第二章一元二次方程导学案

课题2.1.1花边有多宽（一）课型新授课主备人朱天军教学目标1．理解一元二次方程的概念及它的有关概念；2．经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型重点一元二次方程的概念及它的一般形式难点一元二次方程的概念教法合作探究学法合作交流一.创设情景引入新课经济时代的今天，你能根据商品的销售利润做出一定的决策吗？你能为一个矩形花园提供多种设计方案吗？下面我们来学习第二章第一节：花边有多宽学困记录二.讲授新课提出问题分析问题3、得出结论例1、一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为8m，宽为5m，如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽?分析：已知量：未知量：等量关系：设：可列方程为：例2．下面我们来看一个数学问题：102＋112＋122＝132＋142你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗?分析：如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数可以表示为：；根据题意可得方程。例3.如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米?分析：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙m，如果设梯子滑动xm，那么梯子底端距m．根据题意，可得方程。师：同学们讨论一下，上述三个方程有什么共同特点？1.上面的三个方程都是只含有个未知数，并且未知数的最高次数是______，等号两边都是关于未知数的的方程.这三个方程还都可以化为ax2＋bx＋c＝0(a、b、c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.即叫做一元二次方程．2．任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式，其中a≠0是定义的一部分，不可漏掉，否则就不是一元二次方程了。3.把ax2＋bx＋c＝0(a≠0)称为一元一次方程的一般形式，其中ax2，bx，c，分别称为二次项，一次项，常数项.a，b分别称为二次项系数和一次项系数.三、应用深化一、判断题（下列方程中，是不是一元二次方程1.5x2+1=02.3x2++1=03.4x2=ax(其中a为常数)4.2x2+3x=05.=2x6.=2x二、填空题1.一元二次方程的一般形式是__________.2.将方程－5x2+1=6x化为一般形式为__________.3.将方程(x+1)2=2x化成一般形式为__________.4.方程2x2=－8化成一般形式后，一次项系数为_______，常数项为______.5.方程5(x2－x+1)=－3x+2的一般形式是__________，其中二次项是__________，一次项是__________，常数项是__________.6.若ab≠0，则x2+x=0的常数项是__________.7.如果方程ax2+5=(x+2)(x－1)是关于x的一元二次方程，则a_________.8.关于x的方程(m－4)x2+(m+4)x+2m+3=0，当m__________时，是一元二次方程，当m三、选择题1.下列方程中，不是一元二次方程的是（）A.2x2+7=0B.2x2+2x+1=0C.5x2++4=0D.3x2+(1+x)+1=02.方程x2－2(3x－2)+(x+1)=0的一般形式是（）A.x2－5x+5=0 B.x2+5x+5=0C.x2+5x－5=0 D.x23.一元二次方程7x2－2x=0的二次项、一次项、常数项依次是A.7x2,2x,0 B.7x2,－2x，无常数项C.7x2,0,2x D.7x2,－2x,04.方程x2－=(－)x化为一般形式，它的各项系数之和是（）A. B.－ C. D.5.若关于x的方程a(x－1)2=2x2－2是一元二次方程，则a的值是（）A.2 B.－2 C.0 6.若x=1是方程ax2+bx+c=0的解，则（）A.a+b+c=1 B.a－b+c=0C.a+b+c=0 D.a－b－c四、能力提升现有长40米，宽30米场地，欲在中央建一游泳池，周围是等宽的便道及休息区，且游泳池与周围部分面积之比为3∶2，请给出这块场地建设的设计方案，并用图形及相关尺寸表示出来。随时纠错小结反馈本节课你学到了什么？课后反思课题2.1.2花边有多宽（二）课型新授课主备人朱天军教学目标经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。重点用估算方法求方程的近似解难点用估算方法求方程的近似解教法讲授法学法合作交流一、复习引入1、什么叫一元二次方程？它的一般形式是什么？2、指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。