2024-2025学年人教版八年级数学下册同步训练：正方形（3个知识点+5类热点题型+习题巩固）解析版

第05讲正方形

学习目标

课程标准学习目标

1.熟悉正方形的定义，掌握正方形的性质，并能够熟练的应用性质。

①正方形的定义与性质2.掌握正方形的判定方法，能够熟练的选择合适的判定方法判定正方

②正方形的判定形。

③中点四边形3.掌握中点四边形的定义,能够熟练的根据四边形的性质判断中点四边

形的形状。

窈思维导图

正方形的定义与性质

知识点01正方形的定义与性质

i.正方形的定义：

四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形。

所以正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，还是特殊的菱形。

2.正方形的性质：

同时具有平行四边形、矩形以及菱形的一切性质。

【即学即练1】

1.正方形有而矩形不一定有的性质是（

A.四个角都是直角B.对角线相等

C.对角线互相平分D.对角线互相垂直

【分析】根据正方形与矩形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解.

【解答】解：/、正方形和矩形的四个角都是直角，故本选项错误；

5、正方形和矩形的对角线相等，故本选项错误；

C、正方形和矩形的对角线互相平分，故本选项错误；

。、正方形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线互相平分但不一定垂直，故本选项正确.

故选：D.

【即学即练2】

2.如图，己知点E,点尸为正方形48co内两点，C,E,尸三点共线且满足N2£C=NCFD=9（r,连接

并延长交8C于点G,若EG平分/BEC,AB=运,则。£的长为（）

A.1B.V2C.2D.2V2

【分析】先证明△BCEgZiC。尸得CE=DR再证明尸为等腰直角三角形，设DF=x,在尸

中由勾股定理列出方程求得x,进而由勾股定理求得

【解答】解：二•四边形N8C。是正方形，

：.BC=CD,Z5CD=90°,

VZBEC=90°,

：.ZCBE+NBCE=NBCE+NDCF=90°,

：.ZCBE=ZDCF,

在△BCE和△CD/中，

fZSEC=ZCFD=90°

(Z.CBE=乙DCF,

IBC=CD

:.ABCE冬ACDF(AAS),

：.CE=DF,

■:EG平分NBEC,

1

：.NDEF=NCEG=-ZBFC=45°,

:,EF=DF=CE,

设EF=DF=CE=x,

*：CF2+DF2=CD2,

（2町2+）=（a2,

・・X=1,

:.DE=VDF2+EF2=V2>

故选：B.

【即学即练3】

3.如图，在正方形/BCD中，点尸为边CD上一点，BF与AC交于点、E.若NCBF=20。，则N/即的大

小为65度.

B-------------"C

【分析】根据正方形的对称性可知，与△/£>£关于直线/C对称，得到//£»=//班，利用三

角形的外角等于不相邻的两个内角之和可解.

【解答】解：:四边形ABC。是正方形，且ZC为正方4BC。的对角线，

...△/2E与△/£>£关于直线NC对称，ZACB=45°,

ZAED=ZAEB,

,/ZAEB为△即C的外角，

:.NAEB=NCBE+NACB=200+45°=65°,

：.ZAED=65°,

故答案为：65.

【即学即练4】

4.如图，将正方形0/2C放在平面直角坐标系中，。是原点，工的坐标为（百，1）,则点C的坐标为（）

【分析】作NE_Lx轴于E,CF_Lx轴于尸，证明△OCF之△/OE,得出对应边相等。9二/后二：!，CF=OE

=百，即可求出结果.

【解答】解：作轴于E,CFLx轴于尸，如图所示:

则NCFO=/O£/=90°,

.,.Zl+Z3=90°,

•..四边形。NBC是正方形，

：.OC=OA,ZAOC=90°,

.•.Zl+Z2=90°,

.*.Z3=Z2,

(/.CFO—/.OEA

在△OC尸和△NOE中，［N3=N2,

loc=4。

:.△OCF出4AOE(AAS),

：.OF^AE=\,CF=OE=®

...点C的坐标为(-1,百)；

【即学即练4】

5.如图，已知点E在正方形48co内，满足N/E3=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是（）

AD

B

A.48B.60C.76D.80

【分析】先由//欧=90°,4E=6,3E=8,根据勾股定理求得AB=10,再分别求出正方形/BCD的

面积和的面积，即可由S阴影=S正方形/BCD-鼠在8求出阴影部分的面积.

