《数学归纳法》导学案

第5课时数学归纳法1.使学生了解归纳法,理解数学归纳法的原理与实质.2.掌握数学归纳法证题的两个步骤;会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题.多米诺骨牌游戏,首先要用力推第一块骨牌,在任何两块骨牌之间有恰当的距离时,第一块倒下,就会使第二块倒下,第二块倒下就会导致第三块倒下,……以致很多都会倒下!如果我们在骨牌间抽出几块,使有两块之间存在一个较大的缺口,推倒了第一块骨牌,后面的骨牌就不会都倒下了.如果第一块骨牌我们不使它倒下,后面的骨牌也就不会倒下的.问题1:要使得所有骨牌全都倒下须满足的条件(1);

(2).

问题2:数学归纳法:证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行(1)(归纳奠基)证明当n取时命题成立;

(2)(归纳递推)假设.

问题3:数学归纳法是一种只适用于与有关的命题的证明方法,第一步是递推的“”,第二步是递推的“”,两个步骤缺一不可.

问题4:在证明过程中要防范以下两点(1)第一步验证n=n0时,n0不一定为1,要根据题目要求.

(2)第二步中,归纳假设起着“已知条件”的作用,在证明n=k+1时,命题也成立的过程中一定要用,否则就不是数学归纳法.

1.用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=(n+3)(n+4)2(n∈N+),验证n=1时A.1 B.1+2 C.1+2+3 D.1+2+3+42.某个命题与自然数n有关,若n=k(k∈N+)时命题成立,那么可推得当n=k+1时该命题也成立,现已知n=5时,该命题不成立,那么可以推得().A.n=6时该命题不成立 B.n=6时该命题成立C.n=4时该命题不成立 D.n=4时该命题成立3.用数学归纳法证明不等式1n+1+1n+2+…+1n+n>1324的过程中,由4.若n为大于1的自然数,求证:1n+1+1n+2+…+用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明:1-12+13-14+…+12n-1-12n=1n+1+1用数学归纳法证明不等式求证:1n+1+1n+2+…+13n>56(n≥2归纳—猜想—证明已知数列{an}满足Sn+an=2n+1(n∈N+).(1)写出a1,a2,a3,并推测an的表达式.(2)用数学归纳法证明所得的结论.用数学归纳法证明:对任意的n∈N+,11×3+13×5+…+1(若n∈N+且n≥5,求证:2n>n2.已知数列{an}的第一项a1=5且Sn-1=an(n≥2,n∈N+).(1)求a2,a3,a4,并由此猜想an的表达式;(2)用数学归纳法证明(1)的猜想.1.用数学归纳法证明不等式1+12+14+…+12n-1>12764(n∈N+)A.7 B.8 C.9 D.102.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,在第二步时,正确的证法是().A.假设n=k(k∈N+),证明n=k+1命题成立B.假设n=k(k是正奇数),证明n=k+1命题成立C.假设n=2k+1(k∈N+),证明n=k+1命题成立D.假设n=k(k是正奇数),证明n=k+2命题成立3.用数学归纳法证明122+132+…+1(n+1)2>12-1n+2.假设4.证明:62n-1+1能被7整除(n∈N+).(2014年·安徽卷)设实数c>0,整数p>1,n∈N+.(1)证明:当x>-1且x≠0时,(1+x)p>1+px.(2)数列{an}满足a1>c1p,an+1=p-1pan+cpan1-p

