2025年高考数学二轮复习大题模拟卷5（原卷版+解析）

：题型必刷•大题仿真卷

大题仿真卷05（A组+B组+C组）

*--------A组•巩固提升----------♦>

（模式：5题满分：77分限时：70分钟）

一、解答题

1.（23-24高三下•辽宁•期末）如图所示，A,B,C为山脚两侧共线的三点，在山顶尸处测得三点的俯角

分别为a,P，Y.计划沿直线AC开通穿山隧道，请根据表格中的数据，计算：

（2）隧道DE的长度.

acos/ADEBBC

45^3

45°60°心12-3宕

7~2~2

2.（2024•广东肇庆•模拟预测）已知函数〃x）=lnx-加+?（meR）.

⑴求〃龙）的极值；

⑵对任意xe（O,l）,不等式/（无）>-：恒成立，求加的取值范围.

3.（24-25高三上•广西•阶段练习）已知双曲线C：=1（a>0,b>0）经过点4（-2,0）,离心率是日，

过点3（1,0）的直线/与双曲线的左右两支分别交于N两点.

（1）求直线/斜率的取值范围；

⑵设点尸（4,1）,直线PM,PN的斜率分别为勺，k2,试判断匕+向是否为定值，请说明理由.

4.（24-25高三上•广西•阶段练习）现有抽球游戏规则如下：盒子中初始装有白球和黑球各一个，每次有放

回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮.如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，

否则记为失败.在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止游戏；否则，在盒子中再放入一个黑球，然后接着

进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功.

（1）某人进行该抽球游戏时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止游戏，记其进行抽球游戏的轮数为

随机变量X,求X的分布列和数学期望；

（2）有数学爱好者统计了io。。名玩家进行该抽球游戏的数据，记/表示成功时抽球游戏的轮数，y表示对应

的人数，部分统计数据如下：

ti2345

y23294574423

经计算发现，非线性回归模型=的拟合效果优于线性回归模型，求出y关于t的非线性回归方程；

⑶证明：5+++…+［1』/一口［4）品4（其中〃eN*且

n>2）.

^x^-nx-y

附：回归方程系数：B=R----,d=y-bx

Xx；-nx

i=i

155_1555

参考数据：设%=［,»；=55,WX、L46,%=4£%产。46,f土0.21，WZ%=882,^<yz=313.6.

iz=li=l,z=lz=lz=l

5.（24-25高三上•广西南宁•阶段练习）悬链线在建筑领域有很多应用.当悬链线自然下垂时，处于最稳定的

状态，反之其倒置时也是一种稳定状态.链函数是一种特殊的悬链线函数，正链函数表达式为。（尤）=£耍,

相应的反链函数表达式为氏（耳=££二.

⑴证明：曲线y=A号-［0（x）-R2（x）］是轴对称图形，

（2）若直线y=f与函数y=D（x）和y=R（x）的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为小马，鼻，证

明：％+/+W>"1+0）；

⑶己知函数〃》）=阳（2》）-或（切-4,其中“,6eR.若/（力44对任意的二［111（力-1）,111（0+1）］恒成立,

求同+网的最大值.

♦>------------B组•能力强化----------♦>

（模式：3题满分：45分限时：40分钟）

一、解答题

1.（24-25高三上•海南省直辖县级单位•阶段练习）已知等差数列｛%｝前〃项的和为工，且。4=-3,S8=-16

（1）求数列｛〃“｝的通项公式;

\a,n—2k—1f*、

⑵若包=_0,仅,〃eN*）,求数列出｝的前2〃项和耳.

2.（2024•安徽•三模）如图，在四棱锥尸-ABCD中，APBC为等边三角形，底面是矩形，平面「3CL

平面ABCROE分别为线段6C,尸A的中点，点尸在线段尸8上（不包括端点）.

⑵若亚2g2,是否存在点人使得跖与平面。所成角的正弦值为噜'若存在'求出器'若

不存在，请说明理由.

