2024-2025学年人教版八年级数学下学期必刷题之勾股定理

2024-2025学年下学期初中数学人教版八年级期中必刷常考题之勾股定理

选择题（共5小题）

1.（2015•大连）如图，在△ABC中，ZC=90°，AC=2,点。在上，ZADC=2ZB,AD=V5,则

的长为（

C.V5-1D.V5+1

2.（2016•株洲）如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方

形，上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3图形的个数有（)

S3

B.2C.3D.4

3.(2015•黑龙江)/XABC中，AB=AC=5,8c=8,点P是边上的动点，过点P作尸于点

PE_LAC于点E,则PD+PE的长是（)

A.4.8B.4.8或3.8C.3.8D.5

4.（2018•枣庄）如图，在中，ZACB=90°,CD±AB,垂足为。，A/平分交CD于

点E,交CB于点尺若AC=3,AB=5,则CE的长为（)

3458

A.-B.-C.一D.-

2335

5.（2024秋•高新区期中）若一直角三角形两边长分别为12和5,则第三边长为（

A.13B.13或VT再C.13或15D.15

二.填空题（共5小题）

6.（2015•黄冈）在AABC中，AB=13cm,AC=20cm,BC边上的高为12cm,则△ABC的面积为

cm2.

7.（2012•庆阳）在直线/上依次摆放着七个正方形（如图所示）.已知斜放置的三个正方形的面积分别是

1,2,3,正放置的四个正方形的面积依次是Si,S2,S3,S4,则Sl+S2+S3+S4=.

8.（2015•株洲I）如图是“赵爽弦图”，AABH,△BCG、△COF和△£>?!£是四个全等的直角三角形，四边

形A8C。和所GH都是正方形.如果AB=10,EF=2,那么AH等于.

9.（2022•香洲区校级一模）如图，已知直角△ABC的两直角边分别为6,8,分别以其三边为直径作半圆,

则图中阴影部分的面积为.

10.（2013•张家界）如图，OP=1,过P作PPi_LOP,得。为=&；再过Pi作PIP2_LOPI且P1P2=1,

得。尸2=百；又过P2作P1P3±OP2且P2P3=1,得OP3=2;…依此法继续作下去，得OP2012

三.解答题（共5小题）

11.（2012•枣庄）已知：如图，在四边形ABCZ）中，ZABC=90°,CD±AD,AD2+CD2=2AB2.

（1）求证：AB=BC；

(2)当于E时，试证明：BE=AE+CD.

12.(2016秋•竦州市期末)在四边形ABC。中，42=4。=8,ZA=60°,/。=150°,四边形周长为

13.(2015•重庆校级模拟)如图，已知A8=12,B,A8_LAO于A,AD=5,8c=10.点E是

14.(2015•宜昌模拟)如图，在△ABC中，ZACB=90°,ZB=30°,CD,CE分别是AB边上的中线和

高.

(1)求证：AE=ED-,

(2)若AC=2,求△€»£■的周长.

15.(2015•徐州模拟)如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小格的顶点叫做格点.

(1)在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；

(2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、瓜V13；

(3)如图3,点A、B、C是小正方形的顶点，求/ABC的度数.

一

-

图1图20图3

2024-2025学年下学期初中数学人教版八年级期中必刷常考题之勾股定理

参考答案与试题解析

题号12345

答案DDAAB

选择题（共5小题）

1.(2015•大连)如图，在△ABC中，ZC=90°，AC=2,点。在8C上，ZADC=2ZB,AD=V5,则

8c的长为（)

C.V5-1D.V5+1

【考点】勾股定理;等腰三角形的判定与性质.

【专题】压轴题.

【答案】D

【分析】根据判断出。根据勾股定理求出。C的长，从

而求出BC的长.

【解答】解：VZADC=2ZB,ZADC=ZB+ZBAD,

：.ZB=ZDAB,

：.DB=DA=V5,

在RtAADC中,

DC=VXD2-XC2=(V5)2-22=1；

：.BC=V5+1.