【解答】解：,:NAEB=90°,AE=6,BE=8,

•MB=y/AE2+BE2=V62+82=10,

:四边形/BCD是正方形，

=2

•,S正方形ABCD^B=102=100,

11

S^AEB=^AE-BE=5x6X8=24,

；・S阴影=S正方形ZBC。~山EB=100-24=76,

.,・阴影部分的面积是76,

故选：C.

知识点02正方形的判定

1.正方形的判定:

判定方法文字语言数学语言图形

AB=BC=CD=AD

四条边都相等且

/ABC=/BCD=/CDA=

直接判定四个角也相等的

/DAB

四边形是正方形

・・・四边形/BCD是正方形

邻边相等的矩形:在矩形NBC。中，AB=AD

DC

矩形加特殊是正方形.,•四边形4BCD是正方形

性对角线垂直的矩;在矩形中，AC±BD

形是正方形.,•四边形是正方形X

4BCDAB

有一个角是直角的;在菱形中，/4BC=90°

菱形加特殊菱形是正方形.,•四边形4BCD是正方形

性对角线相等的菱,在菱形/BCD中，AC=BD

形是正方形四边形/BCD是正方形

【即学即练1】

6.已知四边形N2CD中，/A=/B=/C=90°,如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么

这个条件可以是（）

A./。=90°B.AB=CDC.AC=BDD.BC=CD

【分析】先判断四边形/BCD是矩形，由正方形的判定可直接判断。正确.

【解答】解：在四边形/BCD中，

VZA=ZB=ZC=90Q,

四边形N8CD为矩形，

而判断矩形是正方形的判定定理为：有一组邻边相等的矩形是正方形，

故。正确，

故选：D.

【即学即练2】

7.在四边形48co中，AB=BC=CD=DA,如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条

件可以是()

A.ACLBDB.AB//CDC.ZA=90°D.Z^=ZC

【分析】利用菱形的判定方法结合正方形的判定进而得出答案.

【解答】解：•.,在四边形/BCD中，/3=3C=CZ)=Z)/,

...四边形是菱形，

当N/=90°时，

菱形/BCD是正方形.

故选：C.

【即学即练3】

8.已知：如图，在Rt448C中，ZACB=90°,CD是△N8C的角平分线，DELBC,DFLAC,垂足分别

为点£,F,求证：四边形CEL下是正方形.

【分析】要证四边形CED尸是正方形，则要先证明四边形。KCF是矩形，已知CD平分DEL

8C,。/C,故可根据有三个角是直角的四边形是矩形判定，再根据正方形的判定方法判这四边形CED尸

是正方形.

【解答】证明：,:CD平分N4CB,DEVBC,DFVAC,

：.DE=DF,NDFC=9Q°,ZDEC=90°,

又：/4C8=90°,

...四边形。ECF是矩形,

,:DE=DF,

矩形。EC尸是正方形.

【即学即练4】

9.如图，在中，ZACB=90°,。为中点，过点。作。EL48,交BC于点、E,过点/作/尸

//BE,交ED的延长线于点凡连接/£,BF.

(1)判断四边形/防厂的形状，并说明理由.

(2)当一△48C满足条件AC=BC时,四边形NE3尸是正方形.

【分析】（1）由//〃BE,得/FAD=NEBD,而AD=BD,NADF=NBDE,即可根据“4S4”证明△

ADF9ABDE,得AF=BE,则四边形/匹尸是平行四边形，因为斯_L4B,所以四边形4ESF是菱形；

（2）当NN£8=90°时，四边形/E3尸是正方形，由/C=N4E8=90°,点C与点E重合，则NC=

AE=BE=BC,所以当/C=BC或//BC=45°时，四边形/£8尸是正方形，于是得到问题的答案.

【解答】解：（1）四边形/匹尸是菱形，

理由：'JAF//BE,

ZFAD=ZEBD,

；D为AB中点，

:.AD=BD,

在△4DP和△ADE中，

(Z.ADF=Z.BDE

\AD=BD,

V/.FAD=乙EBD

：.AADF^^BDE(ASA),

：.AF=BE,

...四边形/£8尸是平行四边形，

•：DELAB,AF//BE,交皮）的延长线于点R

C.EFLAB,

四边形NEAF是菱形.

