江苏省徐州市铜山区棠张中学2024-2025学年高二下学期3月阶段测试数学试卷（解析版）

第页，共页2024-2025高二数学阶段测试试卷一、单选题1.一物体做直线运动，其运动方程为，则时，其速度为（）A.－2 B.－1 C.0 D.2【答案】D【解析】【分析】由导数的定义求解即可；【详解】;故选：D2.已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】先求出导函数得出切线斜率，再结合直线垂直得出斜率关系列式求参.【详解】因为曲线，所以所以在点处的切线斜率为，直线的斜率为，又因为两直线垂直，所以，所以.故选：B.3.3个班分别从5个风景点中选择一处游览，不同的选法有（）A.243 B.125 C.128 D.264【答案】B【解析】【分析】由分步计数原理直接得结论.【详解】解：因为第1个班有5种选法，第2个班有5种选法，第3个班有5种选法，所以由分步计数原理可得，不同的选法有种，故选：B【点睛】此题主要考查分步计数原理的运用，属于基础题.4.用0，1，…，9十个数字，可以组成无重复数字的三位数的个数为（）A.652 B.648 C.504 D.562【答案】B【解析】【分析】应用乘法原理计算求解.【详解】用0，1，…，9十个数字，先取百位数有9种情况，因为无重复数字再取十位数有9种情况，最后个位数字有8种情况。所以可以组成无重复数字的三位数的个数为.故选：B.5.已知函数，为的导函数，则的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出函数的导函数，再判断其奇偶性，即可判断A、D，最后由特殊值排除C.【详解】由可知，，，则，即为奇函数，故A，D错误；又，故C错误，B正确.故选：B.6.已知函数在处取得极小值，则的极大值为（）A4 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】先由求出，再检验是否符合题意即可.【详解】由题得，因为函数在处取得极小值，所以或，当时，，，所以当时，，当时，，所以函数在处取得极小值，符合题意，所以函数在处取得极大值为；当时，，，所以当时，，当时，，所以函数处取得极大值，不符合题意；综上，的极大值为4.故选：A7.用红、黄、蓝三种不同颜色给如图所示的4块区域A、B、C、D涂色，要求同一区域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（）A.14种 B.16种 C.20种 D.18种【答案】D【解析】【分析】分A与C同色与不同色两类，每一类中利用分步计数原理求解，可得总的方法数.【详解】先涂A，有3种涂法，再涂B有2种涂法，涂C时，与A同色，有1种涂法，此时D有2种涂法，当C与A异色时有1种涂法，这是D有1种涂法，所以共有3×2×（1×2＋1×1）＝18种.故选：D.8.已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】当时，，可得在上单调递增，结合函数是定义域为的奇函数，，从而得到不等式，求出答案.【详解】令，则，由题意知当时，，故在上单调递增，因为函数是定义域为的奇函数，所以，所以，所以是定义域为的偶函数，所以在上单调递减，又因为，所以，所以，所以当时，，则；当时，，则；当时，，则；当时，，则.则不等式的解集为.故选：D.二、多选题9.定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.函数在上单调递减 B.函数在上单调递减C.函数在处取得极小值 D.函数在处取得极大值【答案】AD【解析】【分析】利用函数的函数的图象，可判断函数的单增区间与单减区间，进而可得极大值点，从而可得结论.【详解】由函数的导函数的图象可知，当时，，所以在上单调递增，故B错误；当时，，所以在上单调递减，故A正确；所以函数在处取得极大值，不是极小值点，故C错误，D正确.故选：AD.10.某学校高二年级数学课外活动小组中有男生5人，女生3人，则下列说法正确的是（）A.从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有64种不同的选法B.从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有15种不同的选法C.将这8名学生排成一排，3位女生排在一起的方法共有4320种D.8名学生排成一排，已知5名男生已排好，现将3名女生插入队伍中，则共有336种排法.【答案】BCD【解析】【分析】选项A可以看做从8个人中取2个人的排列；选项B先从男生中选1个有种情况，再从女生中选1人有种情况，进而可得；选项C先排3位女生有种情况，再把3位女生看成1个人与5个男生一起排列有种情况，进而可得；选项D依次把3个女生插入队伍中，共有种.【详解】选项A：从8个人中选2人，1人做正组长，1人做副组长选法共有种，故A错误；选项B：从8个人中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人选法共有种，故B正确；选项C：选排3位女生有种情况，再把3位女生看成1个人与5个男生一起排列有种情况，共有种情况，故C正确；选项D：8名学生排成一排，已知5名男生已排好，先排第一个女生可以排5个男生中间4个空或2头，有6种情况，再排第二个女生可以排到排好的6个人中间的5个空或2头，有7种情况，最后排第三个女生可以排到排好的7个人中间的6个空或2头，有8种情况，共有种情况，故D正确，故选：BCD11.已知函数，则（）A.当时，有两个极值点B.当时，有三个零点C.点是曲线的对称中心D.当时，过点可作曲线的三条切线【答案】ABD【解析】【分析】利用导数求解极值点即可判断A；根据函数单调性以及极值的正负即可判断B；利用函数对称的性质即可判断C；设出切点，利用导数的几何意义求解切线的方程，结合条件把问题转化为函数图象的交点个数问题，即可判断D.