故选：D.

【点评】本题主要考查了勾股定理，同时涉及三角形外角的性质，二者结合，是一道好题.

2.（2016•株洲）如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方

形，上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3图形的个数有（）

A.1B.2C.3D.4

【考点】勾股定理.

【专题】计算题；推理填空题.

【答案】D

【分析】根据直角三角形八b、C为边，应用勾股定理，可得。2+d=02.

(1)第一个图形中，首先根据等边三角形的面积的求法，表示出3个三角形的面积；然后根据a2+b2

=C2,可得S1+S2=S3.

(2)第二个图形中，首先根据圆的面积的求法，表示出3个半圆的面积；然后根据aW=c2,可得

S1+S2=S3.

(3)第三个图形中，首先根据等腰直角三角形的面积的求法，表示出3个等腰直角三角形的面积；然

后根据。2+廿=/,可得S1+S2=S3.

(4)第四个图形中，首先根据正方形的面积的求法，表示出3个正方形的面积；然后根据，2+房=。2,

可得51+52=53.

【解答】解：⑴S1=W，S2=渺，53=条2,

a2+b1=c1,

：*+3=+，

••S1+S2=S3.

(2)Sl=施2,§2=第2,的=*2,

.*。2+庐=。2,

*—zz2+—A2——c2

…888

:.S1+S2=S3.

(3)Si=.J,S2=/3、,S3=^c2,

"."a2+b2—c2,

.".~a2+^b2—^c2,

S1+S2—S3.

(4)Si-a2,$2=(2,S3=c2,

c^+b2—^,

S1+S2=S3.

综上，可得

面积关系满足S1+S2=S3的图形有4个.

故选：D.

【点评】(1)此题主要考查了勾股定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在任何一个直

角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.

(2)此题还考查了等腰直角三角形、等边三角形、圆以及正方形的面积的求法，要熟练掌握.

3.(2015•黑龙江)△ABC中，AB=AC=5,8c=8,点P是8c边上的动点，过点P作尸。_LAB于点。，

PE_LAC于点E,则尸。+PE的长是()

A.4.8B.4.8或3.8C.3.8D.5

【考点】勾股定理；等腰三角形的性质.

【专题】动点型.

【答案】A

【分析】过A点作AF_L8c于凡连接AP,根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理可得A尸的长，

由图形得SAABC=SZ\ABP+SZ\ACP,代入数值，解答出即可.

【解答】解：过A点作APL8C于E连接AP,

AABC+,AB=AC=5,BC=8,

：.BF=4,

：.AABF中,AF=<AB2-BF2=3,

111

x8X3=4x5XPD+4x5XPE,

222

1

12=1x5X(PD+PE)

PD+PE=4.8.

故选：A.

【点评】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质，解答时注意，将一个三角形的面积转化成两个

三角形的面积和；体现了转化思想.

4.（2018•枣庄）如图，在中，ZACB=9Q°,CD1AB,垂足为。，AF平分/C4B,交CD于

点、E,交CB于点尸.若AC=3,AB=5,则CE的长为（）

【考点】勾股定理；角平分线的性质.

【答案】A

【分析】方法一：根据三角形的内角和定理得出NC4F+/C以=90°,/孙。+乙4匹=90°,根据角

平分线和对顶角相等得出/CEE=/CFE,即可得出EC=FC,再利用相似三角形的判定与性质得出答

案.

方法二：根据三角形的内角和定理得出/。4尸+/。硒=90°,ZFAD+ZAED=90°,根据角平分线和

对顶角相等得出/CE/=/CFE,即可得出EC=PC,再利用勾股定理得出FG的长，即可得出答案.