（1）2x2―x+1=0 (2)―x2+1=0 (3)x2―x=0 (4)―EQEQ\R(,3)x2=0学困记录二、新知探究1、估算地毯花边的宽。地毯花边的宽x(m)，满足方程(8―2x)(5―2x)=18一般形式是：。你能求出x吗？（1）x可能小于0吗？说说你的理由；（2）x可能大于4吗？可能大于2.5吗？为什么？（3）完成下表x00.511.522.52x2―13x+11（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴交流。2、例题讲析：例：在前一节的问题中，梯子底端滑动的距离x（m）满足(x+6)2+72=102一般形式是：。（1）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？（2）x的整数部分是几？十分位是几？x00.511.52x2+12x―155.2513所以1<x<1.5进一步计算：x1.11.21.31.4x2+12x―153.76所以1.1<x<1.2因此x的整数部分是,十分位是注意：（1）估算的精度不适过高。（2）计算时提倡使用计算器。三、应用深化1、一个数比另一个数大3，且两个数之积为10，求这两个数。2、下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A.3(x+1)2=2(x+1)B.C.ax2+bx+c=0D.x2+2x=x2-13、把下列方程化成ax2+bx+c=0的形式，写出a、b、c的值：(1)3x2=7x-2(2)3(x-1)2=2(4-3x)4、当m为何值时，方程(m-2)x2-mx+2=m-x2是关于x的一元二次方程？5、若关于的方程(a-5)x∣a∣-3+2x-1=0是一元二次方程，求a的值?6、一个正方形的面积的2倍等于15，这个正方形的边长是多少？7、一块面积为600平方厘米的长方形纸片，把它的一边剪短10厘米，恰好得到一个正方形。求这个正方形的边长。8、判断下列关于x的方程是否为一元二次方程：(1)2（x2－1）=3y；(2)；(3)（x－3）2=（x＋5）2；(4)mx2＋3x－2=0；(5)（a2＋1）x2＋（2a－1）x＋5―a=0.9、把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数，一次项系数及常数项。(1)(3x-1)(2x+3)=4；(2)(x+1)(x-2)=-2.0、关于x的方程(2m2+m-3)xm+1-5x+2=13是一元二次方程吗？随时纠错小结反馈本节课你学到了什么？课后反思课题2.2.1配方法（一）课型新授课主备人朱天军教学目标1．会用开平方法解形如(x十m)＝n(n0)的方程．2．理解一元二次方程的解法——配方法．重点利用配方法解一元二次方程难点把一元二次方程通过配方转化为(x十m)＝n(n0)的形式教法讲练结合法学法自主探究一、创设情景引入新课一、复习：1、解下列方程：（1）x2=4 （2）(x+3)2=92、什么是完全平方式？利用公式计算：（1）(x+6)2 （2）(x－EQ\F(1,2))2注意：它们的常数项等于一次项系数一半的平方。3、解方程：（梯子滑动问题）x2+12x－15=0学困记录二、新知探究解：x十12x一15＝01、请同学们尝试着求出上式的值。解一元二次方程的基本思路是2、配方：填上适当的数，使下列等式成立：1）x2＋12x＋ ＝(x＋6)22）x2―12x＋ ＝(x―)23）x2＋8x＋ ＝(x＋)23、讲解例题：例1：解方程：x2＋8x―9＝0分析：先把它变成(x＋m)2＝n（n≥0）的形式再用直接开平方法求解。解：配方法：三、应用深化1、方程的解为（）A、0B、1C2、已知一元二次方程，若方程有解，则必须（）A、n=0B、n=0或m，n异号C、n是m的整数倍D、m，n同号3、方程(1)x2＝2的解是；(2)x2=0的解是。4、解方程：(1)4x2－1＝0；(2)3x2+3=0；(3)(x-1)2=0；(4)(x+4)2=9；5、解方程：(1)81(x-2)2=16；(2)(2x+1)2=25；6、解方程：(1)4(2x+1)2-36=0；(2)。7、用直接开平方法解方程（x＋h）2=k，方程必须满足的条件是（）A．k≥oB．h≥oC．hk＞oD．k＜o8、方程（1-x）2=2的根是（）A.-1、3B.1、-3C.1-、1+D.-1、+19、下列解方程的过程中，正确的是（）(1)x2=-2,解方程，得x=±(2)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4(3)4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)=±3,x1=;x2=(4)(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5,x1=1;x2=-410、方程(3x－1)2=－5的解是。11、用直接开平方法解下列方程：(1)4x2=9；(2)（x+2）2=16(3)(2x-1)2=3;(4)3(2x+1)2=12随时纠错小结反思本节课你学到了什么？（1）什么叫配方法？