中考数学 解直角三角形及其应用

热点中考数学解直角三角形及其应用中考数学中《锐角三角函数及其应用》部分主要考向分为三类：一、特殊角的三角函数值相关运算（每年1道，6~8分）二、解直角三角形（每年1道，3分）三、解直角三角形的应用（每年1题，3~8分）中考数学中，对锐角三角函数的考察主要以特殊角的三角函数值及其有关计算、解直角三角形、解直角三角形的应用三个方面为主。其中，特殊角的三角函数值主要和实数相关概念放一起考察计算题，而解直角三角形及其各种应用则选择、填空、简答题都有出现，其中应用则偏向大题多些，难度一般中等或偏上，分值也比较可观，但对应考点掌握熟练，计算和审题上够小心了，一般不会失分。考向一：特殊角的三角函数值的运算【题型1和实数概念结合的特殊角的三角函数值的运算】特殊角的三角函数值表αsinαcosαtanα30°45°60°特殊角的三角函数值，可以直接记数值，也可以记定义，然后现退对应函数值，但显然，直接熟记对应数值会便捷很多。（2025·山东济南·一模）计算：π−5（2025·江苏镇江·一模）计算：(2−3．（2025·江苏宿迁·一模）计算：−204．（2025·湖南长沙·一模）计算：25．（2025·湖南长沙·模拟预测）计算：46．（2025·湖南长沙·模拟预测）计算：−120257．（2025·广东清远·模拟预测）计算：−38．（2024·广东梅州·一模）计算：sin60°−考向二：解直角三角形【题型2利用已知信息求解对应角的三角函数值】解直角三角形口诀“直乘斜除，对正临余”——求直角三角形的直角边，多用乘法；求斜边，多用除法。求已知角的对边，多用正弦或正切值；求已知角的临边，多用余弦值。常见辅助线：作垂线1.（2025·广东深圳·一模）在△ABC中，∠A=80°,∠B=70°，那么sinC的值是（

A．12 B．1 C．22 2．（2024·云南·中考真题）在△ABC中，若∠B=90°,AB=3,BC=4，则tanA=（

A．45 B．35 C．433．（2025·广东深圳·一模）如图所示的电视塔是某城市的标志性建筑物，在水平地面上的点A，C处分别测得电视塔塔顶B的仰角均为α度，且点A，C，D在同一直线上，BD丄AC，若测得AC=200m，则塔高BDA．200tanαm B．200tanαm4．（22-23九年级上·广东佛山·期末）如图，△ABC的三个顶点均在正方形网格的格点上，则tanB的值为（

A．1 B．104 C．54 5．（2024·安徽宿州·模拟预测）如图，实线部分是一个正方体展开图，点A，B，C，D，E均在△MBN的边上，则cosN=（

A．255 B．25 C．26．（2025·广东广州·模拟预测）已知点A与点B分别在反比例函数y=1xx>0与y=−3xx>0的图像上，且OA⊥OB，则A．12 B．22 C．32【题型3利用三角函数值求解几何图形的线段】此类计算更多的是注意审题，因为题目中可能会要求精确位数，或者保留几位有效数字，这时候要注意，一般计算到最后一步才带入参考数据计算，然后四舍五入。1．（2025·陕西榆林·一模）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高．若AB=5，BC=6，sinB=35，则ACA．13 B．32 C．5 D．2．（2025·海南三亚·模拟预测）如图，建筑物AB和旗杆CD的水平距离BC为9m，在建筑物的顶端A测得旗杆顶部D的仰角α为45°，旗杆底部C的俯角β为30°，则旗杆CDA．32m B．33m C．3．（2025·浙江宁波·一模）在菱形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，连接CE，CF．若sin∠ECF=35，CE=10，则BCA．45 B．43 C．34．（2025·陕西西安·二模）如图，在平行四边形ABCD中，过D作DE⊥BC于点E，若∠A=60°，DE=6，则AB的长为（

）A．23 B．3 C．43 考向三：解直角三角形的应用【题型4坡度坡角问题】坡度坡角的意义：坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，坡度越大，坡角越大，坡面越陡1．（2024·湖南·模拟预测）如图，在冬奥会滑雪场有一坡度为1:3的滑雪道，滑雪道AC的长为150m，则BC的长为（A．75m B．753m C．502．（2024·广东广州·模拟预测）如图，小乐和小静一起从点A出发去拍摄木棉树FH．小乐沿着水平面步行17m到达点B时拍到树顶点F，仰角为63°；小静沿着坡度i=5:12的斜坡步行13m到达点C时拍到树顶点F，仰角为45°，那么这棵木棉树的高度约（

