安徽省宣城市2023-2024学年高一数学下学期7月期末考试含解析

Page23宣城市2023—2024学年度第二学期期末调研测试高一数学试题考生注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生先将自己的姓名、考号在答题卷指定位置填写清楚并将条形码粘贴在指定区域．3．考生作答时，请将答案答在答题卷上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题券、草稿纸上作答无效．4．考试结束时，务必将答题卡交回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知某位自行车赛车手在相同条件下进行了8次测速，测得其最大速度（单位：）的数据分别为42，38，45，43，41，47，44，46，则这组数据中的分位数是（）A.44.5 B.45 C.45.5 D.462.在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，若，，则（）A.2 B.3 C. D.3.若向量，，满足，，且，则与的夹角为（）A.30° B.45° C.60° D.120°4.一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（

）A.事件“两次均击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件B.事件“最少一次击中”与事件“最多一次击中”为互斥事件C.事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件D.事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互对立事件5.在中，已知D是BC边上靠近点B的三等分点，E是AC的中点，且，则（）A. B. C. D.16.如图，在正四面体ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，则EF与平面BCD所成角的正弦值为（）A. B. C. D.7.某同学用边长为4dm的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形．若该同学从5个三角形中取出2个，则这2个三角形的面积之和小于另外3个三角形面积之和的概率是（）A. B. C. D.8.如图，正方体的棱长为4，，，过B，P，Q三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为（）A. B. C. D.二、多选题：本小题共3题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，至少有两项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错或不选得0分．9.已知复数（其中i为虚数单位），则下列说法正确的是（）A.z的虚部为 B.C. D.z在复平面内对应的点在第四象限10.在中，若，则的形状为（）A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形11.如图，在正三棱锥中，，分别是棱的中点，是棱上的任意一点，则下列结论中正确的是（）A.B.异面直线与所成角的余弦值为C.的最小值为D.三棱锥内切球的半径是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某中学高一年级共有学生900人，其中女生有405人，为了解他们的身高状况，用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本，若男生样本量为33，则__________.13.如图，在三棱锥中，平面，，，，则点到平面的距离为______．14.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，的角平分线交AB于点D，且，则面积的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.在中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，已知，．（1）求角B；（2）若的面积为，求BC边上中线的长．16.已知，，.（1）求：（2）当实数k何值时，与垂直？（3）若不共线，与反向，求实数k的值.17.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E为边CD的中点，沿AE把折起，使点D到达点P的位置，且．（1）求证：平面平面PAB；（2）求三棱锥的体积和表面积．18.某校对2023年高一上学期期末数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照,,,,,分成6组，绘制成如下图所示的频率分布直方图：（1）求频率分布直方图中的值；（2）估计该校高一上学期期末数学考试成绩的中位数和平均数；（3）为了进一步了解学生数学学科学习的情况，在成绩位于和的两组中用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生中至少有1人成绩在内的概率．19.如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，．（1）若，求：向量在向量上投影向量的模；（2）当，且时，四棱锥是否有外接球?若有，请求出四棱锥的外接球的表面积．（3）若，且，求二面角的正切值．宣城市2023—2024学年度第二学期期末调研测试高一数学试题考生注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生先将自己的姓名、考号在答题卷指定位置填写清楚并将条形码粘贴在指定区域．3．