（2）配方法的基本思路是什么？（3）怎样配方？课后反思课题2.2.3配方法（二）课型新授课主备人朱天军教学目标1、利用配方法解数字系数的一般一元二次方程。2、进一步理解配方法的解题思路。重点用配方法解一元二次方程的思路；给方程配方。难点用配方法解一元二次方程的思路；给方程配方。教法合作探究学法合作交流一、创设情景引入新课一、复习：1、什么叫配方法？2、怎样配方？方程两边同加上一次项系数一半的平方。3、解方程：（1）x2＋4x＋3＝0 （2）x2―4x＋2＝0 学困记录二、新知探究1、例题讲析：例3：解方程：3x2＋8x―3＝0 2、用配方法解一元二次方程的步骤：1、2、3、4、3、做一做：一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系：h＝15t―5t2，小球何时能达到10m高？三、应用深化1、用配方法解方程x2+4x-2=0时，第一步是，第二步是，第三步是，解是。2、用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0，则方程可变形为（）A.(x-4)2=9B.(x+4)2=9C.(x-8)2=163、已知方程x2-5x+q=0可以配方成(x-)2=的形式，则q的值为（）A.B.C.D.-4、已知方程x2-6x+q=0可以配方成(x-p)2=7的形式，那么q的值是（）A.9B.75、用配方法解下列方程：（1）x2-4x=5；（2）x2-100x-101=0；（3）x2+8x+9=0；（4）y2+2y-4=0；6、试用配方法证明：代数式x2+3x-的值不小于-。7、完成下列配方过程：（1）x2+8x+=(x+)2（2）x2-x+=(x-)2（3）x2++4=(x+)2（4）x2-+=（x-）28、若x2-mx+=(x+)2，则m的值为（）.A.B.-C.D.-9、用配方法解方程x2-x+1=0，正确的解法是（）.A.(x-)2=,x=±B.(x-)2=-,方程无解C.(x-)2=,x=D.(x-)2=1,x1=;x2=-10、用配方法解下列方程：(1)x2-6=7x(2)x2+3x+1=0；(3)x2+2x-4=0(4)x2-x-=0.13、已知直角三角形的三边a、b、b，且两直角边a、b满足等式(a2+b2)2-2(a2+b2)-15=0，求斜边c的值。随时纠错小结反馈本节课你学到了什么？课后反思课题§2.2配方法（三）课型新授课主备人朱天军教学目标1、经历用方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，培养学生数学应用的意识和能力；2、进一步掌握用配方法解题的技能。重点列一元二次方程解方程。难点列一元二次方程解方程。教法启发式学法合作交流一、创设情景引入新课一、复习：1、配方：（1）x2―3x＋＝(x―)2 （2）x2―5x＋＝(x―)2 2、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？3、用配方法解下列一元二次方程？（1）3x2―1＝2x (2)x2―5x＋4＝0学困记录二、新知探究4、如图所示：（1）设花园四周小路的宽度均为xm，可列怎样的一元二次方程？（2）一元二次方程的解是什么？（3）这两个解都合要求吗？为什么？5、如图所示：（1）设花园四角的扇形半径均为xm，可列怎样的一元二次方程？（2）一元二次方程的解是什么？（3）符合条件的解是多少？6、你还有其他设计方案吗？请设计出来与同伴交流。（1）花园为菱形？（2）花园为圆形（3）花园为三角形？（4）花园为梯形三、应用深化牛刀小试：1、2x2-6x+3=2（x-）2-；x2+mx+n=（x+）2+.2、方程2(x+4)2-10=0的根是.3、用配方法解方程2x2-4x+3=0，配方正确的是（）A.2x2-4x+4=3+4B.2x2-4x+4=-3+4C.x2-2x+1=+1D.x2-2x+1=-+14、用配方法解下列方程，配方错误的是（）A.x2+2x-99=0化为(x+1)2=100B.t2-7t-4=0化为(t-)2=C.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25D.3x2-4x-2=0化为(x-)2=5、用配方法解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）2x2-4x+1=0。6、试用配方法证明：2x2-x+3的值不小于.7、用配方法解方程2y2-y=1时，方程的两边都应加上（）A.B.C.D.8、a2+b2+2a-4b+5=(a+)2+(b-)29、用配方法解下列方程：(1)2x2+1=3x(2)3y2-y-2=0；(3)3x2-4x+1=0；(4)2x2=3-7x.10、已知(a+b)2=17，ab=3.求(a-b)2的值.11、解方程：(x-2)2-4(x-2)-5=0随时纠错小结反馈本节课你学到了什么？课后反思课题2.3公式法课型新授课主备人朱天军教学目标1．一元二次方程的求根公式的推导；2．会用求根公式解一元二次方程。重点一元二次方程的求根公式．难点求根公式的条件：b2－4ac0。