—aB.NFAD=60°-a

C./EFC=6Q°-aD./4FD=90°-a

【分析】证出△4BEqZUC/（4SL4）.ZFAD^60°-a,得出N3=N/C尸=60°,AE=AF,证明△

/斯是等边三角形，得出N/E&=60°,可得出答案.

【解答】解：连接ZC,EF,

•.•四边形/BCD是菱形，

：.AB=BC,AB//CD.

：.ZB+ZBCD=1SO0.

VZB=60°,

...△48C是等边三角形，ZBCD=120°.

：.ZBAC=ZACB^60°,AB^AC.

；・NACF=NB=60°.ZCAD=60°，

VZEAF=60°,

AABAC-/CAE=NEAF-/CAE.

：.ZBAE=ZCAF=a.

•・•△ABE咨AACF(ASA).NFAD=60°-a,

ZB=ZACF=60°,AE=AF,

VZEAF=60°,

・・・/是等边三角形，

ZAFE=60°,

・•・/是等边三角形，

AZAFE=60°,

ZAFC=/FAD+ND,

ZEFC=ZFAD=60°-a,

：・/CEF=cc,

不能证出NZFZ)=90°-a,

故选：D.

【即学即练4】

4.如图，在菱形45C。中，对角线4。、5。交于点O,点G是45的中点，若OG=2.5,BD=8,则菱形

ABCD的面积是()

【分析】根据菱形的性质和已知条件可得OG是斜边上的中线，由此可求出的长，再根据

勾股定理可求出OA的长，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可.

【解答】解：•・•菱形

1

：.ACLBD,AC=2AO,BO=~BD,

VOG=2.5,BD=8,

：.AB=2OG=5,80=4,

•9•AO—yjAB2-BO2—3,

/.AC=2AO=6f

1

・,・菱形48CZ）的面积是yC•BD=24.

故选：c.

知识点02菱形的判定

1.菱形的判定:

判定方法文字语言数学语言图形

四条边都相等的9：AB=BC=CD=AD

直接判定

四边形是菱形，四边形N3CO是菱形

A

邻边相等的平行:在口/80中，AB=AD

0

平行四边形四边形是菱形...四边形/BCD是菱形

加特殊性对角线相互垂直的•在口488中，ACLBDC

四边形是菱形二四边形是菱形

【即学即练1】

5.下列条件中，能判定四边形是菱形的是（）

A.对角线垂直

B.两对角线相等

C.两对角线互相平分

D.两对角线互相垂直平分

【分析】由对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形/BCD是平行四边形，再由对角线互相垂

直的平行四边形是菱形，即可得出结论.

【解答】解：能判定四边形是菱形的是两对角线互相垂直平分；理由如下：如图所示：

\'OA=OC,OB=OD,

，四边形/8C。是平行四边形，

'JACLBD,

，四边形/BCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）；

故选：D.

【即学即练2】

6.己知：如图，在四边形中，AD//BC,对角线NC的垂直平分线与边2C分别相交于点A

F.求证：四边形ZFCE是菱形.

AED

【分析】根据平行线的性质得出乙以根据全等三角形的判定得出月会△COR根据全

等三角形的性质得出OE=OR根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，根据线段垂直平分线

求出4E=C£,即可得出答案.

【解答】证明：・・ZQ〃BC,

・•・/EAO=/FCO,

,・7C的垂直平分线是

：.AO=CO,

在△4OE和△CO厂中

（Z.EAO=乙FCO

\OA=OC

U1E04=乙COF

：.LAOE丝LCOF,

：.OE=OF,

9

：OA=OCf

・・・四边形4/CE是平行四边形，

・・•斯是4C的垂直平分线，

:・AE=CE,

,平行四边形47PE是菱形.

题型精讲

题型01用菱形的性质求线段长度

【典例1】菱形4BCD中，若对角线/C=8cro,BD=6cm,则菱形/BCD的周长是（）

A.25B.20C.15D.10

11

【分析】首先根据菱形的性质可得NO=pC,BO^-DB,ACLBD,AB=CB=CD=AD,进而得到NO

和2。的长，然后再利用勾股定理计算出长，再计算菱形的周长即可.

