2025届八省部分重点中学高三年级下册3月联合测评（T8第2次联考）数学试题 （学生版+解析版）

2025届高三部分重点中学3月联合测评（T8第2次联考）

数学试题

考试时间：2025年3月27日

试卷满分：150分考试用时：120分钟

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时.选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上

无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1已知复数z满足z+2i=zi,则忖=（）

A.75B.2C.72D.同

53

1_X

2.已知集合尸={My=ln(l-2x)},Q=<yy=~^~则PnQ=()

a〃+租

3.已知实数。<匕，则“m>0”是“一<---”的（）

bb+m

A,充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.2025年蛇年春晚武汉分会场地点设在黄鹤楼，楼的外观有五层而实际上内部有九层.为营造春节的喜

庆气氛，主办方决定在黄鹤楼的外部用灯笼进行装饰.这五层楼预计共挂186盏灯笼，且相邻两层中的下一

层灯笼数是上一层灯笼数的2倍，则最中间一层需要挂灯笼的数量为（）

A.12盏B.24盏C.36盏D.48盏

5.若coscr+cos，=g,cos（i—尸）=一；，其中。兀），则sina+sin〃=（

AV5RV6n2

2X.D.X—Z.\j,

2242

6.设N为正整数，在平面直角坐标系。孙中，若CQ：2+c3y2=l（O<7〃<N,O<〃<N,且帆〃eZ）

恰好能表示出12个不同的椭圆方程，则N的一个可能取值为（）

A.12B.8C.7D.5

7.在研究性学习活动中，某位学生收集了两个变量x与>之间几组数据如下表：

X1234

y0235

根据上表数据所得经验回归方程为$=+6.该同学又收集了两组数据％=5,y=4和x=6,y=5,利

用这六组数据求得的经验回归方程为$=则以下结论正确的是（）

n

£x》_nxy

参考公式：经验回归方程为$=%+其中另=号----------，a=y-bx.

-me-

i=l

A.b>bf,d>afB.b<b\a>a,

C.b<b\a<a'D.g>//,d<ar

8.已知A（Xp弘）,5（%2,%）是圆,：（%-1）?+y2=4上的动点，且（玉—］）（九2—1）+%%=—§,当点Af满

足丽=3祝5，点尸在椭圆石：土+乙=1上运动时，加的最大值为（）

9811

A.3+8B.4+72

C4+73D.5+72

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分

9.如图，圆锥SO的底面半径为1,侧面积为4兀，△S4B是圆锥的一个轴截面，则（）

s

B.圆锥SO的侧面展开图的圆心角为——

3

C.由A点出发绕圆锥侧面一周，又回到A点的细绳长度的最小值为

D.该圆锥内部可容纳的球的最大半径为巫

5

10.己知。力均为正实数，且过点的直线与抛物线丁2=_2〃％(〃>0)相切于点双1-2,£|,下列

说法正确的是()

A.a+3b=2B.”2+匕2的最小值为g

C.—I-----的最小值为3D.--------1--------的最小值为一

a3btz+lb+29

11.设曲线C:f(x—y)=2,下列说法正确的是()

A.曲线。的图象仅在第一、三象限内

B.曲线c的渐近线为直线丁=%和y轴

C.曲线C与曲线E：/(y—x)=2没有交点

D.曲线。与圆。：/+：/=2交于A,3两点，直线A3斜率大于0+1

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若(1-依)6(aw0)展开式的各二项式系数的和是其系数和的64倍，则实数。的值为.

13.已知函数/(司=5425-《卜1(。〉0)在区间［0,可上恰有两个零点，则。的取值范围是

14.若函数y=/(x)满足：对任意的正实数加,"，有++恒成立，则称函数

y=/(x)为“「函数”.若函数/(x)=ln(x+l)+G：2是“「函数，，，则实数a的取值范围是.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

3

15.在VA8C中，内角AB,。所对的边分别为a,b,c,且bcosC=g〃+ccos3.

(1)求证：tanB=4tanC；

⑵若c=非,sinC=g，求VA3C的面积.