【详解】对于A，由题知，定义域为，则，当时，令，得或，令，得或，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，在处取得极小值，所以为极大值点，为极小值点，故A正确；对于B，当时，当时，；当时，，且，，因为，所以，，所以，，所以有三个零点，B正确；对于C，若点是曲线的对称中心，则满足恒成立，因为，，所以，其值不恒为0，C错误；对于D，设过点的直线与相切的切点为，则，且切线斜率为，故切线的方程为，即，因为切线过，则，整理得，即，构造函数与，对于函数，，令，得，令，得或，即该函数在和上单调递增，令，得，即该函数在上单调递减，时，函数有极小值；时，函数有极大值，当时，；当时，，作出函数与的图象，如图，因为，所以，所以函数与图象有三个交点，即方程有三个解，即过点可作曲线的三条切线，D正确.故选：ABD.三、填空题12.若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围为是______.【答案】【解析】【分析】求导后结合二次函数的性质分析即可.【详解】，因为函数存在单调递减区间，所以存在，使得小于零，所以导函数的判别式，解得或，所以实数的取值范围为是，故答案为：.13.过点作曲线的切线的斜率为______．【答案】2【解析】【分析】设切点坐标，由导数得几何意义求得切线方程，代入即可求解；【详解】，设切点横坐标为，故曲线在处的切线方程为l：，将，代入，得，解得，∴，故答案为：214.设实数，对于任意的，不等式恒成立，则k的最小值为_______．【答案】##【解析】【分析】将整理为，然后构造函数，根据的单调性得到，即，再构造函数，求导分析单调性得到，即可得到的范围.【详解】由得，即，令，则．因为，所以在上单调递增，因为，所以，即，令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，即，所以k的最小值为．四、解答题15.计算下列各题：（1）；（2）解方程：.【答案】（1）（2）6【解析】【分析】（1）根据排列数公式计算，可得答案；（2）根据排列数公式化简可得一元二次方程，结合排列数性质，即可求得答案.【小问1详解】；【小问2详解】由，得，即，即，解得或，又因为且，故，故的解为.16.用0，1，2，3，4，5这六个数字，能组成多少个符合下列条件的数字？（运算结果以数字作答）（1）无重复数字的四位偶数；（2）无重复数字且为5的倍数的四位数；（3）无重复数字且比1230大的四位数．【答案】（1）个（2）个（3）个【解析】【分析】（1）分个位数字为0，2，4，三种情况分别应用排列计算结合分类加法原理计算即可；（2）分个位数字为0，5，两种情况分别应用排列计算结合分类加法原理计算即可；（3）分首位数字，百位数字，十位数字，个位数字比1230大分类讨论列排列数结合加法原理计算求解.【小问1详解】符合要求的四位偶数可分为两类．第一类，0在个位时有个；第二类，2或4在个位时，首位从1，3，4（或2），5中选（有种情况），十位和百位从余下的数字中选（有种情况），于是有个．由分类加法计数原理知，共有四位偶数（个）．【小问2详解】符合要求的数可分为两类：第一类：0在个位时有个；第二类：5在个位时有个．故满足条件的四位数共有（个）．【小问3详解】符合要求的比1230大的四位数可分为四类：第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共有个；第二类：形如13□□，14□□，15□□，共有个；第三类：形如124□，125□，共有个；第四类：形如123□，共有个．由分类加法计数原理知，无重复数字且比1230大的四位数共有（个）．17已知函数.（1）若在上不单调，求实数的取值范围；（2）若，求在上的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）三次函数在上不单调，只需导函数判别式大于0即可；（2）先判断单调性，再结合端点值即可.【小问1详解】因为，所以.因为在上不单调，所以方程有两个不同的根，则，解得或，即实数的取值范围是.【小问2详解】因为，所以.由，得或，由，得，所以函数上单调递增，在上单调递减.因为，，，所以在上的值域为.18.函数，.（1）求函数的单调区间；（2）当时，若不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）.【解析】【分析】（1）对函数求导，然后分，两种情况，由导函数的正负可求得其单调区；（2）构造函数，，把不等式的恒成立转化为，求得，结合分析函数的单调性并确定最小值为，再利用函数的单调性解不等式即可.【小问1详解】由题意得，，当时，则，在上单增，的递增区间为；当时，令，则；令，则.的递增区间为，递减区间为.【小问2详解】当时，令，，则，，由题意，得.因为，令，则；令，则，在上递减，在上递增，，故在上递增，又，，实数的取值范围为.19.设，函数，其中．（1）讨论的零点个数；（2）证明：对任意，都存在，使得．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，求解函数的单调性，即可结合分类讨论以及零点存在定理求解，（2）将问题转化为对任意恒成立，构造函数以及，求导判断函数的单调性即可求证.【小问1详解】，当时，，在区间上单调递增，所以，即，故在区间上无零点；当时，令，解得；令，解得，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，因为，所以，且，，由零点存在定理可知在区间上有唯一的零点，此时在区间上有唯一的零点．综上，当时，无零点；当时，有一个零点．【小问2详解】证明：由（1）知当时，，要证存在，使得，即证对任意恒成立，即证对任意恒成立，即证对任意恒成立，即证对任意恒成立，令，，由于均为上的单调递增函数，故在上单调递增