考生作答时，请将答案答在答题卷上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题券、草稿纸上作答无效．4．考试结束时，务必将答题卡交回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知某位自行车赛车手在相同条件下进行了8次测速，测得其最大速度（单位：）的数据分别为42，38，45，43，41，47，44，46，则这组数据中的分位数是（）A.44.5 B.45 C.45.5 D.46【答案】C【解析】【分析】根据百分位数的知识求得正确答案.【详解】将数据从小到大排序为：38，41，42，43，44，45，46，47，因为，所以分位数为.故选：C2.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则（）A.2 B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理边角互化即可求解.【详解】由结合正弦定理可得，所以，故选：D3.若向量，，满足，，且，则与的夹角为（）A.30° B.45° C.60° D.120°【答案】B【解析】【分析】本题利用向量的数量积公式，代入题目所给数据，进行运算即可得出答案.【详解】由题意可得，且，，计算得到，即.又，所以与的夹角为.故选:B.4.一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（

）A.事件“两次均击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件B.事件“最少一次击中”与事件“最多一次击中”为互斥事件C.事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件D.事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件【答案】AC【解析】【分析】写出事件包含的基本事件，再根据互斥事件和对立事件的概念作出判断.【详解】对于A，事件“至多一次击中”包含“一次击中”和“两次均未击中“，与事件“两次均击中”是对立事件，故A正确；对于B，事件“最少一次击中”包含“一次击中”与“二次击中”，事件“最多次击中”包含“一次击中”与“0次击中”，故两事件可以同时发生，不是互斥事件，故B不正确；对于C，事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”不能同时发生，是互斥事件，故C正确；对于D，事件“两次均未击中”的对立事件是“至少一次击中”，故D错误.故选：AC5.在中，已知D是BC边上靠近点B的三等分点，E是AC的中点，且，则（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】分析】根据平面向量基本定理结合已知条件将用，即可求出，从而可求出结果.【详解】因为D是BC边上靠近点B的三等分点，E是AC的中点，所以，因为，所以，所以.故选：A6.如图，在正四面体ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，则EF与平面BCD所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先构造线面角再设边长求线面角的正弦.【详解】如图：连接，取的中心，则G在上，连接，则平面，作平面，E为AD的中点，则T为中点.所以为直线与平面所成的角，设,在中，，则,连接是中点，所以,所以，故C正确；故选：C.7.某同学用边长为4dm的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形．若该同学从5个三角形中取出2个，则这2个三角形的面积之和小于另外3个三角形面积之和的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意分别求出五个等腰直角三角形的面积，然后利用列举法求解即可【详解】由题意得，分别记为，则从这5个三角形中任取2个，有：，10种，其中取出的2个三角形的面积之和小于另外3个三角形面积之和的有：，7种，所以所求概率为.故选：B8.如图，正方体的棱长为4，，，过B，P，Q三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】延长交于点，则，推出，，，四点共面，再计算即可得出答案．【详解】延长交于点，则，即为的中点，连接，取中点，连接，则，所以，，，四点共面，故梯形即为截面图形，，，，记边上的高为，则解得所以．故选：D．二、多选题：本小题共3题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，至少有两项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错或不选得0分．9.已知复数（其中i为虚数单位），则下列说法正确的是（）A.z虚部为 B.C. D.z在复平面内对应的点在第四象限【答案】BC【解析】【分析】根据复数代数形式的运算，复数的有关概念以及几何意义即可判断．【详解】对于选项A，，z的虚部为，故A错；对于选项B，，故B对；对于选项C，，故C对；对于选项D，，可得在复平面内点为，在虚轴上，故D错；故选：BC.10.在中，若，则的形状为（）A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形【答案】BC【解析】【分析】根据题意，结合两角和与差的正弦公式，化简得到，求得或，即可求解.【详解】由因为，且，可得，所以，可得或，因为，所以或，所以为直角或等腰三角形.故选：BC.11.如图，在正三棱锥中，，分别是棱的中点，是棱上的任意一点，则下列结论中正确的是（）A.B.异面直线与所成角的余弦值为C.的最小值为D.