2024-2025学年江苏省南京某中学八年级上学期数学期中题及答案

2024-2025学年第一学期期中测试（求真）

八年级数学

一、选择题（本题共6小题，每题2分，共12分）

1.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）

2.如图，与交于点O,△A50和△CDO关于直线PQ对称，点A,B的对称点分别是点

C,D.下列不一定正确的是（）

A.AD±BCB.AC±PQCAABg八CDO

D.ACPBD

3.已知ZVLBC中,。、b、c分别是NA、ZB.NC的对边，下列条件中不能判断△ABC是直角

三角形的是（）

A.b2-c2=crB.ZA:ZB:ZC=3:4:5

C.ZA=ZB-ZCD.a:〃：c=8:15:17

4.按照下列各图所示的折叠过程，线段AD是△ABC中线的是（）

5.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm,内壁高12cm,则这只铅笔

在笔筒内部的长度/的取值范围是（）

A.12cm<Z<15cmB.9cm<Z<12cm

C.10cm</<15cmD.10cm<Z<12cm

6.已知在△ABC中NB=30°,AB=8,下列AC的长度能够使△ABC唯一确定的是（）

A.3B.6C.7D.9

二、填空题（本题共10小题，每题2分，共20分）

7.如图，为了使旧木门不变形，木工在门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是.

8.如图，已知=AC,请再添加一个条件，使△ABEZzXACD（不添加辅助线或点）.

9.已知等腰三角形的周长是10,一边长是4,则等腰三角形的腰长为.

10.如图，在ZVIBC中，边A3的垂直平分线分别交BC、A3于点。、E,AE=4cm,AADC

的周长为9cm,则Z\ABC的周长为cm.

11.在ZVLBC中，ZACB=90°,CDLA6于点。，AC=6,BC=8,则CD的长为.

12.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒。4,。组

成，两根棒在。点相连并可绕。转动，C点固定，OC=CD=DE,点、D、E可在槽中滑动.若

ZBDE=75°,则ZCDE的度数为.

D

图①图②

13.如图，在△ABC中，NACB=90°,CD是高，ZA=30°,BD=2,则AB的长为

14.如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，若/I比N2大12°,则/I的度数为

15.如图，AC=AB^BD,ZABD^90°,BC=8,则△BCD的面积为

16.如图，已知AABE与△（?£）£都是等腰直角三角形，ZAEB=ZDEC=90。,连接A。，AC,

BC,BD,若==则下列结论：①AE垂直平分CD,②△ABD是等边三角形，③

AC平分NB4D,④/BCD的度数为120。，其中正确的结论为.（填序号）

三、解答题（本题共10小题，共68分）

17.（6分）如图：AC±BC,BDA,AD,AD与BC交于O,AD^BC,求证：OD=OC.

c~2

AB

18.(6分)如图，网格中的△ABC与△。所为轴对称图形.

(1)ZVlBC的面积为；

(2)利用网格线作出△ABC与△。毋的对称轴/；

(3)结合所画图形，在直线/上画出点P,使K4+PC最小.

19.(6分)如图所示的一块草坪，已知AD=12m,CD=9m,ZADC=90°,AB=39m,

BC=36m,若每铺in?草坪需要花费40元，则铺这块草坪共需花费多少元？

A

20.(6分)如图，在等腰Rt^ABC中，NACB=90°,点。是A3上一点，作等腰Rt£J)CE,

且"CE=90°,连接AE.

(1)求证：ACEA^ACDB；

(2)求证：BD2+AD2=DE2.

21.(6分)如图，已知锐角△ABC中，CD、BE分别是A3、AC边上的高，M,N分别是线段

BC、OE的中点.

A

E

（1）求证：MNLDE；

（2）若NABC=70。，ZACB=50°,连结QM、ME,则NOME的度数为

22.（6分）如果三角形三边长a、b、c满足幺上一=b,那么我们就把这样的三角形叫做“均匀

3

三角形”，如三边长分别为1、1、1或3、5、7……的三角形都是“均匀三角形”.如图，两条线段长

分别为a、c（a<c）.

（1）用含有。和c的代数式表示b,b=.

（2）求作均匀三角形ABC,使得最短边A6=a、最长边BC=c（不写作法，保留作图痕迹）；

（3）在（2）中的三角形内部求作一点P,使P点到此三角形三边距离相等.