）m．（结果精确到1m）（参考数据：sin63°≈0.9，cos63°≈0.5，A．22 B．21 C．20 D．193．（2024·四川自贡·模拟预测）如图为一大坝的横截面图，AD∥BC，背水坡AB的坡度为3:1，迎水坡的坡角为30°，若AD=4米，坝高为43米，则坡底

A．17 B．18 C．19 D．20

4．（2025·广东潮州·模拟预测）如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1:3，河堤的高BC=10米，则坡面AB的长度是米．（坡比也叫坡度．坡比是1:3指点B向水平面作垂线BC，垂足为C，BC:AC=1:5．（2025·上海青浦·一模）如图，梯形ABCD是某水库大坝的横截面．已知坝高AE=8m，如果将坡度为1:2的斜坡AB改为坡度为1:2的斜坡AP，那么大坝底部应加宽6．（2024·四川巴中·中考真题）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡BE的坡度i=1:3，BE=6m，在B处测得电线塔CD顶部D的仰角为45°，在E处测得电线塔CD顶部D的仰角为(1)求点B离水平地面的高度AB．(2)求电线塔CD的高度（结果保留根号）．7．（2023·湖北·中考真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i=3:4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD长度为20米，∠C=18°，求斜坡AB的长．（结果精确到米）（参考数据：sin18°≈0.31,

【题型5仰角俯角问题】仰角俯角的意义：仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角.俯角：视线在水平线下方的叫俯角1．（2024·山西·中考真题）研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据．数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，AB的长表示点A到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点C处时，测得点A的仰角∠ACD=18.4°；然后沿CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角∠NCD=37°，当到达点A正上方的点E处时，测得AE=9米；…数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长（结果精确到1米．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin18.4°≈0.32，2．（2024·西藏·中考真题）在数学综合实践活动中，次仁和格桑自主设计了“测量家附近的一座小山高度”的探究作业．如图，次仁在A处测得山顶C的仰角为30°；格桑在B处测得山顶C的仰角为45°．已知两人所处位置的水平距离MN=210米，A处距地面的垂直高度AM=30米，B处距地面的垂直高度BN=20米，点M，F，N在同一条直线上，求小山CF的高度．（结果保留根号）

3．（2025·陕西西安·二模）如图是某市的广播电视中心，小明同学想利用所学的知识来测量该建筑物的高度EF．他先在B处用测倾器AB测得电视中心顶端E的仰角为37°，再从B沿BF方向走了250.5米到达D处，在D处竖立标杆CD，发现水平地面上的点M、标杆的顶端C与该建筑物的顶端E恰好在一条直线上，已知AB=CD=1米，测得DM=0.5米．点B、M、D、F在同一条直线上，AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF．根据上述数据，计算该广播电视中心的高度EF．（结果精确到1米，参考数据：sin37°≈0.604．（2025·河南·一模）开封铁塔又称“开宝寺塔”（如图1），素有“天下第一塔”之称，是见证开封千余年繁华的参照．才思数学兴趣小组利用所学知识开展“测量开封铁塔高度”的主题活动，并写出如下报告，请完成任务．课题测量开封铁塔高度测量工具无人机、测角仪、秒表等测量示意图测量过程如图2，测量小组使用无人机在点A处以6.3m/s的速度竖直上升20s飞行至点B处，在点B处测得塔顶D的俯角为20°，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D说明点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上，DE⊥AE．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，任务求开封铁塔DE的高度（结果精确到1m5．（2025·辽宁·模拟预测）如图（1）是一台实物投影仪，图（2）是它的示意图，折线A−B−C表示可转动支架，支架BC可以伸缩调节，投影探头CD始终垂直于水平桌面MN，AB与BC始终在同一平面内．已知投影仪的底座高3厘米，支架AB=30厘米，探头CD=10厘米．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan63°≈2，sin

