2025年高考数学一轮复习：正弦定理和余弦定理（含解析）

正弦定理和余弦定理专题突破（典型例题与跟踪训练）-2025年高考数

学一轮复习

一、单选题

1.已知空间向量i+6+c=0，卜|=2,恸=3,付=4,则cos（a,6）=（）

A.-B.-C.—D.—

2324

2.在VA2C中，a,6是/A,ZB,所对的边，已知bcos3=acosA,则VABC的形状是（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

3.设VABC内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知=2sinAsinBsinC,若VABC的周

长为1.则sinA+sin5+sinC=（）

A.1B.-C.-D.2

24

4.在VABC中，角AB,C的对边分别为a1,c,若tanB=-石,6=病^,则①十。）=（）

ac

A.6B.4C.3D.2

1+A/2sinA_sin2C

5.在VABC中，内角A,B,C的对边分别为。，6,c,且/+02-52=总。

l-V2cosAl+cos2C

则角A的大小为（）

兀c5兀­7兀-3兀

A.—B.—C.—D.—

1212124

135

6.记VABC的三个内角A,3,C的对边分别为。也c,若—A8+—£—,3,贝（Jcos5的取

cab\_2

值范围为（）

.「15]「15]「1「

A.—JB.—C.—D.-4

_2__68__28__6_

7.为测量塔的高度，因地理条件的限制，分别选择C点和一建筑物DE的楼顶E为测量观测点，已

知点A为塔底，AC。在水平地面上，塔AB和建筑物DE均垂直于地面（如图所示）.测得。=18m,

AD=15m,在C点处测得E点的仰角为30。，在E点处测得8点的仰角为60。，则塔的高度约为

（）（A/3«1.732,精确到0.1m）

B

C.38.4mD.39.6m

8.“长太息掩涕兮，哀民生之多艰”，端阳初夏，粽叶飘香，端午是一大中华传统节日.小玮同学在当

天包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近似看作它的内切球（与

其四个面均相切的球，图中作为球。）.如图：已知粽子三棱锥尸-ABC中，PA=PB=AB=AC=BC,

H、/、J分别为所在棱中点，D、E分别为所在棱靠近P端的三等分点，小玮同学切开后发现，沿

平面CDE或平面打〃切开后，截面中均恰好看不见肉馅.则肉馅与整个粽子体积的比为（）.

A,空nC.雪

D.——兀

9%2754

二、多选题

9.将锐角三角形VABC置于平面直角坐标系中，B（-1,O）,C（1,O）,A为x轴上方一点，设VABC中

NA、NB、NC的对边分别为。、b、c且bccosA=8,则VABC的外心纵坐标可能落在以下（）区

间内.

10.在VABC中，。为BC上一点,AB=2,AC=1,A=,则（

2

A.当AO为角A的角平分线时，AD=-

B.BC=6

C.当。为BC中点时，AD=—

2

D.VABC的外接圆半径为1

11.在VABC中，内角A,B,C对边分别为a,b,c,则下列说法中正确的有（）

jr

A.若a=6,A=~,则VABC周长的最大值为18

B.若a=6,b+c=8,则VABC面积的最大值为6行

C.若AB=3,AC=1,M为3c的中点，且贝UBC=2指

D.若角A的内角平分线交2C于点。，且器=；，。=3,则VABC面积的最大值为3

三、填空题

12.已知VABC的三个角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=5/=7,c=8,则A+C=.

13.已知三角形ABC中，BC=6,角A的平分线交3C于点。，若器=g,则三角形ABC面积的

最大值为

14.如图所示，A,B,C是相隔不远的三座山峰的峰顶，地理测绘员要在A,B,C三点进

行测量，在C点测得3点的仰角为30。，B与C的海拔高度相差180m；在B点测得A点的仰

角为45.设A,B,C在同一水平面上的射影分别为A,y,C',且NAC5=ZAEC=30.

则A与C两点的海拔高度差为m.

