2025年上海市闵行区中考数学二模试卷

第1页（共1页）2025年上海市闵行区中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）3的倒数的是（）A．3 B．﹣3 C． D．2．（4分）下列计算正确的是（）A．a+a2＝a3 B．a2+b2＝（a+b）2 C．（2a2）3＝8a5 D．（ab）2＝a2b23．（4分）下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（）A． B．y＝﹣x+1 C．y＝x2 D．y＝3x4．（4分）某校足球社团共有30名成员，他们的年龄在12岁至16岁之间，在统计全体社团成员的年龄时，14岁和15岁的人数尚未统计完全，并制作了如下的表格，根据表格，关于全体社团成员年龄的统计量能确定的是（）年龄（单位：岁）1213141516人数（单位：名）7112A．平均数和中位数 B．平均数和方差 C．众数和中位数 D．众数和方差5．（4分）正多边形的一个外角的大小y（度）随着它的边数n的变化而变化，下列说法正确的是（）A．y与n之间是正比例函数关系 B．y与n之间是反比例函数关系 C．y与n之间是一次函数关系 D．y与n之间是二次函数关系6．（4分）如图，在等边三角形ABC中，D、E分别在AB、AC上，联结BE、CD交于O，联结AO交DE于点G．有下列两个命题：①如果DE∥BC，那么G为DE中点；②如果AO⊥DE，那么DE∥BC．对于这两个命题判断正确的是（）A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算：．8．（4分）因式分解：ab2﹣4a＝．9．（4分）根据电影发行方的数据，截至2025年2月18日12时电影《哪吒2》以120.9亿的票房高居春节档票房冠军，数据120.9亿元用科学记数法表示为元．10．（4分）函数的定义域是．11．（4分）方程的解是．12．（4分）已知关于x的方程x2﹣3x﹣m＝0有两个相等的实数根，那么m的值是．13．（4分）已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∠C＝30°，AD＝2，BC＝5，那么梯形ABCD的周长为．14．（4分）为了了解学生在家做家务情况，某校对部分学生进行抽样调查，并绘制了如图所示的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值）．如果该校有1500名学生，估计该校平均每周做家务的时间少于2小时的学生人数约是人．15．（4分）已知：如图，在▱ABCD中，E是边AB的中点，DE与对角线AC相交于点F．如果，那么（用含、的式子表示）．16．（4分）一个不透明的布袋中原来装有大小相同的红色和白色小球共8个，其中红色小球3个，要想从中随机抽取一个，使抽到红色小球的概率为50%，只需往布袋里加入个红球．17．（4分）已知等腰三角形ABC的底边BC长为8，它的外接圆⊙O半径为5，那么圆心O到腰AB的距离为．18．（4分）如图，在△ABC中，AB＝BC，点M是AC的中点，将线段AM绕点M逆时针旋转，点A落在边CB延长线上的点D处，联结MD，与边AB交于点E，AE＝3，DE＝2，那么AC的长为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）先化简：，再求当时此代数式的值．20．（10分）解不等式组．21．（10分）如图，在△ABC中，BE为中线，AD平分∠BAC，且AD⊥BE，分别交BE、BC于点H、D，EF⊥BE，交BC于点F，AB＝5，tan∠ABE．（1）求BE的长；（2）求tan∠EBC的值．22．（10分）一个数学兴趣小组尝试探究一次函数图象与两坐标轴所围成三角形面积的问题．为了较为全面地研究这个问题，他们准备把它分成两种类型问题来分别进行研究：类型Ⅰ：一条直线y＝kx+b（k、b都不为0）与两条坐标轴所围成的三角形面积大小；类型Ⅱ：两条直线l1：y1＝k1x+b1和l2：y2＝k2x+b2（k1≠k2、b1≠b2且都不为零）与坐标轴所围成的三角形的面积、直线l1与两条坐标轴所围成的三角形面积、直线l2与两条坐标轴所围成的三角形面积之间的关系．