【解答】方法一：

解：过点F作FGLAB于点G,

VZACB=90°,CDA,AB,

：.ZCDA^9Q°,

：.ZCAF+ZCFA=90°,ZFAD+ZAED=90°,

：A尸平分NCAB,

：.ZCAF=ZFAD,

・•・ZCFA=ZAED=/CEF,

:,CE=CF,

〈A尸平分NCA8,ZACF=ZAGF=90°,

:.FC=FG,

・：NB=/B,ZFGB=ZACB=90°,

:.△BFGS^BAC,

.BFFG

99AB~AC

VAC=3,AB=5,ZACB=90°,

・・・BC=4,

.4-FCFG

5一3'

■:FC=FG,

.4-FCFC

••--,

53

解得：FC=1,

3

即CE的长为i

故选：A.

方法二：

过点尸作尸GLA5于点G,

VZACB=90°,CDLAB,

：.ZCDA=90°,

：.ZCAF+ZCFA=90°,ZFAD+ZAED=90°,

TA尸平分NCAB,

：.ZCAF=ZFAD,

：.NCFA=ZAED=ZCEF,

：.CE=CF,

TA尸平分NC4B,ZACF=ZAGF=90°,

：.FC=FG,

VAC=3,AB=5,ZACB=90°,

：.BC=4,

在RtAAFC和RtAAFG中,

(AF=AF

iFC=FG'

/.RtAAFC^RtAAFG(HL),

：.AC=AG=3,

・•・设厂G=%,贝BG=AB-AG=5-3=2,

AFG2+BG2=BF2,

则?+22=(4-x)2,

解得：%=I，

3

即CE的长为5.

故选：A.

【点评】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形

的判定与性质等知识，关键是推出/CEE=/CFE.

5.（2024秋•高新区期中）若一直角三角形两边长分别为12和5,则第三边长为（）

A.13B.13或C.13或15D.15

【考点】勾股定理.

【答案】B

【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边

12既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即12是斜边或直角边的两种情

况，然后利用勾股定理求解.

【解答】解：当12是斜边时，第三边是V122—当=VT19；

当12是直角边时，第三边是，122+52=13.

故选：B.

【点评】如果给的数据没有明确，此类题一定要分情况求解.

二.填空题(共5小题)

6.(2015•黄冈)在△A8C中，AB=l3cm,AC=2Qcm,8c边上的高为12cm,则△ABC的面积为126

或66cnr.

【考点】勾股定理.

【专题】三角形.

【答案】126或66.

【分析】此题分两种情况：NB为锐角或NA8C为钝角已知AB、AC的值，利用勾股定理即可求出BC

的长，利用三角形的面积公式得结果.

【解答】解：当为锐角时(如图1),

在中，

BD=7AB2-AD?=V132-122=5(cm),

在Rt^AOC中，

CD=y/AC2-AD2=V202-122=16(cm),

：.BC=21,

：.SAABC=^BCAD=，=21X12=126(cm2)；

当/ABC为钝角时(如图2),

在RtZXABD中，

BD=VX52—AD2=V132—122=5(cm),

在RtAADC中，

CD=ylAC2-AD2=V202-122=16(cm),

：.BC=CD-BD=16-5=U(cm),

：.S^ABC=^-BC^AD=3x11x12=66(cm2),

故答案为：126或66.

DBC

图2

【点评】本题主要考查了勾股定理和三角形的面积公式，画出图形，分类讨论是解答此题的关键.

7.（2012•庆阳）在直线/上依次摆放着七个正方形（如图所示）.已知斜放置的三个正方形的面积分别是

1,2,3,正放置的四个正方形的面积依次是Si,S2,S3,S4,则S1+S2+S3+S4=4.

【考点】勾股定理；全等三角形的判定与性质.

【专题】规律型.

【答案】见试题解答内容

【分析】运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答.

解：观察发现，

'：AB=BE,ZACB=ZBDE=90°,

AZABC+ZBAC^90°,ZABC+ZEBD^90°,

：.ZBAC=ZEBD,

:.AABC咨4BDE（AAS）,

：.BC=ED,

'：AB2^AC2+BC2,

：.A^^A^+ED2=S1+S2,

即Sl+S2=l,

同理53+54=3.

则SI+S2+S3+S4=1+3=4.

故答案为：4.