(1)当支架AB与水平线的夹角为75°，与支架BC的夹角为90°，且BC=AB时，求探头的端点D到桌面MN的距离．（结果保留一位小数）(2)为获得更好的投影效果，调节支架AB，如图（3）所示，使得AB与水平线的夹角为53°，同时调节支架BC，使得探头端点D与点B在同一水平线上，且从点D看点A的俯角为63°，此时支架BC的长度为多少？（结果保留一位小数）6．（2025·上海静安·一模）舞狮文化源远流长，其中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①所示）．在舞狮表演中，梅花桩AB、CD、EF垂直于地面，且B、D、F在一直线上（如图②所示）．如果在桩顶C处测得桩顶A和桩顶E的仰角分别为35°和47°，且AB桩与EF桩的高度差为1米，两桩的距离BF为2米．(1)舞狮人从A跳跃到C，随后再跳跃至E，所成的角∠ACE=°；(2)求桩AB与桩CD的距离BD的长．（结果精确到0.01米）【题型6方向角问题】方向角遵循——上北下南，左西右东。因为这类题目常和特殊角结合，故作辅助线时，谨记一个原则：不能破坏已有的特殊角。1．（2025·河南焦作·一模）如图，一艘轮船位于灯塔C的北偏东57°方向，距离灯塔50海里的A处，此时船长接到台风预警信息，台风将在5小时后袭来，他计划立即沿正南方向航行，赶往位于灯塔C的南偏东30°方向上的避风港B处．(1)问避风港B处距离灯塔C有多远．(2)如果轮船的航速是20海里/时，问轮船能否在5小时内赶到避风港B处．(参考数据：sin57°≈0.84，cos57°≈0.54，tan57°≈1.54，2．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别向B，D两港运送物资，最后到达A港正东方向的C港装运新的物资．甲货轮沿A港的东南方向航行10海里后到达B港，再沿北偏东60∘万向航行一定距离到达C港．乙货轮沿A港的北偏东60∘方向航行一定距离到达D港，再沿南偏东30∘方向航行一定距离到达C港．（参考数据：2≈1.41，(1)求A，C两港之间的距离（结果保留小数点后一位）；(2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠B、D两港的时间相同），哪艘货轮先到达C港？请通过计算说明．3．（2024·湖南长沙·模拟预测）今年4月23日，是人民海军成立75周年纪念日．东部战区海军某基地海边举办舰艇开放活动，A、B两点分别为活动入口和出口．且点B在一水平海岸线CD（如图所示）上，测得∠ABC=α，sinα=2425，从点B出发按CD方向前进20米到达点E，即BE=20米，测得∠AEB=β4．（2024·四川资阳·中考真题）如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东30°方向，且A，B相距1633海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东30°方向、灯塔

(1)求B，C两处的距离；(2)该渔船从C处沿北偏东65°方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东27°方向，便立即以18海里/小时的速度沿BD方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间．（注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：tan65°≈2.1，tan（建议用时：40分钟）一﹑选择题1．（2025·陕西·一模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，且sin∠BAE=12，若BD=8A．3 B．2 C．23 D．2．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，sin∠BCD=35，AB=15，则A．8 B．9 C．10 D．123．（2025·广东深圳·一模）如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L水平距离为8km，当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为53°，则这枚火箭此时的高度AL为（

）km．A．8sin53° B．8cos53° C．4．（2025·陕西西安·二模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，若点A是CD的中点，CD=43，cosD=12，则A．35 B．6 C．435．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E在DC上，把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，则cos∠CEF的值为（

A．74 B．73 C．346．（2024·广东深圳·三模）无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量某大楼的高度BC，无人机在空中点P处，测得地面点A处的俯角为60°，且点P到点A的距离为80米，同时测得楼顶点C处的俯角为30°．已知点A与大楼的距离AB为70米（点A，B，C，P在同一平面内），则大楼的高度BC为（

）A．51米 B．293米 C．303米 D．7．（2024·陕西咸阳·三模）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若△ABC的三个顶点都在格点上，则tan∠ACB的值为（

A．1 B．2 C．12 D．8．（2024·湖南长沙·一模）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处：再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则sin∠DEA=（

A．53 B．1213 C．359．（22-23九年级上·山东烟台·期中）喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟，小亮在龙舟竞渡中心广场点P处观看400米直道竞速赛，如图所示，赛道AB为东西方向，赛道起点A位于点P的北偏西30°方向上，终点B位于点P的北偏东60°方向上，AB=400米，求点P到赛道AB的距离（