2

3.（24-25高三上•重庆•阶段练习）已知函数/（尤）=依+广石+0-1（尤€1i）.

⑴证明：y=/（x-i）为奇函数；

（2）求〃元）的导函数的最小值；

（3）若了（尤）恰有三个零点，求。的取值范围.

o-----------c组•高分突破-----------<>

（模式：2题满分：34分限时：30分钟）

1.（2024•北京.模拟预测）乒乓球比赛有两种赛制，其中就有“5局3胜制”和“7局4胜制”，“5局3胜制”指

5局中胜3局的一方取得胜利，“7局4胜制”指7局中胜4局的一方取得胜利.

（1）甲、乙两人进行乒乓球比赛，若采用5局3胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为0.8；若采用7

局4胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为0.9.已知甲、乙两人采用两种赛制各共进行了加

场比赛，请根据小概率值e=0.010的太独立性检验，来推断赛制是否对甲获胜的场数有影响.

(2)若甲、乙两人采用5局3胜制比赛，设甲每局比赛的胜率均为0,没有平局.记事件“甲只要取得3局比

赛的胜利比赛结束且甲获胜”为4事件“两人赛满5局，甲至少取得3局比赛胜利且甲获胜”为8,试证明：

P(A)=P(B).

(3)甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲的胜率都是P(P＞。5),没有平局.若采用“赛满2”-1局，胜方

至少取得〃局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为P(").若采用“赛满2〃+1局，胜方至少取得"+1局胜利”的

赛制，甲获胜的概率记为尸5+1),试比较P5)与P5+D的大小.

_n(ad-bc)2

附：K2其中几=a+b+c+d

(a+b)(c+d){a+c)(b+d)'

P(K?>k0)0.050.0250.010

k。3.8415.0246.635

2.(23-24高三下.辽宁・期末)如图1,在矩形中，AB=\,BC=42,"是线段AD上(包括端点)

的一动点，如图2,将AABN沿着折起，使点A到达点尸的位置，满足点尸任平面BCDM.

图1图2

PN

⑴如图2,当3C=2ME＞时，点N是线段PC上点的，DN//平面PBM,求证的值；

(2)如图2,若点P在平面3CQW内的射影E落在线段BC上.

①是否存在点使得3尸，平面PCM,若存在，求尸”的长；若不存在，请说明理由;

②当三棱锥E-的体积最大值时，求点E到平面PCD的距离.

i题型必刷•大题仿真卷

J_______________________________________________

大题仿真卷05（A组+B组+C组）

0---------------A组•巩固提升-----------O

（模式：5题满分：77分限时：70分钟）

一、解答题

1.（23-24高三下•辽宁・期末）如图所示，A,B,C为山脚两侧共线的三点，在山顶尸处测得三点的俯角

分别为a,P，Y.计划沿直线AC开通穿山隧道，请根据表格中的数据，计算：

（1）PB的长度

（2）隧道OE的长度.

acos/ADEBBC

45A/3

45°60°V312-373

I~2~~T

【答案】（1）673

⑵9

4

【分析】（1）由cos/=m求出siny,从而可求出sin（60。-y）,然后在APBC中利用正弦定理可求出PB；

（2）在APLB中利用正弦定理求出A3,从而可求出DE.

43

【详解】（1）因为cos7=g,/为锐角，所以sin/=y,

所以sin(60°—7)=sin60°cosy—cos60°siny

V34134A/3-3

=----x-------x—=

252510

在APBC中，ZBPC=60°-ZPCB=7,5C=12—，

PBBC

所以由正弦定理得

sinZPCBsinZBPC

5/22

(12-3拘x?