教法合作探究学法合作交流一、创设情景引入新课一、复习：1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？2、用配方法解方程：x2－7x－18＝0 学困记录二、新知探究1、用配方法求解方程：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)一般地，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac时，它的根是x＝。注意：当b2－4ac时，一元二次方程无实数根。2、公式法：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。3、例题讲析：例：解方程：x2―7x―18＝0例：解方程：2x2＋7x＝4三、应用深化1、用公式法解方程x2+4x=2,其中求的b2-4ac的值是（）A.16B.4C.D.642、用公式法解方程x2=-8x-15，其中b2-4ac=，方程的根是。3、用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正确的是（）A.x1.2=B.x1.2=C.x1.2=D.x1.2=4、三角形两边长分别是3和5，第三边的长是方程3x2-10x-8=0的根，则此三角形是三角形.5、如果分式的值为零，那么x=.6、用公式法解下列方程：(1)3y2-y-2=0(2)2x2+1=3x(3)4x2-3x-1=x-2(4)3x(x-3)=2(x-1)(x+1)7、把方程(2x-1)(x+3)=x2+1化为ax2+bx+c=0的形式，b2-4ac=，方程的根是.8、方程(x-1)(x-3)=2的根是（）A.x1=1,x2=3B.x=22C.x=2D.x=-229、关于x的一元二次方程x2+4x-m=0的一个根是-2，则m=，方程的另一个根是.10、若最简二次根式和是同类二次根式，则的值为（）A.9或-1B.-1C11、用公式法解下列方程：（1）x2-2x-8=0；（2）x2+2x-4=0；（3）2x2-3x-2=0；（4）3x(3x-2)+1=0.随时纠错小结反馈本节课你学到了什么？课后反思课题一元二次方程根的判别式（补充）课型新授课主备人朱天军教学目标1.使学生理解一元二次方程的根的判别式，知道所判别的对象是什么；2.使学生会运用根的判别式，在不解方程的前提下判别根的情况.重点一元二次方程的根的判别式的运用.难点对一元二次方程的根的判别式的结论的理解.教法合作探究学法合作交流一、创设情景引入新课1.请同学们回想一下，我们用求根公式法解一元二次方程时，在把系数代入求根公式前，必须写出哪两步?为什么要先写这两步?例：用求根公式法解方程(教师把这个过程写在黑板上)2x2+10x-7=0.2.为什么在把系数代入求根公式前，要先写①式、②式这两步?学困记录二、新知探究从上面的解释可见，在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，代数式b2-4ac起着重要的作用，我们把它叫做根的判别式，通常用记号Δ表示，即Δ=b2-4ac(注意不是Δ=)2、根的判别式是判别根的什么?ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ0方程有两个不等实数根.ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ=0方程有两个相等实数根.ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ＜0方程没有实数根.注意：反过来也成立。3、运用根的判别式解题举例例1：不解方程，判别下列方程根的情况.(1)2x2+3x-4=0;(2)16y2+9=24y;(3)5(x2+1)-7x=0.例2：已知方程2x2+(k-9)x+(k2+3k+4)=0有两个相等的实数根，求k值，并求出方程的解.例3：若关于x的方程x2+2(a+1)x+(a2+4a-5)=0有实数根，试求正整数a的值.三、应用深化1.下列方程中，有两个相等实数根的方程是().2.若方程(k2-1)x2-6(3k-1)+72=0有两个不同的正整数根，则k=______3.若a,b,c互不相等，则方程(a2+b2+c2)x2+2(a+b+c)x+3=0().(A)有两个相等的实数根(B)有两个不相等的实数根(C)没有实数根(D)根的情况不确定4.不解方程，判别下列方程的根的情况：5.已知关于x的方程x2+(2m+1)x+(m-2)2=0.m取什么值时，(1)方程有两个不相等的实数根?(2)方程有两个相等的实数根?(3)方程没有实数根?6.k取什么值时，方程4x2-(k+2)x+k-1=0有两个相等的实数根?并求出这时方程的根.7.求证：关于x的方程x2+(2k+1)x+k-1=0有两个不相等的实数根.闯关练习：1．关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）

A、a<1B、a>1C、a<1且a≠0D、a<02．关于x的一元二次方程kx2-3x+2=0有两个相等的实根，则k应满足（）

