2025年高考数学二轮复习测试卷（新高考八省专用）（学生版+解析）

2025年高考数学二轮复习测试卷01(新高考八省专用)

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共58分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.已知集合A={H-1WX<2},B={X|-2<X<1},则AU8=()

A.B.卜卜2Vx<2}

C.[x\x>-2^D.{x|%<2}

2.若复数z=cos]：-a+3i是纯虚数，则〃的值可以为()

、-c5兀-3兀-9兀

A.2兀B.—C.—D.—

444

3.若非零向量，，5满足同=2忖，且(2-3万)1.万，则cos〈。而=()

A.1B.3C,1D.2

3463

4.已知函数>=/(无)的图象与函数y=2'的图象关于直线y=x对称，g(x)为奇函数，且当x>0时，

g(x)=f(x)-x,则g(-8)=()

A.-5B.-6C.5D.6

5.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为产，准线为/,过C上一点A作于点5,若

\AB\^\BF\^4,则。=()

A.1B.73C.2D.273

/,3sin—+a+sincr-3nil…上工/、

6.已知2a12)，则cos2a的值为()

tan—=----------------------------

2sina

7.如图，已知四棱柱ABC。-A瓦UR的底面为平行四边形，E,F,G分别为棱AVCG，G2的中点，则

()

A.直线3GI2都与平面5FG平行

B.直线都与平面占FG相交

C.直线3G与平面MG平行，直线5。］与平面£FG相交

D.直线5G与平面MG相交，直线5R与平面£FG平行

8.若0<九心九2<1，e为自然对数的底数，则下列结论正确的是（）

xX2Xl

A.x2e'<xfiB.x2e>冗户电

2x,

C.e^-e>Inx2-In玉D.e巧-e*<Inx2-Inxr

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数〃X）=ACOS（S+0）［A>0⑷的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A.=2cos[2%一.

B.函数:（x）在一旌上的值域为卜1,百］

C.函数/，-巳1是奇函数

D.函数“X）的图象可由y=2cos,上所有点的横坐标变为原来的T倍，再向右平移彳得到

10.某中学在学校艺术节举行“三独”比赛（独唱独奏独舞），由于疫情防控原因，比赛现场只有9名教师评

委给每位参赛选手评分，全校4000名学生通过在线直播观看并网络评分，比赛评分采取10分制.某选手

比赛后，现场9名教师原始评分中去掉一个最高分和一个最低分，得到7个有效评分如下表.对学生网络

则下列说法正确的是（）

A.现场教师评委7个有效评分与9个原始评分的中位数相同

B.估计全校有1200名学生的网络评分在区间［8,9）内

C.在去掉最高分和最低分之前9名教师评委原始评分的极差一定大于0.7

D.从学生观众中随机抽取10人，用频率估计概率，X表示评分不小于9分的人数，则E（X）=5

11.“脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体如图，“脸谱”图形可近

x2+y2=4,y>0

似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C,其方程为％22,则下列说法正确的是（）

—十-1,y<0

149）

A.曲线C包含的封闭图形内部（不含边界）有11个整数点（横、纵坐标均为整数）

B.曲线C上任意一点到原点距离的最大值与最小值之和为5

C.若4（0,一右）、B（0,君），尸是曲线C下半部分中半椭圆上的一个动点，则coszAPB的最小值为

9

D.画法几何的创始人加斯帕尔・蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中

心的圆上，称该圆为椭圆的蒙日圆；那么曲线C中下半部分半椭圆扩充为整个椭圆C：

22

亍+工=1（一34”3）后，椭圆。的蒙日圆方程为：%2+/=13

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

/、ex,x<1

12.已知函数〃x）=，则"In3）=.

13.一个盒子中装有标号为1,2,3,4,5的五个大小质地完全相同的小球.甲、乙两人玩游戏，规则如

下：第一轮，甲先从盒子中不放回地随机取两个球，乙接着从盒子中不放回地随机取一个球，若甲抽取的

两个小球数字之和大于乙抽取的小球数字，则甲得1分，否则甲不得分；第二轮，甲、乙从盒子中剩余的

两个球中依次不放回地随机取一个球，若甲抽取的小球数字大于乙抽取的小球数字，则甲得1分，否则甲

不得分.则在两轮游戏中甲共获得2分的概率为.