四、解答题

15.在VABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且(a-2c)cosB+6cosA=0.

⑴求角B；

b

(2)右sinA=3sinC,求一.

TT

16.记VA2C的内角A,3,C的对边分别为a,b,c,已知csinB=bsin(C+§).

⑴求C；

(2)若人=6,且VABC的面积为66，求VABC的周长.

17.在VA3C中，点。是边AC上一点，且

(1)若48=胸，BC=1,且sinNA8C=^^,求cosZADB的值;

10

(2)若ZA8O=F，且BD=2框,求VABC面积的最小值；

⑶若CZ)=3ZM,ZABD=ZBCD,且VABC的面积为12,求A3的值.

18.设一ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

(b+a)(sinZABC-sinZBAC)=c(sinZABC-sinC),BC,AC边上的两条中线AO,BE相交于点尸.

⑴求/BAC；

⑵若AD=币,BE=2,cosZDPE=—,求A5C的面积.

14

19.某中学数学兴趣小组，为测量学校附近正在建造中的某建筑物的高度，在学校操场选择了同一条

直线上的A,B,C三点，其中AC=40m,点3为AC中点，兴趣小组组长小王在A,B,C三点

上方5m处的A,Bi，G观察已建建筑物最高点E的仰角分别为。，夕，/，其中tana=1,tan£=2,

tan7=3,点。为点£在地面上的正投影，点％为。E上与A，4，G位于同一高度的点.

(1)求建造中的建筑物已经到达的高度OE;

sinZ4D^

⑵求sin/BQ©的值.

参考答案:

题号12345678910

答案DDBBBBBBBDAC

题号11

答案ACD

1.D

【分析】设A5=a,3C=A,CA=c,在VABC中由余弦定理求解.

【详解】空间向量a+Z?+c=O，同=2,忖=3,6=4,

则a,b,c三向量可能构成三角形的三边.

B

如图，设AB=a,BC=b,CA=c问=2,则VABC中，|AB|=2,|BC|=3,|CA|=4同=2,

|AB|2+BC|2-|CA|24+9-161

/.cosa,b=-cosZABC=--------------------；-------=---------------=—.

2xAB\x\BC\2X2X34

故选：D

2.D

【分析】利用正弦定理边化角，再利用二倍角的正弦公式化简求解即得.

【详解】在VA6C中，由h以）5_8=〃以%24及正弦定理，得sin3cos3=sinAcosA,

则sin2A=sin2B,而0v2Av2兀0v2B<2K,0<2（A+B）<2;c,

JI

因止匕24=23或24+23=兀，即A=3或A+B=,,

所以VA5c是等腰三角形或直角三角形.

故选：D

3.B

【分析】根据正弦定理可得4=2RsinA,6=2RsinB,c=2RsinC,利用面积公式可得R=l,再结合周

长公式运算求解.

【详解】由正弦定理三=一二=一J=2R（R为VABC的外接圆半径），

sinAsmBsinC

可得〃=27?sinA,b=27?sinB,c=2RsinC,

且A氏Cc（0,71）,则sinA,sin氏sinC均为正数,

因为^AABC=—absinC=—x2i?sinAx2RsinBxsinC=2sinAsinBsinC,

22

可得H=1,

又因为VA6C的周长为a+Z?+c=2HsinA+2HsinB+2HsinC=2(sinA+sin_B+sinC)=1,

所以sinA+sin8+sinC=万.

故选：B.

4.B

【分析】利用余弦定理结合整体代入思想求解即可.

【详解】因为6=而，所以〃=3ac，而丝土立=日±幺主=且土《+2,

acacac

2兀i

在VASC中，tanB=—A/3,所以5=3-,故cos3=—],

由余弦定理得cosB=d±巨二上=-1，代入〃=3ac得，

2ac2

Q2+3a2+C231।A-/+C?