（2）二•四边形/班厂是菱形，

...当//班=90°时，四边形/欧尸是正方形,

；NC=NAEB=9Q°,

.••点。与点E重合，

:.AC=AE=BE=BC,

.•.当/C=3C时，四边形/£3尸是正方形，

故答案为：AC=BC.

注：答案不唯一，如：ZABC=45°.

知识点03中点四边形

1.中点四边形的定义：

连接四边形各边的中点得到的四边形叫做中点四边形。

2.中点四边形的形状：

①任意四边形的中点四边形是平行四边形。

②对角线相等的四边形的中点四边形是菱形。

③对角线相互垂直的四边形的中点四边形是矩形。

【即学即练11

10.顺次连接下列图形的各边中点，所得图形为矩形的是（）

①矩形；

②菱形；

③对角线相等的四边形；

④对角线互相垂直的四边形.

A.①③B.②③C.②④D.③④

11

【分析】连接NC、BD,根据矩形的性质得到NC=AD,根据三角形中位线定理得到环=/C,FG=~

BD,GH^-AC,EH=~BD,进而得到防=FG=G〃=EH,根据菱形的判定定理即可判断①，进而可

以判断③；根据三角形中位线定理得到砥〃AD,FG//BD,进而证明四边形EFG/f是平行四边形，根

据矩形的判定定理即可判断④，进而可以判断②.H

【解答】解：如图1,连接ZC、BD,

•・•四边形/BCD为矩形，

.・…，JXX.

,1点E、F、G、H分别为4B、BC、CD、4。的中点，nFc

1111图1

.\EF=—AC,FG=《BD,GH=—AC,EH=~^BD,

:,EF=FG=GH=EH,

四边形EFG”为菱形，故①不符合题意；

•••矩形的对角线相等，

顺次连接对角线相等的四边形的中点，所得图形为菱形，故③不符合题意；

如图2,E,F,G,〃分别是四边形N8,BC,CD,ZX4的中点，

...四边形EFG”是矩形，故④符合题意;

•••菱形的对角线互相垂直，

•••顺次连接菱形的各边中点，所得图形为矩形，故②符合题意;

故选：C.

题型精讲

题型01利用正方形的性质求线段长度

【典例1］如图，在正方形N8CD中，点G在8c边上，连接NG,Z)£_L/G于点£,8F_L/G于点R若

BF=4,DE=9,则E》的长为()

8C.12D.2

【分析】由正方形的性质得/8=£M，/BAD=90°,由DE_L/G于点E,8尸，NG于点尸，得N4FB=N

DEA=90°,则N3/R=/ZDE=90°-ADAE,即可根据“N/S”证明△胡尸名△NOE,WBF=AE=

4,AF=DE=9,则即=/尸-4E=5,于是得到问题的答案.

【解答】解：•..四边形N2C。是正方形，

；.AB=D4,NB4D=90°,

•.•£»E_L4G于点E,AF_L4G于点RBF=4,DE=9,

；.NAFB=NDE4=90°,

：.ZBAF=ZADE=90°-/DAE,

在和中，

(Z.BAF=Z.ADE

\z-AFB=/,DEA,

VAB=DA

:.ABAFQAADECAAS),

:・BF=AE=4,AF=DE=9,

.\EF—AF-AE=9-4=5,

故选：A.

【变式1】如图，在正方形ABCD中，。为对角线NC、AD的交点，E、尸分别为边3C、CD上一点，且

OELOF,连接EF.若N/OE=150°,DF=五,则£尸的长为()

A.2B.2+y/2C.2V^D.+1

【分析】由题意证明△5OE也△CObC4S/),所以OE=OF,则是等腰直角三角形；过点尸作

FG上OD,解三角形O/口即可得出。尸的长，进而可求出骸的长.

【解答】解：在正方形45CD中，4C和5。为对角线，

AZAOB=ZBOC=90°,ZOBC=ZOCD=45°,OB=OC,

VZAOE=\50°,

；・NBOE=60°；

9：OEA.OF,

：.ZEOF=ZBOC=90°,

AZBOE=ZCOF=60°,

:•△BOEQACOF(ASA),

：.OE=OF,

•••△O跖是等腰直角三角形；

过点歹作尸GLOD,如图，

：.ZOGF=ZDGF=90°,

VZOZ>C=45°,

・•・ADGF是等腰直角三角形,

=*尸=1,

：.GF=DG

：.OF=2GF=2,

:.EF=^OF=2®

故选：C.