14.已知过点尸（0,-2）的直线分别与圆E：/+y2-4y=0交于两点（点8在A的上方）和C,£>两点

（点C在。的上方），且四边形ABCD为等腰梯形，若sin/8PC=姮，则梯形ABCD的面积为.

8

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.（13分）

已知VABC的内角A8,C满足二—=工=亚.

sinAsinBsinC

⑴求sinB；

（2）证明：C=2A.

16.（15分）

已知数列｛4｝满足％=1必=3a„_1+4（n>2）.^bn=log3（aB+2）.

（1）求证：数歹！J｛%,+2｝是等比数列，并求数列｛〃“｝通项公式；

34

(2)设数列q=，且对任意正整数〃，不等式恒成立，求实数2的取值范围.

凡4+1

17.(15分)

设函数f(x)=x-alnx,a>0.

(1)若/(元)在(e/(e))处的切线方程为y=-x,求实数。的取值;

e

⑵试讨论的单调性;

(3)对任意的xe(0,xo),恒有〃x)ZO成立，求实数a的取值范围.

18.(17分)

如图，在四棱锥尸—ABCD中，底面ABCZ)是直角梯形，AB//CD,AB±BC,^.AB=BD=2CD=4,

侧面PCD是正三角形，侧面PCD,底面ABC。，E为PC中点，作EFLPB交PB于F.

(2)求平面尸3Q与平面PBC的夹角的余弦值；

(3)在平面ZJEF内是否存在点。.使得丽•诙=0,若存在，求动点。的轨迹长度；若不存在，请说

明理由.

19.(17分)

定义:如果在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点A，B的坐标分别为a，M),(%，%)，那么称

d(A3)=%-司+1%-|为A8两点间的曼哈顿距离；D(A,B)="再-垃+(%-%y为A8两点间的欧

几里得距离.

(1)已知d(O,P)=l,求。(。,尸)的最小值;

⑵已知M(3,2),D(O,N)=2,求d(M,N)的最大值；

(3)已知a>0,点4(%,%)在函数/心)=-2(犬<0)图像上，点3(羽,s)在函数g(x)=alnx-x图像上,

X

且y产V2，点A,8有d(AB)的最小值为4,求实数a的取值.

2025年高考数学二轮复习测试卷01（新高考八省专用）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.已知集合4=3卜14%<2},8={尤卜24尤<1},则AUB=（）

A.{X|-1VX<1}B.{x卜2Vx<2}

C.[x\x>-2^D.{x|尤<2}

【答案】B

【解析】集合A={MT4X<2},8={尤卜2WX<1},所以=无<2}.

故选：B

2.若复数z=cos]：-“+3i是纯虚数，则。的值可以为（）

cc57c-3兀—9兀

A.2兀B.—C.—D.—

444

【答案】C

【解析】由题意可知,cos佰-o]=o,--e=-+kit,k^,

14）42

得6=-：jr-E,左eZ,根据选项可知，只有3?7r满足条件.

44

故选：C

7/23

3.若非零向量,，5满足同=2忖，且5―35)4,则cos@5〉=()

【答案】D

【角星析】Q（Q—3Z?）_LQ,3力）=。，

rr1rI->I㈠

^a-b=-a2,又|《=2愀，

故选：D.

4.已知函数>=/(元)的图象与函数y=2,的图象关于直线y=x对称，g(x)为奇函数，且当尤>0时,

g(x)=/(x)-x,则g(_8)=()

A.-5B.-6C.5D.6

【答案】C

【解析】由已知，函数>=/(幻与函数y=2*互为反函数，则/(x)=iog2x.

由题设,当x>0时,g(x)=log2x-x,则g(8)=logz8-8=3-8=-5.

因为g(x)为奇函数，所以g(-8)=-g(8)=5.

故选：C.

5.已知抛物线。：丁=2/(p>0)的焦点为人准线为人过C上一点A作A3JJ于点B,若

\AB\=\BF\^4,贝"=()

A.1B.V3C.2D.2g

【答案】C

【解析】方法一：连接AF,由抛物线定义可得|AF|=|AB|,

因为|AB|=|/|=4,所以△"B是边长为4的等边三角形.

8/23

yt

D

如图，设准线/与x轴的交点为。，又〃。尸,

所以NBM）=NAB歹=60。,

所以2=|。同=忸同cos60°=2.