-------，---—----。-。-==——，故------=2，

2ac2ac2-----2ac

,,a2+2ac+c2a+c2___.缶/语

故z-----------=------+2=2+2=4,故B正确.

acac

故选：B

5.B

【分析】借助余弦定理计算可得8=聿，借助三角恒等变化公式化简可得应sinB=0sin]c-；J,代

入计算即可得角A的大小.

【详解】因为〃2+。2一〃=百〃°,由余弦定理得2〃ccos3=,

所以COS8=«3,又8e(0,7t),所以B=?

26

巾41+^2sinAsin2C2sinCeosCsinC

因为----r=-----=；------

1—A/2COSA1+cos2C2cos2ccosC

所以cosC+^2sinAcosC=sinC-也cosAsinC，

即V2sin(A+C)=sinC-cosC,

又A+C=TI—B,所以四sin5=V^sin[c—；),

所以5=C—：或B+C—?二兀(舍)，

所以C=?+：=1J,所以A=n-2-C=兀一?一

64126

故选：B.

6.B

【分析】根据向量的线性运算可得。=3c,6=〃c,结合余弦定理运算求解.

iuunauim〃uum

【详解】因为AB+8C=AC，且与2+3BC=4AC,

cab

则1=』=K,即a=3c,6=〃c,

cab

10-2?

可得cosB='+｝一"

lac2x3cxc6

525

因为〃e不3,则〃~e—,9,

_2JL4J

BP10-/J2e1,",RJ-cosB=——-e—

所以cosB的取值范围为

故选：B.

7.B

【分析】现从四棱锥C-ABED中提取两个直角三角形qECD和△BEF的边角关系，进而分别解出两

个三角形边DE,8尸的长，求出塔AB的高度即可.

【详解】AB_L平面AC。，£>E_L平面ACD,

过点E作EF_LAB,交AS于点尸，则有£F=AD,AF=ED,

在RtAECD中，因为NECD=30,所以。E=CDtanNDCE=18xtan30=6坦，

在RtABE尸中，因为NBE尸=60,所以8尸=石尸•tanZBEB=15xtan60°=15百，

则43=8/+4/=8尸+即=156+66=216=36.401.

故选：B.

8.B

【分析】设易知PA=PB=A2=AC=BC=毡，且尸G=Z，设肉馅球半径为r,CG=x,

33

根据中点可知P到CP的距离d=4r,sinZPFC=^-=4r,根据三角形面积公式及内切圆半径公式

PF

可得x=l,结合余弦定理可得cos/RFC=:，进而可得PC=友，sinZPFC=—,可得内切球

333

半径且可知三棱锥为正三棱锥，再根据球的体积公式及三棱锥公式分别求体积及比值.

【详解】

如图所示，取A3中点为尸，PFcDE=G,

为方便计算，不妨设尸尸=CF=1,

由PA=P3=AB=AC=3C,可知PA=PB=AB=AC=BC=^^,

3

又。、E分别为所在棱靠近尸端的三等分点，

22

则以？=一尸尸=一，

33

且AB_LPF,AB±CF,PFCF=F,PF,CFu平面尸CT"

即AB,平面尸Cb,

又ABu平面ABC,则平面PC「_L平面ABC,

设肉馅球半径为乙CG=x,

由于H、I、J分别为所在棱中点，且沿平面H〃切开后，截面中均恰好看不见肉馅,

d174r

则尸到5的距离d=4r,，皿/尸"=而=4'，S”尸.丁「,

又SGFC+g+，解得：工=1,

1+--1

CF2+FG2-CG21

故cosZPFC=9

2CFFG21-3

3

PF2+CF2-PC21+1-PC2_1

XcosZPFC=

2PFCF2-1-1-3

解得PC=1!-,sin/尸尸。=三一，

33

所以：sinZ.PFC=^2L--,解得T=y=—jir3=­n

316球381

由以上计算可知：尸-ABC为正三棱锥，

林、/Jc“I1心”•/112732A/3V34722^6

□V=­,SAR0♦d=一,一•AB•AC•sin/•SAC•4r=一•一•---•---------4,-----=------,

粽3.3232332627

也兀

所以比值为器哈.

