2025年山东省烟台市福山区中考数学一模试卷

第1页（共1页）2025年山东省烟台市福山区中考数学一模试卷一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的。1．（3分）下列各数中与3互为相反数的是（）A．|﹣3| B． C． D．2．（3分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．（3分）下列运算中，计算正确的是（）A．6m3÷2m＝3m2 B．（﹣2m2）3＝﹣6m6 C．m2+m3＝2m3 D．（m﹣n）2＝m2﹣n24．（3分）小明在参观某工厂时发现了一个工件，并画出如图所示的三视图，则该工件体积为（）cm3．A．17π B．20π C．36π D．68π5．（3分）随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳“出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉．已知AB∥DE，AD∥EF，∠BCE＝67°，∠CEF＝133°，则∠A的度数为（）A．123° B．114° C．113° D．106°6．（3分）小明在九年级上学期参加了四次单元过关，以及期中和期末考试，所有考试的数学成绩如表所示，若根据如图所示的权重计算本学期的总评成绩，则小明在本学期的总评成绩是多少分（）测试类型单元测试期中期末1234成绩（分）908586899088A．87.25 B．87.5 C．88 D．88.557．（3分）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子，第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……，按照这一规律，有一种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是90个，请问这是第几种化合物的分子结构？（）A．40 B．42 C．44 D．468．（3分）如图．∠BOD＝45°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE⊥BD；②∠ADB＝30°；③DFAF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形．其中，判断正确的是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④9．（3分）如图，点A，B、C是⊙O与坐标轴三个交点，P是上动点（包括端点A和B），AN⊥PC于点N，⊙O半径为2，M（4，0），点P从A到B运动中，线段MN扫过面积是（）A．4 B．5 C．8+π D．10﹣π10．（3分）已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，等腰直角△OEF斜边EF＝4．如图1，先将矩形CD边放在Rt△OEF的斜边EF上，点A与点O重合，然后向右平移△OEF（如图2），直至点E与点D重合时停止（如图3）．设平移距离AO为x，矩形ABCD与△OEF重合部分的面积为y，那么y关于x的函数图象大致为（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）新高考“3+1+2”选科模式是指，除语文、数学、外语3门科目以外，学生应在历史和物理2门首选科目中选择1科，在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选择2科．某同学从4门再选科目中随机选择2科，恰好选择地理和化学的概率为．12．（3分）将一副常规三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则∠1＝°．13．（3分）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以对角线AC为直径作圆，则图中阴影部分的面积为．14．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c均为常数，且0＜c＜a）经过点（1，0），下列结论；：①abc＜0；②2a+b＞0；③当x＞1时，y随x的增大而增大；④关于x的方程ax2+bx+b+c＝0有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是个．15．（3分）如图，点A，B，C分别在反比例函数的图象上，AC垂直于y轴，交y轴于点E，BC垂直于x轴，交x轴于点F，AB经过原点，若S△ABC＝5，则k1+k2﹣2k3的值为．16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边AB的中点，以AE，BE为边分别作等腰△AEM和等腰△BEN，其中AE＝ME，BE＝NE，∠MEN＝90°，延长AM，BN交于点F，连结FE，则线段FE的最大值是．