〜nn3csin7-------厂5-=66

所以一$皿60。_打

4V3-3

10

(2)因为sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=④："

在中，ZPAB=45°,ZAPB=75°,PB=673,

A5PB

所以由正弦定理得

sinNA尸3sinZPAB

6舟近2

PBsin75°

贝()AB=4=9+3石,

sin45°

2

所以DE=AB-AD-EB=9+3&辿-立=9,

22

所以隧道OE的长度为9.

2.（2024・广东肇庆•模拟预测）已知函数/（x）=lnx-加+'（meR）.

⑴求〃x）的极值；

⑵对任意彳«0,1）,不等式/（元）＞一:恒成立，求优的取值范围.

【答案】（1）极小值Inm-m+1,无极大值

⑵匕+“

【分析】（1）求导，分类讨论确定函数单调性即可求解.

（2）将不等式转化为根＞弋2恒成立'构造函数g（xL，xe（。/）,利用导数确定函数单调性,

X—1X—L

进而求解最值求解,或者第一问函数的单调性，结合函数的最值分类讨论求解.

【详解】（1）/（元）的定义域为（0,+8）,尸（无）=工-3=7

XXX

当时，f'（x）＞0恒成立,此时单调递增，〃尤）无极值;

当机＞0时，令/（x）=0,得》=机.

故当》式0皿）时，r（x）＜0,/（x）单调递减；

当xe（〃z,+e）时，尸（x）＞0,/（x）单调递增,

此时/（尤）在x=机处取到极小值\nm-m+l,无极大值.

6/22

(2)方法一：对任意0<x<l时，恒成立，即“…恒成立.

eTrl7>

x-1

iX

Axlnx+—x-lux-1——

令g(x)=—xe(O,l)，则

X-L

1x—\

^/z(x)=x—lnx-1——,xG(0,1),贝！)li(x]—....<0,

ex

即h(x)在区间(0,1)上单调递减，又〃

所以当时，h(x)>0,即g'(x)>0,此时g(x)单调递增;

当时，h(x)<0,即g'(x)<0,此时g(x)单调递减，

所以g(x)111ax=g

所以加>L

即优的取值范围为［丁+eJ.

e

方法二：由(1)知/'(同='丝

当wiVO时，

因为/[3]=_1_'"+〃用=偿_1)机_1<_：，所以加〈0不符合题意；

当0<相<1时，当xe(o,/n)时/(元)单调递减，当xe(祖,1)时“X)单调递增.

对任意0<x<l时，恒成立，即/(x)1nhi=ln〃L〃7+l>-」，

ee

即Inm-m+l+—>0.

e

令g(m)=Inm-m+l+—,me(0,1)

,e

g，G")=L-i=±±>o,g(W在区间(o,i)上单调递增.

mm

X^f->|=-i--+i+-=o,

)ee

所以,〈机<1；

e

当机21时，尸(无)=亍<0J(x)在区间(0,1)上单调递减.

7/22

所以/(尤)>〃i)=o>-L符合题意;

e

综上，优的取值范围为+8,

【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的

新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩

法，注意恒成立与存在性问题的区别.

3.(24-25高三上•广西•阶段练习)已知双曲线C：5-%=1">0,b>0)经过点4(-2,0),离心率是日，

过点3(1,0)的直线/与双曲线的左右两支分别交于Af,N两点.

(1)求直线/斜率的取值范围；

⑵设点尸(4,1),直线PM,PN的斜率分别为%,k2,试判断尢+&是否为定值，请说明理由.

【答案】⑴-旦左<@

22

(2)《+自为定值，理由见解析

【分析】(1)根据离心率和双曲线过的点求解双曲线方程，然后设直线的方程为y=k(x-1),M(XL%),

N(x2,y2),与双曲线方程联立，根据二次方程根的分布列不等式求解即可.

(2)结合韦达定理，利用两点式斜率公式代入化简即可证明.

【详解】(1)依题意可得。=2,离心率e=£=五，贝！|c=V7.

a2

所以加=02-4=3,双曲线方程为

设直线"N的方程为y=k(x-1),M(Xi，yi),N(x2,y2).

y=%(尤-1),

由"y、得(3-4々2卜2+8入-4々2-12=0.