【变式2】如图，正方形4BCD,点E为4B边上一点,AE=3,BE=LN£DC的平分线交5C于点尸,

A.2B.2.5C.3D.3.5

【分析】延长4月交48的延长线于点“，根据正方形的性质得40=48=80=8=4,NA=NABC=N

C=90°,AB//CD,则。£=5,根据角平分线的定义及平行线的性质得NCQF=NEZ)b=N〃，则£”=

DE=5,进而得CD=BH=4,证明△CD/和全等得C产=5R则G/是/的中位线，然后根

据三角形中位线定理可得出G方的长.

【解答】解：延长小交45的延长线于点如图所示：

•・ZE=3,BE=1,

；・4B=4E+BE=4,

・・•四边形4BCZ)为正方形，

；.AD=AB=BC=CD=4,ZA=ZABC=ZC=90°,AB//CD,

在RtZ\4DE中，由勾股定理得：DE=^AD2+AE2=5,

•:DF平分/ECD,

：.ZCDF=ZEDF,

■:AB〃CD,

:・/CDF=/H,ZC=ZCBH=90°,

J/EDF=Z/7,

:・EH=DE=5,

：.BH=EH-BE=5-1=4,

；・CD=BH=4,

在△CD厂和中，

fzC=Z.CBH=90°

\CD=BH,

JCDF=乙H

：./\CDF^/\BHF(ASA),

:.CF=BF,

:点G是。E的中点，

，GF是△£>£”的中位线,

1

：.GF=~EH^2.5.

故选：B.

【变式3】已知正方形/5CO的边长为4,点尸为线段/。上的动点（不与点/重合），点/关于直线8尸

的对称点为点E,连接PE,BE,CE,DE,当△CDE是以CE为腰的等腰三角形时，4P的值为_8-4百

【分析】当△CDE是以CE为腰的等腰三角形时，有以下两种情况：①当CE=CO=4时，过点£作£乱

。于点M,ME的延长线交2C于点N,则四边形CDM7V是矩形，进而得MN=CD=4,△班C是等

边三角形，则£N=2百，ME=4-26,在四边形/8EP中，NPEB=NBAD=90°,NABE=30°,

则//PE=150°进而得NMPEnSO。,贝i]/P=P£=8—4百；②当CE=O£时，过点E作£〃_LCD,

"E的延长线交于点T,则“7是正方形48。□的一条对称轴，进而得NE=8E=4,则△48E是等边

4A/3

三角形，然后在RtZUB尸中可求出/尸=受，综上所述即可得出/尸的值.

【解答】解：：四边形N8CD是正方形，且边长为4,

：.AB=BC=CD=AD=4,ZABC=ZBCD=ZCDA=ZBAD=90°,

根据轴对称的性质得：PA=PE,AB=BE=4,ZPEB=ZBAD=90°,ZPBA=ZPBE,

当△CDE是以CE为腰的等腰三角形时，有以下两种情况：

①当CE=CZ）=4时，过点E作近以，4。于点〃石的延长线交于点N,如图1所示：

图1

AANMD=ZMNC=ABCD=ZCDA=90°,

•・•四边形CDW是矩形，

:・MN=CD=4,

♦：BE=BC=CE=4,

J.AEBC是等边三角形，

:.CN=12BC=2,NEBC=6Q°,

；.NABE=NABC-NEBC=3Q°,

在RtZ\ECN中，由勾股定理得：EN=y/cE2-CN2=V42-22=273，

：.ME=MN-EN=4-2V3，

在四边形N5EP中，ZPEB=ZBAD=90°,ZABE=30°,

AZAPE=90°-NABE=15Q°,

：.ZMPE=ISO°-NAPE=3Q°,

在Rt/XPMEl中，PE=2ME=8-4®

；./P=P£=8—4百；

②当CE=DE时，过点E作的延长线交于点T,如图2所示:

图2

：.DH=CH,

；.HT是CD的垂直平分线，

...777是正方形ABCD的一条对称轴，

；.AE=BE=4,

是等边三角形，

:.NABE=6Q°,

；.NPBA=NPBE=3Q°,

在RtA4BP中，BP=2AP,

由勾股定理得：AB=NBP2_AP2=SAP,

・毋=争8=与义4=等

综上所述：当△«>£是以CE为腰的等腰三角形时，NP的值为8-4省或殍.