【解答】解：：四边形/BCD是菱形，

11

：.AO=~AC,BO=~DB,ACLBD,AB=CB=CD=AD,

'.'AC=8cmfBD=6cm,

.9.AO=4cm,BO=3cm,

'•AB=AO2+BO2—5cm,

・•・菱形的周长是：5cmX4=20cm,

【变式1】如图，在菱形/5CQ中，对角线ZC、3。相交于点。，点”为边的中点.若菱形43cZ）的

周长为20,则的长为（）

5

A.-B.4C.5D.10

【分析】由菱形的性质得45=08=。。=/。，ACLBD,则N4OD=90°,iAB+CB+CD+AD=4AD=

15

20,求得/。=5,而点H为边4。的中点，则于是得到问题的答案.

【解答】解：・・•四边形是菱形，对角线/C、相交于点O,

:・AB=CB=CD=AD,ACLBD,

：.ZAOD=90°,

菱形ABCD的周长为20,

AB+CB+CD+AD=44。=20,

：.AD=5,

・・•点〃为边4。的中点，

15

：.OH=-AD=~,

故选：A.

【变式2】如图，四边形是菱形，对角线/C、8D交于点O,DE_LAB于点、E,/是线段力。的中点,

5

连接。咒若04=4,0F=~,则DE的长为（）

D

6121824

A.~B.-C.-D.-

【分析】由菱形的性质得OA=OC,OD=OB,则N49D=90°,因为尸是线段4。的中点,

。产=万，所以。尸=?。=万，则45=40=5,而04=4,则ZC=2CM=8,OD=y/AD2-OA2=所

124

以BD=2OD=6,由8菱形/8。。=5。£=万乂8><6,求得。石=三",于是得到问题的答案.

【解答】解：・.•四边形/5C。是菱形，对角线ZC、BD交于点O,

：.ACLBD,OA=OCfOD=OB,

：.ZAOD=90°,

5

•・•月是线段力。的中点，OF=5

15

/.OF=—AD=­,

.\AB=AD=5,

,・Q=4,

2222

.'.AC=2OA=8fOD=AD-0A=V5-4=3,

：.BD=2OD=6,

1

,**S菱形ABCD=5DE=5x8X6，

24

'.DE=—,

故选：D.

【变式3】如图，在菱形45cZ）中，N4=60°,点E,尸分别在边45,5C上，ZEDF=6Q°,BF=林,

BE=1,则8。的长为（）

A.V6B.V3+1C.V6+1D.2V3—1

【分析】先证明△4血）是等边三角形，再根据证明△ZDEgZSBD尸，得到4E=5/=迎，进而可求

解48的长，即可求解.

【解答】解：•..四边形NBC。是菱形，

J.AB^AD,AD//BC,

VZA=60°,

...△42。是等边三角形，N/8C=180°-ZA=12O°,

：.AD=BD,ZABD=ZA=ZADB=ZDBC=6Q°,

VZEDF=60°,

NADE=NBDF,

在△/£)£1和△AD尸中，

(7.A=/.DBF

\AD=BD,

V^ADE=4BDF

:.4ADE4ABDFCASA),

；.AE=BF=«,

'：BE=\,

：.BD=AB=AE+BE=V6+1.

故选：C.

【变式4】如图所示，在边长为2的菱形/BCD中，/DAB=60°,WE为AB中点,点尸是/C上一动点,

则£尸+2厂的最小值为_V§_.(提示：根据轴对称的性质)

【分析】首先连接。瓦DE,设DE交4c于M,连接MB,DF.证明只有点尸运动到点加时，EF+BF

取最小值，再根据菱形的性质、勾股定理求得最小值.

【解答】解：连接。8,DE,设交/C于连接A®,DF,

.四边形43CD是菱形，

.,.AC,互相垂直平分，

/.点2关于NC的对称点为D,

：.FD=FB,

：.FE+FB^FE+FD》DE.

只有当点尸运动到点M时，取等号（两点之间线段最短），

△48。中，AD=AB,NDAB=60°,

•*.£\ABD是等边三角形.

为的中点，

:.DEL4B,

1______

.,.AE=~AD^1,DE=JAD2-AE2=V22-12=V3>

C.EF+BF的最小值为百.