16.如图，在长方体ABC。—中，AB=AD=1,朋=2,M,N分别为棱。4,3C上的动点

(含端点).

(1)当点“在什么位置时，有4。，平面MAC；

DMBN

(2)当动点"，N满足时，求点A到平面距离的取值范围.

L)L)]£>C

17.函数/(x)=e"'-Inx+a.

⑴若。=1,求/(x)的极值点个数；

(2)是否存在整数。，使得函数/(力的图象与y=(2—a)x+a的图象在区间。,+")上有两个交点？若

存在，求出a的最大值；若不存在，请说明理由.

22

18.如图，已知双曲线C：J—方=1(。〉0,6〉0)的离心率为线段44,3避2分别为。的实轴与

虚轴，四边形4月4纥的面积为8.

yt

AT/

FjA\IA\F2X

/r\

(1)求C的标准方程；

(2)若直线/与C的左、右两支分别交于M,N两点，且总有&与平分NM&N.

①求证：直线/恒过定点，并求出定点坐标；

②若直线&〃，&N与直线x=g分别交于P,Q两点，求与△&PQ面积之和的最小值.

19.在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的乘积，形成一个新数列，我们把这样的操作称为该数列

的一次“J延拓”.如数列1,2第一次“J延拓”后得到数列1,2,2,第二次“J延拓”后得到数列1,2,2,4,

2.将数列a,4c经过几次“J延拓”后所得数列的项数记为只，所有项的乘积记为Q”.

(1)给定数列一1,2,1,回答下列问题：

①求EQ；

②若屏+21>22025,求正整数”的最小值.

(2)已知数列a,。,c,其中a,4ce{-3,—2,—LI,2,3},求该数列经过3次“J延拓”.后，2能被48整除

的概率.

2025届高三部分重点中学3月联合测评(T8第2次联考)

数学试题

考试时间：2025年3月27日

试卷满分：150分考试用时：120分钟

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时.选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上

无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.己知复数z满足z+2i=zi,则忖=()

A.亚B.&C.V2D.显

53

【答案】C

【解析】

【分析】由复数的四则运算，及模长公式即可求解.

【详解】•••(1—i)z=-2i,

-2i1.

..z—------1—1f

1-i

故忖=A/2.

故选：C

2.已知集合尸={x|y=ln(l-2x)},Q=<yy=^—则PP|Q=()

【答案】A

【解析】

【分析】先求对数型函数的定义域，再根据指数函数的性质求集合Q中函数的值域，最后求两集合的交集即

可.

【详解】对于集合P，由1—2x＞0,得x＜g,所以P=1—8,；|；

对于集合Q,由e*＞0,得匕《＜，，所以Q=（一”，]],

22I2J

则PcQ=1_”,g].

故选：A.

＜7n+m

3.已知实数。＜匕，则“机＞0”是“一＜-----”的（）

bb+m

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】

a（]+ma"+

【分析】利用特殊值代入判断m＞0不能推出——，且——也不能推出机＞0,再用充分必要

bb+mbb+m

条件的定义判断即可.

a〃+租

【详解】已知实数若冽＞0,例如〃=一2,b=-l,m=2,得一〉-----，

bb+m

✓7/7+m

•・•“加＞0”不是“；＜7一”的充分条件；

bb+m

n（1ni

若一＜-----，例如a=0,b=l,切=—2符合此不等式，但是加＜0,

bb+m

n〃+n7

・・."m＞0”不是"一＜---”的必要条件.

bb+m

HnTri

•••“加＞0”是“一＜---”的既不充分也不必要条件.

bb+m

故选：D.

4.2025年蛇年春晚的武汉分会场地点设在黄鹤楼，楼的外观有五层而实际上内部有九层.为营造春节的喜

庆气氛，主办方决定在黄鹤楼的外部用灯笼进行装饰.这五层楼预计共挂186盏灯笼，且相邻两层中的下一

层灯笼数是上一层灯笼数的2倍，则最中间一层需要挂灯笼的数量为（）

A.12盏B.24盏C.36盏D.48盏

【答案】B

【解析】

【分析】各层楼的灯笼数从上至下依次成等比数列，依据公比和前5项和可求得首项，即可求最中间一层的

灯笼数量.