小组成员认为第一类问题只要将直线与两坐标轴的交点坐标分别求出来，就能解决；而第二类的问题需要根据两个函数k和b符号的不同情况，分别进行研究，才能得出相应的结论．（1）如图1，请你帮助小组求出△ABO的面积S（用含k和b的式子表示）．（2）将直线l1与两条坐标轴所围成的三角形面积记为S1，直线l2与两条坐标轴所围成的三角形面积记为S2，直线l1、l2和x轴所围成的三角形面积记为Sx，它们和y轴所围成的三角形面积记为Sy．i）在图2中已经画出了直线l1和l2大致图象的一种情况，那么关于这两个一次函数的k和b符号选项正确的是．（A）k1＞0，b1＞0，k2＞0，b2＞0；（B）k1＞0，b1＞0，k2＜0，b2＜0；（C）k1＞0，b1＜0，k2＜0，b2＞0；（D）k1＞0，b1＞0，k2＜0，b2＞0．此时S1、S2、Sx和Sy之间的关系式是．ii）如图3，保持直线l1不变，改变直线l2中k2和b2的符号（不考虑|k2|和|b2|的大小），请在图中画出直线l2的大致图象，此时S1、S2、Sx和Sy之间的关系式是．23．（12分）已知，如图：在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是边BC延长线上一点，联结AE，交BD于点F，交CD于点G．（1）求证：AF2＝FG•FE；（2）联结CF，如果∠DAE＝∠FCD，求证：四边形ABCD是菱形．24．（12分）定义：如果一条抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点坐标满足条件（t，at2），那么称该抛物线为“优雅”抛物线．例如：抛物线y＝2x2﹣4x+4的顶点坐标为（1，2），此时由于t＝1，a＝2，顶点坐标符合定义的条件，所以这条抛物线是“优雅”抛物线．（1）如果抛物线C1：y＝x2+4x+m是“优雅”抛物线，求m的值．（2）如图，把（1）中的抛物线C1向下平移得到抛物线C2，抛物线C2与y轴负半轴交于点B，顶点为点C，对称轴与x轴交于点A．①点E在CB延长线上，点D是x轴上一点，且四边形ABDE是矩形，求点E的坐标．②如果抛物线C3：y＝2x2+px+q为“优雅”抛物线，它的顶点G在x轴上，抛物线C2与C3交于点M，且AM∥BC，求抛物线C2的解析式．25．（14分）如图，在⊙O中，直径AB长为，弦BC的长为8，点D是BC上一点，过点D作OD的垂线交直线AB于点E．（1）求∠CBO的正切值．（2）当△BOD与△BDE相似时，求BD的长．（3）以点E为圆心，ED长为半径画⊙E，试根据线段BD的长度情况探究⊙E和⊙O的位置关系．

2025年上海市闵行区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）题号123456答案C．DBCBA一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）3的倒数的是（）A．3 B．﹣3 C． D．【解答】解：3的倒数是．故选：C．2．（4分）下列计算正确的是（）A．a+a2＝a3 B．a2+b2＝（a+b）2 C．（2a2）3＝8a5 D．（ab）2＝a2b2【解答】解：a+a2无法合并，则A不符合题意，a2+2ab+b2＝（a+b）2，则B不符合题意，（2a2）3＝8a6，则C不符合题意，（ab）2＝a2b2，则D符合题意，故选：D．3．（4分）下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（）A． B．y＝﹣x+1 C．y＝x2 D．y＝3x【解答】解：A、反比例函数y中，k＝3＞0，∴函数图象的两个分支分别位于第一三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，不符合题意；B、一次函数y＝﹣x+1中，k＝﹣1＜0，∴函数值y随x的增大而减小，符合题意；C、二次函数y＝x2中，∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，顶点在原点，∴当x＞0时，y随x的增大而增大，不符合题意；D、y＝3x中，∵k＝3＞0，∴y随x的增大而增大，不符合题意，故选：B．4．