题型02利用菱形的性质求角的度数

【典例1］如图，在菱形48CD中，对角线/C与3。相交于点。，OE±AB垂足为E,若N2CD=50°,

则N20E的大小为（）

D

A.24度B.25度C.40度D.65度

【分析】由菱形的性质得NA4D=N8CD=50°,48=/。，/C_L8。，则N8/O=40/0=25°,ZAOB

=90°,ffijOELAB于点E,即可由NBOE+N/2O=90°,ZBAO+ZABO^90°,推导出N8OE=N

BAO=25°,于是得到问题的答案.

【解答】解：•..四边形/BCD是菱形，对角线/C与相交于点。，

；./BAD=NBCD=50°,AB=AD,ACLBD,

1

ABAO=ZDAO=~ZBAD^25°,NAOB=90°,

'JOELAB于点E,

：.NOEB=90°,

VZBOE+ZABO=90°,ZBAO+ZABO=90°,

:./BOE=NBAO=25°,

故选：B.

【变式1】如图，四边形48CD是菱形，对角线NC、8。相交于点O,DHLBC于点、H,连接。//,ZBAD

=56°,则的度数是（）

D

A.38°B.34°C.28°D.24°

【分析】首先根据菱形的一组邻角互补可以求出N/5C=124。，再根据菱形的对角线互相平分且每组对

1

角线平分一组对角可得4。8"=/48。=5乙48。=62。、OB=OD,所以可得N5O〃=28°,根据直角三

角形的斜边等于斜边的一半可得80=。。，根据等边对等角可得/。〃0=/助0=28°.

【解答】解：如下图所示，

由菱形性质可得NHW+NZBC=180°,

VZBAD=56°,

VZABC=124°,

1

"DBH=AABD=~AABC=62°,

■:DHLBC,

：.ZDHB=9G°,

在RtZXDB”中，ZBDH=90°-/DBH=90°-62°=28°,

•；OB=OD,

・••点。是5。的中点，

:・HO=DO,

：.ZDHO=ZBDO=28°.

故选：C.

【变式2】如图，在菱形/BCD中，ZABC=66°,对角线4C,BD交于点O,£为。。的中点，连接

则N/QE的度数为（）

A.114°B.120°C.123°D.147°

【分析】由菱形的性质求得ND3C=33°,N/OD=90°,根据三角形中位线定理得到0E〃8C,求得

/DOE=33°,据此求解即可.

【解答】解：：在菱形N8CD中，ZABC=66°,

1

：.ADBC=~^ABC=33°,ZAOD=9Q°,。为3。的中点，

为CD的中点，

是△D5C的中位线，

J.OE//BC,

：.ADOE=ZDBC=33°,

ZAOE=900+33°=123°,

故选：C.

【变式3】如图，在菱形488中，N4BC=a,点E为对角线8。上一点，尸为/。边上一点，连接CE,

EF,若CE=EF,CELBD,则NDEF一定等于()

1

A.aB.90°--aC.90°-aD.90°+a

【分析】连接/C,根据菱形的性质证得“CUD,NABE=NCBE=NADE=*,AB=CB,进而得到/

a

EAD=90°一］，证明之△CBE("S),得至"4E=EC=EF,由等腰三角形的性质得到NEE4=N

a

EAD=90°-万，根据三角形内角和定理和直角三角形的性质即可求得答案.

【解答】解：连接4C,

・・•四边形/BCD是菱形，E点在对角线5。上，ACLBD,

1a

:・/ABE=/CBE=NADE=q/ABC=；,AB=CB,

a

：.ZEAD=90°-ZADE=90°

■:CELBD,

.,.A,E,C三点共线，

在△48E和△CBE中，

AB=CB

Z.ABE=Z.CBE,

BE=BE

：./\ABE^/\CBE(SAS),

：.AE=EC,

♦：CE=EF,

:・AE=EF,

a

：.ZEFA=ZEAD=90°一,，

aa

：.ZAEF=1SO°-(90°一］)-(90°--)=a,

:./DEF=9。。-ZAEF=90°-a.

故选：C.

题型03利用菱形的性质求点的坐标

【典例1】如图，菱形。45c的顶点C在x轴的正半轴上，顶点/的坐标为(-3,4),顶点2的坐标为

【分析】过点4作于点。，过点8作8£_LOC于点E,利用矩形的性质，菱形的性质，勾股定

理解答即可.

