新高考背景下数学解题教学的常见误区及对策

【摘要】在新高考背景下，针对数学解题教学过程中可能存在的误区：重视解法套路的提炼、重视最优解法的获取、重视解题分析的引导、重视规范解答的示范，结合案例给出了四种解决对策：回归本原通法、注重经验积累、注重让位真思、注重试错纠错。【关键词】高中数学；解题教学；误区；对策新高考改革给数学解题教学带来了全新的机遇与挑战。新高考强调对数学学科核心素养的考查，注重知识的综合运用与思维的深度拓展。因此，原有的解题教学模式可能会深陷误区，阻碍学生在新高考体系下数学素养的全面提升与个性发展。本文就高中数学解题教学中出现的几个误区进行分析并提出相应的对策。一、走出套路误区，注重回归本原1.误区：重视解法套路的提炼，忽视概念原理的领悟在数学解题教学中，教师有时过度重视解法套路的提炼，热衷于整理各类题型的固定解法步骤，让学生机械记忆。这会导致学生虽能应对一些常规题目，但遇到稍作变化、需要灵活运用概念原理的问题时便不知所措。例如，在学习抛物线定义时，教师提问满足到定点F（1，0）的距离比到定直线x=0距离大1的点的轨迹是什么？有了抛物线的定义，不少学生就将定直线x=0转化为定直线为x=-1，把原题转化为平面内到一定点F（1，0）和一条定直线x=-1的距离相等的点的轨迹，得到答案y2=4x。显然，这种解法只是进行了简单的模仿，忽略了概念原理的生成。2.对策：回归本原通法，让基础更厚实对于上述问题，回顾抛物线定义的由来，不妨从代数角度来求证：由已知条件可得PF=d+1，即[（x-1）2+y2]=|x|+1，化简得（x-1）2+y2=x2+1+2|x|，即-2x+y2=2|x|。可以得到，当x≥0时，y2=4x，当xlt;0时，y=0。通过代数计算可以发现，结果并不是上面简单的模仿，可以发现图形是由抛物线和一个射线组成。然后，教师进一步提问：（1）若将定直线变成x=-2，则满足到定点的距离F（1，0）比到定直线x=-2距离小1的点的轨迹是什么？（2）若将定直线变成x=[12]，则满足到定点的距离F（1，0）比到定直线x=[12]距离大[32]的点的轨迹是什么？学生通过代数计算可得（1）y2=4x；（2）当x≥[12]时，y2=4x；当xlt;[12]时，y2=3-2x。教师继续追问学生，通过定义的领悟、本源方法的回归，你能体会到这类问题的共性吗？为什么有时是一段，有时是两段呢？如何不通过代数计算发现结果是一段或者两段？学生结合图形反思领悟，可以发现（1）中若点在直线x=-2左侧，到定点的距离F（1，0）一定大于到定直线x=-2距离，而（2）中点可能在直线x=[12]的两侧，所以有两种情况。有了回归本原通法的分析，学生下次在解决同类问题时就不会是简单的模仿。通过深入理解概念原理构建扎实的知识基础，学生在面对复杂多变的数学问题时，就能够依据对数学本质的深刻把握灵活应变。二、走出优解误区，注重经验积累1.误区：重视最优解法的获取，忽视解题经验的积累教师在讲解题目时，往往会直接展示最为便捷高效的解题路径，学生也将目光聚焦于记住最优解法，却忽视了在探寻解法过程中解题经验的积累。这使得学生一旦脱离教师的引导，面对新题时缺乏独立思考和探究的能力。例1证明不等式[12-1+122-1+123-1+…+12n-1lt;53]（n∈N*）生解：因为2n-1gt;3·2n-2（n≥3），所以[12-1+122-1+123-1+…+12n-1]lt;1+[13]+[13⋅2]+[13⋅22]+…+[13⋅2n-2]=1+[13]+[13][⋅][121-12]（1-[12n-2]）=[53]-[13⋅2n-2]因为[13⋅2n-2]gt;0，所以[12-1+122-1+123-1+…+12n-1lt;53]（n∈N*）不可否认，这种解法很简洁，将原数列放缩为等比数列，使得问题轻松求解。