27

故选：B.

9.BD

【分析】利用余弦定理求得〃+片=20,然后可得8<〃<12,利用二次函数性质求出征的范围，结

合已知可得cosAe,结合平方关系和正弦定理求出半径范围，即可求纵坐标范围.

【详解】由题知，。=2,Z?ccosA=8,由余弦定理得2x8=Z?2+c2—4=62+。2=20,

又8sC="+6〜2=4+廿—（20*）>0,解得b>2应,同理：c>20，

lab4Z?

所以8<62<20-=12,

所以吩d=/（20-"=一.一107+100,

由二次函数性质可得96<6%2<100,BP446<be<10,

又cosA=，>0,所以cosAe|■，手），

因为A为锐角，所以sinA=J1-cos?Acig,1],

2

即外接圆半径为R，则2R=1T⑸，即Re号⑸，

sinA|_3）[3）

由外心定义可知，VABC的外心在V轴上，

记VABC的外心纵坐标为%,则为=|,V2j,

因为与和（■|^，野交集非空，与（。，1）和0,m交集为空间，

所以BD正确，AC错误.

故选：BD

10.AC

【分析】利用三角形面积公式计算判断A；利用余弦定理判断B；利用向量数量积的运算律计算判断

C；利用正弦定理求出外接圆半径判断D.

|JT1JT12冗

【详解】对于A,由SAMO+SAACLSA^C，^-x2xADsinj+-xlxADsin-=-x2xlxsin—,解得

2

AD=-,A正确;

2兀22

对于B,在VABC中，AB=2,AC=1,A=—,由余弦定理得BC=2+l-2x2xlx(-1)=V7,B

错误;

222

对于C,AD=-(AB+AC),贝I]|AD|=-7+AC+2ABAC=-.2+l-2x2xl。正

222V

确;

__1BC1近互

i\=—

对于D,VABC的外接圆半径2sinA2上T，D错误.

2

故选：AC

11.ACD

【分析】对于A,由正弦定理得b=4若sinB,c=4gsinC,从而由8+C=等结合三角恒等变换公式

得a+b+c=6+12sin3+力，进而得解.

..14一

对于B,由基本不等式结合b+c=8得由余弦定理得cosA=^1,故由面积公式

be

2

SARC=—bcsinA=—bcyJl-cosA即可求解;

22

对于C,由/BM4+NCM4=7t即cos/3M4+cos/CM4=0结合余弦定理即可求解;

对于D,^BAD=ACAD=a,ABDA=/3,先由正弦定理空=当2和gg=吧区0

得6=2c,

BDsmaC-Dsina

5oi/------------

接着由余弦定理得cosA=z-言，从而由一元二次函数性质结合SMC=］历sinA=/Ji—cos2A即

可得解.

abc匚46

【详解】对于A,由题以及正弦定理得sinA「sin2-sinC.兀

sm—

3

所以b=46sin8,c=4^sinC,

所以/?+c=4>/3sinB+4^3sinC=4百sinB+4百sin[-2兀-B

3

’61

=4百sinB+4A/3——cos3+—sin8=6百sin8+6cos3

122

、

=12sinB+—cosB=12sin5+^,

2

7

所以a+b+c=6+12sin(B+F),

2兀jr71571,所以sinlB+S1

因为Be0,,所以8GI''

3o66

所以o+Z?+c«12,18],故VABC周长的最大值为18,故A正确；

对于B,因为8=b+c22^/^,所以历416,当且仅当〃=c=4时等号成立,

由余弦定理得cosA=—/（6+。）2-。2-2儿_8?-62-26c_14_1

2bc2bc2bcbe

2

所以SARC~—besmA=-bcy/l-cosA=—be

ABC222

=1M)2_(14—bc)2=⑦be-49<77x16-49=3币,

所以VABC面积的最大值为3屿，故B错误；

仕］+AM2-c2+AM2-b2

对于C,因为/BM4+NCM4=7i,所以以___________+?___________

=0，

2AMx@2AMx-

22

所以〉2AM2=b2+c2即a2=-4AM2+2（Z?2+c2）=-4x72'+2x（l2+32）=12,

所以BC=2退，故C正确;