方法二：设/与x轴的交点为。，则尸,

设4（无1，%），在RtABD.中，忸£＞『+。耳2=忸典2,

即y；+p2=2p%+p2=16①，

又依同=%+5=4②，联立方程组①②，解得：玉=3,p=2

所以P=2.

故选：C.

3sin工+a+sina-3

6.已知2a(2J,则cos2tz的值为（）

tan—

2sincr

A-IB-Ec-I

【答案】B

3sin—+a+sincr-3

【解析】由a(2J

tan2—

2sintz

c.aa/.2a

2sin-cos---osin一

,n2a3cosa+sina-3

-iwtan——----------------222=l-3tan—,

2sina、.aa2

2sm—cos—

22

-a

2tan—2•2

2coscif-sina1-tan%_5

tana

则二------而cos2a=2»~2

3cos«+sina1+tan2a13

1-tan—

2

故选：B

7.如图，已知四棱柱48CD-的底面为平行四边形，E,F,G分别为棱e,CGCR的中点，则

9/23

A.直线都与平面EfG平行

B.直线8G，8R都与平面EFG相交

C.直线BG与平面EPG平行，直线BQ与平面EPG相交

D.直线BG与平面EFG相交，直线与平面EfG平行

【答案】C

设对角线AC的中点为。，瓦'的中点为。I,9=£,成=反时=3,

以为基底，建立空间坐标系如上图，

则Bq=—a+c,

•••£,/分别是AA，CG的中点，；.M〃AC,Oa//C£EF=AC,OOl=CF,

GOLb--c+FOx=-b--c+-(a-b\=-(a-A,

1221222V>2V>

___.1___.

.■.BCl=--GOl,即BC/GO],GOg平面所G,BQu平面EFG,

BCJ/平面EFG；

10/23

由以上分析知，OOJIFC,FCUDD\,并且JFC=gcG=g。2，

：.OOJ/DD{,,点。也是对角线8。的中点，

•••OOX是一。"的DR边上的中位线，即。।在上，

B”平面EEG,即BA与平面E/G交于点。，

综上，BC"/平面EFG,BDX与平面EPG相交；

故选：C.

8.若e为自然对数的底数，则下列结论正确的是()

%1X2XlX2

A.x2e<xfiB.x2e>xxe

C.e巧一e*>Inx2-Inx{D.e巧-e*<Inx2-Inxx

【答案】B

【解析】对于AB选项，构造函数〃x)=则尸(x)=9，当0<x<l时，「(x)>0,

所以，函数/(X)在(。,1)上单调递增，

因为0"<三<1,贝1]/(石)</(々)，即宗<?，即Xze-1>书法，A错，B对；

对于CD选项，构造函数g(x)=e=lnx,其中0<x<l,g'(尤)=^-工，

因为函数丁=^、>=-：在(。,1)上均为增函数，故函数g'(x)在(0,1)上为增函数，

因为g(g)=&-2<0,g,(l)=e-l>0,

所以，存在使得小)=0,

当0cx</时,g,(x)<0,此时函数g(x)单调递减，

当X。〈尤<1时，短(x)>0,此时函数g(x)单调递增，

所以，函数g(x)在(0,1)上不单调，无法比较g&)、g(N)的大小，C错，D错.

故选：B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

11/23

9.已知函数/（x）=Acos（0x+e“A>O,0>O,网的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）

尤

A./(x)=2cos(2

B.函数小）在-旌上的值域为卜1,若］

C.函数/，-巳1是奇函数

D.函数〃尤）的图象可由y=2cos［x+f上所有点的横坐标变为原来的g倍，再向右平移巳得到

【答案】ACD

【解析】由图可知4=2,3==-二=；,

43124

27r

所以T=—=7t,所以①=2,

0)

贝ij/(x)=2cos(2x+0),

乂=+=所以cos[+e[=1,

JT

所以一+8=2E#£Z,

6

又ld<g,所以夕=一］,

20

所以〃x)=2cos]2x-m,故A正确；

对于B,因为xe,所以2x-.e-，

4oJ6L36

ffrtUcos^2x-—e——,1,

jrjr

所以函数“X)在-"不上的值域为[T，2]，故B错误;

因为g=2sin(―2x)=-2sin2x--g(x),

12/23

所以函数小是奇函数，故c正确;

对于D,y=2cos［x+［J上所有点的横坐标变为原来的1倍，得y=2cos0x+£

再向右平移得y=2cos2］无用+£=2cos|^2x-^=/（%）,故D正确.