）（结果保留整数，参考数据：3≈1.732A．503 B．1003 C．87二、填空题10．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在正方形ABCD中，BC=3，延长BC至点E，使CE=2,DF平分∠ADC交AE于点F，则线段DF的长为．11．（2025·广东清远·一模）图1是一个地铁站入口的双翼闸机，图2是它的简化图，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC=BD=80cm，且与闸机侧立面夹角∠ACP=∠BDQ=32°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为cm．（参考数据：sin32°≈0.53，cos12．（2024·湖北武汉·中考真题）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为63°，则测得黄鹤楼的高度是m．（参考数据：tan三、解答题13．（2025·陕西·一模）如图，某商场开业当天，在商场门前的广场上举行无人机表演，某一时刻，甲在商场的楼顶C处观测到其中一架无人机D的仰角为37°，同一时刻，乙在A处观测到无人机D的仰角为30°，已知乙的位置A到商场的距离AB=60m，商场的高度BC=24m，BC⊥AB，DE⊥AB，点A、B、C、D、E都在同一平面上，求此时无人机的高度DE．（结果取整数，参考数据：3≈1.73，sin37°≈314．（2025·江苏镇江·一模）图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AC,CD可分别绕点A，C转动，测得CD=10cm,AC=24cm(1)求点C到AB的距离；(2)求点D到AB的距离．(结果均保留一位小数，参考数据：3≈1.732，sin25°≈0.423，cos25°≈0.90615．（2025·山西朔州·一模）【实践情景】如图，太原市在本市两景点之间开设了两条徒步路线，线路1为Citywalk路线，路线为A,B之间的线段；线路2为越野线路，路线为A−C−B之间的折线段．【数据收集】数据①：点B在点A的北偏东45°方向上；数据②：线路2的行走方式为从起点A出发，先向北偏东15°的方向越野行走一段路程到达中转点C，再从中转点C向正东方向行走2000米即可到达终点B．【数据应用】利用以上数据，求AB的长．（结果保留整数，参考数据：2≈1.414,热点中考数学解直角三角形及其应用解析中考数学中《锐角三角函数及其应用》部分主要考向分为三类：一、特殊角的三角函数值相关运算（每年1道，6~8分）二、解直角三角形（每年1道，3分）三、解直角三角形的应用（每年1题，3~8分）中考数学中，对锐角三角函数的考察主要以特殊角的三角函数值及其有关计算、解直角三角形、解直角三角形的应用三个方面为主。其中，特殊角的三角函数值主要和实数相关概念放一起考察计算题，而解直角三角形及其各种应用则选择、填空、简答题都有出现，其中应用则偏向大题多些，难度一般中等或偏上，分值也比较可观，但对应考点掌握熟练，计算和审题上够小心了，一般不会失分。考向一：特殊角的三角函数值的运算【题型1和实数概念结合的特殊角的三角函数值的运算】特殊角的三角函数值表αsinαcosαtanα30°45°60°特殊角的三角函数值，可以直接记数值，也可以记定义，然后现退对应函数值，但显然，直接熟记对应数值会便捷很多。1．（2025·山东济南·一模）计算：．【答案】【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，先计算零次幂，化简二次根式，代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，计算负整数指数幂，再合并即可．【详解】解：2．（2025·江苏镇江·一模）计算：【答案】4【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及到绝对值，特殊角三角函数，熟练掌握实数混合运算法则是解题的关键．根据实数运算法则，先进行幂的运算，绝对值和特殊角三角函数，再进行加减运算，即可得到结果．【详解】解：．3．（2025·江苏宿迁·一模）计算：．【答案】【分析】本题考查实数的混合运算，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键．根据绝对值的意义，负整数指数幂，零指数幂及锐角三角函数分别化简，然后进行计算．【详解】解：原式．4．（2025·湖南长沙·一模）计算：【答案】【分析】本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，先把每一项算出，再加减即可，熟练计算是解题的关键．【详解】解：原式．5．（2025·湖南长沙·模拟预测）计算：【答案】【分析】本题主要考查零指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值以及负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可．【详解】解：原式．6．（2025·湖南长沙·模拟预测）计算：．【答案】．【分析】本题考查了实数的运算，先计算乘方，特殊角的三角函数值，二次根式，零指数幂，负整数指数幂，再进行加减运算即可，掌握相关知识是解题的关键．【详解】解：．7．（2025·广东清远·模拟预测）计算：．【答案】1【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，绝对值、零次幂，先运算乘方、化简绝对值、零次幂以及特殊角的三角函数，再运算加减法，即可作答．【详解】解：．8．（2024·广东梅州·一模）计算：．【答案】【分析】此题考查了实数的混合运算．代入特殊角是三角函数值、利用零指数幂法则、求算术平方根的法则、负整数指数幂法则进行计算即可．【详解】解：．考向二：解直角三角形【题型2利用已知信息求解对应角的三角函数值】解直角三角形口诀“直乘斜除，对正临余”——求直角三角形的直角边，多用乘法；求斜边，多用除法。求已知角的对边，多用正弦或正切值；求已知角的临边，多用余弦值。常见辅助线：作垂线1.（2025·广东深圳·一模）在中，，那么的值是（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】本题考查了特殊三角函数的值，三角形内角和定理，根据三角形内角和定义求出，再由特殊三角函数的值即可解答．【详解】解：∵在中，，∴，∴，故选：A．2．（2024·云南·中考真题）在中，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查锐角三角函数．根据题意利用锐角三角函数即可得到本题答案．【详解】解：∵，∴，故选：C．3．（2025·广东深圳·一模）如图所示的电视塔是某城市的标志性建筑物，在水平地面上的点A，C处分别测得电视塔塔顶B的仰角均为α度，且点A，C，D在同一直线上，，若测得，则塔高是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据等腰三角形的性质得D为的中点，利用锐角三角函数即可解决问题．【详解】解：由题意可知：，∴点D为的中点，∵米，∴米，∴（米）．故选：C．4．（22-23九年级上·广东佛山·期末）如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了锐角三角函数定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．根据正切函数的定义，可得答案．【详解】解：如图：在中，，，，，故选D．5．（2024·安徽宿州·模拟预测）如图，实线部分是一个正方体展开图，点A，B，C，D，E均在的边上，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了勾股定理、余弦的定义等知识点，得到是解决本题的关键．如图：由题意得，，从而得出，设，则，由勾股定理得出，最后代入计算即可．【详解】解：如图：由题意得：，，∴，设，则，，∵在中，，∴．故选：A．6．（2025·广东广州·模拟预测）已知点与点分别在反比例函数与的图像上，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．过点A作轴，过点B作轴，证明得到，再由反比例函数性质可求出，再利用正弦定义求的值即可．【详解】解：过点A作轴，过点B作轴，则，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵点A与点B分别在反比例函数与的图像上，∴，∴，∴，设，∵，∴，∴．故选：C．【题型3利用三角函数值求解几何图形的线段】此类计算更多的是注意审题，因为题目中可能会要求精确位数，或者保留几位有效数字，这时候要注意，一般计算到最后一步才带入参考数据计算，然后四舍五入。1．（2025·陕西榆林·一模）如图，在中，是的高．若，，，则的长为（