【详解】由题意知，各层楼的灯笼数从上至下依次成等比数列，记为数列{4},

第5层楼所挂灯笼数为0，公比q=2.

由“°")=186,解得q=6.

1—4

则最中间一层的灯笼数为%==24.

故选：B

5.若coso+cos/=g,cos（i-£）=-；,其中。兀），则sina+sin〃=（）

A.近53

D.---------C.一D.-

2242

【答案】A

【解析】

【分析】由（sina+sin尸了，（cosa+cos尸y相加即可求解.

【详解】令sin^z+sin/7=^(^>0)①，

•/coscr+cos夕=g②，

二.由①2+②2,得2+2cos(a—/)=r+：,

又cos(a—/?)=—4，故又t>G，:.t=.

故选：A

6.设N为正整数，在平面直角坐标系。孙中，若C?/+C3y2=I（O<7〃<N,O<〃<N,且帆〃eZ）

恰好能表示出12个不同的椭圆方程，则N的一个可能取值为（）

A.12B.8C.7D.5

【答案】C

【解析】

【分析】由题可知加力〃，分类讨论当N为偶数和奇数两种情况时c%,C。的取值情况，进而由椭圆个数

求出N的值，即可得解.

【详解】由C?=cr'"知，当N为偶数时，，,C3均有g+l个不同的取值.由方程是椭圆的方程知，

(N\N(N\N

，丰故方程可表示的不同的椭圆方程的个数为万+1・万，令了+1'5=12,解得N=6.

N+lN+lN-1

当N为奇数时，C；,C3均有三一个不同的取值.故方程可表示的不同的椭圆方程的个数为方———

N+lN-1

令-----------=12,解得N=7.

22

综上所述，N=6或7.

故选：C.

7.在研究性学习活动中，某位学生收集了两个变量X与y之间的几组数据如下表：

X1234

y0235

根据上表数据所得经验回归方程为亍=%+6.该同学又收集了两组数据X=5,y=4和x=6,y=5,利

用这六组数据求得的经验回归方程为夕=//%+",则以下结论正确的是()

»/一"孙

参考公式：经验回归方程为$=%+其中b=上;

----------,a=y-t

L1-rix2

1=1

A-b>b',a>a'I工b<b\a>ar

C-b<b',a<a'[>b>br,a<a'

【答案】D

【解析】

【分析】利用线性回归系数公式计算如&4,//即可.

-5

【详解】该同学收集了四组数据，由表中数据知x

2

,(1x0+2x2+3x3+4x5)-4x-x-8

：.B=------------------------------------————=—八=-5-5X-8=-3.

(f225'.

+22+3+4)-4X^J2252

7-19

又收集了两组数据(5,4)和(6,5)后，新的平均数为P

:.b>bf»a<ar•

故选：D.

8.已知人（石,％）,5（入2，%）是圆。：（％-1）2+〉2=4上的动点，且（玉一1）（九2一1）+%%=—1，当点”满

22..

足丽=3庇，点尸在椭圆石：土+匕=1上运动时，加的最大值为（）

9811

A.3+43B.4+72

C.4+73D.5+0

【答案】B

【解析】

【分析】本题先根据圆上点的坐标得到向量石、CB，利用已知条件算出至鼠而和向量模长.再由

丽=3加推出心而与瓦、区的关系，进而求出|由确定动点河的轨迹是个圆.接着根据三角形三

边关系得到I前百与|定|的不等式.因为圆心C是椭圆右焦点，可求出IPCI最大值，最后得出|秘|的最大

值.