（4分）某校足球社团共有30名成员，他们的年龄在12岁至16岁之间，在统计全体社团成员的年龄时，14岁和15岁的人数尚未统计完全，并制作了如下的表格，根据表格，关于全体社团成员年龄的统计量能确定的是（）年龄（单位：岁）1213141516人数（单位：名）7112A．平均数和中位数 B．平均数和方差 C．众数和中位数 D．众数和方差【解答】解：由表可知，年龄为13岁与14岁的频数和为：30﹣7﹣11﹣2＝10，13岁人数有11人，该组数据的众数为13，中位数为：（13+13）÷2＝13，所以众数和中位数不受两个数据的影响．故选：C．5．（4分）正多边形的一个外角的大小y（度）随着它的边数n的变化而变化，下列说法正确的是（）A．y与n之间是正比例函数关系 B．y与n之间是反比例函数关系 C．y与n之间是一次函数关系 D．y与n之间是二次函数关系【解答】解：由题意可得y（n≥3，且n为整数），那么y与n之间是反比例函数关系，故选：B．6．（4分）如图，在等边三角形ABC中，D、E分别在AB、AC上，联结BE、CD交于O，联结AO交DE于点G．有下列两个命题：①如果DE∥BC，那么G为DE中点；②如果AO⊥DE，那么DE∥BC．对于这两个命题判断正确的是（）A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题【解答】解：①∵三角形ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠AED＝60°，∴△ADE为等边三角形，∴AD＝AE，∴BD＝CE，又∵∠ABC＝∠ACB＝60°，BC＝CB，∴△BDC≌△CEB（SAS），∴∠BDO＝∠CEO，∵∠BOD＝∠COE，BD＝CE，∴△BDO≌△CEO（AAS），∴DO＝EO，∴O为DE中垂线上的点，∵AD＝AE，∴A为DE中垂线上的点，∴AO垂直平分DE，∴G为DE中点；所以①为真命题；假设DE与BC不平行，作EH∥BC，EH与AO交于点F，作AK⊥EH，则：∠AKF＝90°，∠AKF＞∠AFK，∵AO⊥DE，∴∠AGE＝90°，∵∠AFK是△AGE的一个外角，∴∠AFK＞∠AGE，即：∠AFK＞90°，与∠AKF＞∠AFK矛盾，∴假设不成立，∴DE∥BC；故②为真命题．故选：A．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算：2．【解答】解：42．故答案为：2．8．（4分）因式分解：ab2﹣4a＝a（b+2）（b﹣2）．【解答】解：原式＝a（b2﹣4）＝a（b+2）（b﹣2），故答案为：a（b+2）（b﹣2）9．（4分）根据电影发行方的数据，截至2025年2月18日12时电影《哪吒2》以120.9亿的票房高居春节档票房冠军，数据120.9亿元用科学记数法表示为1.209×1010元．【解答】解：120.9亿＝12090000000＝1.209×1010．故答案为：1.209×1010．10．（4分）函数的定义域是x≠﹣2．【解答】解：根据题意可得x+2≠0；解得x≠﹣2；故答案为x≠﹣2．11．（4分）方程的解是x＝﹣3．【解答】解：原方程两边同时平方得：12+x＝x2，整理得：x2﹣x﹣12＝0，因式分解得：（x+3）（x﹣4）＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝4，经检验，x＝﹣3是原方程的解，x＝4不是原方程的解，故答案为：x＝﹣3．12．（4分）已知关于x的方程x2﹣3x﹣m＝0有两个相等的实数根，那么m的值是．【解答】解：由题知，因为关于x的方程x2﹣3x﹣m＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣m）＝0，解得m．故答案为：．13．（4分）已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∠C＝30°，AD＝2，BC＝5，那么梯形ABCD的周长为7+3．【解答】解：过D作DH⊥BC于H，∵AD∥BC，∠A＝90°，∴∠B＝90°，∴∠A＝∠B＝∠BHD＝90°，∴四边形ABHD是矩形，∴BH＝AD＝2，DH＝AB，∵BC＝5，∴CH＝3，∵∠CHD＝90°，∠C＝30°，∴DH＝CH•tan30°＝3，∴CD＝2DH＝2，∴梯形ABCD的周长＝AB+BC+CD+AD5+22＝7+3，故答案为：7+3．