------=1,

143

因为直线MN与双曲线C的左、右支分别交于点M,N,

3-4/#0

所以‘一："=2<0，解得<也.

3-44~22

A=144(l-^2)>0

⑵由⑴知为+%春，爪=-4/-12

3-4尢2

8/22

MT+y2T=Mm1）1+'EFT

则k1+k2=

玉一4々一4%一4%2—4

2gX]一（5A+1）（X|+%）+8（4+1）-24/+24_22.

尤1々_4（尤]+X2）+16--36左2+36-3*P1+2=3为定值，

4.(24-25高三上•广西•阶段练习)现有抽球游戏规则如下：盒子中初始装有白球和黑球各一个，每次有放

回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮.如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，

否则记为失败.在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止游戏；否则，在盒子中再放入一个黑球，然后接着

进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功.

(1)某人进行该抽球游戏时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止游戏，记其进行抽球游戏的轮数为

随机变量X,求X的分布列和数学期望；

(2)有数学爱好者统计了1000名玩家进行该抽球游戏的数据，记/表示成功时抽球游戏的轮数，》表示对应

的人数，部分统计数据如下：

ti2345

y23294574423

经计算发现，非线性回归模型9=9+2的拟合效果优于线性回归模型，求出〉关于/的非线性回归方程;

t

⑶证明：+品<3（其中〃N*且

n>2）.

附：回归方程系数：6-......-,d=y-bx

£xf-nx

z=i

]55_i555

2

参考数据：设玉=丁，»；=55,^«1.46,x=-^«0.46,?«0.21，》舟=882,^^313.6.

ii=li=l3f=li=li=l

70

【答案】⑴分布列见解析，^乂卜三

（2）y=­-29.6

9/22

（3）证明见解析

【分析】（1）写出X的可能取值，求出各取值的概率，写出分布列和数学期望;

（2）令王=；,先根据题中数据求出换元后的线性回归方程，再利用换元得出y关于/的非线性回归方程;

（3）将所证不等式与第（1）问分布列的概率特点结合，根据对立事件概率特点求得结果.

【详解】（D由题知，X的取值可能为1,2,3.

1

所以P(X=I)=34

p(X=2)=

C1—12

尸)\2

(X=3=HM(12

3

所以X的分布列为:

X123

j_12

P

4127

1173+?+?9

所以数学期望为E（X）=l\+2x五+3'耳=『—=五.

(2)令王=［，贝!)y=+

%

由题知：亍=90

5__

人Z%%-313.6-5x0.46x90106.6“八

Z=1-----------------------=-------=260.

所以心5

储—5x-21.46-5x0.210.41

Z=1

所以2〜90—260x0.46=-29.6,y=260%-29.6,

故所求的回归方程为：y=--29.6.

（3）由题知，当〃eN*且"22时，在前〃轮内（包括第九轮）成功的概率为

在前〃轮内（包括第〃轮）均没有成功的概率为

10/22

故!+〔一&〔1-如一:卜…岛4

5.（24-25高三上•广西南宁•阶段练习）悬链线在建筑领域有很多应用.当悬链线自然下垂时，处于最稳定的

状态，反之其倒置时也是一种稳定状态.链函数是一种特殊的悬链线函数，正链函数表达式为O（x）=Zl

相应的反链函数表达式为刈同=丁二.

⑴证明：曲线>=鬻?-[加（元）-心（切是轴对称图形，

⑵若直线y=r与函数y=D（X）和y=R（无）的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为芯,超，%，证

明：%+兀2+七>ln（l+0）；

⑶己知函数〃刈=阳（2%）-或（另-4,其中a,6eR.若〃力44对任意的xe[ln（忘-l）,ln（VI+川恒成立,

求14+网的最大值.