【详解】4（%,%），5（%2，%）是圆。：（％-1）2+丁2=4上的动点，圆心。（1,0）,

=

（玉-l）（x2-1）+J1J2CACB=,且|CA卜|cfi|=2,

__,_____.3—•1―.

由BM=3W1，得CM=：CA+：CB，

44

22

•••动点〃在圆心为c（l,o）,半径为夜的圆上运动，点P在椭圆三+餐=1上运动，

贝/阿〈西+H

22

又c(i,o)为椭圆%---J----1=1的右焦点,・•.|PC|的最大值为3+1=4,

9----8

此时P为椭圆的左顶点，点河的坐标为(1+后,0卜

旃|的最大值为4+a.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分

9.如图，圆锥SO的底面半径为1,侧面积为4兀，△S4B是圆锥的一个轴截面，则()

A.圆锥的母线长为4

B.圆锥SO的侧面展开图的圆心角为生

3

C.由A点出发绕圆锥侧面一周，又回到A点的细绳长度的最小值为4正

该圆锥内部可容纳的球的最大半径为巫

D.

5

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据侧面积公式即可求解A,根据弧长公式即可求解B,根据展开图即可求解C,根据等面积法或

者利用相似即可求解D.

【详解】圆锥的侧面展开图如图所示.

设圆锥的母线长为/,底面半径为尺，圆锥SO的侧面积为兀凡=4兀，，/=4,..・选项A正确；

圆锥SO的侧面展开图的圆心角。=旦='，..・选项B错误；

I2

如上图，由A点出发绕圆锥侧面一周，又回到A点的细绳长度最小值为圆锥侧面的展开图得到的扇形的圆

心角所对的弦长AA，

AA'=J5/=4A历,「•选项C正确；

球与圆锥内切时，球的半径最大，此时球心在轴SO上，且内切球的大圆内切于圆锥的轴截面.

._____1,-1

设内切球的半径为一，圆锥的高为J/2_[2=岳,由等面积法得“钻=5*2、屑=5*(4+4+2)氏，

解得「=巫，

5

或者作出圆锥轴截面图象，

设圆锥内部最大球即与圆锥相切的球的半径为广，由于△SO8~ASCO一则生=里，

OBSB

可得二=正=，解得「=巫.

145

故选：ACD

10.已知。力均为正实数，且过点3的直线与抛物线9=-2px(p>0)相切于点2,g],下列

说法正确的是()

A.a+3b=2B.1+/的最小值为

C.—的最小值为3D.--------1--—的最小值为辛

a3ba+1b+29

【答案】ACD

【解析】

【分析】由切线方程得到。+36=2,再结合消元，利用二次函数和基本不等式求最值逐项判断即可.

（41164

【详解】由N1—2,在抛物线上，可得：4p=—,得P=§

8

由抛物线方程/=—gx,得到y=±X

-9-

1

当y20时y求导得:

当x=—2时，可得以点N1—2,gj为切点的切线斜率为：—g,

切线方程为y—：=—；（x+2）即x+3y—2=0.又切线过点（。涉），故。+3。=2,...选项A正确;

2

,.,Q+3Z?=2,:.a=2-3b,又a力均正实数，:.Q<b<—.

3

a2+Z?2=（2-3Z?）2+&2=10&2-12/7+4=io[》—g]+|«

3?

当b=y时，/+〃取得最小值，最小值为彳，.•.选项B错误;

2aa+3ba3ba、，13ba

—+——=-------+——=14+——+——>1+2J--------

a3ba3ba3b\a3b

Q7

当且仅当吆=乌，即a=3〃=1时取等，，选项C正确;

a3b

•••K3〃=2,-M+l)+33+2)=9,++=>+

19>1(10+279)=^

----1--7----r

a+13伍+2)93口野

30+2)9(«+1)9

当且仅当即a+l=/?+2=—时取等号，，选项D正确.

6Z+130+2)'4

故选：ACD

11.设曲线C：f（x—y）=2,下列说法正确的是（）

A.曲线C图象仅在第一、三象限内

B.曲线c的渐近线为直线丁=%和y轴

C.曲线C与曲线E:y2(y—x)=2没有交点

D.曲线。与圆。：/+;/=2交于48两点，直线A3的斜率大于0+1

【答案】BCD

【解析】

【分析】代入即可求解A,根据九-y)=0,即可求解B,根据对称即可求解C,根据两点斜率公式可

得E+干土7，结合不等式即可求解.