A、k=0B、k≥0C、k=-D、k=3．关于x的方程m(x2+x+1)=x2+x+2有两个相等的实数根，则m的值为（）

A、B、1C、-D、或14．若方程k(x2-2x+1)-2x2+x=0有实数根，则（）。

A、k>-B、k>-且k≠2C、k≥-D、k≥-且k≠25．方程x2-4x+=0有根的情况是（）A、有两个不相等的实数根B、有两个相等的实数根

C、没有实数根D、有一个实数根6．下列方程中，有两个相等实数根的一元二次方程是（）。

A、3x2-4x-1=0B、x2+3+2=2x+2x

C、x3-2x+5=0D、x2+x=1

7．已知关于x的方程x2+3(m-1)x-2m2-4m+5=0，则该方程（）。

A、无实数根B、有两个相等实数根

随时纠错小结反馈本节课你学到了什么？课后反思课题一元二次方程根与系数的关系课型新授课主备人朱天军教学目标1、掌握一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系。2、能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知系数。3、会利用根与系数的关系求关于两根代数式的值。重点一元二次方程根与系数的关系及应用难点探索一元二次方程根与系数的关系教法合作探究学法合作交流一、创设情景引入新课1、一元二次方程的一般形式是什么？2、一元二次方程的求根公式是什么？3、如何判断一元二次方程根的情况？学困记录二、新知探究探索规律1、议一议：补全下列表格，并回答问题方程方程的两根X=1\*Arabic1+X=2\*Arabic2X=1\*Arabic1×X=2\*Arabic2①x2-2x+1=0X=1\*Arabic1=X=2\*Arabic2=②x2+3x-10=0X=1\*Arabic1=X=2\*Arabic2=③x2+5x+4=0X=1\*Arabic1=X=2\*Arabic2=④2x2+5x+3=0X=1\*Arabic1=X=2\*Arabic2=⑤3x2-2x-2=0X=1\*Arabic1=X=2\*Arabic2=问题：观察两根之和，两根之积与方程的系数之间有什么关系？2、猜一猜：请根据以上的观察猜想：方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根x1，x2与a、b、c之间的关系：____________.3、验证结论：设x=1\*Arabic1，x2为方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，证明上述结论（1）当满足条件时，方程的两根是X=1\*Arabic1=X=2\*Arabic2=（2）两根之和x=1\*Arabic1+x=2\*Arabic2=两根之积x=1\*Arabic1x=2\*Arabic2=4、归纳结论：一元二次方程根与系数的关系：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，那么X=1\*Arabic1+X=2\*Arabic2=，X=1\*Arabic1X=2\*Arabic2=如果x1，x2是一元二次方程x2+px+q=0（a≠0）的两个根，那么X=1\*Arabic1+X=2\*Arabic2=，X=1\*Arabic1X=2\*Arabic2=为了纪念在研究和推广这个定理中做出贡献的法国数学家韦达，又把这个定理叫做韦达定理。应用新知:1、基础练习：不解方程，求下列方程两根的和与两根的积各是多少？（1）x2-3x+1=0(2)3x2-2x=2（3）2x2+3x=0（4）3x2=1(5)x2-3x+4=02、例1：已知方程3x2-4x+2m-1=0的一个根是2，求方程的另一个根及m的值.方法一方法二归纳：利用根与系数的关系可以解决什么问题？例3：已知X=1\*Arabic1,X=2\*Arabic2是方程2x2+3x-1=0的两个根,利用根与系数的关系求x12+x22的值归纳：解决此类型题目的关键是什么？三、应用深化1、已知方程5x2-7x+k=0的一个根是2，求它的另一个根及K的值；2、设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求 的值3、若方程x2－2x－1=0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2=______．4、设一元二次方程x2－6x+4=0的两实根分别为x1和x2，则x1+x2=_____，x1·x2=______．5、等腰三角形ABC中，BC=8，AB，AC的长是关于x的方程x2－10x+m=0的两根，求m的值．6、如果2是方程x2-4x+c=0的一个根，求方程的另一个根及c的值；7、设x1，x2是方程2x2-6x+3=0的两个根，利用根与系数关系，求下列各式的值：（1）x12x2+x1x22随时纠错小结反馈本节课你学到了什么？