【点评】运用了全等三角形的判定以及性质、勾股定理.注意发现两个小正方形的面积和正好是之间的

正方形的面积.

8.（2015•株洲|）如图是“赵爽弦图”，AABH.ABCG、△C。尸和△ZME是四个全等的直角三角形，四边

形ABCO和EFGH都是正方形.如果A8=10,EF=2,那么A”等于6.

【考点】勾股定理的证明.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据面积的差得出a+b的值，再利用a-b=2,解得a,b的值代入即可.

【解答】解：：A3=10,EF=2,

大正方形的面积是100,小正方形的面积是4,

.・・四个直角三角形面积和为100-4=96,设AE为mDE为b,即4x痴=96,

2ab=96,«2+Z?2=100,

（〃+/?）2=c^+lP'+lab—100+96=196,

〃+/?=14,

:a-b=2,

解得：〃=8,b=6,

AAE=8,AH=DE=6,

.".AH=8-2=6.

故答案为：6.

【点评】此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得。，b的值.

9.（2022•香洲区校级一模）如图，已知直角△ABC的两直角边分别为6,8,分别以其三边为直径作半圆,

则图中阴影部分的面积为24.

rB

【考点】勾股定理.

【专题】应用题.

【答案】见试题解答内容

【分析】在直角三角形ABC中，由AC与的长，利用勾股定理求出的长，阴影部分面积=半圆

AC+半圆8C+直角三角形ABC面积-半圆AB,求出即可.

【解答】解：在Rt^ABC中，AC=6,BC=8,

根据勾股定理得：AB^y/AC2+BC2=10,

贝US阴影=S半圆AC+S半圆BC+S^ABC-S半圆AB=x6X8—^-TT=24.

故答案为：24

【点评】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键.

10.（2013•张家界）如图，OP=1,过P作PPi_LOP,得OPi=&；再过Pi作PiP21_OPi且P1P2=1,

得。尸2=V3;又过P2作尸2P3，。尸2且尸2P3=1,得。尸3=2;…依此法继续作下去，得。尸2012=_同正_.

【考点】勾股定理.

【专题】压轴题；规律型.

【答案】见试题解答内容

【分析】首先根据勾股定理求出。尸4,再由。尸1,OP2,OP3的长度找到规律进而求出。尸2012的长.

【解答】解：由勾股定理得：。24=后不1=遮，

VOPi=V2;得。尸2=百；OP3=V4,

依此类推可得。尸“=SE,

OPion=—2013,

故答案为：V2013.

【点评】本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是由已知数据找到规律.

三.解答题（共5小题）

11.（2012•枣庄）已知：如图，在四边形ABCZ）中，ZABC=90°,CD±AD,AD1+CD1=2AB1.

（1）求证：AB=BC；

（2）当于E时，试证明：BE=AE+CD.

B

【考点】勾股定理；全等三角形的判定与性质.

【专题】证明题.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)根据勾股定理A#+BCZMACZ,得出AB2+BC2=2AB2,进而得出AB=BC；

(2)首先证明CDEB是矩形，再根据得出AE=E7,进而证明结论.

【解答】证明：(1)连接AC

VZABC=90°,

：.AB2+BC2^AC2.

'：CD±AD,

：.AD1+CD2=AC2.

VAZ)2+C£)2=2AB2,

.\AB2+BC2=2AB2,

:.BC2=AB2,

'：AB>0,BOQ,

：.AB=BC.

(2)过C作CFLBEF.

：BELAD,CFLBE,CDLAD,

/FED=NCFE=ND=90°,

..四边形C£)EF是矩形.

\CD=EF.

：ZABE+ZBAE=90°,ZABE+ZCBF=90°,

'./BAE=/CBF,

,.在△BAE与△CBF中

ZAEB=乙BFC

ABAE=乙CBF,

.AB=BC

.,.△BAEgACBF.(A4S)

C.AE^BF.

：.BE=BF+EF=AE+CD.

【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及三角形的全等证明，根据已知得出四边形CDEF是矩形

以及4BAE2△CBF是解决问题的关键.