【详解】易知点(1,—1)在曲线C上，，选项A错误；

令12(x—y)=o,则直线y=x和y轴为曲线。的渐近线，事实上，曲线。的图象如下图所示，，选项B

正确;

2

曲线(x—y)=2与曲线£：y2(y—6=2关于y=x对称.又d(尤—丁)=2化为y=x—-r<x,z.

X

曲线c在直线y=x下方，由对称知曲线E：y2(y—x)=2在直线y=x上方，.•.曲线C与曲线E没有交点,

选项c正确；

设B(x2,y2),结合图象分析，当曲线。与圆。：必+俨=2交于A3两点时，玉>0,X2>0,

22

石------％

此时直线AB的斜率k==___寸__[_2学--_--=-1+2(西+：2)〉1+3,I----=-1+4

3

占一々七一々(占%)?(西马)2J(X.X2}

X；+y；=2,①

又《故①+②得x；+x；+y；+£=4那么x；+x；W4,故2再々<x^+xf<4,即

%+犬=2,②'

X%2<2,从而左>1+0,选项D正确.

故选：BCD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若（1-oc）6（a/0）展开式的各二项式系数的和是其系数和的64倍，则实数。的值为.

【答案】2

【解析】

【分析】先求出（1—公）6（aNO）的展开式中二项式系数和与系数和，可得26=64（l—a『，解方程即可得

出答案.

【详解】（1—公『（a彳0）的展开式中二项式系数和为26,系数和为（1—of,

・:26=64（1—=（2—2a）6,/.2=±（2-2a）,

又〃wO,故2=2〃—2,解得a=2.

故答案为：2.

13.己知函数/（x）=sin12°x—《卜1（。〉0）在区间［0,可上恰有两个零点，则。的取值范围是

【答案】

【解析】

7T7171

【分析】换元/=20x—-,由sin/=l在区间-二,2兀刃一二上恰有两个实数根，即可求解.

666

TTJTTT

【详解】由OWxW兀得一一<2«x——<2兀。一一.

666

令/(%)=。,贝Usin|2ox—E=1在区间［0,可上恰有两个实数根.

令t=2a）x7-1则sim=l在区间-2,2兀0一$上恰有两个实数根.

666

97T47

—,解得一—.

233

14.若函数y=/(x)满足：对任意的正实数加，"，有/'(相+7。>/'(")+/(〃)恒成立，则称函数

y=/(x)为“「函数”.若函数/(x)=ln(x+l)+ax2是"「函数则实数a的取值范围是

【答案】；,+8

【解析】

【分析】代入可得2«/nra+ln(m+ra+l)-ln(m+l)-ln(77+l)>0恒成立，构造函数

^(x)=2«/zx+ln(x+w+l)-ln(x+l)-ln(M+l),求导，对a分类讨论，即可根据函数单调性求解最

值得解.

【详解】由题可知，Vm,ne(0,+co),有111(m+〃+1)+0(7%+〃)->111(m+1)+卬％2+111(〃+1)+812恒

成立，

即2a/〃〃+ln(m+〃+l)-ln(m+l)-ln(〃+l)>0恒成立.

令姒%)=2anx+ln(x+〃+l)-ln(x+l)-ln(〃+l),x>0,n>0.

(p'(x\=2an-\-------------------

x+n+1x+1

令，…("小尸(^^+般〉。

.・・。(尤)在区间［0,+8)上单调递增.

r

①当a2工时，(p(X)>n-\-------------------=nJ+-八〉°恒成立，故。(％)在区间[0,+“)

2X+7?+1x+1I~I-A11~v~fL~I-AI

上单调递增.

•.,加>0,...0(>O(0)=0成立，符合题意;

②当a«0时,0'(x)<O恒成立，在区间［0,+s)上单调递减.•.•加>。，”(m)<0(O)=O,与

题意矛盾;

I〃

③当0<a<一时，e'(0)=2a〃-=--n---\2a---,当时，0'(0)<0.