课后反思课题十字相乘法(补充)课型新授课主备人朱天军教学目标掌握十字相乘法解方程的方法重点十字相乘法的运用难点十字相乘法的应用教法合作探究学法合作交流一、创设情景引入新课我们知道，反过来，就得到二次三项式的因式分解形式，即，其中常数项6分解成2,3两个因数的积，而且这两个因数的和等于一次项的系数5，即6=2×3，且2+3=5。一般地，由多项式乘法，，反过来，就得到这就是说，对于二次三项式，如果能够把常数项分解成两个因数a、b的积，并且a+b等于一次项的系数p，那么它就可以分解因式，即。运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式。学困记录二、新知探究例1:把分解因式。分析：这里，常数项2是正数，所以分解成的两个因数必是同号，而2=1×2=(-1)(-2)，要使它们的代数和等于3，只需取1,2即可。解：因为2=1×2，并且1+2=3，所以例2:把分解因式。分析：这里，常数项是正数，所以分解成的两个因数必是同号，而6=1×6=(-1)×(-6)=2×3=(-2)×(-3)，要使它们的代数和等于-7，只需取-1，-6即可。归纳：，把分解因式时：如果常数项q是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数p的符号相同。如果常数项q是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同。对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项的系数p。我们知道，。反过来就得到的因式分解的形式，即。我们发现，二次项的系数3分解成1,3两个因数的积；常数项10分解成2,5两个因数的积；当我们把1,3，2,5写成1235后发现1×5+2×3正好等于一次项的系数11。由上面例子启发我们，应该如何把二次三项式进行因式分解。我们知道，反过来，就得到我们发现，二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，排列如下：这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到+，如果它们正好等于的一次项系数，那么就可以分解成，其中，位于上图的上一行，，位于下一行。像这种借助画十字交叉分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。基础演练：(1)(2)(3)(4)用十字相乘法解以下方程.(1)(2)(3)(4)三、应用深化1、用十字相乘法解以下的一元二次方程.（1）（2）（3）（4）2、用十字相乘法解以下的一元二次方程.1）2）3）4）3、用适当的方法解方程:(1)(2)(3)(4)（5）（6）随时纠错小结反馈本节课你学到了什么？课后反思课题2.4．1分解因式法课型新授主备人朱天军教学目标1．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。体会解决问题方法的多样性。2．会用分解因式（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程。重点掌握分解因式法解一元二次方程。难点灵活运用分解因式法解一元二次方程。教法讲练结合学法合作交流一、创设情景引入新课[课堂小测]用两种不同的方法解下列一元二次方程。1.5x-2x-1=02.10(x+1)-25(x+1)+10=0观察比较：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？学困记录二、新知探究例1：解下列方程：1.5x=4x2.x-2=x(x-2)分解因式法：。例2：解下列方程：1.5x=4x2.x-2=x(x-2)想一想：你能用几种方法解方程x-4=0,(x+1)-25=0？因式分解法的理论根据是：。如：若(x+2)(x-3)＝0，那么x+2＝0或．x-3＝0；反之，若x+2＝0或x-3＝0，则一定有(x+2)(x-3)＝0．这就是说，解方程(x+2)(x-3)=0就相当于解方程x+2＝0或x-3=0．三、应用深化一、牛刀小试正当时，课堂上我们来小试一下身手！1、已知方程4x2-3x=0，下列说法正确的是（）A.只有一个根x=B.只有一个根x=0C.有两个根x1=0,x2=D.有两个根x1=0,x2=-2、如果(x-1)(x+2)=0，那么以下结论正确的是（）A.x=1或x=-2B.必须x=1C3、方程（x+1）2=x+1的正确解法是（）A.化为x+1=1B.化为（x+1）（x+1-1）=0C.化为x2+3x+2=0D.化为x+1=04、解方程x（x+1）=2时，要先把方程化为；再选择适当的方法求解，得方程的两根为x1=,x2=.5、用因式分解法解下列方程：（1）x2+16x=0（2）5x2-10x=-5（3）x（x-3）+x-3=0（4）2(x-3)2=9-x26、用适当的方法解下列方程：（1）(3x-1)(x-2)=(4x+1)(x-2)(3)3x2-4x-1=0(2)4x2-20x+25=7(4)x2+2x-4=0二、新知识你都掌握了吗？课后来这里显显身手吧！