）A． B． C．5 D．【答案】A【分析】本题考查了解直角三角形和勾股定理，正确作辅助线构造直角三角形是解题的关键．解直角三角形得，由勾股定理得：，求得的长，在中，由勾股定理即可求解．【详解】解：∵，，∴，由勾股定理得：，∴，在中，由勾股定理得：，故选：A．2．（2025·海南三亚·模拟预测）如图，建筑物和旗杆的水平距离为，在建筑物的顶端测得旗杆顶部的仰角为，旗杆底部的俯角为，则旗杆的高度为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键掌握锐角三角函数的定义．根据题意可得四边形是矩形，，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，最后利用线段的和差，即可解答．【详解】解，如图：由题意得：四边形是矩形∴在中，，，在中，，，．故选：D．3．（2025·浙江宁波·一模）在菱形中，点E，F分别是，的中点，连接，．若，，则的长为（

）A． B． C． D．6【答案】A【分析】延长，交于点M，证明，，可得，过E点作于N点，结合可得，，，再进一步可得答案.【详解】解：延长，交于点M，在菱形中，点E，F分别是，的中点，，，，，在和中，，，在和中，，，，过E点作于N点，，，，，，，在中，即，，，故选：A．【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，运用三角函数解直角三角形，勾股定理等，正确添加辅助线构造直角三角形是解本题的关键．4．（2025·陕西西安·二模）如图，在平行四边形中，过D作于点E，若，，则的长为（

）A． B．3 C． D．【答案】C【分析】本题考查的是平行四边形的性质，锐角三角函数的应用，证明，，根据可得答案．【详解】解：在平行四边形中，，∴，，∵，，∴，∴，故选：C考向三：解直角三角形的应用【题型4坡度坡角问题】坡度坡角的意义：坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，坡度越大，坡角越大，坡面越陡1．（2024·湖南·模拟预测）如图，在冬奥会滑雪场有一坡度为的滑雪道，滑雪道的长为，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查勾股定义解应用题，涉及坡度定义，根据坡度定义得到，设，则，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案．【详解】解：在冬奥会滑雪场有一坡度为的滑雪道，，设，则，在中，，则由勾股定理可得，解得，，故选：B．2．（2024·广东广州·模拟预测）如图，小乐和小静一起从点出发去拍摄木棉树．小乐沿着水平面步行17m到达点时拍到树顶点，仰角为；小静沿着坡度的斜坡步行13m到达点C时拍到树顶点F，仰角为，那么这棵木棉树的高度约（

）m．（结果精确到1m）（参考数据：，，）A．22 B．21 C．20 D．19【答案】C【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得：，，米，再根据已知可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算可得米，米，最后设米，则米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程进行计算，即可解答．【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，由题意得：，，米，斜坡的坡度，，设米，则米，在中，（米，米，，解得：，米，米，设米，米，在中，，米，在中，，米，，，解得：，（米，这棵木棉树的高度约为20米，故选：C．3．（2024·四川自贡·模拟预测）如图为一大坝的横截面图，，背水坡的坡度为，迎水坡的坡角为，若米，坝高为米，则坡底长为（

）米．

A．17 B．18 C．19 D．20【答案】D【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点A和点D分别作的垂线，垂足分别为E、F，则四边形是矩形，可得米，米，再分别解直角三角形求出的长即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点A和点D分别作的垂线，垂足分别为E、F，∵，，∴，∴四边形是矩形，∴米，米，∵背水坡的坡度为，∴，∴米，在中，，∴米，∴米，故选：D．