14．（4分）为了了解学生在家做家务情况，某校对部分学生进行抽样调查，并绘制了如图所示的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值）．如果该校有1500名学生，估计该校平均每周做家务的时间少于2小时的学生人数约是720人．【解答】解：1500720（人），估计该校平均每周做家务的时间少于2小时的学生人数约是720人．故答案为：720．15．（4分）已知：如图，在▱ABCD中，E是边AB的中点，DE与对角线AC相交于点F．如果，那么（用含、的式子表示）．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB．∵E是边AB的中点，∴DC：AE＝AB：AE＝2：1，∴DF：EF＝DC：AE＝2：1，∴DF：DE，∵，∴（），∴．故答案为：．16．（4分）一个不透明的布袋中原来装有大小相同的红色和白色小球共8个，其中红色小球3个，要想从中随机抽取一个，使抽到红色小球的概率为50%，只需往布袋里加入2个红球．【解答】解：设需往布袋里加入x个红球，∵从中随机抽取一个，使抽到红色小球的概率为50%，∴50%，解得：x＝2，经检验x＝2是原分式方程的解，∴需往布袋里加入2个红球．故答案为：2．17．（4分）已知等腰三角形ABC的底边BC长为8，它的外接圆⊙O半径为5，那么圆心O到腰AB的距离为或2．【解答】解：分圆心在内接三角形内和在内接三角形外两种情况讨论，如图一，假若∠A是锐角，△ABC是锐角三角形，连接OA并延长交BC于D，连接OB，∵AB＝AC，∴，∴AD⊥BC，∴CDBC＝4，∵OB＝5，∴OD3，∴AD＝8，∴AB4，过O作OE⊥AB于E，∵OA＝OB，∴AEAC＝2，∴OE，∴圆心O到腰AB的距离为；若∠A是钝角，则△ABC是钝角三角形，连接OA交BC于D，连接OB，∵AB＝AC，∴，∴AD⊥BC，∴CDBC＝4，∵OB＝5，∴OD3，∴AD＝2，∴AB2，过O作OE⊥ACB于E，∵OA＝OB，∴AEAB，∴OE2，∴圆心O到腰AB的距离为2；综上所述，圆心O到腰AB的距离为或2；故答案为：或2．18．（4分）如图，在△ABC中，AB＝BC，点M是AC的中点，将线段AM绕点M逆时针旋转，点A落在边CB延长线上的点D处，联结MD，与边AB交于点E，AE＝3，DE＝2，那么AC的长为3．【解答】解：如图，连接AD，过A作AF∥BC交DM延长线于F，由题意知∠ADC＝90°，AM＝DM＝CMAC，∴∠MDC＝∠BAC＝∠ACB，∴∠AEM＝∠DEB，∴△AEM∽△DEB，∴，设ME＝3k，则EB＝2k，AC＝4+6k，∵AF∥BC，∴，即，解得：k（负值已舍去），∴AC＝4+6k＝4+63，故答案为：3．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）先化简：，再求当时此代数式的值．【解答】解：，因为，所以原式．20．（10分）解不等式组．【解答】解：解不等式①，得x，解不等式②，得x≤8，则不等式组的解集为x．21．（10分）如图，在△ABC中，BE为中线，AD平分∠BAC，且AD⊥BE，分别交BE、BC于点H、D，EF⊥BE，交BC于点F，AB＝5，tan∠ABE．（1）求BE的长；（2）求tan∠EBC的值．【解答】解：（1）∵AD⊥BE，∴在Rt△ABH中，tan∠ABE．又∵AB＝5，∠ABE，∴AH＝3，BH＝4．又∵AD平分∠ABC，∴BE＝2BH＝8．（2）∵EF⊥BE，AD⊥BE，∴AD∥EF．又∵BH＝EH，∴DH是△BEF的中位线，∴EF＝2DH．同理可得，AD＝2EF，∴AD＝4DH，即3+DH＝4DH，∴DH＝1．在Rt△BDH中，tan∠EBC．22．（10分）一个数学兴趣小组尝试探究一次函数图象与两坐标轴所围成三角形面积的问题．为了较为全面地研究这个问题，他们准备把它分成两种类型问题来分别进行研究：类型Ⅰ：一条直线y＝kx+b（k、b都不为0）与两条坐标轴所围成的三角形面积大小；类型Ⅱ：两条直线l1：y1＝k1x+b1和l2：y2＝k2x+b2（k1≠k2、b1≠b2且都不为零）与坐标轴所围成的三角形的面积、直线l1与两条坐标轴所围成的三角形面积、直线l2与两条坐标轴所围成的三角形面积之间的关系．