但是如何获取这个最优解的呢？下次面对新面孔学生还能顺利解题吗？2.对策：注重经验积累，让反思更深入因此，在上述问题的教学中，教师可以带领学生思考三个问题：（1）为什么想到这种方法？放缩的本质内涵是什么？（2）有没有其他放缩的形式？（3）有没有其他解决问题的角度？教师可以提示学生观察通项[12n-1]，要想得到理想效果直接将[12n-1]变成等比数列[12n]，虽然容易求和但是发现方向反了；因此必须将分母2n-1变小，此时发现[k+1k+1⋅]2n-1=[kk+1⋅]2n+[kk+1⋅]2n-1，这样只要保证[1k+1⋅]2n-1≥0即可。若k=3，得到n≥2，就可以带来上面的不等式2n-1gt;3[⋅]2n-2（n≥3）。有了这样的分析，学生可以发现很多其他放缩方法。对解题方法的本质挖掘，不仅可以让学生学会一题多解，从结果来看当k取值越大，放缩越精确，学生进一步学会了这种从弥补的角度进行放缩，从而达到“见木见林”的高度。继续解决例1，教师可以引导学生进一步反思证明不等式除了放缩为等比数列，还可以放缩为裂项相消的方法。教师要善于与学生一起分析每一个步骤的合理性，尝试其他可能的解法并比较优劣，注重底层逻辑的挖掘，一起从题目的条件和问题中挖掘出一般性的解题策略和数学思想。通过这样的教学，可以使得学生的每一次解题的经历转化为应对多样化的数学问题的能力，从而进一步提升数学思维品质。三、走出引导误区，注重让位真思1.误区：重视解题分析的引导，忽视第一思维的让位由于教学进度的压力，为了让学生尽快掌握解题方法、提高解题能力，教师通常选择直接向学生展示标准的解题步骤和方法，从题目条件的分析、相关知识点的运用到最终答案的得出，都进行细致入微的引导和讲解，却忽略了学生第一思维的发展空间，这一现象值得深入研究和反思。由于对知识系统性传授的认知偏差，教师往往认为只有通过完整、系统的讲解过程，才能让学生构建起严密的数学知识体系，忽略了学生在探索过程中形成的知识建构方式。其实数学课不仅仅要让学生掌握知识和解题技巧，还要注重基本的活动经验积累。第一思维的让位会对学生思维的独立性产生抑制，让学生逐渐形成依赖心理，遇到问题首先等待教师的讲解，而不是主动运用自己的思维去尝试解决，缺乏独立思考和分析问题的能力。第一思维蕴含着学生独特的创造力和想象力，忽视其发展会导致学生思维的固化。第一思维的让位会导致学生学习兴趣的降低，由于缺乏自主探索和成功解决问题的体验，学生对数学学习的兴趣逐渐减弱。数学学习变成了被动地接受知识和模仿解题，而不是主动地探索和发现数学的乐趣。2.对策：注重让位真思，让参与更充分当学生在自主探索过程中遇到困难时，教师要把握好介入的时机和方式。不能直接给出答案，而应通过提问、启发等方式引导学生进一步思考自己的思路，帮助他们发现问题所在，并尝试自己修正和完善。在学生尝试解决问题但陷入困境时，教师可以提问：“你是怎么理解题目中的这个条件的？你为什么会选择这样的解题方法？”引导学生反思自己的思维过程。在学生充分表达和尝试自己的第一思维后，教师再展示标准的解题分析方法，并与学生的思路进行对比。让学生明白不同思维方式的优缺点，引导他们将自己的思维与教师的引导相结合，形成更加完善的解题策略。教师还可以将学生提出的不同解题思路和标准解法一起列在黑板上，从解题的简洁性、准确性、通用性等方面进行对比分析，帮助学生拓宽思维视野。