2n+1Vn+1

又。(九)在区间［0,+")上单调递增，且9,—-1|=2tznJ>2an(l-2a^>0,

2aJ

一+〃

2a

使得0'(Xo)=O,当xw[O,Xo)时，(p'(x)<Q,

0（x）在区间［0,九0）上单调递减.，67ZG（O,Xo）时，使得0（m）<0⑼=0,矛盾.

综上所述，a>-.

2

故答案为：—,+CO^

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

3

15.在VABC中，内角AB,C所对的边分别为Q,b,c,且灰x）sC=gi+ccosB.

（1）求证：tanB=4tanC；

⑵若c=底sinC=手，求VA3C的面积.

【答案】（1）证明见解析

（2）5

【解析】

3

【分析】（1）由8cosC=ja+ccosB,利用正弦定理，将边转化为角化简整理得到

sinBcosC=4cosBsinC证明；

（2）由tanB=4tanC,结合sinC=^^，得到tanC='，tanB=2,从而siaB=35，边上的

525

高/z=c・sinB=2,由SVABC=；3C,/z求解.

【小问1详解】

3

证明：已知bcosC~~a+ccos5,

33

由正弦定理得sinBcosC=—sinA+sinCcosB=—sin（B+C）+sinCcosB,

整理得sinBcosC=4cosBsinC.

若cosC=0,贝Icos5=0,这与氏。为VABC的内角矛盾，

「.cosCwO,同理，cosBwO,

两边同除以cos5cosC,得tanB=4tanC.

【小问2详解】

由tanB=4tanC可知5cG|0,g|.

又sinC=^^，，tanC='，tanB=2,

52

••n一2君

..SIILD—--------«

5

如图所示：

设边上的高为/?,贝!J/z=c-sinB=2.

h/z22厂

BC=------1-----=—F丁—5

又tanBtanC2£•

2

S^=-BC-h=-x5x2=5.

△ADRUr22

16.如图，在长方体ABC。—ABC12中，AB=AD=\,A\=2,M,N分别为棱上的动点

（含端点）.

BNC

（1）当点“在什么位置时，有4。，平面M4C；

DMBN

（2）当动点Af,N满足；3丁=三厂时，求点A到平面距禺的取值范围.

nC

【答案】（1）〃是棱。，上靠近点。的四等分点

2.

(2)—,2

3

【解析】

【分析】（1）以A为坐标原点，以A3,AD,A4所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的

空间直角坐标坐标系，由空间位置关系的向量法求解即可;

(2)由点到面距离的向量法求解即可.

【小问1详解】

如图，以A为坐标原点，以A3,AD，A4所在直线分别为了轴、，轴、z轴，建立如图所示的空间直

角坐标坐标系.

设加=/1间，2e[0,l],则A（0,0,0）,4（1,0,2）,C（l,l,0）,D（0,1,0）,〃（0,1,2）,

M（0,1,22）,

..丽=（-1,1,-2）,AC=（1,1,0）,AM=（0,1,22）,

B1）AC=Q,

要使4。，平面MAC,需满足〈二_______.

BQAM=Q,

—..1

由=4X=0,解得4=—.

4

.­.当“是棱。〃上靠近点D的四等分点时，有BQ1平面MAC.

【小问2详解】

DMBNc「I/、/、——»/、►/、

设而=超=2'几目°』，则M（0,l,24）,N（l,40）,=（0,0,2）,AM=（0,1,22）,

A2V=（1,2,0）.

设平面AW的法向量为为=(%,%,Zo),

AM•为=%+22z=0,、

一n令z0=l,得到毛=2万，%=-24,

AN•为二/+2yo=0,

得为=(2抗-241)为平面AAW的一个法向量.

22

点A到平面ANM的距离d=—闻一

，（2疔+（—24）2+12%+1'

2

易知d=——在区间［0,1］上单调递减,

2A+1

2

最大值为2,最小值为；，

3

/.d€一,2.

3

17.函数=Inx+a.