23.（6分）【探索勾股数】与直角三角形三条边长对应的3个正整数（a,b,c）,称为勾股数，《周

髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3,4,5”就是一组最简单的勾股数，显然，这组数的整

数倍，如（6,8,10）（9,12,15）（12,16,20）等都是勾股数.当然，勾股数远远不止这些，如

（5,12,13）（8,15,17）等也都是勾股数.怎样探索勾股数呢？即怎样一组正整数（a,b,c）

才能满足关系式。2+廿=02.设（/3c）为一组勾股数，观察下表回答问题:

表1表2

abcabc

3456810

5121381517

72425102426

94041123537

（1）根据表1的规律写出勾股数（11,);

观察可得：表1中b、c与1之间的关系是（填勾股定理不得分）

（2）根据表2的规律写出勾股数（16,_____）;

观察可得：表2中b、c与1之间的关系是（填勾股定理不得分）

（3）老师告诉小明一组勾股数，但他回家后只记得其中最大的数是145,你知道这组勾股数可能是

多少吗？（请用勾股定理的形式直接写出结果，例如32+42=52）

24.（8分）已知：如图1,在△ABC中，NA5c=45。，X是高A。、5E所在直线的交点.

图1

（1）求证：BH=AC；

（2）如图2,若NA改成钝角后，结论9=4。还成立吗？若成立，请补全图形并证明，若不成

立，请说明理由.

25.（8分）如图，在△ABC中，NACB=90°,AB=5cm,BC=4cm,若点尸从点A出发,

以每秒2cm的速度沿折线A—5—C—A运动，设运动时间为，秒（f>0）.

备用图

（1）若点尸在8c上且满足=则此时,=；

（2）若点尸恰好在NABC的角平分线上且不与点B重合，求此时，的值；

（3）在点尸的运动过程中，当△ACP为等腰三角形时，f的值为.

26.（10分）折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法.

例如，在ZVIBC中，AB>AC（如图1）,怎样证明NC>4呢？

我们可以把AC沿NA的平分线A。翻折，因为A5>AC,所以点C落在AB上的点C处（如图

2）.

于是，由NAC'D=NC,ZACD>ZB,可得NC>N6.

(1)【感知】

①如图2,在△ABC中，若NB=35°,ZC=70°,则NC'Qfi=°.

②如图2,在△ABC中，若NC=2NB,求证：ABAC=CD；

(2)【探究】

若将图2中A。是角平分线的条件改成是高线，其他条件不变(如图3),即在△ABC中,

ZC=2ZB,AD1BC,请探索线段AC、BC、之间的数量关系，并说明理由.

(3)【拓展】

如图4,在中，ZACB^90°,BC=4,AC=5,点尸是边上的一个动点(不与

B、C重合)，将沿AP翻折，点C的对应点是点C'.若以8、C、C为顶点的三角形是直

角三角形，则的长度为.

A

BC

图4

2024-2025学年第一学期期中测试

八年级数学

知识点

1轴对称图形

2轴对称的性质；全等三角形的判定

3勾股定理的逆定理；三角形内角和定理

4翻折变换（折叠问题）；三角形的角平分线、中线和高

5勾股定理的应用

6作图一基本作图；含30度角的直角三角形

7三角形的稳定性

8全等三角形的判定

9等腰三角形的性质；三角形三边关系

10线段垂直平分线的性质

11勾股定理

12等腰三角形的性质

13含30度角的直角三角形

14平行线的性质

15等腰直角三角形；构造全等

16全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质

17全等三角形的判定与性质

18作图-轴对称变换；轴对称-最短路线问题

19勾股定理的应用；勾股定理的逆定理

20全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形

21直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质

22复杂作图；列代数式；三角形三边关系；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质

23勾股数

24全等三角形的判定与性质

25三角形综合题；轴对称；勾股方程

26几何变换综合题；全等；轴对称；勾股方程

答案解析

一、选择题（本题共6小题，每题2分，共12分）

123456

DABCAD

二、填空题（本题共10小题，每题2分，共20分）

7三角形具有稳定性1280°

8AD=AE（答案不唯一）138

93或41468°

10171516

24

1116①②③

y

三、解答题（本题共10小题，共68分）

17.（6分）如图：AC±BC,BD±AD,AD与BC交于O,AD^BC,求证：OD=OC.

证明：•.•ADLBD,AC±BC,

：.ZD=ZC=90°,

AB=BA

在RtzXABC和RtABAO中，\

AD=BC

：.RtAABC^RtAJB4£＞（HL）,

/.ZDAB=ZCBA,

OA=OB,

OC=OD.

（1）△ABC的面积为3；

（2）利用网格线作出△ABC与△。跖的对称轴/；

（3）结合所画图形，在直线/上画出点P,使K4+PC最小.

19.（6分）解：连接AC,

根据勾股定理，得AC=JAD2+CD2=15m.

在ZVWC中，AB-=1521=BC2+AC2=1296+225=1521,

，△ABC是直角三角形，

**,S草坪=SAABC-SAACD=5BC.AC--CD-AD

=-x36xl5--x9xl2

22

=216（m2）,

则铺这块草坪共需花费216x40=8640（元）.

答：铺这块草坪共需要花费8640元.