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

（3）7

【分析】（1）将函数化简得y=（=]-1,根据偶函数的性质即可判断此函数图象关于>轴对称；

（e+e）

（2）根据函数的单调性可大致判断函数，=。（力和的图象y=R（x）,且y=。"）为偶函数，结合图象可判断

国+%=。，且/>/,再解不等式即可；

（3）观察函数特征，不妨设刈尤）=*二=加，当xe[ln（忘-l）,ln（应+1）]时，得〃?目-1』,，从而

〃“=|24+1-的-444对\/相€[-1再恒成立，再解不等式即可.

【详解】⑴户需一卬⑺一

令g(x)=-1,则g(-x)=-l=g(x),

11/22

R2(%)

所以g(x)为偶函数，故曲线>=一注-[。2(同-尺2(同]是轴对称图形，且关于y轴对称

(2)令O(x)=e；=0,得尤=0,

当x>0时，D'(x)>0;x<0,0'(x)<0,0(x)在(—,0)单调递减，在(。,+向单调递增，

所以£)(x)2£>(0)=1,且当x--oo时，。(力.+8,当xf+8时，£)(%).+8

又氏，G)=三二>0恒成立，所以R(x)在R上单调递增，

且当X-》—00时，R(x)—>—oo,当x->+8时，R(x)—>+8,♦

且对任意XGR,£)(%)>R(x),

所以的大致图象如图所示，

不妨设网<三，由。（x）为偶函数可得%+%=0,

y=f与图象有三个交点，显然7>1,令=工=f>i,

整理得解得e*>l+&或（舍），

所以尤>ln（l+a）,即w>ln（l+后），

又因为玉+尤2=°，所以占+*2+W>ln（l+应）.

「1p_*.-2.x

2

（3）设R（x）=--——=m9贝!JD（2x）=-----------=2m+1,

所以/（A:）=|D（2x）—Z?|=^2m2—

因为R（X）=W二单调递增，

所以xe[ln（&（万+1）]时，7?（x）e[-1,1],即加目一1』,

由f^x）<4<^>M<2m2+\-am-b<4,

n[2m2-am-b+5>0

即12，

2m2-am-b-3<0

12/22

—7<—a—b<1

该不等式组成立的一个必要条件为:机=-1和根=1时同时满足,

-l<b-a<7

所以同+同47,当。=4]=3时等号成立;

下面分析充分性：若a=4力=3时,

2m2-am-Z?+5>0=〈2m2-4m-3+5>0=\）m2-2m+l>0

2m2-am-Z?-3<02m2-4m-3-3<0[m2-2m-3<0

显然对Vmd-l』恒成立，从而满足题意,

综上所述：14+网的最大值为7.

【点睛】思路点睛：本题第三问函数/（X）的形式上比较复杂，对于形式比较复杂的函数，一般要考虑是否

是复合函数，而通常情况下比较喜欢考查其它函数与二次函数的复合，转化为二次函数以后在用二次函数

相关知识去解决问题，另外对于函数值域问题，虽然方法较多，最基础的方法是利用函数单调性求值域.

♦>--------------B组•能力强化----------O

（模式：3题满分：45分限时：40分钟）

一、解答题

1.（24-25高三上•海南省直辖县级单位•阶段练习）已知等差数列｛%｝前〃项的和为S“，且&=-3,SS=-16

（1）求数列｛%｝的通项公式；

[a,n=2k—l/*、,、

⑵若以=o7,求数列也的前2〃项和凡.

[2,〃=2代'7

【答案】⑴4=211

4n+1-4

（2）2n2-lln+

3

【分析】（1）应用等差数列通项公式及求和公式基本量运算求出4,",再得出通项公式即可;

（2）应用分组求和结合等差数列前n项和公式及等差数列前n项和公式计算求解.