7、用因式分解法解方程5（x+3）-2x（x+3）=0，可把其化为两个一元一次方程、求解。8、如果方程x2-3x+c=0有一个根为1，那么c=，该方程的另一根为，该方程可化为（x-1）（x）=09、方程x2=x的根为（）A.x=0B.x1=0,x2=1C.x1=0,x2=-1D.x1=0,x2=210、用因式分解法解下列方程：（1）（x+2）2=3x+6；（2）（3x+2）2-4x2=0；（3）5（2x-1）=(1-2x)(x+3)；（4）2（x-3）2+(3x-x2)=0.11、用适当方法解下列方程：（1）（3x-1）2=1；（2）2（x+1）2=x2-1；（3）(2x-1)2+2(2x-1)=3；（4）(y+3)（1-3y）=1+2y2.随时纠错小结反馈本节课你学到了什么？课后反思课题2.5为什么是0.618（一）课型新授课主备人朱天军教学目标1、掌握黄金分割中黄金比的来历；2、经历分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决问题的过程，认识方程模型的重要性。重点列一元一次方程解应用题，依题意列一元二次方程难点列一元一次方程解应用题，依题意列一元二次方程教法合作探究学法合作交流一、创设情景引入新课复习：1、解方程：（1）x2＋2x＋1＝0 (2)x2＋x－1＝02、什么叫黄金分割？黄金比是多少？（0.618）3、哪些一元二次方程可用分解因式法来求解？学困记录二、新知探究1、黄金比的来历如图，如果EQ\F(AC,AB)＝EQ\F(CB,AC)，那么点C叫做线段AB的黄金分割点。由EQ\F(AC,AB)＝EQ\F(CB,AC)，得AC2＝AB·CB你能根据上式利用一元二次方程求出黄金比EQ\F(\r(,5)―1,2)么？上面我们应用一元二次方程解决了求黄金比的问题，其实，很多实际问题都可以应用一元二次方程来解决。2、例题讲析：例1：如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一目标B，在B的正东方向200海里处有一目标C。小岛D位于AC得中点岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向。一艘军舰从A出发，静B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿海偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。（1）小岛D和小岛F相距多少海里？（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？解：设相遇时补给船航行了x海里，那么DE＝x海里，AB＋BE＝2x海里三、应用深化一、填空题1.一个矩形的面积是48平方厘米，它的长比宽多8厘米，则矩形的宽x（厘米），应满足方程__________.2.有一张长40厘米、宽30厘米的桌面，桌面正中间铺有一块垫布，垫布的面积是桌面的面积的，而桌面四边露出部分宽度相同，如果设四周宽度为x厘米，则所列一元二次方程是__________.3.在一块长40cm，宽30cm的矩形的四个角上各剪去一个完全相同的正方形，剩下部分的面积刚好是矩形面积的，则剪下的每个小正方形的边长是__________厘米.4.一个两位数，十位上的数字是a，个位上的数字是b，则这个两位数可以表示为__________.5.两个数之差为5，之积是84，设较小的数是x，则所列方程为_________.二、选择题1.用10米长的铁丝围成面积是3平方米的矩形，则其长和宽分别是A.3米和1米B.2米和1.5米C.（5+）米和（5－）米D.2.如果半径为R的圆和边长为R+1的正方形的面积相等，则A. B.C. D.3.一个两位数，个位上的数比十位上的数小4，且个位数与十位数的平方和比这个两位数小4，设个位数是x，则所列方程为A.x2+(x+4)2=10(x－4)+x－4 B.x2+(x+4)2=10x+x+4C.x2+(x+4)2=10(x+4)+x－4 D.x2+(x－4)2=10x+(x－4)4.某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值175亿元，问二、三月份平均每月增长率是多少？设平均每月增长率为百分之x，则A.50（1+x）2=175 B.50+50(1+x)2=175C.50(1+x)+50(1+x)2=175 D.50+50(1+x)+50(1+x)2=1755.一项工程，甲队做完需要m天，乙队做完需要n天，若甲乙两队合做，完成这项工程需要天数为A.m+n B.(m+n)C. D.三、列方程解应用题如右图，某小区规划在长32米，宽20米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的3条小路，使其中两条与AD平行，一条与AB平行，其余部分种草，若使草坪的面积为566米2，问小路应为多宽？随时纠错小结反馈本节课你学到了什么？课题2.5为什么是0.618（2）课型新授课主备人朱天军教学目标1、掌握建立数学模型以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题．