12.（2016秋•竦州市期末）在四边形ABC。中，AB=AO=8,NA=60°,Z£>=150°,四边形周长为

【考点】勾股定理；等边三角形的判定与性质.

【答案】见试题解答内容

【分析】如图，连接8。，构建等边直角△08.利用等边三角形的性质求得8。=8；然后利

用勾股定理来求线段3C、CD的长度.

【解答】解：如图，连接8D,由A8=A。，ZA=60°.

则△A3。是等边三角形.即8。=8,Nl=60°.

又Nl+N2=150°,则N2=90°.

设BC=无，CD=16-x,由勾股定理得：JT=82+（16-尤）2,解得彳=10,16-x—6

【点评】本题考查了勾股定理、等边三角形的判定与性质.根据已知条件推知△CZJ8是解题关键.

13.(2015•重庆校级模拟)如图，己知AB=12,ABIBC^B,ABlAD^A,A£>=5,BC^10.点E是

【考点】勾股定理；全等三角形的判定与性质.

【答案】见试题解答内容

【分析】如图，延长1交BC于R构造全等三角形△AEZ核△PEC(A4S),则对应边AD

=FC.在/中，利用勾股定理即可求得线段AF的长度.

【解答】解：如图，延长AE交8c于F.

,：AB1BC,AB±AD,

J.AD//BC

:./D=/C,NDAE=/CFE,

又：点E是CD的中点，

:.DE=CE.

:在△AED与△PEC中，

2D=ZC

/.DAE=乙CFE,

.DE=CE

：.AAED^AFEC(AAS),

：.AE=FE,AD=FC.

：AD=5,BC=10.

:.BF=5

在RtAABF^p,AF=y/AB2+BF2=V122+52=13,

1

：.AE=^AF-6.5.

D

【点评】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质.注意，本题辅助线的作法.

14.(2015•宜昌模拟)如图，在△ABC中，ZACB=90°,ZB=30°,CD,CE分别是AB边上的中线和

高.

(1)求证：AE=ED；

(2)若AC=2,求△CDE的周长.

【考点】勾股定理；等边三角形的判定.

【专题】计算题；证明题.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得根据直角三角形的两个锐角

互余，得NA=60°,从而判定△AC。是等边三角形，再根据等腰三角形的三线合一的性质即可证明;

(2)结合(1)中的结论，求得CD=2,DE=1,只需根据勾股定理求得CE的长即可.

【解答】(1)证明：,C£)是边上的中线，

:.CD=AD=DB.

,：ZB=30°,

；.NA=60°.

...△AC。是等边三角形.

是斜边AB上的高，

：.AE=ED.

(2)解：由(1)得AC=CD=AD=2ED,

又AC=2,

：.CD=2,ED=\.

：.CE=V22-l2=V3.

，/\CDE的周长=C£）+£,Z）+C£,=2+1+V3=3+V3.

【点评】此题综合运用了直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质以及勾股定理.

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；直角三角形的两个锐角互余.

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

15.（2015•徐州模拟）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小格的顶点叫做格点.

（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；

（2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、瓜V13；

【考点】勾股定理.

【专题】作图题.

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）根据勾股定理画出边长为VIU的正方形即可;

（2）根据勾股定理和己知画出符合条件的三角形即可；

（3）连接AC、CD,求出△ACB是等腰直角三角形即可.

解：（1）如图1的正方形的边长是面积是10；

（2）如图2的三角形的边长分别为2,V5,V13；

（3）如图3,连接AC,CD,

则AD=BD=CD=A/22+l2=逐，

AZACB=90°,

由勾股定理得：AC=BC=V32+I2=V10,

AZABC=ZBAC^45°.

【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积，直角三角形的判定的应用，主要考查学生的计算能力和

动手操作能力.

考点卡片

1.全等三角形的判定与性质

(1)全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，

关键是选择恰当的判定条件.

(2)在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角

形.

2.角平分线的性质

角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；