【详解】（1）因为g=-3,S8=-16,

%+3d——3

a,=-9

所以8x（8-l）,解得

H-----——-d--16d=2

an,n=2k-lf2n-ll,n=2k—l

（2）由（1）可得包=[2n,n=2k（匕〃£N*）

2n,n=2k

所以4,=[一9一5-1+3+7+―+（4〃-13）]+（22+24+26+—+22"）

13/22

止一+*X—+4〃+i_4

3

2.（2024•安徽•三模）如图，在四棱锥P-ABCD中，APBC为等边三角形，底面ABC。是矩形，平面尸3CJ_

平面ABC。。,E分别为线段6C,PA的中点，点厂在线段加上（不包括端点）.

（2）若3C=2AB=2,是否存在点尸，使得成与平面PCD所成角的正弦值为返，若存在，求出名，若

13DT

不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析

〜七"PF1_^PFc

(2)存在，---=-或---=2

BF2BF

7___1_

【分析】⑴方法1：利用向量的线性运算结合图形关系得到而，用+（k而■而，即可证明；方法2：

__

过P作直线,与AD平行，延长DE与/交于点G,连接OG,再利用平行线段对应成比例得到方k=］而即

可证明;

（2）先由面面垂直的性质证明尸平面A88,再建系，找到平面尸⑺的法向量和炉，再利用线面角

的公式求出Z值即可.

9____o___o______________1_______?___».1___o___o______1_

【详解】⑴证明:方法1：而=§丽=§印+㈣=-PO+-DA=-PO+-^PA-吗k=^PO+-PE--PD,

系数和为1,根据平面向量共线定理可知。,2”产四点共面.

方法2：过P作直线/与AO平行，延长。E与/交于点G,连接OG.

因为底面458是矩形，。是BC的中点，

所以AO〃BC,且AD=203.所以/〃BC,则直线/与直线尸B相交，记交点为产、

因为E是R4的中点，可得尸G=AD,

14/22

则PG=203,所以尸尸=2B尸.

因为尸尸=：尸3,所以点尸即点尸，所以0,9E1四点共面.

(2)因为PB=PC,O是BC的中点，所以PO/BC,

又平面PBC_L平面ABCD,平面PBC口平面ABCD=BC,

POu平面P3C,所以尸O_L平面ABCD.

取AD中点。，连接。Q,易知OQ,OC,OP两两相互垂直，

如图，分别以OQQCQP为％y,z轴建立空间直角坐标系，

则A(1,-1,O),3(O,TO),C((U,O),Z)(1,1,O),P(O,O,@,

AD=(0,2,0),CD=(l,0,0),CP=(0,-l,^).

设平面PCD的法向量为a=(x,y,z),

3-CD=0,x=0(「、

则一即厂，令z=l,贝!Jy=JL所以0=0,6,1.

a-CP=O,[-y+y/3z=0v'

PF

设而=%(0<%<1),则

EF=PF-PE=kPB-^PA==

设所与平面PCD所成角为。,

2-2网V39

2x^4k2-4k+^IT

解得女=：1或女=2[,则PF£=1:或PSF=2.

3JBr2Dr

2

3.(24-25高三上•重庆•阶段练习)已知函数/(%)=依+*1+]+aT(X£R).

⑴证明：丁=/(x-1)为奇函数;

(2)求八x)的导函数的最小值；

15/22

(3)若f(x)恰有三个零点，求。的取值范围.

【答案】(1)证明见详解

⑵a-g

(3)0<<2<—

【分析】(1)利用奇偶性定义判断奇偶性即可；

(2)由题设可得‘(")="一一应用基本不等式求其最小值；

eH——ir+2

ex+1

(3)问题化为，=◎与0(])=i-鼻2在(-*0)和(o,+s)上各有一个交点，利用导数研究。⑴的性质，数

e+1

形结合确定参数范围.