三棱锥内切球的半径是【答案】ACD【解析】【分析】对于A，易知，，可证平面，再由线面垂直性质定理即可得证；对于B，取中点，连接，，由，知即为异面直线和所成角，由，可推出，再由三角函数的知识即可求解；对于C，将平面和平面平铺展开，形成四边形，连接，交于点，此时是最小值，再结合二倍角公式与余弦定理即可求解；对于D，设内切球的球心为，点在平面内的投影为，为的重心，球与平面相切于点，设三棱锥内切球的半径为，由相似于，即可求解.【详解】对于A，如图1所示，连接，，由正三棱锥的性质可知，，因为为中点，所以，，又因为，平面，所以平面，又因为平面所以，故A正确；对于B，如图①，取中点，连接，，因为、分别为，的中点，所以，，所以即为异面直线和所成角或其补角，因为、分别为，的中点，所以，由选项A知，，同理可得，所以，所以,所以，所以，即异面直线和所成角的余弦值为，故B错误；对于C，将平面和平面平铺展开，形成四边形，如图②所示，连接，交于点，此时是最小值，连接，则，所以，在中，由余弦定理知，，所以，即的最小值是，故C正确；对于D，如图③所示，设内切球的球心为，点在平面内的投影为，为的重心，球与平面相切于点，则在上，且，在中，，在中，,因为为的重心，所以，在中，，设三棱锥内切球的半径为，由相似于，得,即，解得，故D正确；故选：ACD.图①图②图③【点睛】关键点点睛：本题考查了异面直线所成角、最短距离及内切球，解题关键是作出异面直线所成角、平面展开求最值以及通过相似三角形求内切球的半径.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某中学高一年级共有学生900人，其中女生有405人，为了解他们的身高状况，用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本，若男生样本量为33，则__________.【答案】60【解析】【分析】根据分层抽样的定义结合题意列方程求解即可.【详解】由分层随机抽样的定义可得，解得.故答案为：6013.如图，在三棱锥中，平面，，，，则点到平面的距离为______．【答案】##【解析】【分析】利用余弦定理求出，再求出，，再由利用等体积法计算可得.【详解】因为平面，平面，所以，，又，，，所以，所以，，所以，，设点到平面的距离为，则，即，解得，即点到平面的距离为.故答案为：14.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，的角平分线交AB于点D，且，则面积的最小值为______．【答案】##【解析】【分析】由三角形的等面积法得到，利用基本不等式得，可求面积的最小值.【详解】若，的角平分线交AB于点D，则，由且，得，整理得，由，得，当且仅当时等号成立，则最小值为，由，面积的最小值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．（1）求角B；（2）若的面积为，求BC边上中线的长．【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）边化角加二倍角公式即可得到角B.（2）根据，得，再根据三角形面积公式即可得到，在由正弦定理得边，再由即可得到答案.【小问1详解】，，或或（舍）【小问2详解】，即，得由正弦定理得，设边的中点为，连接，如下图,即，得.16.已知，，.（1）求：（2）当实数k为何值时，与垂直？（3）若不共线，与反向，求实数k的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）先求得，然后通过平方的方法求得；（2）根据向量垂直列方程，化简求得的值；（3）利用向量反向共线得到关于的方程，解之即可得解.【小问1详解】因为，，，所以，则.【小问2详解】因为与垂直，所以，解得.【小问3详解】因为与反向，所以存在，使得，因为不共线，所以，解得或（舍去），所以17.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E为边CD的中点，沿AE把折起，使点D到达点P的位置，且．（1）求证：平面平面PAB；（2）求三棱锥的体积和表面积．【答案】（1）证明见解析（2）．【解析】【分析】（1）先根据线面垂直的判定定理先证明平面PAB，再应用面面垂直判定定理证明即可；（2）应用线面垂直再转换顶点求体积，最后计算表面积即可.【小问1详解】由题可知，，，因为，，所以为等边三角形，所以，所以，所以．因为，平面PAB，平面PAB，所以平面PAB．又平面PBE，所以平面平面PAB．【小问2详解】由（1）得平面PAB，所以，由三角形面积公式得，故．由（1）得，，，所以，由三角形面积公式得，，故三棱锥的表面积为．18.某校对2023年高一上学期期末数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照,,,,,分成6组，绘制成如下图所示的频率分布直方图：（1）求频率分布直方图中的值；（2）估计该校高一上学期期末数学考试成绩的中位数和平均数；（3）为了进一步了解学生数学学科学习的情况，在成绩位于和的两组中用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生中至少有1人成绩在内的概率．【答案】（1）（2）中位数约为97.5分，平均数约为93分．（3）．【解析】【分析】（1）利用频率之和为1，即可计算出；（2）利用中位数和平均数运算方法即可；（3）利用分层抽样取样方法，算出需在分数段内抽2人，在分数段内抽3人，根据古典概率公式计算即可.【小问1详解】由，可得．【小问2详解】由（1）知样本数据中数学考试成绩90分以下学生所占比例为，110分以下学生所占比例为，因此，中位数一定位于内，所以中位数，根据率分布直方图，设平均数为，则（分）；据此可以估计该校高一上学期期末数学考试成绩的中位数约为97.5分，平均数约为93分．【小问3详解】由题意分数段的人数为，分数段的人数为，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，则需在分数段内抽取2人，