三、解答题（本大题共9个小题，满分72分）17．（9分）（1）先化简，再求值：，其中m＝sin60°﹣tan30°．（2）解不等式组：并将解集在数轴上表示出来．18．（5分）已知：四边形ABCD．求作：一个⊙O．使⊙O与直线AB相切，并且点O到边AD和边DC的距离相等，到点B和点C的距离也相等．19．（7分）随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：配送速度和服务质量得分统计表：项目统计快递公司配送速度得分服务质量得分平均数（单位：分）中位数（单位：分）平均数（单位：分）方差甲7.87.57S甲2乙m87S乙2（1）补全频数分布直方图，并求扇形统计图中圆心角α的度数为；（2）表格中的m＝；S甲2S乙2（填“＞”或“＜”）；（3）综合上表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择家公司？（4）从甲公司抽取获得7分的3位快递员（2名男生，1名女生），当中抽取2人再次进行配送速度调查，请用列表或者画树状图的方法计算恰好抽到的都是男生概率．20．（7分）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A（3，m），B两点．（1）求直线AB的函数表达式及点B的坐标；（2）过点A的直线分别与x轴、反比例函数的图象交于点M，N．且，连接BM，求的△ABM的面积．21．（7分）如图1是某商场的入口，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，如图2是它的示意图，点P、A、C在同一水平线上，经过测量，支架的立柱BC与地面PC垂直（∠ACB＝90°），BC＝3米，支撑杆DE⊥AB于点E，∠BDE＝α且，从点B观测点D的仰角为45°，又测得BE＝4米．（1）求该支架的边BD的长；（2）求支架的边BD的顶端点D到地面PC的距离DF．（结果保留根号）22．（8分）某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售，若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为W内（元）（利润＝销售售额﹣成本﹣广告费）．若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳元的附加费，设月利润为W外（元）（利润＝销售额﹣成本﹣附加费）．（1）分别求出W内，W外与x之间的函数关系式（不需写x的取值范围）；（2）①当x为何值时，在国内销售的月利润最大？②若国外销售月利润的最大值与国内销售月利润的最大值相同，则a的值；（3）如果某月要将5000件产品全部销售完，因外销售的成本a为30元/件，请你通过分析帮助公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？23．（8分）如图①，△ABC中，AB＝AC，点D为BC边上一点，以BD为直径作⊙O，点A在⊙O上，过点B作BE⊥AC交CA的延长线于点E，交⊙O于点F，连接AF．（1）求证：△ABF≌△CAD；（2）如图②，当AC与⊙O相切时，四边形AFBO是什么特殊四边形？证明你的结论．24．（10分）（1）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°．过点A作AD⊥BC，垂足为D．以点D为顶点作Rt△DEF，使上∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，连接BE，FA，延长FA分别交ED，BE于点G，H．①求证：AF＝BE；②求证：FH⊥BE．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°．过点A作AD⊥BC，垂足为D．以点D为顶点作Rt△DEF，使∠EDF＝90°，∠DEF＝30°，连接BE，FA，延长FA分别交ED，BE于点G，H．①猜想AF与BE的数量关系并证明；②猜想FH与BE的位置关系并证明．中，∠BAC＝90°，∠ABC＝a．过点A作AD⊥BC，垂足为D．（3）如图3，在以点D为顶点作Rt△DEF，使∠EDF＝90°，∠DEF＝a．连接BE，FA，延长FA分别交ED，BE于点G，H，则AF与BE的数量关系为；FH与BE的位置关系为．25．（11分）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点D为直线BC上方抛物线上一动点，连接AC、CD，设直线BC交线段AD于点E，△CDE的面积为S1，△ACE的面积为S2，当最大值时，求点D的坐标；（3）如图3，P、Q分别为抛物线上第一、四象限两动点，连接AP、AQ，分别交y轴于M、N两点，若在P、Q两点运动过程中，始终有MO与NO的积等于2；试探究直线PQ是否过某一定点；若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．