故选：ACD.

10.某中学在学校艺术节举行“三独”比赛（独唱独奏独舞），由于疫情防控原因，比赛现场只有9名教师评

委给每位参赛选手评分，全校4000名学生通过在线直播观看并网络评分，比赛评分采取10分制.某选手

比赛后，现场9名教师原始评分中去掉一个最高分和一个最低分，得到7个有效评分如下表.对学生网络

评分按口,8）,［89）,［9,10］分成三组，其频率分布直方图如图所示.

则下列说法正确的是（）

A.现场教师评委7个有效评分与9个原始评分的中位数相同

B.估计全校有1200名学生的网络评分在区间［8,9）内

C.在去掉最高分和最低分之前9名教师评委原始评分的极差一定大于0.7

D.从学生观众中随机抽取10人，用频率估计概率，X表示评分不小于9分的人数，则E（X）=5

【答案】ABD

【解析】去掉9个原始评分中的一个最高分和一个最低分，不会改变该组数据的中位数，A正确；

因为学生网络评分在区间［8,9）内的频率为0.3,学生总人数为4000,则网络评分在区间［8,9）内的学生估计

有4000x0.3=1200人，B正确；

若去掉的一个最高分为9.6,去掉的一个最低分为8.9,则9名教师原始评分的极差等于0.7,C错误；

学生网络评分在区间［9,10］内的频率为0.5,则X~8C10,0.5）,所以E（X）=10x0.5=5,D正确；

13/23

故选：ABD.

11.“脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体如图，“脸谱”图形可近

X2+y2=4,y>0

似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C,其方程为炉2.则下列说法正确的是（）

—+^-=1,y<0

149

A.曲线C包含的封闭图形内部（不含边界）有11个整数点（横、纵坐标均为整数）

B.曲线C上任意一点到原点距离的最大值与最小值之和为5

C.若4（0,—6）、8（0,行），P是曲线C下半部分中半椭圆上的一个动点，贝！JcoszAPB的最小值为

9

D.画法几何的创始人加斯帕尔・蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中

心的圆上，称该圆为椭圆的蒙日圆；那么曲线C中下半部分半椭圆扩充为整个椭圆C：

22

?+看_=1（_3<”3）后，椭圆。的蒙日圆方程为：X2+/=13

【答案】BCD

x2+y2=4,y>0

【解析】对于A：曲线■尤22中，-2VxV2,当xeZ时,

—+^-=l,y<0

149,

分5类讨论：%=-2,-1,0,1,2,分别代入曲线C方程，可得：

整数点为(一1,1),(-1,0),(-1,-1).(-1,-2),(0,1),(0,0),(0,-1),

(0,-2),(1,1),(1,0)、(1,-1),(1,-2),

所以：整数点有12个，选项A错误；

对于B：曲线C中，当y>l时/+/=4,此时与原点距离为2,

22

当y<0,时‘+5=1,设半椭圆上动点P坐标为(2cos0,3sin。)，6c［肛2句

贝！110/f=0cos6)2+(3sin6)2=4cos26(+9sin261=9-5cos26»<9=>2<|(9P|<3,

最大值与最小值之和为5,选项B正确;

14/23

22

对于C：又40，一非)、2(0，6)恰为椭圆上+匕=1的两个焦点.

49

pA

那么|即+「@=6,\PA\-\PB\<1㈤=9

I2,

当且仅当|网=|正耳，即P在x轴上时，等号成立，

在ARIB中，|AB|=26，由余弦定理知:

|PA|2+|PBI2-|AB|2_(|PA|+|PB|)2-|AB|2-2|PA|.|PB|

cosZAPB=

2\PA\-\PB\2\PA\-\PB\

62-2O-2|PA|.|PB|881“

=--------1----n----1------=।-----pi—r-IN—1=—,选项c正确；

2\PA\-\PB\|PA|-|PB|99

对于D：由题意知：蒙日圆的圆心。坐标为原点(0,0),在椭圆C'：工+汇=1(-34>43)中取两条切

49'

线：》=2和>=3,它们交点为(2,3),

该点在蒙日圆上，半径为,2?+3?=岳

此时蒙日圆方程为：x2+y2=13,选项D正确.

故选：BCD.

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

/、[ex,x<1

12.已知函数〃x=“八।则"山3)=.