例2：已知椭圆E：[x24]+y2=1的左，右顶点分别为A，B，圆x2+y2=4上有一动点P，P在x轴上方，C（1，0），直线PA交椭圆E于点D，连结DC，PB。设直线PB，DC的斜率存在且分别为k1，k2，若k1=λk2，求λ的取值范围。例2的通常解法思路为路径1：[设AP：y=k（x+2）→D点坐标→k2——P点坐标→k1——————→λ=f（k1）]事实上，例2学生除了上面给出的解题思路外，教学实践中学生的出发点和想法还有很多，比如路径2：设BP：y=k1（x-2）→AP：y=-[1k1]（x+2）→D点坐标→k2→λ=g（k1）路径3：设CD：y=k2（x-1）→D点坐标→kAD→k1→λ=h（k2）设点和设线是解析几何的两大出发点，本题学生提出的其他路径同样能顺利地解决问题，这样的思考是有效的、贴近学生实际的。重视解题分析的引导与保护学生的第一思维同等重要。通过营造适宜的教学环境、合理介入引导以及进行有效的对比整合，让学生充分参与，实现两者的平衡发展，激发学生的数学学习兴趣，培养其独立思考和创新思维能力。教师在课堂上要鼓励学生大胆表达自己的第一思维，无论其想法是否正确，都给予充分的尊重和耐心的倾听。在讲解前，先让学生独立思考几分钟，然后请学生分享自己的初步想法和思路，教师不急于评价，而是引导其他学生进行讨论和分析，从而营造宽松的思维环境。四、走出示范误区，注重试错纠错1.误区：重视规范解答的示范，忽视错误资源的利用传统的解题教学往往侧重于规范解答的示范，却忽视了对学生错误的挖掘与利用。例3：已知数列{an}的前n项的和为Sn，a1=1，an+1=[13]Sn，求数列{an}的通项公式。规范解答如下：因为a1=1，an+1=[13]Sn，得到n≥2，an=[13]Sn-1，由两式相减，得到an+1-an=[13]an（n≥2），所以an="""""。应该说教师在解题教学中规范解答示范必不可少，但是本题讲解就这样结束，学生会提出不少质疑，下次面对类似的题目还会继续走不少弯路，那么面对学生中产生的多种思维角度尤其是多种得不到正确结果的方法我们如何处理呢？2.对策：注重试错纠错，让资源再利用学生错误解题过程若能得到妥善运用，将成为提升学生数学素养与解题能力的有效工具。对于本题，学生的两种典型错误如下。方法1：因为a1=1，an+1="[13]Sn，得到n≥2，an="[13]Sn-1。两式相减，得an+1-an="[13]an，所以an=（[43]）n-1。方法2：因为a1=1，an+1=[13]Sn，又因为an+1=Sn+1-Sn，得到Sn+1="[43]Sn，Sn=（[43]）n-1，求得an="[13]（[43]）n-2。可以发现学生的这两种解法得到的结果不一样，与教师给出的示范解答也不一样，看来两种方法都出现了错误。认真思考，仔细分析，发现方法1与正确答案的区别就是忽略了n≥2。事实上，学生在解这类数学题的过程中经常会忽略这样的范围，所以教师应该让错误资源再利用，让学生在知错中醒悟。方法2中，学生从消去通项an的角度来解决问题，这样的解题出发点很好，但是问题又出在哪里呢？通过与学生一起纠错，发现由Sn=（[43]）n-1求an的过程中应该依据an=[S1，n=1Sn-Sn-1，n≥2]，从而得到正解an=。学生的典型错误反映了学生在知识理解、思维逻辑、解题方法运用等方面的漏洞与偏差。通过对错误的分析与纠正，能够精准定位学生的学习难点和易错点，学生也能更深刻地理解数学概念与原理，避免再次犯错。错误资源犹如一面镜子