对于D,设/&10=n。4£>=。,/3£乂=£,贝iJNCD4=7i—/J,

所以由正弦定理得”=包也=smgm=泣,

BDsinaCDsinasina

ARAT

所以黑=焦，又由题可知30=1,8=2,所以6=2c,

BDCD

当且仅当°2=5即°=如时，等号成立，所以VABC面积的最大值为3,故D正确.

故选：ACD.

【点睛】关键点睛：在求解面积S^cugbcsinA的最大值问题时，关键是利用已知条件结合正弦定

理或基本不等式求出边b和c的关系或求出其积的最值，再利用余弦定理cosA="+/一将角转化

2bc

成边，从而建立三角形的面积函数，进而再借助基本不等式或一元二次函数性质即可探求最大值.

12.生

3

TT

【分析】在VA3C中，利用余弦定理求出8=即可求得A+C.

【详解】在VA3C中，。=5*=7,c=8,由余弦定理，

因为3武0,兀），所以2=三，

又在VABC中，A+B+C=n,

所以A+C号2兀

2兀

故答案为：y.

13.12

【分析】设AB=x，NBAC=e,贝ljAC=2x,结合正弦定理表示得5ABeAC•sinZBAC,由余弦

定理可得尤与。的关系式，联立前式由同角三角函数和二次函数性质化简即可求解.

cryAo

【详解】设dAi,则对由正弦定理可得碇藐①，

CD叱②

对/CD,由正弦定理可得sinZADCU，

sinZG4£>

BDI

y,ZADB+ZADC=7t,所以sin/AD3=sin/ADC,又——=一，

DC2

Ar1o

联立①②式可得=则AC=2x,

AB1

12

贝JSAMC=|ABACsinZBAC=1x-2Tsin6）=xsin6*,

AB2+AC2-BC25f-36

对VABC,由余弦定理可得cosNBAC=

2ABAC4x2

则S2=x4.sin2e=x4.（]_cos2g）=x4.]_25/-3601+362

16

〔I4尤一刀

/2、Q

当V=20时，S?有最大值，S=^x256=144,所以5mM=12.

\/max16

故答案为：12

14.360

【分析】通过图像确定A与C两点的海拔高度差为血+AE可求解.

【详解】如图，作,由题知ZBCZ)=30,5D=180m,

A

则C'B'=C£)=—^-=180^m,

tan30

在dA'B'C'中，因为NA，C'B'=NA'B'C'=30

B'CA'B'

所以NC'A3'=120,由正弦定理得

sinNC'AB'~smZA'C'B'

180若x1

B'C'smZA'C'B'2

解得A2'==180m

smZC'A'B'

2

作3ELA4'，CFLAA,则ZABE=45,所以AE=3E=A3'=180m,

所以A与C两点的海拔高度差A尸=3D+AE=360(m).

故答案为：360

71

15.WB=~.

(2)-=V7.

c

【分析】(1)根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合和角正弦公式求解即得.

(2)由正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即得.

【详解】(1)在VABC中，由(a-2c)cosB+bcosA=。及正弦定理，得

sinAcosB-2sinCcosB+sinBcosA=0,

即2sinCeosB=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC,而sinC>0,

解得cos5=],又0<3<兀，

2

jr

所以3=全

(2)在VABC中，由sinA=3sinC及正弦定理，得a=3c,

由余弦定理得：b2=a2+c2—2accosB=9c2+c2—2•3c•c•—=7c2,解得8=

所以“=近.

c

一71

16.(1)C=§；

⑵10+26.