4．（2025·广东潮州·模拟预测）如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，河堤的高米，则坡面的长度是米．（坡比也叫坡度．坡比是指点B向水平面作垂线，垂足为C，．）

【答案】【分析】本题考查了解直角三角形问题，勾股定理，根据迎水坡的坡比为得出，再根据米，得出的值，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：由题意得，∴（米），∴（米）．故答案为：．5．（2025·上海青浦·一模）如图，梯形是某水库大坝的横截面．已知坝高，如果将坡度为的斜坡改为坡度为的斜坡，那么大坝底部应加宽．（结果保留根号）【答案】【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．根据垂直的定义得到，根据三角函数的定义得到，于是得到)．【详解】解：，大坝底部应加宽．故答案为：6．（2024·四川巴中·中考真题）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为．(1)求点离水平地面的高度．(2)求电线塔的高度（结果保留根号）．【答案】(1)；(2)电线塔的高度．【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用．（1）由斜坡的坡度，求得，利用正切函数的定义得到，据此求解即可；（2）作于点，设，先解得到，解得到米，进而得到方程，解方程即可得到答案．【详解】（1）解：∵斜坡的坡度，∴，∵，∴，∵，∴；（2）解：作于点，则四边形是矩形，，，设，在中，，∴，在中，，在中，，，∴，∴，∴，∴，∴答：电线塔的高度．7．（2023·湖北·中考真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长．（结果精确到米）（参考数据：）

【答案】斜坡的长约为10米【分析】过点作于点，在中，利用正弦函数求得，在中，利用勾股定理即可求解．【详解】解：过点作于点，则四边形是矩形，在中，，．∴．∵，∴在中，（米）．答：斜坡的长约为10米．【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．【题型5仰角俯角问题】仰角俯角的意义：仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角.俯角：视线在水平线下方的叫俯角1．（2024·山西·中考真题）研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集纪念碑的相关数据．数据采集：如图，点是纪念碑顶部一点，的长表示点到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点处竖直上升，飞行至距离地面20米的点处时，测得点的仰角；然后沿方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点正上方的点处时，测得米；数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，，，三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点到地面的距离的长（结果精确到1米．参考数据：，，，，，．【答案】点A到地面的距离的长约为27米【分析】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．延长交于点，根据矩形的性质得到，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：延长交于点，由题意得，四边形为矩形，，在中，，，，，在中，，，，，设米．，，，解得，（米）；答：点到地面的距离的长约为27米．2．（2024·西藏·中考真题）在数学综合实践活动中，次仁和格桑自主设计了“测量家附近的一座小山高度”的探究作业．如图，次仁在A处测得山顶C的仰角为；格桑在B处测得山顶C的仰角为．已知两人所处位置的水平距离米，A处距地面的垂直高度米，B处距地面的垂直高度米，点M，F，N在同一条直线上，求小山的高度．（结果保留根号）

【答案】米【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，解直角三角形的应用，证明四边形和四边形为矩形，得出米，米，，，设，则米，解直角三角形得出，，根据米，得出，求出，最后得出答案即可．【详解】解：根据题意可得：，，∴四边形和四边形为矩形，∴米，米，，，∴（米），设，则米，∵，，∴，∵，，∴，∴，，∵米，∴，解得：，∴米．3．（2025·陕西西安·二模）如图是某市的广播电视中心，小明同学想利用所学的知识来测量该建筑物的高度．他先在B处用测倾器测得电视中心顶端E的仰角为，再从B沿方向走了米到达D处，在D处竖立标杆，发现水平地面上的点M、标杆的顶端C与该建筑物的顶端E恰好在一条直线上，已知米，测得米．点B、M、D、F在同一条直线上，．根据上述数据，计算该广播电视中心的高度．（结果精确到1米，参考数据：，，）【答案】302米【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．延长，交于H，根据列出比例式，得到，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案．【详解】解：如图，延长，交于H，则米，∵，∴，∴，即，∴，∴，，∴，∴，在中，，∴，即，解得：，答：该广播电视中心的高度约为米．4．（2025·河南·一模）开封铁塔又称“开宝寺塔”（如图1），素有“天下第一塔”之称，是见证开封千余年繁华的参照．才思数学兴趣小组利用所学知识开展“测量开封铁塔高度”的主题活动，并写出如下报告，请完成任务．课题测量开封铁塔高度测量工具无人机、测角仪、秒表等测量示意图测量过程如图2，测量小组使用无人机在点A处以的速度竖直上升飞行至点B处，在点B处测得塔顶D的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为说明点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上，．（参考数据：，，）任务求开封铁塔的高度（结果精确到）【答案】开封铁塔的高度约为【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键；由题意易得，则有，延长交的延长线于点F，如解图所示，则四边形为矩形，然后可得，设，则，进而根据三角函数及勾股定理可进行求解【详解】解：由题意，可知．在中，，，．延长交的延长线于点F，如解图所示，则四边形为矩形．．设，则．在中，，．．在中，，，即，解得．答：开封铁塔的高度约为．5．（2025·辽宁·模拟预测）如图（1）是一台实物投影仪，图（2）是它的示意图，折线表示可转动支架，支架可以伸缩调节，投影探头始终垂直于水平桌面，与始终在同一平面内．已知投影仪的底座高3厘米，支架厘米，探头厘米．（参考数据：，，，，）