题型02利用正方形的性质求角的度数

【典例1］如图，正方形4BCD的对角线相交于点。，则的度数是（）

A\D

A.30°B.45°C.60°D.90°

【分析】根据正方形的性质对角线互相垂直可求解.

【解答】解：•••四边形N8CD为正方形，

：.ACLBD于点O,

：.ZAOB=90°,

故选：D.

【变式1】如图，在正方形外侧，以为一边向上作等边三角形连接BE,AC,相交于点

F,则/瓦（的度数是（）

【分析】根据正方形和等边三角形的性质得NA4£>=90°,ZBAC=45°,AB=AD=AE,/DAE=

60°,进而得/A4E=150°,NABE=/E=15°,然后根据尸C=NA4C+N48E即可得出答案.

【解答】解：•••四边形48co是正方形，

：.AB=BC=CD=AD,ZBAD=90°,NB4c=45°,

•.•△4DE是等边三角形，

：.AD=AE=DE,ZDAE=60°,

：.AE=AB,ZBAE=ZBAD+ZDAE=150°,

11

：.AABE=AE^~(180°-/BAE)=]X(180°-150°)=15°,

AZBFC=ZBAC+ZABE=450+15°=60°.

故选：C.

【变式2】如图，在正方形48co中，点、E,厂分别是对角线2,/C上的点，连接CE,EF,DF,若EF

//BC,且NCE产=a,则N4FD的大小为（）

AD

B0C

A.aB.2aC.45°-aD.45°+a

【分析】设/C,AD相交于点。，先证明8E=CR进而可证明△2CE和△(7£)/全等，则

=a,进而得NOD尸=45°-a,然后在RtZXOD尸中，可求出//FD的度数.

【解答】解：设NC,8。相交于点O,如图所示：

AaD

BC

・・•四边形Z8CZ)是正方形，

：.BC=CD,OB=OC,/EBC=/FCB=NFCD=NCDB=/45°,ZDOC=90°,

■:EF//BC,

：.ZOEF=ZEBC=Z45°,NOFE=NFCB=N45°,NBCE=NCEF=a,

：・OE=OF,

：.OB-OE=OC-OF,

:・BE=CF,

在和△CD厂中，

(BC=CD

\z-EBC=Z.FCDi

VBE=CF

:•△BCEQACDF(SAS),

J/BCE=NCDF=a,

：.ZODF=ZCDB-ZCDF=45°-a,

在Rt/^OD厂中，ZDOC=90°,

/.ZAFD=90°-ZODF=90°-(45°-a)=45°+a.

故选：D.

【变式3】如图，在正方形45C。中，E为5C延长线上一点，连接。£,尸为5C上一点，且EF=DE,连

接。？G为CD上一点，且DG=CR连接4G并延长交DE于点连接CM,若NZUM=a,则N

DCM=()

A.2aB.45°+aC.90。-5aD.45°+5a

【分析】根据正方形的性质证得△ZDG和△OCF全等，得出N£UG=NCQ尸=a,于是得出N/0尸=90°

-a,推出/。/。=//。/=90-。，再证△瓦加是等腰三角形，即可得出N瓦)厂的度数，再根据三角形

内角和定理求出出的度数，从而得出△4。河是等腰三角形，继而推出△DCM是等腰三角形，从

而求出NDCM的度数.

【解答】解：・・•四边形45C。是正方形，

AZADC=ZDC5=90°,AD=DC,AD//BC,

(AD=DC

在△ZOG和△OCF中，｛乙40G=4DCF,

WG=CF

：.AADG^ADCF(SAS),

・•・ZDAG=ZCDFf

丁ZDAG=a,

:・/CDF=CL,

VZADG=ZADF+ZCDF=90°,

:.ZADF=90°-a,

,:AD〃BC,

：.ZDFC=ZADF=90-a,

•:EF=DE,

,,,△功甲是等腰三角形，

:・/EFD=/EDF=90°-a,

•・•在“中，ZDAM=a,ZADM=ZADF+ZEDF=90-a+90°-a=180°-2a,

AZ^A®=180°-a-(180°-2a)=a,

:./DAM=/AMD,

是等腰三角形，

：.AD=DM,

：.DM=DC,

・・・△DC"是等腰三角形，

1

AZDCM=ZDMC=-(180°-/CDM),

9：ZCDM=ZADM-ZADC=\S0°-2a-90°=90°-2a,

1

:./DCM=《(180°-90°+2a)=45°+a,

故选：B.