2025年山东省烟台市福山区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案CCAABDCDBA一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的。1．（3分）下列各数中与3互为相反数的是（）A．|﹣3| B． C． D．【解答】解：A、3和3的绝对值是同一个数，故A错误，不符合题意．B、3和，是互为倒数，故B错误，不符合题意．C、3，故C正确；符合题意；D、3，不是相反数，故D错误．故选：C．2．（3分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解答】解：左起第一个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形；第三个图形不是轴对称图形；第二和第四两个图形是轴对称图形但不是中心对称图形；故选：C．3．（3分）下列运算中，计算正确的是（）A．6m3÷2m＝3m2 B．（﹣2m2）3＝﹣6m6 C．m2+m3＝2m3 D．（m﹣n）2＝m2﹣n2【解答】解：6m3÷2m＝3m2，则A符合题意，（﹣2m2）3＝﹣8m6，则B不符合题意，m2与m3无法合并，则C不符合题意，（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2，则D不符合题意，故选：A．4．（3分）小明在参观某工厂时发现了一个工件，并画出如图所示的三视图，则该工件体积为（）cm3．A．17π B．20π C．36π D．68π【解答】解：由三视图可得，该工件体积为（2÷2）2×π×1+（4÷2）2×π×4＝π+16π＝17π（cm3）．故选：A．5．（3分）随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳“出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉．已知AB∥DE，AD∥EF，∠BCE＝67°，∠CEF＝133°，则∠A的度数为（）A．123° B．114° C．113° D．106°【解答】解：∵AB∥DE，∠BCE＝67°，∴∠CED＝∠BCE＝67°，∵∠CEF＝133°，∴∠DEF＝133°﹣67°＝66°，∵AD∥EF，∴∠D＝∠DEF＝66°，∵AB∥DE，∴∠A＝180°﹣∠D＝180°﹣66°＝114°，故选：B．6．（3分）小明在九年级上学期参加了四次单元过关，以及期中和期末考试，所有考试的数学成绩如表所示，若根据如图所示的权重计算本学期的总评成绩，则小明在本学期的总评成绩是多少分（）测试类型单元测试期中期末1234成绩（分）908586899088A．87.25 B．87.5 C．88 D．88.55【解答】解：（90+85+86+89）10%+90×（1﹣10%﹣60%）+88×60%＝88.55（分），即小明在本学期的总评成绩是88.55分．故选：D．7．（3分）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子，第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……，按照这一规律，有一种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是90个，请问这是第几种化合物的分子结构？（）A．40 B．42 C．44 D．46【解答】解：由所给图形可知，第1种化合物分子结构模型中，氢原子的个数为：4＝1×2+2；第2种化合物分子结构模型中，氢原子的个数为：6＝2×2+2；第3种化合物分子结构模型中，氢原子的个数为：8＝3×2+2；…，所以第n种化合物分子结构模型中，氢原子的个数为（2n+2）个．令2n+2＝90，解得n＝44，即第44种化合物分子结构模型中，氢原子的个数为90个．故选：C．8．（3分）如图．∠BOD＝45°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE⊥BD；②∠ADB＝30°；③DFAF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形．其中，判断正确的是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④【解答】解：①∵四边形ABCD是矩形，∴EB＝ED，∵BO＝DO，∴OE⊥BD故①正确；②∵∠BOD＝45°，BO＝DO，∴∠ABD（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠ADB＝90°﹣67.5°＝22.5°，故②错误；③∵四边形ABCD是矩形，∴∠OAD＝∠BAD＝90°，∴∠ABD+∠ADB＝90°，∵OB＝OD，BE＝DE，∴OE⊥BD，∴∠BOE+∠OBE＝90°，∴∠BOE＝∠BDA，∵∠BOD＝45°，∠OAD＝90°，∴∠ADO＝45°，∴AO＝AD，∴△AOF≌△ADB（ASA），∴OF＝BD，∴AF＝AB，连接BF，如图1，∴BFAF，∵BE＝DE，OE⊥BD，∴DF＝BF，∴DFAF，故③错误；④根据题意作出图形，如图2，∵G是OF的中点，∠OAF＝90°，∴AG＝OG，∴∠AOG＝∠OAG，∵∠AOD＝45°，OE平分∠AOD，∴∠AOG＝∠OAG＝22.5°，∴∠FAG＝67.5°，∠ADB＝∠AOF＝22.5°，∵四边形ABCD是矩形，∴EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA＝22.5°，∴∠EAG＝90°，∵∠AGE＝∠AOG+∠OAG＝45°，∴∠AEG＝45°，∴AE＝AG，∴△AEG为等腰直角三角形，故④正确；∴判断正确的是①④．