【解答】解：过点/作/DLOC于点D,过点2作8ELOC于点E,

J.AD//BE,ZADO=90°,

:四边形。/2C是菱形，

：.OA=AB,AB//OC,

二四边形ZDE3是矩形，

：.AD=BE,AB=DE,

•••点/的坐标为（-3,4）,

：.AD=4,0D=3,

OA=JAD2+OD2=5,

:.BE=4,AB=DE=5,

：.OE=DE-OD=2,

:,点、B(2,4).

故答案为：(2,4).

【变式11如图，在菱形/BCD中，AB//y^,且8(-1,-2),C(3,1),则点N的坐标为(

1,3).

【分析】过8作于点河，与y轴交于点N,由勾股定理求出8C=5,再由菱形的性质得N3

BC=5,即可解决问题.

【解答】解：如图，过8作于点与y轴交于点N,

BM=MN+BN=3+1=4,CM=CE+EM=1+2=3,

•..四边形/BCD是菱形，

：.AB=BC,

在Rt^BCW中，由勾股定理得：BC=NBM2+CM?=&+32=5,

：.AB=BC=5,

：.AF=AB-BF=5-2=3,

轴，

.,.点N的坐标为（-1,3）,

故答案为：（-1,3）.

【变式2】如图，菱形N8CD的对角线交于原点O,若点8的坐标为（4,加），点。的坐标为（〃，2）,

【分析】根据平行四边形的性质得到OB=OD,进而得到点B与点D关于原点。对称，由此得到m=-

2,n=-4,求出答案.

【解答】解：•..四边形N8C。为平行四边形，

：.OB=OD,

•：aABCD的对角线交于原点0,

二点B与点D关于原点O对称，

・••加=-2,n=-4,

m+n--6,

故选：D.

【变式3】如图，在坐标系中放置一菱形。N2C,已知N/5C=60°,点8在y轴上，。/=1,先将菱形

CM2C沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°,连续翻转2017次，点3的落点依次为B2,

C.(1345,彳)D.(1345.5,0)

【分析】连接NC,根据条件可以求出/C,画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，容易发现规律:

每翻转6次，图形向右平移4.由于2017=336X6+1,因此点以向右平移1344（即336义4）即可到达

点台2017，根据点的坐标就可求出点32017的坐标.

【解答】解：连接NC,如图所示.

•..四边形。/8C是菱形，

.,.OA=AB=BC=OC.

VZABC^60°,

J.AABC是等边三角形.

J.AC^AB.

：.AC=OA.

：.AC=].

画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，如图所示.

由图可知：每翻转6次，图形向右平移4.

,-•2017=336X6+1,

.•.点以向右平移1344（即336X4）到点以017・

:4的坐标为（1.5,,

•••52017的坐标为(1.5+1344,,

•*,^2017的坐标为(1345.5,.

题型04菱形的判定与性质综合

【典例1】如图，在△48C中，BA=BC,。是边NC上的中点，延长80至点D,使得08=0。，DELBC

于点E.

（1）求证：四边形/BCD是菱形.

（2）若CD=5,DE=4,求NC的长.

【分析】（1）根据平行四边形的判定和菱形的判定解答即可；

（2）根据勾股定理得出CE,进而利用菱形面积公式解答即可.

【解答】（1）证明：是边/C上的中点，

：.AO^OC,

'：OB=OD,

，四边形/3CD是平行四边形，

•:BA=BC,

，四边形/BCD是菱形；

（2）解：'：DE±BC,

:.NDEB=90°,

由勾股定理可知，CE=7CD2-DE2=752-42=3,

由（1）,可得3C=CD=5,

：.BE=BC+CE=8,

在RdDBE中，=VBE2+DE2=Vs2+42=4立，

11「

,；S菱形4BCD=BC-DE=2AC,BD.5X4=-X4^5AC,

：.AC=2^5.

【变式1】如图，在RtZUCE中，N/CE=90°,点。是/E的中点，连接CD,过点C作C2〃/E,过点

/作4B〃CD,CB,AB交于点B,连接AD.

（1）求证：四边形/BCD是菱形；

（2）连接2E交NC于点G,交CD于点尸，若BD=BC,CD=4,求。G的长.