3

【答案】-

e

【解析】因为ln3>l,所以“In3)=〃ln3—1),

/n3oO

因为ln3—1<1,所以“In3-1)=6瓜37=J=3,所以“In3)=±.

eee

3

故答案为：-

e

13.一个盒子中装有标号为1,2,3,4,5的五个大小质地完全相同的小球.甲、乙两人玩游戏，规则如

下：第一轮，甲先从盒子中不放回地随机取两个球，乙接着从盒子中不放回地随机取一个球，若甲抽取的

两个小球数字之和大于乙抽取的小球数字，则甲得1分，否则甲不得分；第二轮，甲、乙从盒子中剩余的

两个球中依次不放回地随机取一个球，若甲抽取的小球数字大于乙抽取的小球数字，则甲得1分，否则甲

15/23

不得分.则在两轮游戏中甲共获得2分的概率为.

【答案】今23

60

【解析】若第一轮在第一轮中得1分，

若第一轮中甲抽到的小球为1,3,则乙抽到的小球只能是2,

若第一轮中甲抽到的小球为1,4,则乙抽到的小球可以是2或3,

若第一轮中甲抽到的小球为2,3,则乙抽到的小球可以是1或4,

若第一轮中甲抽到的小球为1,5或者2,4或者2,5或者3,4或者3,5或者4,5时，则乙抽到的小球

可以是剩下三个小球中的任何一个，故共有6x3=18,

1+2+2+1823

因此第一轮中甲得1分的概率为一3H-=而，

在第二轮的过程中，只剩下两个球，要使甲在第二轮中得1分，只需要甲在剩下两个球中抽到号码大的球

即可，故概率为

I2323

因此甲在两轮中共得2分的概率为5乂前，

23

故答案为：--

60

14.已知过点PQ-2）的直线//分别与圆E:/+y2—4y=0交于两点（点5在A的上方）和两点

（点C在。的上方），且四边形A5CD为等腰梯形，若sin/8PC=巫，则梯形A5CD的面积为.

8

【答案】M

4

【解析】不妨设点C，D在第一象限，设AD与y轴交点为尸，如图所示，

由圆石：f+y2_4y=0得，x2+（^—2）2=4,圆心石（。,2）,半径为2,

因为sin/BPC=姮，所以cos/BPC=

88

因为四边形ABCD为等腰梯形，

所以点4,8与点C,。关于y轴对称，BCHADUx螭,

2

则cosZBPC=cos2ZDPF=2cos2/DPF—1=-,解得cosZDPF=—,

84

所以tai*‘in〃尸J["C°LDPF=叵,

cosZDPFcosZDPF15

PF1l

设直线CD的倾斜角为0=/PDF,则直线CD的斜率为tan/PDF=——=-------------=V15,

FDtanZFPD

设直线CD的方程为y=y/l5x-2,D（xt,%）,C（x2,y2）,

16/23

y=y/l5x-2_

由,,z、2得，—265%+3=0,

d+(y_2)=4

7-3757+3火

解得％=4一，X=-

4

715+731V15-V37-3班7+3百3A/5

则|AD|+忸C|=2x(-■)=,|%-%|二

44442

3A/51156

所以梯形ABCD的面积为（|AD|+忸。”%-列3=后x-----x—=-----

224

故答案为：”3

共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.(13分)

73M

已知VABC的内角A,民C满足上=

sinAsinBsinC

⑴求sinB；

(2)证明：C=2A.

【解析】（）由N-

1—=，得sinA:sinB:sinC=2:3:

sinAsinBsinC

由正弦定理得a:b:c=sinA:sinB:sinC=2:3:A/10

^a=2x,b=3x,c=A/10X(X>0),

由余弦定理得cosB=鹏起一护=叵

2ac8

贝!jsinB=71~COS2B=

8

2+I」,cosA=b2+c2-a2J10

（2）证明：由（1）可知，cosC=—

lab42bc4

则cos2A=2COS2A-1=—=cosC.

4

17/23

由cosA>0,得Ac[0,5],贝1|2Ae（0,兀）.

因为Ce（O,兀），所以C=2A.

16.（15分）

已知数列｛%｝满足%=1,%=3a.i+4（n>2）.设一=log3（an+2）.