A

20.证明：（1）：△ABC和△£）（〕£都是等腰直角三角形,

AAC=BC,CD=EC,ZACB=ZDCE=90。,

：.ZACB-ZACD=ZDCE-ZACD,

：.ZACE=NBCD,

在△CDB与△CEA中，

AC=BC

<NACE=/BCD,

EC=CD

；•Z\CDB^Z\CEA（SAS）；

（2）•••△ABC是等腰直角三角形,

：.ZB=ZBAC=45°,

由（1）得△CD6也△CEA,

ZEAC=ZB=45°,BD=AE,

：.ZEAD=ZEAC+ZBAC=450+45°=90°,

Z.AE2+AD2=DE2

：.BD1+AD2=DE1

21.(1)证明：如图，连接。以，ME,

•；CD、BE分别是A3、AC边上的高，M是BC的中点,

：.DM=-BC,ME=-BC,

22

DM=ME,

又•：N为DE中点、,

.'.MN±DE；

(2)解：在△ABC中，ZABC+ZACB=1SQ0-ZA,

VZABC=70°,NACE=50°,

A1800-ZA=120°,

,:DM=ME=BM=MC,

ZBMD+ACME=(180°-2ZABC)+(180°-2ZACB)=360°-2(ZABC+ZACB)=120°,

ZDME=180°-(ZBMD+ZCME)=60°.

5,a+b+c,

22.解：(1)-----------=b,

3

：.b,=-a-+c

2

a+c

故答案为:

2

（2）如图所示，△ABC为所求作的三角形,

B

23.(6分)(1)根据表1的规律写出勾股数(11,60,61)；

观察可得：表1中反c与C?之间的关系是/=/；+c；

(2)根据表2的规律写出勾股数(16,63,65)；

观察可得：表2中b、c与1之间的关系是工/=人+。；

2

(3)172+1442=1452j^242+1432+=1452

24.(1)证明：•••ZZMC+NC=90°,ZEfiC+ZC=90°,

/DAC=/EBC.

'：/ABC=45。，

△A3。是等腰直角三角形.

AD=BD.

在△BDH和△ADC中

ZEBC=ZDAC

<BD=AD,

ZBDH=ZADC

ABDH2△ADC(ASA).

BH=AC.

(2)解：如图，=仍然成立.

证明：•:NH+NHAE=90。,ZC+ZCAD=90°,

又：ZHAE=ZDAC,

：.ZH=ZC.

VZABC=45°,ZADB=9Q°,

三角形ABD是等腰直角三角形.

AD=BD.

在八BDH和△ADC中

ZH=ZC

<ZHDB=ZCDA,

BD=AD

：.^BDH^^ADC(AAS).

：.BH=AC.

25.解：(1)如图，设必=P4=x,则PC=4—x,

ZACB=90°,AB=5cm,BC=4cm,

AC-3cm,

在RtzXACP中，AC2+PC2=AP2,

：.32+(4-x)2=x2,

解得x=—，BP=—

88

u25

AB+BP___8_65

2216

65

故答案为:

16

(2)如图，过尸作PDLAB于。,

D.

「BP平分ZABC,ZC=90°,

APD=PC,BC=BD=4,

AD=5—4=1,

设尸。=PC=y,则AP=3—y,

在Rt^ADP中，AD2+PD2=AP2,

2,44

l+/=（3-y）-,解得y=§,，。尸二］,

5+4+

•.•t——AB+BC+CP—__—31，

226

当点P与点B重合时，点尸也在/ABC的角平分线上,

315

综上所述，点P恰好在NABC的角平分线上，，的值为一或士.

62

(3)分四种情况：

①如图，当P在A8上且AP=CP时,

ZA=ZACP,而ZA+NB=90°,ZACP+ZBCP^90°,

：.ZB=ZBCP,

：.CP=BP,

是AB的中点，即AP='AB=9,

AP5

,»t-——

24

②如图，当P在A3上且AP=C4=3时,

AP3

~T~2

③如图，当尸在上且AC=PC时，过C作CDLAB于。，则。。=生匹=乜

AB5

9

RtZ\AC£）中，AD——,

1Q

AP=2AD=—,

5

...t=AP——9.

25

④如图，当尸在8C上且AC=PC=3时，5尸=4—3=1,

22

539

综上所述，当/=—或一或一或3时，△ACP为等腰三角形.

425

539

故答案为：一或一或一或3.

425

26.(1)①解：•••AC沿NA的平分线A。翻折,

ZACD=ZC=70°,

•/ZAC'D=ZB+ZCDB，ZB=35°,

ZC/DB=35°,

故答案为：35；

②证明：：AC沿NA的平分线A。翻折，

AACD^AACD,

AZACD=ZC,AC=AC,CD=CD.

,/ZC=2ZB,

：.ZAC'D=2AB.

,/ZACD=ZB+ZCDB,

：.Z