故选：D．9．（3分）如图，点A，B、C是⊙O与坐标轴三个交点，P是上动点（包括端点A和B），AN⊥PC于点N，⊙O半径为2，M（4，0），点P从A到B运动中，线段MN扫过面积是（）A．4 B．5 C．8+π D．10﹣π【解答】解：如图，∵AN⊥CP，∴∠ANC＝90°，∴N在以AC为直径的圆上运动，∵OA＝OC＝2，∠AOC＝90°，∴AC，∴S弓形AON（S半圆AOC﹣S△AOC），当P在上运动时，点N在上运动，∴MN扫过的面积为：．故选：B．10．（3分）已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，等腰直角△OEF斜边EF＝4．如图1，先将矩形CD边放在Rt△OEF的斜边EF上，点A与点O重合，然后向右平移△OEF（如图2），直至点E与点D重合时停止（如图3）．设平移距离AO为x，矩形ABCD与△OEF重合部分的面积为y，那么y关于x的函数图象大致为（）A． B． C． D．【解答】解：当0≤x≤1时，如图，此时O在线段AB上，OE与AD交于M，OF与BC交于N，∵△OEF为等腰直角三角形，四边形ABCD是矩形，∴∠E＝∠EMD＝∠AMO＝∠AOM＝∠F＝∠FNC＝∠BNO＝∠NOB＝45°，∴OA＝AM＝x，OB＝BN＝1﹣x，∴；当1＜x≤2时，如图，此时O在线段AB外，OE与AD交于M，与BC交于N，同理可得OA＝AM＝x，OB＝BN＝x﹣1，∴；综上，故选A．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）新高考“3+1+2”选科模式是指，除语文、数学、外语3门科目以外，学生应在历史和物理2门首选科目中选择1科，在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选择2科．某同学从4门再选科目中随机选择2科，恰好选择地理和化学的概率为．【解答】解：设思想政治、地理、化学、生物学4门科目分别为A，B，C，D，画树状图如图所示，由图可知，共有12种等可能结果，其中该同学恰好选中地理和化学两科的有2种结果，所以该同学恰好选择地理和化学两科的概率为．故答案为：．12．（3分）将一副常规三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则∠1＝75°．【解答】解：如图，由题意得：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠A＝30°，∠DFE＝45°，EF⊥AC，∴∠EFA＝90°，∴∠DFA＝∠EFA﹣∠DFE＝90°﹣45°＝45°，∴∠1＝∠DFA+∠A＝45°+30°＝75°，故答案为：75．13．（3分）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以对角线AC为直径作圆，则图中阴影部分的面积为．【解答】解：如图，过点B作BM⊥AC，垂足为M，∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形，∴AB＝BC＝2，∠ABC120°，∴AM＝MC，∠ABM＝∠CBM∠ABC＝60°，在Rt△ABM中，AB＝2，∠ABM＝60°，∴BMAB＝1，AMAB，∴AC＝2AM＝2，∴S阴影部分＝S半圆﹣S△ABCπ×（）221．故答案为：．14．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c均为常数，且0＜c＜a）经过点（1，0），下列结论；：①abc＜0；②2a+b＞0；③当x＞1时，y随x的增大而增大；④关于x的方程ax2+bx+b+c＝0有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是4个．【解答】解：②∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），∴a+b+c＝0，∵0＜c＜a，∴a+b+a＞0，即2a+b＞0，故②正确；①∵a+b+c＝0，0＜c＜a，∴b＜0，∴abc＜0，故①正确；③∵2a+b＞0，∴对称轴，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，故③正确；④∵a+b+c＝0，∴b+c＝﹣a，对于方程ax2+bx+b+c＝0，Δ＝b2﹣4×a×（b+c）＝b2+4a2＞0，∴方程ax2+bx+b+c＝0有两个不相等的实数根，故④正确；故答案为：4．