【分析】（1）由N/CE=90°，点。是ZE的中点，得CD=AD=》4E,由C8〃4E,AB//CD,证明

四边形N2CD是平行四边形，则四边形/2CO是菱形；

（2）由菱形的性质得NCLBD,BC=CD,则8D〃CE,可证明四边形8CED是平行四边形，而

1

BC,CZ)=4,则四边形5C£Q是菱形，BD=BC=CD=4,所以05=0。=万5。=2,ZCBD=60°,BE

LCD,求得尸=30°,则5G=2OG,由=NBG2-0G2=百OG=2,求得OG=等.

【解答】(1)证明：•••//CE=90°,点。是/£的中点，

1

CD=AD=ED=

YCB//AE,

:・CB〃AD,

•：AB〃CD,

・・・四边形ABCD是平行四边形，

\9CD=AD,

・•・四边形45CQ是菱形.

(2)解：•・,四边形45CZ)是菱形，

C.ACLBD,BC=CD,

；・/BOC=NACE=90°,

J.BD//CE,

,:CB//DE,

・・・四边形BCED是平行四边形，

•:BD=BC,CD=4,

・•・四边形5CEZ)是菱形，BD=BC=CD=4,

1

：.OB=OD=-BD=2,ZCBD=60°,BELCD,

1

ZDBF=ZCBF=-ZCBD=30°,

：.BG=2OG,

*.*OB=yjBG2-OG2=7(2OG)2-OG2=V^OG=2,

・“28

・・OG=3,

；.OG的长是手.

【变式2】如图，口48("＞对角线/C,8。相交于点O,过点。作。E〃NC且。E=OC,连接C£,OE,

OE=CD.

(1)求证：C748CD是菱形；

(2)若AB=2,ZABC^60°,求/E的长.

AD

【分析】（1）先证四边形。CEZ）是平行四边形.再证平行四边形。CE。是矩形，则NCOO=90°,得

ACLBD,然后由菱形的判定即可得出结论；

（2）证△48C是等边三角形，得NC=/3=2,再由勾股定理得OD=百，然后由矩形的在得CE=O。=

百，ZOCE=90°,即可解决问题.

【解答】（1）证明：'：DE//AC,DE=OC,

：.四边形OCED是平行四边形.

"：OE=CD,

平行四边形OCE。是矩形，

：.ZCOD=9G°,

：.AC±BD,

.•.□/BCD是菱形；

（2）解：：四边形/BCD是菱形，

：.OA=OC,CD=AB=BC=2,ACLBD,

VZABC=60°,

：./\ABC是等边三角形，

:.AC=AB=2,

：.OA=OC=\,

在Rt/XOCD中，由勾股定理得：OD=hD2_0C2=限

由（1）可知，四边形OCEO是矩形，

:.CE=OD=®ZOCE=90°,

'-AE=YIAC2+CE2=J22+（75）2=V7，

即AE的长为V7.

【变式3】如图，△/2C中，AC=2AB,NO平分/A4C,过点C作交/。延长线于点K,点尸是

NC中点，连接EREB.

（1）证明：四边形跖是菱形；

（2）若NA4c=120°,AB=277，求边3c的长.

A

【分析】(1)由直角三角形的性质得/F=CF=EF=yC,则又AC=2AB,则

AF=EF,从而证明"4〃环，即可证明四边形45跖是平行四边形，再由菱形的判定方法即可求证；

(2)作昉JL4C交C4延长线于点7/,则N/7ffi=900,通过勾股定理即可求解.

【解答】(1)证明：・・・CE，/E,

/.ZAEC=90°,

・・,点厂是4c中点，

1

：.AF=CF=EF=~AC,

：.ZFAE=ZFEA,

■;AC=2AB,

：.AB=AF=EF,

平分NH4C,

・・・/BAE=/FAE,

：./BAE=/FEA,

:・BA〃EF,

・••四边形ABEF是平行四边形，

■:AB=AF,

・•・四边形4BEF是菱形;

(2)解：作昉LL4C交C4延长线于点则N4/ra=90°,

VZBAC=120°,

:・NBAH=60°,

AZABH=30°,

1一

:,AH=^AB=S，

'：AC=2AB,

：.AC=2AB=4y[7,

：.CHAH+AC5V7,

由勾股定理得：BH=y/AB2-BH2=J(277)2—(77)2=①，

在中，由勾股定理得：Be?=•2+CH2=J(®」+(SV?」=14,

.♦.BC的长为14.