答案第5课时数学归纳法知识体系梳理问题1:(1)第一块骨牌倒下(2)任意两块相邻骨牌,只要前一块倒下,后一块必定倒下问题2:(1)第一个值n0(n0∈N+)(2)当n=k(k≥n0,k∈N+)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立问题3:正整数基础依据问题4:(1)选择合适的起始值(2)n=k成立的结论基础学习交流1.Dn=1时,n+3=4.2.C其逆否命题“若当n=k+1时该命题不成立,则当n=k时也不成立”为真,故n=5时不成立可知n=4时不成立.3.1(2k+1)(2k+2)不等式的左边增加的式子是124.解:(1)当n=2时,12+1+12+2=712>13(2)假设当n=k时原不等式成立,即1k+1+1k+2+…+12k>1324,则当n=k+1时,左边=1k+2+1k+3+…+12k+12k+1+12k+2+1k+1-1k+1>1324+12k+1+12k+2-重点难点探究探究一:【解析】①当n=1时,左边=1-12=12,右边=11+1=12.左边=②假设当n=k(k≥1)时等式成立,即1-12+13-14+…+12k-1-12k则当n=k+1时,(1-12+13-14+…+12k-1-1=(1k+1+1k+2+…+12k)=1k+2+1k+3+…=1(k+1)+1+1(k即当n=k+1时,等式也成立.综合①和②可知,对一切正整数n,等式都成立.【小结】用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题,关键在于“看项”,弄清等式两边的构成规律,等式的两边各有多少项,项的多少与n的取值是否有关,由n=k到n=k+1时,等式两边会增加多少项,增加了怎样的项.探究二:【解析】①当n=2时,左边=13+14+15+16>②假设n=k(k≥2,k∈N+)时命题成立,即1k+1+1k+2+…+则当n=k+1时,1(k+1)+1+1(k+1)+2=1k+1+1k+2+…+13k+(13k+1+13k+2+13k+3-1k+1)>56+(13k∴当n=k+1时,不等式也成立.由①②可知,原不等式对一切n≥2,n∈N+均成立.【小结】利用数学归纳法推导n=k+1时也成立,证明不等式的常用方法:比较法、分析法、综合法及放缩法等,均要灵活地选用.探究三:【解析】(1)由Sn+an=2n+1得a1=32,a2=74,a3=∴猜想:an=2n+1-12(2)当n=1时显然成立.假设n=k时命题成立,即ak=2-12k,所以Sk=2k+1-ak=2k+1-(2-12k)=2k+则当n=k+1时,因为Sk+1+ak+1=2(k+1)+1,所以ak+1=2(k+1)+1-Sk+1=2(k+1)+1-[2(k+1)-1+12k+1]=2-12k+1成立所以猜想恒成立.[问题]上述证明过程正确吗?[结论]我们先猜想an,根据an得到Sn,上述证明过程中为了求ak+1先代入了Sk+1的值,出现了循环证明.正确解法如下:(1)由Sn+an=2n+1得a1=32,a2=74,a3=∴猜想:an=2n+1-12(2)当n=1时成立.假设n=k时命题成立,即ak=2-12k,所以Sk=2k+1-ak=2k+1-(2-12k)=2k+则当n=k+1时,Sk+1+ak+1=2(k+1)+1,所以Sk+2ak+1=2(k+1)+1,所以ak+1=(k+1)+12-12Sk=(k+1)+12-12(2k+12k-1)=2-12所以猜想对一切n∈N+恒成立.【小结】在用数学归纳法证明第二步当n=k+1时命题成立,必须用上归纳假设.思维拓展应用应用一:(1)当n=1时,左边=11×3=13,右边12×1+1=13,左边=(2)假设当n=k(k∈N+且k≥1)时等式成立,即有11×3+13×5+…+1(则当n=k+1时,11×3+13×5+…+1=k2k+1+=2k2+3k+1所以当n=k+1时,等式也成立.由(1)(2)可知,对一切n∈N+等式都成立.应用二:(1)当n=5时,25>52,不等式成立.(2)假设n=k(k≥5,k∈N+)时,2k>k2.则当n=k+1时,2k+1=2·2k=2k+2k>k2+k2>k2+2k+1=(k+1)2,即n=k+1时不等式成立.由(1)(2)知,当n∈N+且n≥5时,不等式2n>n2成立.应用三:(1)a2=S1=a1=5,a3=S2=a1+a2=10,a4=S3=a1+a2+a3=5+5+10=20,猜想an=5×2n-2(n≥2,n∈N+).(2)①当n=2时,a2=5×22-2=5,猜想成立.②假设n=k时成立,即ak=5×2k-2(k≥2,k∈N+),当n=k+1时,由已知条件和假设有ak+1=Sk=a1+a2+…+ak=5+5+10+…+5×2k-2=5+5(1-2k-1故n=k+1时猜想也成立.由①②可知,对n≥2,n∈N+有an=5×2n-2.基础智能检测1.B左边=1+12+14+…+12n-1=1-122.DA、B、C中,k+1不一定表示奇数,只有D中k为奇数,k+2为奇数.3.122+132+…+1k2+1(k+1)2+1(k+2)2>12-1k+3将n=k+1代入左边的式子时,最后一项为14.解:(1)当n=1时,62-1+1=7能被7整除.(2)假设当n=k(k∈N+)时,62k-1+1能被7整除.那么当n=k+1时,62(k+1)-1+1=62k-1+2+1=36(62k-1+1)-35.∵62k-1+1能被7整除,35也能被7整除,∴当n=k+1时,62(k+1)-1+1能被7整除.由(1)(2)知命题成立.全新视角拓展解:(1)用数学归纳法证明.①当p=2时,(1+x)2=1+2x+x2>1+2x,原不等式成立.②假设当p=k(k≥2,k∈N+)时,不等式(1+x)k>1+kx成立.则当p=k+1时,(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k>(1+x)·(1+kx)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x.所以当p=k+1时,原不等式也成立.综合①②可得,当x>-1,x≠0时,对一切整数p>1,不等式(1+x)p>1+px均成立.(2)(法一)先用数学归纳法证明an>c1①当n=1时,由题设知a1>c1p②假设当n=k(k≥1,k∈N+)时,不等式ak>c1p由an+1=p-1pan+cpan1-p易知a则当n=k+1时,ak+1ak=p-1p+cpak由ak>c1p>0得-1<-1p<1p(cak由(1)中的结论得(ak+1ak)p=[1+1p(cakp-1)]p>1+p·1因此ak+1p>c,即ak+1所以当n=k+1时,不等式an>c1p综合①②可得,对一切正整数n,不等式an>c1p再由an+1an=1+1p(canp-1)可得an+1综上所述,an>an+1>c1p,n∈N(法二)设f(x)=p-1px+cpx1-p,x≥c1p,则xp≥c,并且f'(x)=p-1p+cp(1-p)x-p=p-由此可得,f(