15．（3分）如图，点A，B，C分别在反比例函数的图象上，AC垂直于y轴，交y轴于点E，BC垂直于x轴，交x轴于点F，AB经过原点，若S△ABC＝5，则k1+k2﹣2k3的值为﹣10．【解答】解：根据反比例函数的比例系数的几何意义得，，，S矩形OECF＝|k3|＝k3，∵S△ABC＝5，∴，∴k1+k2﹣2k3＝﹣10．故答案为：﹣10．16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边AB的中点，以AE，BE为边分别作等腰△AEM和等腰△BEN，其中AE＝ME，BE＝NE，∠MEN＝90°，延长AM，BN交于点F，连结FE，则线段FE的最大值是．【解答】解：∵∠MEN＝90°，∴∠AEM+∠BEN＝90°，∴∠EAM+∠AME+∠EBN+∠ENB＝360°﹣90°＝270°，∵AE＝EM，BE＝EN，∠EAM＝∠AME，∠EBN＝∠ENB，∴∠EAM+∠EBN＝135°，∴∠AFB＝45°，为定值．以AB为斜边向上作等腰Rt△OBA，∴F在以O为圆心OA为半径的圆上，∴当EF过圆心O时EF最大，∵正方形ABCD的边长为2，∴AE＝BE＝1，∴OE＝AE＝1，∴，∴．故答案为：1．三、解答题（本大题共9个小题，满分72分）17．（9分）（1）先化简，再求值：，其中m＝sin60°﹣tan30°．（2）解不等式组：并将解集在数轴上表示出来．【解答】解：（1），当，，（2）解不等式3（x﹣1）＞x．得，解不等式，得x≤1．在数轴上表示不等式的解集为：所以不等式组无解．18．（5分）已知：四边形ABCD．求作：一个⊙O．使⊙O与直线AB相切，并且点O到边AD和边DC的距离相等，到点B和点C的距离也相等．【解答】解：如图，分别作∠ADC的平分线和线段BC的垂直平分线，相交于点O，过点O作AB的垂线，交AB于点E，以点O为圆心，OE的长为半径画圆，则⊙O即为所求．19．（7分）随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：配送速度和服务质量得分统计表：项目统计快递公司配送速度得分服务质量得分平均数（单位：分）中位数（单位：分）平均数（单位：分）方差甲7.87.57S甲2乙m87S乙2（1）补全频数分布直方图，并求扇形统计图中圆心角α的度数为72°；（2）表格中的m＝8；S甲2＞S乙2（填“＞”或“＜”）；（3）综合上表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择乙家公司？（4）从甲公司抽取获得7分的3位快递员（2名男生，1名女生），当中抽取2人再次进行配送速度调查，请用列表或者画树状图的方法计算恰好抽到的都是男生概率．【解答】解：（1）甲快递公司配送速度得分为9分的有10﹣2﹣3﹣1﹣1＝3（户），补全频数分布直方图如下：360°×（1﹣10%﹣40%﹣20%﹣10%）＝72°，即扇形统计图中圆心角α的度数为72°，故答案为：72°；（2）乙快递公司派送速度的平均数m＝6×10%+7×（1﹣10%﹣40%﹣20%﹣10%）+8×40%+9×20%+10×10%＝8（分），样本中甲快递公司配送速度得分依次为6，6，7，7，7，8，9，9，9，10，乙快递公司配送速度得分依次是6，7，7，8，8，8，8，9，9，10，∴S甲2[（6﹣7.8）2×2+（7﹣7.8）2×3+（8﹣7.8）2+（9﹣7.8）2×3+（10﹣7.8）2]＝1.76；乙2[（6﹣8）2+（7﹣8）2×2+（9﹣8）2×2+（10﹣8）2]＝1.2；∵1.76＞1.2，∴S甲2＞S乙2，故答案为：8，＞；（3）选择乙快递公司，理由：乙快递公司的配送速度得分的平均数，中位数均比甲配送公司的高，故答案为：乙；（4）从2男1女三名快递员中随机选择2人，所有可能出现的结果如下：共有6种等可能出现的结果，其中2人是男生的有2人，所以从2男1女三名快递员中随机选择2人都是男生的概率为．20．（7分）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A（3，m），B两点．（1）求直线AB的函数表达式及点B的坐标；（2）过点A的直线分别与x轴、反比例函数的图象交于点M，N．且，连接BM，求的△ABM的面积．【解答】解：（1）将A（3，m）代入反比例函数得：m＝4，∴A（3，4），将点A（3，4）代入得：b＝6，∴直线AB的函数表达式为，联立直线与反比例函数得：，解得，∴点B的坐标为（6，2）；（2）过点A作AP⊥x轴于P，过点N作NQ⊥AP于Q，设AB与x轴交于H，∴MP∥NQ，∴，∵A（3，4），∴AP＝4，∴PQ＝3，∴N（﹣4，﹣3），设线AM的解析式为y＝k′x+b′，∴，解得，∴直线AM的解析式为y＝x+1，令y＝0，则x＝﹣1，∴M（﹣1，0），．∵直线AB的函数表达式为，令y＝0，则x＝9，∴H（9，0），∴．21．