题型03利用正方形的性质求点的坐标

【典例1］如图，在平面直角坐标系中，正方形0/2C的顶点。，2的坐标分别是（0,0）,（4,0）,则

B.(2V^,-2V^)

C.(2,-2)D.(2V2，-2)

【分析】根据NC、08的互相垂直平分，且O2=4=4C,即有OZ）=Z）8=D/=£>C=2,问题得解.

【解答】解：在平面直角坐标系中，正方形O/8C的顶点O,5的坐标分别是（0,0）,（4,0）,如

.'.AC,。3的互相垂直平分，且O3=4=/C,

：.OD=DB=D4=DC=2,OD1DC,

点坐标（2,-2）,

故选：C.

【变式1】如图，在平面直角坐标系中，四边形O/8C为正方形，点C坐标为（3,2）,则点/的坐标为

()

【分析】如图所示，过点/作轴于点。，过点。作CE_Lx轴于点£,根据正方形的性质，可证

RtA^O/)^RtAOCE(ASA),可得Z)O=£C,AD=OE,根据点。的坐标可确定OE,CE的长，由此即

可求解.

【解答】解：如图所示，过点力作轴于点。，过点。作CE_Lx轴于点E,

：.OA=AB=BC=OC,ZAOC=90°,

AZAOD+ZEOC=90°,/AOD+/OAD=90°,

：.ZOAD=ZEOC,

在Rtz\4OD,Rtz\OCE中，

(Z-OAD=乙COE

]AO=CO,

3。。=(OEC=90°

ARtA^OD^RtAOCE(ASA),

：.DO=EC,AD=OE,

VC(3,2),

：.OE=3,CE=2,

：.OD=2,AD=3,且点4在第二象限，

：.A(-2,3),

故选：B.

【变式2】如图，在平面直角坐标系中，正方形/BCD的顶点/(-2,0),B(0,1),则点。的坐标是

【分析】由“44S”可证△N8O咨△8。〃，可得/O=D〃=2,BO=AH=l,即可求解.

【解答】解：如图，过点。作轴于点兄

：.AO=2,80=1,

•..四边形N8CD是正方形，

：.AB=AD,ZDAB=90°=ZAOB=ZDHA,

：.ZABO+ZBAO^90°^ZBAO+ZDAH,

：.ZABO=ZDAH,

在△450和△0/8中，

(Z.A0B=4DHA

\/.AB0=Z.DAH,

VAB=DA

MABO0ADAH(AAS),

:.A0=DH=2,BO=4H=1,

二点。(-3,2).

故选：B.

【变式3】如图，在平面直角坐标系中，四边形/BCD是正方形，点/的坐标为(1,0),点8的坐标为

(-2,4)，点。在第一象限，则点C的坐标为()

A.(2,8)B.(3,7)C.(1,8)D.(2,7)

【分析】过点8作瓦口轴，垂足为尸，过点C作CEL8尸，垂足为E,证明△NE8四△5EC,得到3£=

AF=2,CE=BF=4,计算Ek的长即可.

【解答】解：如图，过点3作8/J_x轴，垂足为尸，过点C作CEL8尸，垂足为£,

:./BFA=/CEB=90°,

.\Z2+Z3=90°

•..四边形N8C。是正方形，点/的坐标为（1,0）,点8的坐标为（-2,4）,

：.AB=BC,ZABC=90°,AO=1,BF=4,OF=2,

：.AF=3,Zl+Z2=90°,

；.N1=N3,

"：AB=BC,ZBFA=ZCEB=9Q°,

/.AAFBqABEC,

:.BE=AF=3,CE=BF=4,

；.斯=3+4=7,CE-OF=2,

.•.点C（2,7）,

故选：D.