22

【详解】(1)由题设，g(x)=f(x-l)=a(x-l)+-^—^+a-l=ax+—r—^-l9

me22exex-l2

J/T以g(一尤)=~CIX-\-------1——CLX-\-------]二—CIXH-----=-QX+1------=_g(x),

e-x+ll+e%l+exl+ex

又定义域为R,所以y=/(x-1)为奇函数，得证.

2ex+1221

⑵由题设八"=Q-------------2a----.-----=a—

(e%+1+l)2x+1

6m+』+22./e-^T+2,

e7e

当且仅当1.=击，即x=T时取等号，

所以/⑺的导函数的最小值为a-3.

22

⑶令/(%)=以+F—-+a-l用工代换x+1,贝!)/(%+1)=/1(%)二奴+?二一1,

'e+19e+1

九(尤),/z(—X)=—CIXH—2-----1——QXH-------1=—CIX+1------=~/l(x),

e-x+ll+exl+ex

易知/7(尤)为奇函数，又/(%)恰有三个零点，即加尤)恰有三个零点，显然〃(0)=0,

只需保证在(-8,0)和(0,+8)上各有一个零点即可，

222

令"(%)=办+丁匚-1=0,则依=1----,即丁=依与夕(%)=1--1匚在(-8,0)和(0,+oo)上各有一个交点,

e+1e+1ex+l

2ex22

由"(x)=八2>0,且。(—x)=l--7-=---1=-^),即9(X)为奇函数，

(ex+l)2ex+le+1

2e*2ex(l-ex)

令""二环了，贝")=(1)3』显然(-8，°)上。'(力>°，(。，+◎上"G)<0，

综上，9(尤)在R上递增，但递增速率先变快后变慢，大致图象如下图示，

16/22

又y=◎与叭x)都过原点，且原点处°(x)的切线斜率为“(0)=|,

12

结合图象知：当0＜。＜彳时，，=依与°(%)=1--在(—,0)和(0,+8)上各有一个交点，

2e+17

所以o＜〃＜务.

【点睛】难点点睛：导数类综合应用问题，综合性较强，计算量大，解答的难点在于第三问的零点问题,

解答时将零点问题转化为函数图象的焦点问题，数形结合进行解决.

o-------------C组•高分突破---------

(模式：2题满分：34分限时：30分钟)

1.(2024.北京•模拟预测)乒乓球比赛有两种赛制,其中就有“5局3胜制”和“7局4胜制”，“5局3胜制”指

5局中胜3局的一方取得胜利，“7局4胜制”指7局中胜4局的一*方取得胜利.

⑴甲、乙两人进行乒乓球比赛，若采用5局3胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为0.8；若采用7

局4胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为0.9.已知甲、乙两人采用两种赛制各共进行了小(〃zeN*)

场比赛，请根据小概率值c=0。10的片独立性检验，来推断赛制是否对甲获胜的场数有影响.

(2)若甲、乙两人采用5局3胜制比赛，设甲每局比赛的胜率均为0,没有平局.记事件“甲只要取得3局比

赛的胜利比赛结束且甲获胜”为4事件“两人赛满5局，甲至少取得3局比赛胜利且甲获胜”为2,试证明：

P(A)=P(B).

(3)甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲的胜率都是P(P＞Q5),没有平局.若采用“赛满2”-1局，胜方

至少取得〃局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为PS).若采用“赛满2〃+1局，胜方至少取得〃+1局胜利”的

赛制，甲获胜的概率记为尸(〃+1),试比较P(")与P5+D的大小.

n(ad-bc)2

附:，其中〃=a+Z?+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k0)0.050.0250.010

k03.8415.0246.635

【答案】(1)答案见解析:

⑵证明见解析；

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(3)P(〃+l)>尸⑺.