【分析】(1)由正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式求解即得.

(2)由面积公式求出。，再利用余弦定理求出c,即可求出周长.

IFIT

【详解】(1)在VABC中，由csinB=6sin(C+§)及正弦定理，sinCsinB=sinBsin(C+-),

而sinB>0,则sin(C+£)=sinC,即^sinC+且osC=sinC,

322

化简得tanC=VL又Ce(O,万)，所以C=，

(2)由(1)及三角形面积公式，得工absinCJ也a=6而,解得a=4,

22

由余弦定理得c=Ja?+必-2abcosC=+6?-2x4x6x；=2币,

所以VABC的周长为”+6+°=10+2近.

17.⑴一鱼I

13

⑵8出

(3)26

【分析】(1)借助三角函数基本关系可得cosNA3C,再利用余弦定理可得AC,最后借助正弦定理

计算即可得解；

(2)设54=加(根>0),3C=〃(〃>0),借助等面积法计算可得〃加=2〃7+4”，再利用基本不等式即

可得〃加232,最后利用面积公式计算即可得解；

(3)设ZM=x(x>0),AABD=d^<e<^,则可用表示出其余量，借助正弦定理计算可得

XSin

Rnt2-U-结合题目所给条件可得q.0“州2-2叫即可解出siMcos6,最后

BD=-----------------3xsin0=-----------------

sin0sin6

利用面积公式与余弦定理计算即可得解.

【详解】(1)由题意知所以cosNABC=-J1-sin?NABC=-呵

XAC2=BA2+BC2-2BA-BCcosZABC=10+l-2xV10xlx=13,

^0

A(^A5

故Ac=jm,由正弦定理.得3M-sinZBCA，

sinZABCsinN3cA

10

诉“^x—

sin4cA=肩。35,

13

3回

所以cosNADB=cosZACB+^=-sinZACB=-

13

(2)设BA="Z("2>0),BC=n(n>0),g|SAABC=+SADBC,

所以工BA-BCsinZABC=-BA-BDsinZABD+-BC-BDsinNCBD,

222

BP—mnsin—=—/«-2^3sin—+—H-2\/3,

23262

所以mn=2m+4/i>2J2m4〃=4j2mn，所以nrn>32，

当且仅当2机=4〃，即机=8,〃=4时等号成立,

所以的面积ABC石

NABCSv=^BABCsinZABC=——mn>85/3,

4

即VA5C面积的最小值为8次;

(3)设DA=x(x>0),ZABD=6>0<6><,

JT

则CD=3x,ZBCD=0,NBAD=——20,

2

xBD

ADBD

在△钿£＞中，由正弦定理得sin。可“‘

sinZABD~sinZBAD'

xsin[：-2e

所以皿=

sin。

在△BCD中，sinZBCD=-^,gpsin0=—,

DC3x

xsin(；—26

所以335凡所以3.收=

sin。

所以3sin2j=sin[g-2022

=cos20=cos0-sin0,所以4sin20=cos20,

又sin?e+cos?8=1,0<6<:,解得sin6=^^,cos3

255

所以=3xsin6=,CB=3xcos0=x,

55

诉"c_1^_13752旧_92

//T以——BRDn,CBR——X----XX----X——X，

NBCD22555

又CD―3DA,^ABC=12,所以S^CD=9,

所以|f=9,解得了=如，所以B£>=孚x=3,

在△AB。中，由余弦定理cos/ABD=弛上空乙二丝

2BABD

得2石84+32-(后

千亍―2BAx3'

解得AB=2石或A8=与，又AB>BD,所以AB=26.

71

18.⑴H

⑵动

【分析】(1)利用正弦定理边角互化，再结合余弦定理求解即可；

(2)由余弦定理结合面积公式计算.

【详解】(1)因为(。+。)(sin/ABC-sinZBAC)=c(sin/ABC-sinC),

所以由正弦定理得62+02一］