题型04正方形的判定与性质综合

【典例1］已知四边形/BCD是平行四边形，再从①/3=8C,②N/8C=90°,③AC=BD,®AC±BD

四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形是正方形，现有下列四种选法，其中不正确的

是（）

A.①②B.②③C.①③D.②④

【分析】要判定是正方形，则需判定它既是菱形又是矩形，据此解答.

【解答】解：/、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是

矩形，所以平行四边形N8C。是正方形，

故本选项不符合题意；

B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得

出平行四边形/BCD是正方形，

故本选项符合题意；

C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四

边形N8CD是正方形，

故本选项不符合题意；

D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平

行四边形/BCD是正方形，

故本选项不符合题意；

故选:B.

【变式1】如图，在菱形/BCD中，对角线/C,2。相交于点。，添加下列条件，能使菱形/BCD成为正

A.AB=DBB.BD=OCC.AC=BDD.N4DC=120°

【分析】根据正方形的判定方法，一一判断即可.

【解答】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角，（2）

对角线相等.即满足条件

故选：C.

【变式2】如图，在四边形/BCD中，AD//BC,N/=90°,AB=BC,ZZ）=45°,CD的垂直平分线交

CD于E,交4D于尸，交2C的延长线于G,若4D=a.

（1）求证：四边形/2C尸是正方形；

（2）求3G的长.

【分析】（1）先根据48=//=//尸C=90°,判定四边形48CF是矩形，再根据4B=BC,即可得到

四边形/8C尸是正方形；

（2）先判定△CEGg/\DEF（44S）,得出CG=FD,再根据正方形N3CF中，BC=AF,即可得到/尸+即

=BC+CG,即/O=8G=a.

【解答】解：（1）：CZ）的垂直平分线交CD于E,交于尸，

：.FC=FD,

：.ZD=ZFCD=45°,

:./CFD=90°,BPZAFC^90°,

又,：ADI/BC,ZA=90°,

.,.N2=90°,

四边形/2C尸是矩形，

又；AB=BC,

四边形/8CF是正方形；

(2)•.•尸G垂直平分CD,

ACE=DE,ZCEG=ZDEF=90°,

'：BG//AD,

：.2G=NEFD,

在△CE'G和△£>£产中，

"G=/.EFD

\z.CEG=/-DEF,

(CE=DE

:ACEG经XDEF(AAS),

：.CG=FD,

又：正方形NBC/中，BC=AF,

：.AF+FD=BC+CG,

:.AD=BG=a.

Bx-----£------7G

D

F

【变式3】如图，正方形48co中，48=4,点E是对角线/C上的一点，连接过点E作所，ED,

交48于点尸，以。E、即为邻边作矩形。斯G,连接/G.

(1)求证：矩形DEFG是正方形；

【分析】(1)如图，作EAf_L4D于M,EN1AB于N.只要证明△£1〃£)出△E7VF即可解决问题;

(2)只要证明△NOGg△(?£>£,可得NG=E。即可解决问题.

;四边形4BC。是正方形，

ZEAD=ZEAB,

•.,EM_L4Z>于M,EN1AB于N,

:.EM=EN,

'：ZEMA=ZENA=ADAB=900,

四边形NNE"是矩形，

\'EF±DE,

：.ZMEN=ZDEF=9G°,

二NDEM=/FEN,

'：ZEMD=ZENF=90°,

AEMD沿AENF,

：.ED=EF,

•..四边形。EFG是矩形，

四边形DEFG是正方形.

(2)解：：四边形。EFG是正方形，四边形/BCD是正方形,

：.DG=DE,DC=DA=AB=4,ZGDE=ZADC=90°,

ZADG=ZCDE,

:.△ADG'SE(&4S)，

J.AG^CE,

：.AE+AG^AE+EC^AC=皿。=4①

【变式4】如图，正方形/BCD中，N8=4,点£是对角线NC上的一点，连接DE.过点E作成，££),

交AB于点、F,以DE、EF为邻边作矩形DEFG,连接NG.

(1)求证：矩形。MG是正方形；

(2)求AGUE的值.

【分析】(1)如图，作于M,EN1AB于N.只要证明△£1〃£＞注△ENF即可解决问题;

(2)只要证明△/DGgZXCDE,可得NG=EC即可解决问题.

【解答】(1)证明：如图，作于M,ENLAB于N.