强化训练

1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）

A.两组对边分别相等B.两组对边分别平行

C.对角线互相垂直D.有一个角是直角

【分析】根据菱形的性质、平行四边形的性质逐项进行判断即可.

【解答】解：根据菱形的性质、平行四边形的性质分别判定：

/、菱形、平行四边形的两组对边都相等，不符合题意；

5、菱形、平行四边形的两组对边都平行，不符合题意；

C、菱形的对角线互相垂直，一般平行四边形对角线不互相垂直，符合题意；

。、菱形、平行四边形不一定都有一个角是直角，不符合题意；

故选：C.

2.在下列条件中选取一个作为增加条件，能使口/BCD成为菱形的是（）

A.AC=BDB.AB=DCC.ACA.BDD.AD//BC

【分析】由四边形N8C。是平行四边形，且ZC=B。，可证明四边形/8C。是矩形，但不一定是菱形，

可判断/不符合题意；由平行四边形的性质得AD//BC,但由或NO〃8C不能证明

四边形/BCD是菱形，可判断2不符合题意，。不符合题意；由四边形/BCD是平行四边形，且NC,

BD,可证明四边形Z2CD是菱形，可判断C符合题意，于是得到问题的答案.

【解答】解：：四边形/BCD是平行四边形，且NC=AD,

四边形/BCD是矩形，但不一定是菱形，

故/不符合题意；

;平行四边形的两组对边分别相等，

.•./8=DC,但由AB=DC不能证明四边形ABCD是菱形，

故2不符合题意；

.••四边形/BCD是平行四边形，^.ACLBD,

四边形4BC。是菱形，

故C符合题意；

•••平行四边形的两组对边分别平行，

：.AD//BC,但由不能证明四边形48co是菱形，

故。不符合题意，

故选：C.

3.若菱形/BCD的边的长为2cm,则菱形的周长为（）

A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm

【分析】根据菱形的性质即可得到结论.

【解答】解：•.•菱形/BCD的边48的长为2cm,

AB—BC—CD—AD—2cm,

菱形48co的周长为4X2=8（cw）,

故选：D.

4.如图，菱形/BCD的对角线/C、8。相交于点O,过点D作。于点“，连接若。/=4,

0H—3,贝1JS菱形48C。为（）

A.6B.8C.24D.12

【分析】由RtZXBAD中，点。是AD的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，0H=3可

得BD=6,由菱形对角线的性质可得/C=8,应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答

案.

【解答】解：：四边形/BCD是菱形，

：.OB=OD,ACLBD,OA=OC,

:DHL4B,

ZBHD=90°,

：.BD=2OH,

:。/=4,0H=3,

：.AC=8,BD=6,

11

菱形NBC。的面积=5X/C・8O=5X8X6=24.

故选：C.

5.如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°,则重合部分构成的四边形

ABCD的周长为（)

A.6cmB.6V3cmC.8V3cmD.IOV3cm

【分析】过点/作8c于点E,4FLCD于点R易知四边形48CD为平行四边形，AE=AF=3cm,

ZADF=ZABE=60°,可证产gZUBE（44S）,得到可证四边形N8CO为菱形.在Rt

4尸LLL

△4。尸中，AD=-.—=2V3-因此四边形的周长为：2百x4=8西cm.

sinoO

【解答】解：如图，过点N作NEL8c于点E,4FLCD于点凡

：.ZAEB=ZAFD=90°,

•••两张纸条宽度均为3CM

二四边形48CD为平行四边形，且/E=/F=3c"?,

ZADF=ZABE=60°,

:.4ADF色AABE(AAS),

：.AD=AB,

四边形/BCD为菱形,

在RtZ\4D厂中，ZADF=60°,AF=3cm,

AF「

••AD=.=2底

sin60°

四边形Z5CD的周长为：2V3X4=8V冽.

ZABC=60°,对角线/C与80相交于点。，/尸，3。于点尸，交BD于点、

P.若/8=6,则。P的长为（）

BFC

A.2V3B.3V3C.4V3D.6V3

【分析】先由菱形的性质得到4D=48=8C=6,ACLBD,4c=204,再证明△NBC是等边三角形，

则/C=/5=6,进而得到。4=3,由三线合一定理得到/。/尸=30°,则可求出。P=3-04=百，利

用勾股定理得到。。=3百，贝=OP+OD=4V3.