(1)若a=l,求/(x)的极值点个数;

(2)是否存在整数。，使得函数/(x)的图象与y=(2—a)x+a的图象在区间(1,+。)上有两个交点？若

存在，求出a的最大值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)极值点个数为L

(2)不存在整数a,理由见解析

【解析】

【分析】(1)对/(九)求导，讨论/(%)的单调性结合极值点的定义即可得出答案;

(2)解法一：令g(x)=/(x)—(2—a)x—a,原命题等价于函数g(x)在区间(1,+“)上有两个零点，讨

论g(x)的单调性和最值即可得出答案；解法二三：假设e@—lnx+a=(2—a)x+a有两解，令

h(x)=em+ax-(lux+2x),讨论/i(x)的单调性和最值即可得出答案;

【小问1详解】

当a=l时，/(%)=ex-liiY+1,x>0,/,(x)=ex--.

令/(x)=e」，.♦.«*)=e'+J>。,即/'(%)在区间(0,+“)上单调递增.

XX

又/I6-2<0,/,(l)=e-l>0,

/1］，使得/'(%)=0.

/.3x0e

当彳式。,5)时，/'(X)</'(%)=0；当xe(%,+8)时，/'(%)>/'(%)=0.

・••/(%)在区间(0,%)上单调递减，在区间(5,+8)上单调递增,

x=x0是/(力的唯一极小值点，无极大值点.

・••/(尤)的极值点个数为1.

小问2详解】

解法一：令g(x)=/(X)_(2_Q)X_Q=e^-lwc-(2-a)xfX£(l,+a).

.•・原命题等价于函数g(X)在区间(1,+a)上有两个零点.

,/g'(x)=ae^---(2-6z),

x

当〃《0时，g'(x)〈。恒成立，・・.g(x)在区间(1,+8)上单调递减，g(x)至多有一个零点，

不合题意；

当〃>0时，令/Z(Q)=e〃一lnx-(2—”(a)=xe"+%>。，

・•・力(。)在区间(。,+“)上单调递增.

又〃£Z,.../?(〃)N/z(l)=e"-lnx-x.

令加(x)=e，-hix-x,x£(l,+a).

/.〃(尤)=e*------1,易知加(%)在区间(1,+8)上单调递增，mr(x)>mr(l)=e-2>0.

/.m(x)在区间(1,+。)上单调递增，m(x)>m(l)=e-l>0.

从而且(工)=%(。)2加(%)>。恒成立，故g(x)在(1,+e)上无零点，不合题意.

综上所述，不存在整数〃，使得/(力的图象与y=(2—Q)X+Q的图象在区间(1,+。)上有两个交点.

解法二：依题意，假设e^—lnx+a=(2—Q)X+Q有两解，方程e6+依一(lnx+2x)=0有两解.

令+依一(lnx+2x),

当时，力(力为减函数，方程至多一个解，不合题意；

当时，易知e以之匕2%>lnx，ax>2x,/z(x)>0,方程无解；

当1=1时，/z(x)=ex-lnx-x,"(x)=e*-,一1为增函数，且矶1)=©-2>0,

x

・・・/?(%)在区间(L+e)上单调递增，方程最多一个解，不合题意.

综上所述，不存在整数Q,使得了(力的图象与y=(2—〃卜+〃的图象在区间(1,+。)上有两个交点.

解法三：依题意，若方程e"'—lnx+Q=(2—Q)X+Q有两解，即方程e,a+以—(hix+2x)=0有两解.

令/z(x)=e④+依-(lnx+2x),

当aWO时，网力为减函数，方程至多一个解，不合题意;

当a>0时，转化为eai'+ax-(ln(2x)+2x)+ln2=0有两解.

设函数g«)=e'+。易知g⑺在R上单调递增，二.g(词-g(ln(2%))=-ln2v0,

这就要求g(公)<g(in(2%))在区间(1,+”)上有解.

/.ax<In(2A:),:,a<皿〃)

x

设函数网力=蚂到，〃⑴JTnfx)

XX

令”(x)=0,得％='

当口《时,//(x)>0,人(%)单调递增;

时,//(x