(1)当支架与水平线的夹角为，与支架的夹角为，且时，求探头的端点到桌面的距离．（结果保留一位小数）(2)为获得更好的投影效果，调节支架，如图（3）所示，使得与水平线的夹角为，同时调节支架，使得探头端点与点在同一水平线上，且从点看点的俯角为，此时支架的长度为多少？（结果保留一位小数）【答案】(1)厘米；(2)厘米【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，掌握解直角三角形的计算，数形结合分析，合理作出辅助线是解题的关键．（1）如图，连接，延长交过点的水平线于点，则可得（厘米），，所以，由，根据三角函数的计算得到（厘米），结合探头的端点到桌面的距离（厘米）即可求解；（2）如图，作于点，根据题意（厘米），（厘米），（厘米），由（厘米），即可求解．【详解】（1）解：如图，连接，延长交过点的水平线于点，

由题意得：厘米，，，∴（厘米），，∴，∵始终垂直于水平桌面，∴，∴（厘米），∵投影仪的底座高3厘米，∴探头的端点到桌面的距离（厘米）．答：探头的端点到桌面的距离约为厘米；（2）解：如图，作于点，则，

由题意得：，，∴，∵厘米，∴（厘米），∴（厘米），由题意得：，∴（厘米），∴（厘米），由题意得：，∴（厘米），答：支架的长度大约为厘米．6．（2025·上海静安·一模）舞狮文化源远流长，其中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①所示）．在舞狮表演中，梅花桩垂直于地面，且在一直线上（如图②所示）．如果在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和，且桩与桩的高度差为米，两桩的距离为米．(1)舞狮人从跳跃到，随后再跳跃至，所成的角；(2)求桩与桩的距离的长．（结果精确到米）【答案】(1)(2)米【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形的运用，理解并掌握解直角三角形的计算是解题的关键．（1）根据仰俯角，平角为即可求解；（2）过点作，分别交于点，则四边形、、都是矩形，设米，则米，在中，由函数函数的计算，得到，在中，，得到，由，即可求解．【详解】（1）解：在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和，∴，故答案为：；（2）解：过点作，分别交于点，∵，，，∴，∴四边形、、都是矩形，∴，设米，则米，在中，，∴，在中，，∴，∵，∴，解得，（米），答：桩与桩的距离的长约为米．【题型6方向角问题】方向角遵循——上北下南，左西右东。因为这类题目常和特殊角结合，故作辅助线时，谨记一个原则：不能破坏已有的特殊角。1．（2025·河南焦作·一模）如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的处，此时船长接到台风预警信息，台风将在小时后袭来，他计划立即沿正南方向航行，赶往位于灯塔的南偏东方向上的避风港处．(1)问避风港处距离灯塔有多远．(2)如果轮船的航速是海里时，问轮船能否在小时内赶到避风港处．参考数据：，，，【答案】(1)海里(2)能【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键；（1）如图，过点作于点，则．解，，求得，即可求解；（2）解，得出，进而根据，求得的距离，根据路程除以速度，即可求解．【详解】（1）由题意得，，海里．如图，过点作于点，则．在中，，海里．在中，，海里．答：避风港处距离灯塔约海里．（2）如图，在中，海里．在中，，海里，海里，海里．小时，故轮船能在小时内赶到避风港处．2．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别向，两港运送物资，最后到达港正东方向的港装运新的物资．甲货轮沿港的东南方向航行10海里后到达港，再沿北偏东万向航行一定距离到达港．乙货轮沿港的北偏东方向航行一定距离到达港，再沿南偏东方向航行一定距离到达港．（参考数据：，，）(1)求，两港之间的距离（结果保留小数点后一位）；(2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明．【答案】(1)77.2海里(2)甲货轮先到达港，计算说明见解析【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．（1）过点作，垂足为，先在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；（2）根据题意可得：，从而可得，然后利用角的和差关系可得，从而在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出和的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算比较即可解答．【详解】（1）解：过点作，垂足为，如图所示：在中，海里，∴（海里），（海里），在中，，∴（海里），∴（海里），∴两港之间的距离约为77.2海里；（2）解：甲货轮先到达港，理由如下：如图所示：由题意得，∴，∴，在中，，∴海里，海里，在中，海里，∴（海里），∴甲货轮航行的路程（海里），乙货轮航行的路程（海里），∵96.4海里＜105.4海里，∴甲货轮先到达港．3．（2024·湖南长沙·模拟预测）今年4月23日，是人民海军成立75周年纪念日．东部战区海军某基地海边举办舰艇开放活动，、两点分别为活动入口和出口．且点在一水平海岸线（如图所示）上，测得，，从点出发按方向前进20米到达点，即米，测得，，试根据已知条件求出活动入口和出口之间的直线距离．【答案】米【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．如图，过作于，由，设，则，可得，而，可得，结合，即，再建立方程求解即可．【详解】解：如图，过作于，