【分析】(D根据题设写出列联表，应用卡方公式得长2=黑，讨论参数结合独立检验基本思想即得答案；

(2)根据题设，应用独立乘法公式及互斥事件加法得到P(A),尸(8),并化简，即可证；

(3)考虑赛满2〃+1局的情况，以赛完2”-1局为第一阶段，第二阶段为最后2局，设“赛满2”+1局甲获胜”

为事件C,第一阶段甲获胜，记为A；第一阶段乙获胜，且甲恰好胜了”-1局，记为4,根据题意分析得

到尸(C)=P(AC)+P(4C),进而分情况写出关于参数p的概率公式，即可比较大小.

【详解】(1)由题设，赛制与甲获胜情况列联表如下，

甲获胜场数乙获胜场数

5局3胜0.8m0.2mm

7局4胜0.9m0.1mm

1.7m0.3m2m

2

所以K=2'〃(°-°8，.一°」8"「)-=网,若也上6.635169.1925,

l.lmxQ.3mxmxm5151

当〃注170时，根据小概率值1=0.01。的片独立性检验，推断赛制对甲获胜的场数有影响.

当加<170时，根据小概率值1=0。10的K,独立性检验，没有证据认为推断赛制对甲获胜的场数有影响.

(2)由题意，尸(A)=p3+p.C；p2(l-p)+p.Cjp2(l-p)2

=P3+3p3(l-p)+6p3(l-p)2

=6p5—15p4+10p3,

3

P(B)=CIP(i-。)2+cy(i-P)+*(i-p)°

=10p3(l-p)2+5p4(l-p)+p5

=10p5-20p4+10p3+5/-5p5+p5

=6p5-15p4+10p3,

综上，P(A)=P(B),得证.

(3)考虑赛满2〃+l局的情况，以赛完2”-1局为第一阶段，第二阶段为最后2局，

设“赛满2〃+1局甲获胜”为事件C,结合第一阶段结果，要使事件C发生，有两种情况：

第一阶段甲获胜，记为A;第一阶段乙获胜，且甲恰好胜了”-1局，记为4,

则c=AC+&c,^P(C)=P(AC)+P(AC),

若第一阶段甲获胜，即赛满2"-1局甲至少胜“局，有甲至少胜”+1局和甲恰好胜〃局两种情况，

甲至少胜〃+1局时，无论第二阶段的2局结果如何，最终甲获胜；

甲恰好胜〃局时，有可能甲不能获胜，此时第二阶段的2局比赛甲均失败，概率为p)e(l-p)2,

18/22

所以P（AQ=尸（"）一c工招"（i-py-^-p）2,

若第一阶段乙获胜，且甲恰好胜了”-1局，那么要使甲最终获胜，第二阶段的2局甲全胜，得

尸（40=尸⑷尸（C⑷=c^p^fi-pyp2,

2

所以尸（〃+1）=尸（C）=尸（〃）一clK_lP"（i-p）"T（I-p）2+C露p"T（I-Pyp,

贝11尸（“+D-P（W）=C=p"T（l-〃）"p2—GiP"（l—P）"T（1-P）2

=弓1。2（1—。）"一3,_他"（1一。）向

n

=c^iP（i-py[p-（i-p）]

=2C：p"（l-p）"（pJ），

11

由P＞（,所以2G,ip"（i-p）"（p-'＞o,得p（w+i）＞p（〃）.

【点睛】关键点点睛：第三问，设“赛满2"+1局甲获胜”为事件C,第一阶段甲获胜，记为A；第一阶段乙

获胜，且甲恰好胜了局，记为4,根据题意分析得到尸（。=尸（4。+/4。为关键.

2.（23-24高三下•辽宁•期末）如图1,在矩形ABCD中，AB=1,8C="M是线段AD上（包括端点）

的一动点，如图2,将△仙/沿着8M折起，使点A到达点尸的位置，满足点尸任平面BCDM.

图1图2

PN

⑴如图2,当3C=2MD时，点N是线段PC上点的，DN//平面PBM,求正的值；

⑵如图2,若点P在平面3coM内的射影E