;四边形4BCD是正方形,

ZEAD=ZEAB,

•.•EATLND于M,ENLAB于N,

：.EM=EN,

•:NEMA=/ENA=/DAB=90°,

，四边形/NEKr是矩形，

'JEFLDE,

：.ZMEN=ZDEF=90°,

/./DEM=NFEN,

VZEMD=ZENF=90°,

AEMD沿AENF,

：.ED=EF,

•..四边形DEFG是矩形，

四边形DEFG是正方形.

（2）解：•・,四边形。EFG是正方形，四边形45CZ）是正方形,

:・DG=DE,DC=DA=AB=4,/GDE=/ADC=90°,

J/ADG=/CDE,

•••△ADG•ACDE（SAS）,

：.AG=CE,

:・AE+AG=AE+EC=AC=五AD=4近.

题型05图形的中点四边形

【典例1】顺次连接矩形各边的中点所得的四边形是（）

A.矩形B.菱形C.正方形D.不能确定

【分析】根据三角形的中位线定理和菱形的判定，顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形.

【解答】解：如图：E,F,G,"为矩形的中点，则HH=HD=BF=CF,4E=BE=CG=DG,

在Rt/X/E”与RtzXDG//中，AH=HD,AE=DG,

：.AAEH<ADGH,

：.EH=HG,

同理，AAEHmADGH沿4BEF沿ACGF沿ADGH

:.EH=HE=GF=EF,ZEHG=ZEFG,

.•.四边形斯G77为菱形.

【变式1】顺次连接四边形N8Q?各边中点，得到四边形EFGH要使四边形EFG”是菱形，应添加的条

件是（）

A.AD//BCB.AC=BDC.ACLBDD.AD=AB

【分析】菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：

①定义；

②四边相等；

③对角线互相垂直平分.

【解答】解：添加/C=5D

如图，4C=BD,E、F、G、〃分别是线段/8、BC、CD、4D的中点，

则EH、FG分别是△N3。、△BCD的中位线，EF、bG分别是△NBC、△4CD的中位线，

11

：.EH=FG=~BD,EF=HG=]AC,

.,.当/C=AD时，

EH=FG=FG=EF成立,

则四边形EFG”是菱形.

故选：B.

【变式2】如图，AC,3。是四边形/BCD的对角线，点E,厂分别是5C的中点，点跖N分别是

AC,皿的中点.若四边形及“N是菱形，则原四边形/BCD应满足的条件是()

C.ACLBDD./ABC+NDCB=9Q°

11

【分析】根据三角形中位线定理得到=FN=EM^-CD,则可证明四边形励〃W为平行

四边形，当当EN=FN,即N8=C。，则此时平行四边形是菱形，据此可得答案.

【解答】解：F,N,M分别是BC,BD,NC的中点，

：.AE=DE,BN=DN,AM=CM,BF=CF,

:.EN、NF、FM、EM分别为AABD、△BCD、AABC、的中位线，

11

：.EN=FM^-AB,FN=EM^~CD,

四边形EMFN为平行四边形，

当EN=FN,即/8=CD,则此时平行四边形EMFN是菱形，

故选：B.

【变式3】如图，在四边形4BCZ)中，E,尸分别是40,5C的中点，G,X分别是3。，NC的中点，顺次

连接各点得到四边形EGEff.

(1)求证：四边形EGF”是平行四边形；

(2)若4B=CD,求证：IZJEGFH是菱形.

BFC

【分析】（1）由三角形中位线定理，得至！JG/〃EH,GF=EH,推出四边形EGW是平行四边形;

（2）由三角形中位线定理得到/G=/H,又四边形£GF"是平行四边形，推出口EGF”是菱形.

【解答】证明：（1）,・,点E与点〃分别为/C的中点，

；・EH是LADC的中位线，

1

：.EH//CD,EH=~CD,

1

同理：GF//CD,GF=~CDf

J.GF//EH,GF=EH,

・・..四边形EGW是平行四边形；

（2）・・,点尸与点7/分别为BC,4C的中点，

；・FH是4ABC的中位线，

1

.\FH=~AB,

1

9：FG=~CD,AB=CD,

:,FH=FG,

由（1）知四边形是平行四边形,

.•.口EG"7'是菱形.

'强化训练

1.下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线互相垂直；②它是一个正方形；③它是一个菱

形.下列推理过程正确的是（）

A.由①推出②，由②推出③B.由①推出③，由③