小组成员认为第一类问题只要将直线与两坐标轴的交点坐标分别求出来，就能解决；而第二类的问题需要根据两个函数k和b符号的不同情况，分别进行研究，才能得出相应的结论．（1）如图1，请你帮助小组求出△ABO的面积S（用含k和b的式子表示）．（2）将直线l1与两条坐标轴所围成的三角形面积记为S1，直线l2与两条坐标轴所围成的三角形面积记为S2，直线l1、l2和x轴所围成的三角形面积记为Sx，它们和y轴所围成的三角形面积记为Sy．i）在图2中已经画出了直线l1和l2大致图象的一种情况，那么关于这两个一次函数的k和b符号选项正确的是D．（A）k1＞0，b1＞0，k2＞0，b2＞0；（B）k1＞0，b1＞0，k2＜0，b2＜0；（C）k1＞0，b1＜0，k2＜0，b2＞0；（D）k1＞0，b1＞0，k2＜0，b2＞0．此时S1、S2、Sx和Sy之间的关系式是S1+S2＝Sx+Sy．ii）如图3，保持直线l1不变，改变直线l2中k2和b2的符号（不考虑|k2|和|b2|的大小），请在图中画出直线l2的大致图象，此时S1、S2、Sx和Sy之间的关系式是S1﹣S2＝Sx﹣Sy．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝k1x+b1＝b1，当y＝0时，0＝k1x+b1，解得：x，∴A（0，b1），B（，0），∴Sb1•（）；（2）l1、呈上升趋势，与y轴的交点在y的正半轴，l2呈下降趋势，与y轴的交点在y的正半轴，∴k1＞0，b1＞0，k2＜0，b2＞0，∴S1+S2＝Sx+Sy，故选：D；S1+S2＝Sx+Sy，（3）∵k2＞0，b2＜0，∴图象如下：由图象得：S1﹣S2＝Sx﹣Sy．23．（12分）已知，如图：在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是边BC延长线上一点，联结AE，交BD于点F，交CD于点G．（1）求证：AF2＝FG•FE；（2）联结CF，如果∠DAE＝∠FCD，求证：四边形ABCD是菱形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△ABF∽△GDF，∴，∵AD∥BE，∴△EBF∽△ADF，∴，∴，∴AF2＝FG•FE；（2）如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠DAE＝∠E，∵∠DAE＝∠FCD，∴∠E＝∠FCD，∵∠CFG＝∠EFC，∴△CFG∽△EFC，∴，∴CF2＝FG•FE，由（1）知，AF2＝FG•FE，∴CF2＝AF2，∴AF＝CF，∵AO＝CO，∴AC⊥BD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．24．（12分）定义：如果一条抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点坐标满足条件（t，at2），那么称该抛物线为“优雅”抛物线．例如：抛物线y＝2x2﹣4x+4的顶点坐标为（1，2），此时由于t＝1，a＝2，顶点坐标符合定义的条件，所以这条抛物线是“优雅”抛物线．（1）如果抛物线C1：y＝x2+4x+m是“优雅”抛物线，求m的值．（2）如图，把（1）中的抛物线C1向下平移得到抛物线C2，抛物线C2与y轴负半轴交于点B，顶点为点C，对称轴与x轴交于点A．①点E在CB延长线上，点D是x轴上一点，且四边形ABDE是矩形，求点E的坐标．②如果抛物线C3：y＝2x2+px+q为“优雅”抛物线，它的顶点G在x轴上，抛物线C2与C3交于点M，且AM∥BC，求抛物线C2的解析式．【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，则顶点坐标为：（﹣2，4），即y＝（x+2）2+4＝x2+4x+8，即m＝8；（2）①由（1）知，点A（﹣2，0），设新抛物线的表达式为：y＝（x+2）2+k，则点B（0，4+k），点C（﹣2，k），由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝2x+4+k，∵四边形ABDE是矩形，由函数的对称性知，yE＝﹣yB＝﹣4﹣k，则点E（﹣k﹣4，﹣k﹣4），由点A、E的坐标得，直线AE表达式中的k值为：，而直