∵，即，设，则，∴，而，∴，∵，∴，即，∴，解得：，∴（米），答：A、B两点间的距离为500米．4．（2024·四川资阳·中考真题）如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东方向，且A，B相距海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向．

(1)求B，C两处的距离；(2)该渔船从C处沿北偏东方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东方向，便立即以18海里/小时的速度沿方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间．（注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：，）【答案】(1)B，C两处的距离为16海里(2)渔政船的航行时间为小时【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形．（1）根据题意易得，则，再求出（海里），即可解答；（2）过点D作于点F，设海里，则，，则，求出，进而得出海里，海里，根据勾股定理可得：（海里），即可解答．【详解】（1）解：过点A作于点E，∵灯塔B在灯塔A的南偏东方向，C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向．∴，∴，∵，∴，∵海里，∴（海里），∴（海里），∴B，C两处的距离为16海里．

（2）解：过点D作于点F，设海里，∵，∴，由（1）可知，海里，∴海里，∵，∴，∴，解得：，∴海里，海里，根据勾股定理可得：（海里），∴渔政船的航行时间为（小时），答：渔政船的航行时间为小时．

（建议用时：40分钟）一﹑选择题1．（2025·陕西·一模）如图，在矩形中，对角线相交于点O，于点E，且，若，则的长为（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】本题考查了解直角三角形的应用．先求得，得到，利用正弦函数的定义求得，，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：∵矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故选：C．2．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在中，，于点，，，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了解直角三角形，同角的余角相等，熟练掌握锐角三角函数定义是解答本题的关键．根据题意，利用同角的余角相等得到，进而得到，利用锐角三角函数定义求出的长即可．【详解】解：在中，，，，，，，在中，，，，故选：B．3．（2025·广东深圳·一模）如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L水平距离为，当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为，则这枚火箭此时的高度为（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．【详解】解：由题意得：，在中，，，，这枚火箭此时的高度为，故选：D．4．（2025·陕西西安·二模）如图，是的直径，点C、D都在上，若点A是的中点，，，则的长为（

）A． B．6 C． D．8【答案】D【分析】本题考查了垂径定理、解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．连接、，根据垂径定理得，可得出，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的两倍得出，易得出，然后根据正弦的定义即可得出，最后根据直径是半径的2倍，即可得出答案．【详解】解：连接、，点A是的中点，，设垂足为点，，，和所对的弧都是，，，且，，，，在中，,，，，，是的直径，，故选D．5．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，求角的三角函数等知识点，正确利用折叠的性质是解题的关键．根据折叠的性质，可求得，，从而求得，，在中，由勾股定理，得，即可求得结果．【详解】解：四边形是矩形，，，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，，，，，在中，，由勾股定理，得，，，，，故选：A．6．（2024·广东深圳·三模）无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量某大楼的高度，无人机在空中点P处，测得地面点A处的俯角为，且点P到点A的距离为米，同时测得楼顶点C处的俯角为．已知点A与大楼的距离为70米（点A，B，C，P在同一平面内），则大楼的高度为（

）A．51米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过作，延长交的延长线于，由三角函数得，，，即可求解；掌握解直角三角形的解法是解题的关键．【详解】解：如图，过作，延长交的延长线于，，，，四边形是矩形，，，，，，，，，，(米)，故选：C．7．（2024·陕西咸阳·三模）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若的三个顶点都在格点上，则的值为（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】本题考查解直角三角形，构造出合适的直角三角形是解题的关键．连接网格中适当的格点，构造出直角三角形即可解决问题．【详解】解：如图，连接，设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理得：，，，，，在中，，故选：C．8．（2024·湖南长沙·一模）如图，三角形纸片中，，，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处：再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查直角三角形中的翻折变换，解直角三角形，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练利用勾股定理列方程．根据折叠的性质得，，，，即可得，则，设，可得，即可解得．再求解即可．【详解】解：沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处，，，折叠纸片，使点与点重合，，，，，，，，设，则，，解得，，故选：B.9．（22-