【解答】解：：四边形/BCD是菱形，

：.AD=AB=BC=6,ACVBD,AC=2OA,

VZABC=60°,

二.△ABC是等边三角形，

.\AC=AB=6,

.•.CU=3,

•：AF2BC,

・・・NCU尸=30°,

；.OP=券。4=百，

在Rt/\AOD中,由勾股定理得。。=dAD?-0屋=3百，

：.DP=OP+OD=4>/3,

故选：C.

A.一组邻边相等的平行四边形是菱形

B.对角线互相垂直平分的四边形是菱形

C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形

D.四条边相等的四边形是菱形

【分析】由作图得即可根据“四条边相等的四边形是菱形”证明四边形N3C。是菱

形，于是得到问题的答案.

【解答】解：由作图得CB=CD=AD,

：.AB=AD=CB=CD,

•••四条边相等的四边形是菱形，

，四边形/BCD是菱形，

故选：D.

8.如图，。是坐标原点，菱形/8OC的顶点8在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为（3,4）,则顶点/的

【分析】过C作CNLx轴于N,由勾股定理求出OC=NON2+CN2=5,由菱形的性质推出/C〃2。,

由勾股定理求出BM~AB2-AM2=3,得到0M=O2-MB=5-3=2,因此点/的坐标为（-2,4）.

【解答】解：过C作CNLx轴于N,过“作轴于跖

•.•点C的坐标为（3,4）,

：.ON=3,CN=4,

'-OC=vON2+CN2=5,

•.•四边形N5OC是菱形，

：.AC=OC=5,AC//BO,

点力的坐标为（-2,4）.

故选：C.

9.如图，已知/8=8,P为线段上的一个动点，分别以/尸，尸8为边在N8的同侧作菱形NPCD和菱形

PBFE,点P,C,E在一条直线上，ZDAP=60°,M,N分别是对角线/C,的中点.当点尸在线段

上移动时，点之间的距离最短为（）

A.2B.2V3C.4D.4V3

1

【分析】连接。P，连接尸R连接。R证明〃乂=尹尸，求出。尸的最小值，可得结论.

【解答】解：连接。尸，连接尸凡连接。尸，

'：MA^CM,EN=BN,

.•.点M■在线段尸。上，点N在线段尸尸上,

.四边形APCD,四边形PBFE是菱形，

二点M是。尸中点，点N是尸产中点，

:.MN是4PDF的中位线，

1

：.MN=~DF,

当。尸最小时，最小，

DF的最小值为DF垂直BF时，

VZDAB^60°,

：.DF的最小值为4百，

的最小值为2百.

故选：B.

10.如图，在菱形N8CD中，对角线NC与AD相交于点O,E,尸分别是08,。。的中点，下列结论：①

四边形NECF是菱形；②/BAE=/DCF；③NDAF=/FAO；④S菱形48=斯,/。，其中正确结论

的个数是（）

_________D

Bc

A.1B.2C.3D.4

【分析】根据菱形的性质得到O/=OC,OB=OD,AC-LBD,求得根据线段中点的定义得到

OE=~OB,OF=-OD,求得OE=OF,根据菱形的判定定理得到四边形是菱形，故①正确；根

据菱形的性质得到求得NR4C=NDG4,同理可证N£4C=NFC4,得到NA4E=NOCR故②

1

正确；无法证明乙D/b=NE4。成立，故③不正确；根据菱形的面积公式得到S菱形

OB=OD,求得OB=2OE,OD=2OF,于是得到S菱形初8=斯'/。，故④正确.

【解答】解：•••四边形"BCD是菱形，

：.OA=OC,OB=OD,AC±BD,

：.ACLEF,

,:E,尸分别是08,的中点，

11

：.OE=~OB,0F=~0D,

：.OE=OF,

四边形NEC尸是菱形，故①正确；

•••四边形/BCD是菱形，

：.AB//CD,

：.ZBAC=ZDCA,

同理可证

/.ZBAE=ZDCF,故②正确；

无法证明N£>4F=NE4。成立，故③不正确；

.四边形4BCD是菱形，

1

•\S菱形ABCD=^BD・AC,OB=OD,

,:E,尸分别是。2,0D的中点，

：.OB=2OE,OD=2OF,

：.BD=OB+OD=2（OE+OF）=2EF,

:,S菱形ABCD=