第7节　数列的重构问题 高二数学下学期

第六章

数列第7节数列的重构问题INNOVATIVEDESIGN数列的重构问题是指在一个数列中通过增项、减项或提取两个数列的公共项,或者把数列的项限定在某一范围内重新构造一个新的数列,求解此类问题要清楚新数列的项、项数与原数列的联系.目

录CONTENTS课时对点精练题型一

增项问题

思维建模对于增项问题注意两点:(1)新的数列是如何构成的、与原数列有什么关系,(2)新数列的项数是多少,其中有多少项是原数列中的项,有多少项是新增加的.

(2)保持{an}中各项先后顺序不变,在ak与ak+1之间插入k个1,使它们和原数列的项构成一个新的数列{bn},记{bn}的前n项和为Tn,求T100的值(用数字作答).解

保持数列{an}中各项先后顺序不变,在ak与ak+1(k=1,2,…)之间插入k个1,则新数列{bn}的前100项为3,1,21,1,1,22,1,1,1,23,1,1,1,1,24,…,212,1,1,1,1,1,1,1,1,1,则T100=[3+(21+22+…+212)]+[(1+2+3+…+12)+9]=90+213-2=88+213=8

192+88=8

280.题型二

减项问题

思维建模解决减项问题的关键是明确被减掉的项是以何种规律去掉的,共多少项,保留的数列有多少项.

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n,当n=1时,a1=1满足上式,∴an=n(n∈N*).∵数列{an},{bn}满足a1b1+a2b2+…+anbn=2+(n-1)·2n+1,∴当n≥2时,a1b1+a2b2+…+an-1bn-1=2+(n-2)·2n,两式相减,得anbn=n·2n(n≥2),当n=1时,a1b1=2+(1-1)×21+1=2=1×21,满足上式,∴anbn=n·2n(n∈N*),∴bn=2n(n∈N*).

题型三

公共项问题

思维建模两个等差(比)数列的公共项是等差(比)数列,且公差(比)是两等差(比)数列公差(比)的最小公倍数,一个等差与一个等比数列的公共项,则要通过其项数之间的关系来确定.

题型四

区间取值数列

(2)设数列{bn}的前n项和为Tn.①求T10.②若集合A={n|n≤100且Tn≤100,n∈N*},求集合A中所有元素的和.解

①T10=b1+b2+…+b10=1+12+2-22+…+9+92+10-102=(1+2+…+10)-(-12+22-32+42-…-92+102)=(1+2+…+10)-(1+2+…+10)=0.②Tn=b1+b2+…+bn=1-(-12)+2-22+3-(-32)+…+(n-1)-(-1)n-1(n-1)2+n-(-1)nn2=1+2+3+…+(n-1)+n-[-12+22-32+…+(-1)n-1(n-1)2+(-1)nn2]

思维建模此类问题一般的条件为限定数列的项或其前n项和的范围,需要利用该范围判定n的范围,从而确定数列项数,进而解决求和等问题.训练4

已知Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28,记bn=[lg

an],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg

99]=1. (1)求b1,b11,b101;

解

设{an}的公差为d,

由题意知,S7=7a1+21d=28,

因为a1=1,所以d=1,

所以an=a1+(n-1)d=n,

从而bn=[lg

n],故b1=[lg

1]=0,b11=[lg

11]=1,b101=[lg

101]=2.(2)求数列{bn}的前1

000项和.解

由(1)知bn=[lg

an]=[lg

n],当1≤n≤9时,0≤lg

n<1,所以bn=0;当10≤n≤99时,1≤lg

n<2,所以bn=1;当100≤n≤999时,2≤lg

n<3,所以bn=2;当n=1

000时,lg

n=lg

1

000=3,所以b1

000=3.故b1+b2+…+b1

000=(b1+…+b9)+(b10+…+b99)+(b100+…+b999)+b1

000=0×9+1×90+2×900+3=1

893.课时对点精练KESHIDUIDIANJINGLIAN1.已知{an}是首项为2,公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=4,bn+1=3bn-2n+1. (1)证明:{bn-n}是等比数列,并求{an},{bn}的通项公式.

证明

由题意可得,an=2+(n-1)×3=3n-1(n∈N*). b1=4,bn+1=3bn-2n+1,

变形可得bn+1-(n+1)=3bn-3n=3(bn-n),b1-1=3,

故{bn-n}是以首项为3,公比为3的等比数列.

从而bn-n=3n,即bn=3n+n(n∈N*).

3.设数列{an}的前n项和为Sn=(n-1)2n+1+2,n∈N*. (1)求{an}的通项公式;

解

由Sn=(n