（7分）如图1是某商场的入口，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，如图2是它的示意图，点P、A、C在同一水平线上，经过测量，支架的立柱BC与地面PC垂直（∠ACB＝90°），BC＝3米，支撑杆DE⊥AB于点E，∠BDE＝α且，从点B观测点D的仰角为45°，又测得BE＝4米．（1）求该支架的边BD的长；（2）求支架的边BD的顶端点D到地面PC的距离DF．（结果保留根号）【解答】解：（1）∵DE⊥AB，∴△DBE是直角三角形，在Rt△DBE中，，∵BE＝4，∴BD＝10，即该支架的边BD的长为10米；（2）根据已知可得，在Rt△DBG中∠DBG＝45°，且BD＝10，∴，即，解得：，在矩形GFCB中，GF＝BC＝3，∴DF＝DG+GF＝（53）米．22．（8分）某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售，若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为W内（元）（利润＝销售售额﹣成本﹣广告费）．若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳元的附加费，设月利润为W外（元）（利润＝销售额﹣成本﹣附加费）．（1）分别求出W内，W外与x之间的函数关系式（不需写x的取值范围）；（2）①当x为何值时，在国内销售的月利润最大？②若国外销售月利润的最大值与国内销售月利润的最大值相同，则a的值30；（3）如果某月要将5000件产品全部销售完，因外销售的成本a为30元/件，请你通过分析帮助公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？【解答】解：（1）W内＝yx﹣20x﹣62500；；（2）①由W内得：当x＝6500时，国内销售的月利润率最大，②当x＝6500时，W内最大＝360000，∴当W外最大＝W内最大＝360000时，，∴（150﹣a）2＝14400，∴a1＝30，a2＝270（不含题意，舍去），∴a＝30，故答案为：30；（3）当x＝5000时，（元），当x＝5000，a＝30时，（元），∵337500＜350000，∴选择国外销售．23．（8分）如图①，△ABC中，AB＝AC，点D为BC边上一点，以BD为直径作⊙O，点A在⊙O上，过点B作BE⊥AC交CA的延长线于点E，交⊙O于点F，连接AF．（1）求证：△ABF≌△CAD；（2）如图②，当AC与⊙O相切时，四边形AFBO是什么特殊四边形？证明你的结论．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵BD为直径，∴∠BAD＝90°，∴∠ABD+∠ADB＝90°，∵BE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠EAF+∠AFE＝90°，∵四边形AFBD是⊙O的内接四边形，∴∠AFB＝∠ADC，ADC＝∠AFB，∴∠EAF＝∠ABC＝∠C，∴AF∥BD，∴∠FAB＝∠ABC＝∠C，在△ABF和△CAD中，，∴△ABF≌△CAD（AAS）；（2）解：四边形AFBO是菱形，证明：∵AC与⊙O相切，∴OA⊥CE，∵BE⊥CE，∴OA∥BE，∵AF∥OB，∴四边形AFBO是平行四边形，∵OA＝OB，∴四边形AFBO是菱形．24．（10分）（1）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°．过点A作AD⊥BC，垂足为D．以点D为顶点作Rt△DEF，使上∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，连接BE，FA，延长FA分别交ED，BE于点G，H．①求证：AF＝BE；②求证：FH⊥BE．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°．过点A作AD⊥BC，垂足为D．以点D为顶点作Rt△DEF，使∠EDF＝90°，∠DEF＝30°，连接BE，FA，延长FA分别交ED，BE于点G，H．①猜想AF与BE的数量关系并证明；②猜想FH与BE的位置关系并证明．中，∠BAC＝90°，∠ABC＝a．过点A作AD⊥BC，垂足为D．（3）如图3，在以点D为顶点作Rt△DEF，使∠EDF＝90°，∠DEF＝a．连接BE，FA，延长FA分别交ED，BE于点G，H，则AF与BE的数量关系为AF＝BE•tana；FH与BE的位置关系为FH⊥BE．【解答】（1）证明：①∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∵AD⊥BC，∴∠BDA＝90°，∠BAD＝45°，即BD＝AD，∵∠EDF＝90°，∴∠BDA+∠EDA＝∠ADF+∠EDA，即∠BDA＝∠ADF，∵∠DEF＝45°，∴∠DFE＝45°，则ED＝DF，在△BED和△AFD中，，∴△BED≌△AFD（SAS），∴AF＝BE；②在①中，知道△BED≌△AFD（SAS），则∠BED＝∠AFD，∵∠HGE＝∠DG