（1）求证：数歹U｛。,+2｝是等比数列，并求数列｛4｝通项公式；

（2）设数列且对任意正整数〃，不等式c〃V24-1恒成立，求实数X的取值范围.

a屋册+i

【解析】（1）证明：由％=1,4=3%+4（〃22）,

可得%+2=3%+6=3（%+2）,4+2=3

即数列｛4+2｝是首项和公比均为3的等比数列，

贝lJa“+2=3",即。"=3"—2；

4,+23"

（2）数列%丁+1）

Un,Un+la」a田（3»-2）（3"-2）

.c-3-（3--2）（3--2）3--6；1

G（3H+1-2）（3H+2-2）3"3"+2-2'

可得｛%｝递减，可得c“Wq=],对任意正整数〃，不等式恒成立,

35「5、

可得24-1之即有即2的取值范围是

17.（15分）

设函数/（%）=%一alnx,a>0.

⑴若“X）在（e"（e））处的切线方程为y=3x,求实数。的取值;

e

（2）试讨论“X）的单调性;

⑶对任意的xe（O,y）,恒有/（x）ZO成立，求实数a的取值范围.

【解析】⑴由向，则/（耳=1_三，

因为“X）在（e,/（e））处的切线方程为V=?》，

18/23

所以f(e)=l-9===^,=

eee

(2)由(1)知，ff(x}=l--=—―,x>0,

XX

因为〃>0,所以0<X<4时，/<(%)<0,当时，f\x)>0,

所以了(%)单调递减区间是(O,Q),单调递增区间是(。,+8).

(3)若任意的XE(0,+8),恒有/(力20成立，

即=1n^之。，在％E(0,+8)上恒成立,即如xVx,其中a>0,

当％=1时，041成立，

当0<%<1时，lnx<0,则〃之二恒成立，h(x)=—,h'(x\=,

luxInxInx

Y

当x〉l时，lnx>0,贝—恒成立，令>0,即lnx-l>0,解得％>0,

Iwc

而出(%)<0时，0<x<e,故l<x<e时，尸(%)<0,此时/(%)单调递减，

%>e时，((%)>0,此时/(%)单调递增，

故f(x)在X=e时取得最小值，/«„.„=/(e)=-^=e,即aVe,

又因为。〉0,故0<〃We,

综上所述，实数。的取值范围为(0,可.

18.(17分)

如图，在四棱锥尸—ABCD中，底面A2CD是直角梯形，AB//CD,AB±BC,S.AB=BD=2CD=4,

侧面尸CD是正三角形，侧面尸CD_L底面ABCZ),E为尸C中点，作£F_L依交PB于尸.

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(2)求平面与平面PBC的夹角的余弦值；

(3)在平面DEF内是否存在点Q.使得@5・森=0,若存在，求动点。的轨迹长度；若不存在，请说

明理由.

【解析】(1)由侧面PCD,底面ABCD,侧面尸CC>n底面ABCD=CD,BCu面ABCD,

又底面ABCD是直角梯形，AB//CD,ABA.BC,故5CLCD,

所以BC_L面尸CD,DEu面尸8,则BC_LOE,

由侧面PCD是正三角形，E为尸C中点，则DEJLPC,

而8€?。1尸。=(7且都在面P3c内，则。E_L面P3C,DEu面OEb,

所以面面尸8C,而£F_LPB,面DEFc面PBC=EF,尸3u面P8C,

所以P3_L平面ZJEF.

(2)依题意，可构建如下图示的空间直角坐标系，C(0,0,0),B(0,2A/3,0),P(l,0,^),D(2,0,0),

所以屈=(0,2百,0),/=(1,0,A5),而=(-1,26,一石)，而=(-1,0,百)，

一m-CB=2>/3y=0

令%=(x,y,z)是面PBC的一个法向量，则<一',

m-CP=x+y/3z=0

令x=6，则而=(有,0,-1),

n-PB=-a+26b-y/3c=0

令日=(a,4c)是面尸8c的一个法向量，贝叫一广，

n-DP=-a+y/3c=0

令a=G则7=（后1,1）,

/___\!_|fmn-n_2_y/5

所以平面P3D与平面PBC的夹角的余弦值cos仇和丽=温〜

20/23

z,

(3)由诿•诙=0,即诬_L诬，故。点在以AB为直径的球体与平面DEF的交线上,

又4（4,2石,0）,8（0,2百,0）,其中点坐标为0（2,26,0）,则加=（0,2后0）,

由(1)(2)知，而=(-1,26,-石)是面DE尸的一个法向量,

所以。到面DEF的距离d=|吗丝|=I2=3>