2、观察一种对象变化状况的解题过程，引入两种或以上对象的变化状况的解题方法．重点如何全面地比较几个对象的变化状况．难点某些量的变化状况，不能衡量另外一些量的变化状况．教法合作探究学法合作交流一、创设情景引入新课一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下面的题目．某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?学困记录二、新知探究师：刚才，我们分析了一种贺年卡原来平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了减少库存降价销售，并知每降价0.1元，便可多售出100元，为了达到某个目的，每张贺年卡应降价多少元?如果本题中有两种贺年卡或者两种其它东西，量与量之间又有怎样的关系呢?即绝对量与相对量之间的关系．例1．某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，那么商场平均每天可多售出34张．如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大．三、应用深化例2．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式．（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?一、选择题：1．一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共有（）．A．12人B．18人C．9人D．10人2．某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树?3、某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利十元，每天可售出500千克。经市场调查发现，在进货价格不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量可减少20千克。现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克要涨价多少元？4、（山西09中考）某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的学生书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元。（1）求第一批购进书包的单价是多少元。（2）若商场销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商场共盈利多少元？思维提升：春秋旅社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过25人，人均旅游费为1000元，如果人数超过25人，每增加1人，人均费用降低20元，但人均费用不得低于700元。某单位组织员工到天水湾旅游，共支付给春秋旅社27000元，请问该单位该有多少员工去天水湾旅游？随时纠错小结反馈本节课你学到了什么？课后反思课题2.5为什么是0.618（3）课型新授课主备人朱天军教学目标1、会根据增长率问题中的数量关系和等量关系，列出一元二次方程，并能对方程解的合理性作出解释；2、通过猜想、探讨构建一元二次方程模型。重点找出问题中的数量关系；难点找等量关系并列出相应方程。教法合作探究学法合作交流一、创设情景引入新课温故知新：1.请同学们回忆并回答解一元一次方程应用题的一般步骤：第一步：弄清题意和题目中的已知数、未知数，用字母表示题目中的一个未知数；第二步：找出能够表示应用题全部含义的相等关系；第三步：根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程；第四步：解这个方程，求出未知数的值；第五步：在检查求得的答数是否符合应用题的实际意义后，写出答案(包括单位名称.)2.解一元二次方程的应用题的步骤与解一元一次方程应用题的步骤一样.我们先来解一些具体的题目，然后总结一些规律或应注意事项.学困记录二、新知探究例1：某商店1月份的利润是2500元，3月份的利润达到3000元，这两个月的利润平均增长的百分率是多少（精确到0.1％）？例2：某商品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率。例3：王娟同学将100元压岁钱第一次存入少儿银行（一年定期），到期后，将本金全部取出，并将其中的50元钱捐给幸福工程去救助那些贫困母亲，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率调到第一次存款时年利率的一半，这样到期后，可得本息共63元（不计利息税），求第一次存款时的利息税。友情提示：我们要牢牢把握列方程解决实际问题的三个重要环节①整体地，系统地审清问题；②把握问题中的等